Chuyên đề Hình 9-Vũ Đức Cảnh

Vũ Đức Cảnh
- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng

Năm học 2006-2007
==================================================================================
A-Đặt vấn đề:
Trong chơng trình Toán THCS, khi nói đến bài tập hình học thì học sinh thờng
nghĩ đến các bài tập chứng minh quen thuộc nh các quan hệ bằng nhau, đồng
dạng, vị trí tơng đối giữa các đối tợng hình học. Những định lý nào đợc áp dụng
thờng xuyên thì học sinh nhớ lâu. Những vấn đề khoá và có hàm lợng kiến thức
không nhiều dễ bị học sinh lãng quên dẫn đến khi vấp phải các dạng toán đó th-
ờng cảm thấy khó khăn và không vợt qua đợc.
Một thói quen của giáo vên dạy toán thờng ít khi quan tâm đến việc phát triển
các định lý trong sách giáo khoa để đợc các kết quả khác mà nhiều khi chính các
kết quả đó giúp cho học sinh giải đợc nhiều bài toán hóc búa.
Bản thân tôi là một cán bộ quản lí nhng vẫn trực tiếp đứng lớp và cũng là một
giáo viên toán. Qua kinh nghiệm giảng dạy học sinh cuối cấp cũng nh trực tiếp
bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, trong những năm qua tôi đã chứng kiến
những vớng mắc của học sinh trong việc giải toán. Đặc biệt là những bài toán sử
dụng diện tích tam giác cũng nh một số bài toán thi nếu giải bằng phơng pháp sử
dụng diện tích tam giác thì sẽ có lời giải đẹp. Nhng vì lí do các em cha đợc tiếp
cận các công thức tính diện tích do vậy bài toán tạo thành một trở ngại lớn.
Thực hiện kế hoạch của Sở giáo dục và đào tạo Hải phòng về việc tổ chức một
số hoạt động trọng tâm bộ môn Toán cấp THCS năm học 2006-2007. Tôi chọn
chuyên đề: Diện tích tam giác và ứng dụngnhằm trao đổi cùng các đồng
nghiệp về một nội dung hình học cụ thể và thông qua chuyên đề này xin đợc trao
đổi cùng các thầy cô giáo để chúng ta cùng hoàn thành tốt nhiệm vụ dạy học.
B- nội dung đề tài:
1-Xây dựng nội dung đề tài:
Đây là một nội dung không có sẵn trong sách giáo khoa cả phần lý thuyết
cũng nh bài tập do vậy việc chọn nội dung để xây dựng thành chuyên đề cần đặc

biệt quan tâm. Nội dung đề tài cần có ba phần: Các công thức tính, một số kết
quả thờng dùng và một số bài tập điển hình minh hoạ cho ý nghĩa thực tiễn của
các công thức cũng nh các kết luận đã nêu ở trên
1.1. Xây dựng công thức tính diện tích tam giác:
a.Trong chơng trình lớp 8, học sinh đã chứng minh đợc công thức tính diện
tích của một tam giác bất kì: S =
2
1
a.h (1). (trong đó a là cạnh đáy, h là độ dài đ-
ờng cao tơng ứng). Trong thực tế tính toán đòi hỏi học sinh cần nắm đợc một số
công thức khác.
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh--
13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 1 /13
Vũ Đức Cảnh
- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng

Năm học 2006-2007
==================================================================================
Trong tam giác AHC ta có: AH = AC.Sin
à
C


h =b.Sin
à
C
Thay vào (1) ta có công thức (2):
à
1
2

S abSinC
=
.
Ta vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC đờng kính AA=2R.
Trong đuờng tròn (O) ta có:
ã
ACB
=
ã
'AA B
(cùng =
2
1
Sđ
ằ
AB
).
Mà Sin
à
'A
=
'AA
AB
=
R
c
2
= Sin
à
C

