TỔNG hợp CÔNG THỨC NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.03 MB, 12 trang )
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
3/ w w w . t a i l i e u p r o . c o
thttptNGUYÊN
:p/://w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
o
m
HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
h t t p PHẦN
: / /1.w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
o
CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
http
:
/
/
w
w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
CHUYÊN ĐỀ
u 1
C 1
1
x 1
x
dx
C
1
1
1 ax b
ax b dx a . 1 C
1
1
u 2 du u C
1
1
du
C
1 u 1
u
1)
u du
2)
1
1
1
dx ln x C
dx .ln ax b C
x
ax b
a
3)
e x dx e x C
a
a x dx
C
1 ax b
ax b
ln a
C
e dx .e
a
x
4)
5)
6)
sin ax b
C
a
cos ax b
sin xdx cos x C
sin ax b dx
C
a
tan ax b
1
1
dx tan x C
dx
C
2
2
cos x
cos ax b
a
cos xdx sin x C
cos ax b dx
7)
cot ax b
1
1
dx cot x C
dx
C
2
2
sin x
sin ax b
a
8)
1
1 1
1
1
xa
dx
ln
C
dx
2
x a
2a x a x a
2a x a
9)
2
u x2 a2
x 2 a 2 dx I
dv dx
1
x2 a2
t x x2 a2
dx I x x 2 a 2 C
10) Phƣơng pháp tích phân từng phần
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân với nhau (mũ nhân lượng giác, lôgarit nhân đa thức,...).
Các bƣớc làm:
b
+ Bước 1: Viết tích phân dưới dạng (nếu đề bài chưa cho):
f x .g x dx .
a
du f x dx
u f x
+ Bước 2: Đặt
.
v g x dx
dv g x dx
b
b
b b
f x .g x dx theo công thức: udv u.v vdu
a a
a
a
+ Bước 4: Kết luận.
Cách chọn: Thứ tự ưu tiên đặt u là “Nhất lơ, nhì đa, tam lƣợng, tứ mũ” và dv là phần cịn lại.
+ Bước 3: Tính
Cao Văn Tuấn – 0975306275
1 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
SƠ ĐỒ
PHÂN
w
w
t iaBÀI
eTÍCH
u rp
o
thttpt :p/:PHẦN
//w/ 2.w
w
wCHUNG
. t.aGIẢI
l ii lTỐN
ei u
p
or .oc. oc m
lieupro.c
http
:
/
/
w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
PHẦN 3. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM THƢỜNG GẶP
lieupro.c
lieupro.c
h t t p A.: TÍCH
//w
wHÀMwCHỨA
. t DẤU
a iTRỊl iTUYỆT
e uĐỐIp r o . c
PHÂN
w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w
h t t p : / / w
w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Trong phần này ta xét một số loại tích phân sau:
+ Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Tích phân hàm hữu tỉ.
+ Tích phân hàm vơ tỉ.
+ Tích phân hàm lượng giác.
b
Bài tốn: Tính tích phân
f x dx .
a
Bước 1: Xét dấu f x trên đoạn a, b . Giả sử trên đoạn a, b , phương trình f x 0 có
nghiệm c a, b . Khi đó, ta có bảng xét dấu như sau:
x
a
c
+
0
f x
b
Bước 2: Dựa vào công thức phân đoạn và dấu của f x trên a, c và c, b , ta được:
b
c
f x dx
a
b
f x dx
a
c
b
f x dx f x dx f x dx
c
a
c
Cao Văn Tuấn – 0975306275
2 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
ep
u rpor .oc. oc m
om
h thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
/ /
h t t p : / / wB. TÍCH
w wPHÂN
. t aHÀM
i l HỮU
i e uTỈ p r o . c o m /
h t Pt x p :Q /x / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w
w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/>h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w w w . t a i l i eu p r o . c o m /
/>
h
t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/>h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/ w
w
a i. lt ia
h t t ph :t /t /pw: /w
. tw
ei ul iperuop. cr oo .mc /o m /
/>
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/> />Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
q
Bài tốn: Tính tích phân
P x
dx với
Q x
p
và
là các đa thức không chứa căn.
Trƣờng hợp 1: Bậc của tử P x bậc của mẫu Q x và Q x có dạng nhiều nhân tử thì ta phân tích
hệ số bất định).
1
ax m bx n
P x
thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp
Q x
1 a
b
an bm ax m bx n
1
x a x b
Q x x a1 x a2 ... x an
A
B
x a x b
P x
An
A1
A2
...
