Tổng hợp Đề và đáp án Giải Tích Kinh tế quốc dân Ôn đâu trúng đó

Đề 57-1
Câu 1. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị của hàm số y  x 7  2 x 2
2y 1

2
,  x; y   , x  0
 x y  2.arctan
x
Câu 2. Tìm đạo hàm riêng tại điểm (0;3) của hàm số w  

0
,  x; y   ; x  0


Câu 3. Cho hàm ẩn y  y   x  xác định từ phương trình y 2  2 ln y  x 4 . Chứng tỏ rằng hàm số
y  y  x  này là nghiệm của phương trình vi phân:  y 2  1 y  2 x 3  y 2  1 y  6 x 2 y  y 2  1
2

Câu 4. Tính các tích phân:

a)

x



dx
x 8
2

b)


1

ln  5x  2 
x2

dx

Câu 5. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên 2 thị trường khác
nhau (được phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên: MC  3,5  0,05Q ;  Q  Q1  Q2 
Với cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty là: TH1: P1  24  0,15Q1 ; TH 2 : P2  18  0,075Q2
. Xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa
Câu 6. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số: w  x 0,5 y0,3 với 5x  2 y  656
Câu 7. Giải phương trình vi phân: xy  2 y 

8x 2
y

Đề số 57-2
Câu 1. Cho hàm số y  f  x   4 xe x  x 6  3 . Khai triển Taylor hàm số y  f  x  tại x  0 đến lũy thừa
bậc 3 của x, với phần dư dạng Peano





 2 xy 3x 2  5y 2

; x 2  y2  0

Câu 2. Cho hàm số f  x; y   
. Tính fyx  0;0 
x 2  y2

0
; x  y0


Câu 3. Tìm cực trị hàm số: U  24  2 x  2 y  18z  2 xy  x 2  2 y 2  3z 2
Câu 4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q  f  K ; L   K 0,3 L0,5 . Tìm mức sử dụng K và L thích
hợp để doanh nghiệp đạt sản lượng tối đa. Biết rằng giá thuê 1 đơn vị K và L lần lượt là $3 và $5 và
chi phí sản xuất là $800.


Câu 5. Tính tích phân sau: I 

57

  x  4  ln  x  4  dx
2

6

Câu 6. Giải phương trình vi phân: 

3x
4 y 2  3x 2
dx

dy  0

y2
y3

Câu 7. Cho hàm số w  F  x; y   4  3y  8 x  4 x 2  y3 .

1


a) Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của w
  y  x   57 
 
b) Gọi y  y  x  là hàm số xác định bởi phương trình F  x; y   0 . Tính giới hạn L  lim  
114
x 1 
x  1 




Đề 57-3
4

Câu 1. Tính giới hạn lim  x  3x  x
x 

8

 x 2 t 3 2

Câu 2. Xác định khoảng tăng giảm và cực trị hàm số y    e 2t  5dt 

 0

 2 y3  5z 2 
Câu 3. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số u  

4
 3x


Câu 4. Tính tích phân



cos y

2 xdx
x2  2x  5

Câu 5. Tìm cực trị hàm số u  4 x 2  3y 2  2 z 2  6 xy  6 y  12 z  5
Câu 6. Cho hàm lợi ích của người tiêu dùng khi mua 2 loại hàng hóa u  x  y  4  , trong đó x, y lần
lượt là số lượng hàng hóa thứ 1 và hàng hóa thứ 2. Hãy xác định túi hàng cho chi phí tối thiểu đảm
bảo mức lợi ích u0  288 trong điều kiện giá 1 đơn vị hàng hóa thứ 1, thứ 2 lần lượt là $8, $9.
Câu 7. Giải phương trình vi phân: y 

2x  6
y  2x  7
x  6 x  13
2

Câu 8. Cho hàm số f  x; y  xác định và có các đạo hàm riêng theo các biến trên

2

và

fx  x; y   0; 0  f y  x; y   1 x, y . Đặt g  x   x  f  x 7 ;cos x  . Chứng minh rằng g  2016   g  2015 .

Đề 57-4
4

Câu 1. Tính giới hạn lim  x  cos 2 x 
x  

4

tan 2 x

Câu 2. Khai triển Maclaurin đến x 3 với phần dư Peano của hàm số: y  e3 x 2 x  3
x 1

Câu 3. Xác định khoảng tăng giảm và cực trị hàm số y 



3

1  9t 2 dt  x 3 3

0



Câu 4. Xét tính hội tụ, phân kì của tích phân

x
0

2

dx
 4x  6

Câu 5. Cho f  u; v  là hàm xác định, có các đạo hàm riêng theo các biến, f 1;0   fu 1;0   2 ,
x
yx 
fv 1;0   1 và hàm số w  x y f  ;sin
 . Tính wx  2;2 
2x  y 
y

2


Câu 6. Tìm cực trị hàm số w  3x 2  2 y 2  4 z 2  xy  yz  4 x  y  3z  2
Câu 7. Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q  50 K 0,7 L0,8 . Biết giá thuê 1 đơn vị vốn và giá thuê
1 đơn vị lao động lần lượt là $10 và $20. Tìm số lượng vốn và lao động doanh nghiệp cần sử dụng để
đạt lợi nhuận tối đa khi sản lượng không đổi và bằng 4000 đơn vị sản phẩm.
Câu 8. Giải phương trình  3y 2  x 2  dx   y  6 xy  dy  0
Đề 57-5
1