. Thay vào (2) ta có công thức (3): S=
R
abc
4
.
Nh vậy, từ một công thức quen thuộc chúng ta đã xây dụng thêm đợc hai công
thức mới cho phép ta có thể tính đợc diện tích tam giác khi biết dộ dài ba cạnh
của tam giác và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.Vấn đề đặt ra là liệu ta
có thể tính đợc diện tích tam giác khi chỉ biết độ dài ba cạnh của tam giác.Ta xét
bài toán sau:
b.Bài toán: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và bán kính đờng
tròn nội tiếp tam giác là r. Gọi p là nửa chu vi tam giác,S là diện tích tam giác,
gọi r
a
,r
b
,r
c
lần lợt là bán kính các đờng tròn bàng tiếp tam giác lần lợt nội tiếp các
gócA,B,C. Hãy chứng minh:
S = pr= (p-a)r
a
=(p-b)r
b
=(p-c)r
c
=
))()(( cpbpapp

=

cba
rrrr ...
.
Chứng minh: Gọi I ,O lần lợt là tâm các đờng tròn nội tiếp , bàng tiếp tam giác
nội tiếp gócA. Gọi D,E,F là các tiếp điểm của đờng tròn(I) với các cạnh
AB,BC,CA. Nh vậy ta có:ID = IE = IF = r và S

ABC
=S

IAB
+S

IBC
+S

ICA
=
2
1
AB.ID+
2
1
BC.IE =
2
1
CA.IF =
2
1
a.r +

2
1
b.r +
2
1
c.r =
2
1
(a+b+c).r =p.r .
Tức là:
.S p r=
(4).
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh--
13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 2 /13
Vũ Đức Cảnh
- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng

Năm học 2006-2007
==================================================================================
Từ O hạ OH

AB, OK

AC, khi ấy ta có: OH = OK= r
a
và S
ABC
=(S
ABO
+S

ACO
) S
BCO
=(
2
1
b.r
a
+
2
1
c.r
a
) -
2
1
a.r
a
=
2
1
(b+c-a). r
a

=
[
2
1
(b+c+a)- a
]

. r
a
=(p-a). r
a
.
Chứng minh tơng tự ta cũng có
S=(p-b). r
b
và S=(p-c). r
c
.
Nh vậy ta có:S=(p-a).r
a
=(p-b).r
b
=(p-c) r
c
. (5)
+Từ (4)và (5) ta có: S
2
= pr(p-a)r
a
=p(p-a)rr
a

-Theo tính chất phân giác của hai góc kề bù ta có
ã
IBO
=90
0

ã
IBD
=
ã
BOH
(cùng phụ với
ã
HBO
), lại có
ã
IDB
=
ã
BHO
=90
0
.
Từ đó suy ra

BID ~

OBH(g-g)

BH
ID
=
OH
BD

ID.OH =BD.BH

rr
a
=BD.BH
-Ta dễ dàng chứng minh đợc: 2BD = AB+BC AC

BD =
2
1
(a+c-b) =
2
1
(a+b+c)-b = p-b.(*)
-Ta cũng chứng minh đợc: 2AH =AB+BC+CA

AH=
2
1
(a+b+c) =p

BH=AH-AB= p-c(**)
-Thay (*) và(**)vào ta có rr
a
=(p-b)(p-c)
-Thay vào có:S
2
= p(p-a)(p-b)(p-c)

S =
))()(( cpbpapp

(6)
(công thức Hê -rông)
+Từ (4) và (5) ta cũng có:
S
4
=pr(p-a)r
a
(p-b)r
b
(p-c)r
c
= p(p-a)(p-b)(p-c). rr
a
r
b
r
c


S
4
=S
2
. rr
a
r
b

r
c


S
2
=
rr
a
r
b
r
c

S =
cba
rrrr ...
(7).
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh--
13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 3 /13
Vũ Đức Cảnh
- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng

