giải câu 5 thi lớp 10 Hải Phòng 2009-2010

Giải câu 5: Đề thi vào lớp 10 Năm học 2009 2010 Thành phố Hải Phòng .
Cho 361 số tự nhiên a
1
, a
2
.....a
361
. Chứng minh rằng nếu
A =
1 2 3 361
1 1 1 1
..... 37
a a a a
+ + + + =
thì luôn tồn tại hai số bằng nhau.
Lời giải:
Ta thấy với 361 số tự nhiên a
1
, a
2
.....a
361
khác nhau ta luôn có: A

B
Với B =
1 1 1 1
.......
1 2 3 361
+ + + +

Mà B =
2 2 2 2
.......
1 1 2 2 3 3 361 361
+ + + +
+ + + +
< 1 +
2 2 2 2
.......
1 2 2 3 3 4 360 361
+ + + +
+ + + +
còn
2 2 2 2
.......
1 2 2 3 3 4 360 361
+ + + +
+ + + +
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 2 3 2 2 4 3 2 362 361
.....
2 1 3 2 4 3 361 360

+ + + +

= 1 + 2(
2 1 3 2 4 3 ....... 361 360 + + + +
)
= 1 + 2(

361
- 1) = 37 . Vậy B < 37
Nên A < 37 do a
1
, a
2
.....a
361
là 361 số tự nhiên khác nhau
Theo đề bài A = 37
Do vậy trong 361 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau.
Phạm văn Cơng
GV thcs Đồng Gia Kim Thành Hải D ơng.