Q x
x a1 x a2
x an
mx n
A
B
x a x b
x a x b
P x
p Q x dx
q
Q x x a x b x c
Q x x a
2
x b
2
P x
A
B
C
D
Q x
x a x b x c
xc
P x
A
B
Q x
xa
xa
Q x x m ax 2 bx c
Cao Văn Tuấn – 0975306275
2
2
2
C
D
x b x b
2
2
P x
A
Bx C
Dx E
2
Q x
x m ax bx c ax 2 bx c
2
Q x x m ax 2 bx c
Trang
3 hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để có thêm nhiều
tài liệu
P x
A
Bx C
2
Q x
x m ax bx c
ep
u rpor .oc. oc m
om
h thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
/ /
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/> />h t t p :/ / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/>h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/> />h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/> />
mb
1
http://w
w w . t a i l i e uI pm r o2ax. bcdxo nm
/
dx
2a ax bx c
2a ax bx c
/> />h tP tx ph :t /t /pw
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc /o m /
Q: x /w
/ ww
a
h
t
t
p
:
/
/
w
w
w
.
t
ilieupro.com/
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o m /
/>
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
q
0
q
1
I1 2
dx
ax bx c
p
I1
1
b q
dx x
a
2a p
b
p
a x
2a
I1
p
0
I1
1
1
a x x1
1
dx
x x2
a x2 x1
mx n
dx
ax 2 bx c
p
q
1
x x2 q
1
1
ln
dx
x x2 x x1
a x2 x1
x x1 p
p
q
q
1
1
b
dx Đặt x
2
2a 4a 2
a p
b
x 2
2a 4a
mx n
mx n
2
ax bx c a x x1 x x2
I2
Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân”
2
q
0
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
tan t
mx n
1 A
B
2
ax bx c a x x1 x x2
m
A
A 2ax b
mx n
B
2a
2
2
Tổng quát: Đặt 2
ax bx c ax bx c ax bx c
B n mb
2a
q
2
q
2
p
Đặt t ax2 bx c
Trƣờng hợp 2: Nếu bậc của tử
bậc của mẫu
.
I1 h x dx : Tích phân cơ bản.
r x
r x
P x
I h x
dx I1 I2
dx h x dx
chia Q x
Q
x
Q
x
I2
Cao Văn Tuấn – 0975306275
r x
dx : Quay về trƣờng hợp 1.
Q x
Trang
4 hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để có thêm nhiều
tài liệu
2
p
I1
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
C. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
h
t
t
p
:
/
/
w
w
ep
u rpor .oc. oc m
o
t t p : / / w w ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w
w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
: / / w w w . t a i l i e u p r o . c
http
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
HƢỚNG 1: BIẾN ĐỔI VỀ TÍCH PHÂN VƠ TỈ CƠ BẢN
n
n
1
1
+
dx
ax b ax c dx .
bc m
ax b ax c
m
n
+
m
xa
xa
2x
dx
dx
dx
2
2
2
2
xa
x
a
2
x
a
m
m
n
n
t x2 a2
n
a
m
1
x2 a2
t x x2 a2
dx
x
a
sin t
x
a
cos t
HƢỚNG 2: ĐỔI BIẾN LÀM MẤT CĂN
ax b
I1 R x; n f x dx với f x
ax b
.
cx d
a x b
tn f x
x t
f x t n I1 R t ; t t dt : Tích phân cơ bản.
PP:
dx t dt
1
I2
xa xb
dx
1
1
xa xb
dx
PP: Đặt t x a x b dt
dx dt
2 xa xb
2 xa 2 xb
2
dt
t
Khi đó: I2
I3
2
dt 2ln t C 2ln
t
1
x a2
2
I4
xa xb
dx
xa xb C.
dx .
x
PP: Đặt t x x 2 a 2 dt 1
x2 a2
1
Khi đó: I3 dt ln t C ln x x 2 a 2
t
1
x x2 a2
1
dx
dt
dx dt
t
x2 a2
1
x2 a2
C.
x 2 a 2 dx .
PP: I 4
u x2 a2
x 2 a 2 dx I 4 x x 2 a 2
dv dx
x 2 a 2 dx a 2
I4
2I4 x x 2 a 2 a 2 I3
Cao Văn Tuấn – 0975306275
5 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
1
x2 a2
I3
dx
dx .