Năm học 2006-2007
==================================================================================
Nh vậy sau khi giải đợc bài toán này, các em đợc tiếp cận với 4 công thức nữa.
Trong suy nghĩ của học sinh đã hình thành một phơng pháp tìm tòi: công thức
tính diện tích tam giác không phải duy nhất, ta có thể tìm ra các công thức khác
bằng cách vận dụng linh hoạt các kỹ năng toán học cần thiết.Và đến đây các em
cũng đã đợc trang bị khá đầy đủ các công thức tính diện tích tam giác mà với

trình độ của học sinh bậc THCS có thể nắm đợc.
1.2.Một số kết luận quan trọng:
Trong quá trình giải các bài tập có liên quan đến diện tích tam giác ta thờng sử
dụng một số kết luận .Ngoài các kết luận đã đợc trình bày trong sách giáo khoa,
xin phép không trình bày lại, sau đây là các kết luận khác đợc rút ra từ các bài
tập sau đây:
Bài tập1: Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trên cạnh BC.
Chứng minh rằng:
ADC
ABD
S
S


=
DC
BD
Chứng minh: A
B H D C
Kẻ đờng cao AH

BC, Ta có:S
ABD
=
2
1
AH.BD, S
ACD
=
2

1
AH.DC ,
suy ra:
ADC
ABD
S
S


=
DCAH
BDAH
.
2
1
.
2
1
=
DC
BD
(đpcm).
Từ bài toán trên ta có kết luận:Đờng thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và
một điểm bất kỳ trên cạnh đối diện chia tam giác đã cho thành hai tam giác có
diện tích tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh còn lại.
Trờng hợp đặc biệt 1: Đờng trung tuyến chia một tam giác thành hai tam
giác có diện tích bằng nhau.
Trờng hợp đặc biệt 2: Phân giác của một tam giác chia tam giác đã cho
thành hai tam giác có diện tích tỷ lệ với hai cạnh của góc đó.
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh--

13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 4 /13
Vũ Đức Cảnh
- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng

Năm học 2006-2007
==================================================================================
Bài tập2:Cho tam giác ABC, O là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Đờng
thẳng AO cắt BC tại M. Chứng minh:
OBC
ABC
S
S


=
OM
AM
.
Chứng minh: A
Kẻ AH

BC,OK

BC,
khi đó:S
ABC
=
2
1
AH.BC, S

OBC
=
2
1
OK.BC O

OBC
ABC
S
S


=
BCOK
BCAH
.
2
1
.
2
1
=
OK
AH
B H K M C
Mặt khác ta lại có:AH//OK

OK
AH
=

OM
AM
.
Từ và ta suy ra:
OBC
ABC
S
S


=
OM
AM
(đpcm).
Bài tập 3:Cho tam giác ABC có BC=a,CA=b,AB=cvà c

b

a .Gọi S là diện
tích tam giác.Chứng minh:S

2
1
bc
Chứng minh:Xét các trờng hợp xảy ra của góc A.
+Nếu
à
A
=90
0

S =
2
1
AB.AC =
2
1
b.c
+Nếu
à
A
<90
0
hoặc
à
A
>90
0
Khi ấy ta hạ BH

AC thì ta luôn có BH<AB(Quan
hệ hình chiếu và đờng xiên)

S =
2
1
AC.BH<
2
1

AB.AC =
2
1
bc.
Tóm lại: S

2
1
bc,dấu = xảy ra khi và chỉ khi
à
A
=90
0
Qua bài toán này ta rút ra kết luận:Diện tích tam giác không lớn hơn nửa
tích hai cạnh bất kỳ của tam giác.
1.3.Một số bài tập ứng dụng các công thức tính diện tích tam giác:
Ví dụ1: Một cách chứng minh khác về định lí Ta lét.
Xét tam giác có DE//BC,(D

AB,E

AC) ta có:
DB
AD
=
BDE
ADE
S
S

;
EC
AE
=
CDE
ADE
S
S


Mà DE//BC nên S

BDE
=S

DCE
, từ đó suy ra:
DB
AD
=
EC
AE
.
/var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh--
13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 5 /13