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
t ax 2 bx c
1
2
.
dx với ax bx c k mx n PP: Đặt
1
2
t
ax bx c
mx n
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/:/ /w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
TÍCH
h t t p : / /D.w
wPHÂN
wHÀM
. t LƢỢNG
a i l GIÁC
ieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
I5
I6
mx n
1
xa
1
dx PP: Đặt x a .
t
ax 2 bx c
n
HƢỚNG 3: ĐỔI BIẾN ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC
Cách đặt ẩn phụ
x a sin t , t 2 ; 2
Đặt
x a cos t , t 0;
a
, t ; \ 0
x
sin t
2 2
Đặt
a
, t 0; \
x
cos t
2
Dấu hiệu
a2 x2
x2 a2
x a
2
x a tan t , t 2 ; 2
Đặt
x a cot t , t 0;
Đặt x a tan t , t ;
2 2
Đặt x a cos 2t
2
1
x a2
2
ax
hoặc
ax
ax
ax
Đặt x a b a sin 2 t
xa b x
HƢỚNG 4: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
3
Ví dụ: I
0
x ln x x 2 1
x2 1
dx .
HƢỚNG 1: SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI LƢỢNG GIÁC ĐƢA VỀ CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN
PP
Tích bậc nhất của các hàm lượng giác
dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
1 cos 2
2
sin
PP
2
2
Nếu gặp bậc chẵn của sin x và cos x
dùng công thức hạ bậc:
cos 2 1 cos 2
2
2
Cao Văn Tuấn – 0975306275
6 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
2
4
2
1
1 cos 2 1 1
2
2
sin sin
cos 2 cos 2 ...
2
2
4
2
4
2
2
1
1 cos 2 1 1
4
2
cos
cos
cos
2
cos 2 2 ...
2
4 2
4
2
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w
ww.tailieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
1
1
1
1
dx
dx
.
dx
x
x
x
x
sin x
2sin cos
tan 2cos 2
2
2
2
2
x
t tan
2 1 dt ln t C ln tan x C .
x
t
2
dt 2 cos 2
2
Đặc biệt:
HƢỚNG 2: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
PP
I1 f cos x sin xdx
t cos x .
PP
I2 f sin x cos xdx
t sin x .
1
dx
cos 2 x
I3
f tan x
I3
f tan x 1 tan 2 x dx
I4 f cot x
PP
t tan x .
1
dx
sin 2 x
PP
t cot x .
I4 f cot x 1 cot 2 x dx
PP t sin x
.
I5 f sin x, cos x sin 2 xdx
2
t cos x
2
2
2
PP
R sin x, cos x R sin x, cos x
t cos x
I6 R sin x, cos x dx
PP t tan x
R sin x, cos x R sin x, cos x
.
t cot x
PP
R sin x, cos x R sin x, cos x
t sin x
Đặc biệt: sin m x cosn xdx .
+
PP
m chẵn, n lẻ
t sin x .
+
PP
m lẻ, n chẵn
t cos x .
+ Nếu m , n cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì dùng cơng thức nhân đơi, sau đó hạ bậc,...
Cao Văn Tuấn – 0975306275
7 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
HƢỚNG 3: HỮU TỈ HĨA TÍCH PHÂN LƢỢNG GIÁC
1
1
1
I7
dx
dx
a
b
a sin x b cos x
a 2 b2
sin x
cos x
a 2 b2
a 2 b2
1
1
1
1
dx
dx
a 2 b 2 sin x
2 a 2 b2 sin x cos x
2
2
1
1
1
.
dx
2
2
a b tan x 2 cos 2 x
2
2
x
t tan
1
1
1
1
x
2
dt
ln t C
ln tan
C
2
2
2
2
2
2
1
1
t
2
a
b
a
b
a
b
dt
dx
2
x
2
cos
2
1
I8
dx
a sin x b cos x c
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
o
m
/
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a
lieupro.c
h t t p : / / w w
w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
x
1
1
x
2
dt .
dx 2dt 1 tan 2 dx
dt dx .
x
2
2 cos2
2
1 t2
2
1 t2
2t
Sử dụng: sin x
và cos x
.
1 t2
1 t2
2
dt .
+ Khi đó: I8
2
c b t 2at b c
+ Đặt t tan
I9
a sin x b cos x
dx
c sin x d cos x
B c cos x d sin x
a sin x b cos x A c sin x d cos x B c cos x d sin x
A
.
c sin x d cos x
c sin x d cos x
c sin x d cos x
A ...
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
.
B ...
B c cos x d sin x
c cos x d sin x
+ Khi đó: I9 A
dx
dx Ax B
c sin x d cos x
c sin x d cos x
I9 a
+ Đặt
Tính I9 a : Đặt t c sin x d cos x dt c cos x d sin x dx .
1
dt ln t C ln c sin x d cos x C .
t
a sin x b cos x c
I10
dx
m sin x n cos x p
I9 a
+ Đặt a sin x b cos x c A m sin x n cos x p B m cos x n sin x C
A ...
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức B ...
C ...
m cos x n sin x
1
dx C
dx .
+ Khi đó: I10 A dx B
m sin x n cos x p
m sin x n cos x p
đat t m sin x n cos x p
I8
Cao Văn Tuấn – 0975306275
8 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
1
I11
dx
2
a sin x b sin x cos x c cos 2 x d
1
cos 2 x
dx
d
a tan 2 x b tan x c
cos 2 x
1
1
.
dx
2
2
2
a tan x b tan x c d 1 tan x cos x
Chuyên đề 3: “Nguyên hàm, tích phân”
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
lieupro.c
h t t p : / / w w w
.tailieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : PHẦN
//w
wLỚP
wTÍCH
. t PHÂN
a i ĐẶC
l i BIỆT
eupro.c
4. CÁC
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. t w
a i. ltiae i ul iper u
o
p
. c
r oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w
ww.tailieupro.c
lieupro.c
1
1
t tan x
.
dx
I11
2
1
a d tan x b tan x c d cos x
dt
dx
cos 2 x
1
dt
a d t bt c d
2
2
HƢỚNG 4: PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2
1)
1
2
2
2)
x.cos xdx
0
x.tan xdx
2
4
3)
3
x.cos x.sin xdx 4)
0
0
x.cos x
dx
sin 3 x
4
HƢỚNG 5: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM PHỤ
6
sin x
cos 2 x
dx và J
dx
0 s inx + 3 cos x
0 s inx + 3 cos x
a) Tính I 3J và I J .
6
Ví dụ 1: Cho I
2
6
cos2x
dx . Tính I, J, K.
0 s inx + 3 cos x
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
b) Đặt K
1)
2
2
s inx
dx
s inx cos x
0
sin 6 x
dx
sin 6 x cos6 x
0
2
2) cos 2 x.cos 2 2 xdx
3)
0
Phương pháp giải chung:
Đặt x a b t và biến đổi tạo ra tích phân luân hồi (tạo ra I) rồi giải phương trình bậc nhất ân I.
Chú ý: Phép lấy tích phân khơng phụ thuộc vào biến số, tức là: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể
b
b
b
f x dx f t dt f u du ... F b F a .
chọn bất kì một chữ khác thay cho x hay:
a
a
a
a
Bài toán 1: Nếu hàm số f x liên tục và lẻ trên a, a thì I
f x dx 0 .
a
a
Bài toán 2: Nếu hàm số f x liên tục và chẵn trên a, a thì I
a
f x dx 2 f x dx .
a
Bài toán 3: Nếu hàm số f x liên tục và chẵn trên
0
thì:
a
a
0 b 1
f x
1
dx
f
x
dx
f x dx với
x
1 b
2 a
a
a
0
a
I
Cao Văn Tuấn – 0975306275
9 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
2
2
e p
u rp
r .oc. oc m
o
o
thttpt :p/://w/ w
w w
ww
. t.at ialii lei u
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
http://w
w w
. t a i
l i e
u p r o . c o
http://w
w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w
. t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t a
i l i e u p r o . c
.
http://www
http://w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
PHẦN 5. TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/PHẦN
ww
. TÍCH
tw
aPHÂN
i. lt iTRUY
6.
aei ulHỒIiperuop. cr oo .mc
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
Bài toán 4: Nếu hàm số f x liên tục trên 0; thì: I
2
f sin x dx
0
f cos x dx .
0
b
ab
f x dx .
2 a
b
Bài toán 5: Nếu hàm số f x liên tục và f a b x f x thì: I xf x dx
a
Hệ quả:
+ Nếu hàm số f x liên tục trên 0;1 thì: I
xf sin x dx
2
+ Nếu hàm số f x liên tục trên 0;1 thì: I
2
xf cos x dx
f sin x dx .
2
f cos x dx .
b
Bài toán 6: Nếu hàm số f x liên tục và f a b x f x thì: I f x dx 0 .
a
Bài toán 7: Nếu hàm số f x liên tục trên 0; 2a với a 0 thì:
2a
I
a
f x dx f x f 2a x dx .
0
0
Bài toán 8: Nếu hàm số f x liên tục trên
và tuần hoàn với chu kì T thì:
aT
I
T
f x dx f x dx
a
0
b
Tính tích phân: I f x dx .
a
b
+ Bước 1: Tìm thêm tích phân: J g x dx sao cho tính được I + J và I J.
a
I J ... I ...
+ Bước 2: Giải hệ phương trình:
I J ... J ...
b
Tính tích phân: In f x, n dx .
a
b
+ Bước 1: Biến đổi I n udv với n .
a
b
+ Bước 2: Dùng cơng thức tính tích phân từng phần, ta được:
b b
udv uv vdu .
a a
a
+ Bước 3: Tính I n theo In1 , In2 ,... (hay theo In1 , In 2 ,... ).
Cao Văn Tuấn – 0975306275
10 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
w
.aDỤNG
t ialTÍCH
ii leiPHÂN
ep
u rpor .oc. oc m
o
PHẦN
7.w
ỨNG
thttpt :p/://w/ w
w
w
.
t
u
ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w
w .
t a i l i e u p r o . c o
http://ww
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
lieupro.c
h t t p : / / w
w
w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
ro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w
lieupro.c
Bài toán 1: Hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
+ Đồ thị C của hàm số y f x liên tục trên đoạn a, b .
+ Trục hoành Ox: y 0 .
+ Hai đường thẳng x a và x b .
b
Giải: Diện tích S của hình phẳng H là: S
f x dx .
a
Chú ý:
b
b
f x dx
Nếu f x không đổi dấu trên a, b thì
a
f x dx .
a
Nếu phương trình f x 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 ,..., xk trên a, b thì trên mỗi khoảng
a, x1 , x1 , x2 ,..., xk , b biểu thức f x khơng đổi dấu.
Khi đó: S
x1
f x dx
a
x2
b
f x dx ...
x1
f x dx .
xk
Bài toán 2: Hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
+ Đồ thị của các hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a, b .
+ Hai đường thẳng x a và x b .
b
Giải: Diện tích S của hình phẳng H là: S
f x g x dx .
a
Bài toán 3 (Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong tự cắt khép kín): Hình phẳng H giới
hạn bởi các đồ thị các hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a, b .
Giải:
Diện tích S của hình phẳng H là: S
f x g x dx , với , là nghiệm
nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f x g x , a b .
Bài tốn 4 (Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đƣờng cong tự cắt khép kín): Hình phẳng H giới
hạn bởi các đồ thị các hàm số C1 : y f x , C2 : y g x và C3 : y h x liên tục trên đoạn
a, b .
Giải:
A C1 C2
Bước 1: Tìm các giao điểm: B C2 C3 .
C C3 C1
c
b
Bước 2: Sử dụng: S f x h x dx g x h x dx .
a
c
Cao Văn Tuấn – 0975306275
11 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia mơn Tốn
Chun đề 3: “Ngun hàm, tích phân”
Bài tốn 5: Nếu hình Hình phẳng H giới hạn bởi các đồ thị các hàm số x f y và x g y liên tục
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/ ://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w
w . t a i l i e u p r o . c o
8. w
ỨNG.DỤNG
TÍCH
PHÂN
h t t p : /ĐỂ/ TÍNH
wPHẦN
w
t
a
i
l
ieupro.co
THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÕN XOAY
w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
w
w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w
h t t p : / / w
w
w
.
t
a
i
l
i
e
u
p
r
o
.
c
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /p w: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
trên đoạn a, b .
Giải: Diện tích S của hình phẳng H là: S
f y g y dy với , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất
của phương trình f y g y , a b .
Bài tốn 1: Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng
C :y f x
Truc Ox : y 0
H:
quanh trục Ox.
x
a
x b
b
VOx f 2 x dx
a
Bài toán 2: Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng
C1 : y f x
C2 : y g x
H: f x .g x 0, x a, b quanh trục Ox.
x a
x b
VOx
b
f 2 x g 2 x dx
a
Bài toán 3: Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng
C :y f x xg y
Truc Oy : x 0
H:
quanh trục Oy.
y f a
y f b
VOy
f b
g 2 y dx
f a
Cao Văn Tuấn – 0975306275
12 tài liệu hay và thú vị nhé ;)
Truy cập để Trang
có thêm nhiều