Câu 1. Tính giới hạn: lim  x 2  cos3x  sin2 x
x 0

1

Câu 2. Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc 4 của x, với phần dư dạng Peano: f  x   ln  x  
3


x

1
3

Câu 3. Một nhà độc quyền bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược p  3020  21,5Q .
a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p  215 và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận
được.
b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên MC  5Q2  2Q  120 và
chi phí cố định là 60
9
Câu 4. Cho hàm ẩn z  x; y  xác định bởi phương trình: x 2  y2  z 2  x  y  4z   0 . Tính các đạo
2
hàm riêng cấp 1, cấp 2 và viết biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z  x; y 

Câu 5. Giả sử hàm lợi ích khi mua sắm hàng hóa của người tiêu dùng là U  5x 0,3 y0,8 . Trong đó x1 , x2
lần lượt là lượng hàng hóa thứ 1 và thứ 2. Xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích, biết rằng giá
mỗi đơn vị hàng hóa thứ 1 và 2 tương ứng là p1  9; p2  24 và ngân sách dành cho mua sắm cố định
là m = 330
Câu 6. Tính tích phân I 

x
3 dx
3



arctan

0

9  x 



2

2

 2x
 
x 
Câu 7. Giải phương trình vi phân:   e xy    2  e xy  y  0
y 
 y
 

Đề k57-6
5

Câu 1. Tính giới hạn lim  x cot x  x
x 0

Câu 2. Biết hàm cầu đối với sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền là p  650  5Q và hàm chi
1
phí tại mỗi mức sản lượng Q là: TC  Q3  10Q2  50Q  170 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại
3
điểm doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận và nếu ý nghĩa của hệ số đó

3


Câu 3. Chứng minh hàm số sau có hàm ngược: y  f  x   2 x 3  4 x 2  9 x  1 . Tính  f 1   6 


Câu 4. Tính tích phân suy rộng I 

 x

2



5 e



x2
10

dx

0

Câu 5. Cho hàm số y  y  x  dưới dạng hàm ẩn:

x 2  y2  e

5arctan

y
x

. Tính y  x 

Câu 6. Tìm cực trị của hàm số w  3x 2  y2  14 z 2  12 xz  18z  2 y  1
7

9

Câu 7. Cho hàm lợi ích tiêu dùng có dạng U  4 x 10 y10 . Giá một đơn vị hàng hóa x là 2usd, giá một
đơn vị hàng hóa y là 3usd, ngân sách dành cho tiêu dùng là 960usd. Xác định cơ cấu mua sắm để người
tiêu dùng tối đa hóa lợi ích.


2x 
x2 
Câu 8. Giải phương trình vi phân:  arccos x   dx   3y 2  2  dy  0
y 
y 




Đề k57-7
Câu 1. Tính đạo hàm y  f  x   x  1  2 x  2
14

 3 x 7

Câu 2. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị hàm số: F  x     8 3t 2  4t  7dt 
 1



Câu 3. Tính tích phân I 

  4 x  6  e

2 x

dx

0

Câu 4. Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc 4 với phần dư peano: f  x   ln  x 2  7 x  10 
 x2
y
u
u
u


f
Câu 5. Cho hàm w  f  x; y  khả vi, cmr hàm số
 5 2 ;cos  thỏa mãn x  y  0
x
x
y
 y

Câu 6. Tìm cực trị hàm số w   x 2  2 y2  z 2  2 xy  4 x  2z  5
2

1

Câu 7. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  90 K 3 L2 . Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là $12, 1
đơn vị lao động là $10, ngân sách sản xuất cố định 1680$. Xác định K, L để doanh nghiệp thu được
sản lượng tối đa. Nếu ngân sách sản suất tăng thêm 1% thì sản lượng tối đa thay đổi như thế nào? Tại
sao?
Câu 8. Giải phương trình vi phân:  3x 2 y  3x 3  2 y 2  1 dx   x 3  4 xy  3y  dy  0

4


ĐỀ 1
Hướng dẫn giải _ Đáp số

Câu

1

 7 7
MXĐ: D    ;  ;
 2 2

Cực đại xC§ 
fy  0;3  lim
y 3

2

y 

f  0; y   f  0;3
y 3




 7 7
 7
7 7
7
;
;
 
 , giảm   ; 
 và 

2 
2 

 2 2 
 2
 2
f  x;3  f  0;3
5
fx  0;3  lim
 lim arctan
x 0
x

0
x 0
x







6 x 2 y  2 x 3 y 1  y 2  2 x 3 y 2 y 
 2 x 3 y 
y  

2
2 
 1 y 
1  y2

F  x; y   y 2  2 ln y  x 4

Fx
4 x 3
2x3y


2 1  y2
Fy
2y 
y





Chỉ cần thay trực tiếp y vào vế trái là được, y trong đó sẽ
tự triệt tiêu hết và còn lại vế phải.


a) Đặt t  x 2  8 ,
2

4

7
7 7 7
;
;
;
2

2 2
2

Xét giới hạn 2 phía để chỉ ra giới hạn này không tồn tại!
 không tồn tại fx  0;3

00
 lim 0  0
y 3 y  3
y 3

y  

7  2x

 Các điểm tới hạn: 

2

7
7
; cực tiểu xCT  
; khoảng tăng
2
2

 lim

3

7  4x2

dt
1
x
I

arctan
1  C
2
8t
8
8

b)



ln  5x  2  dx
x

1

2

t

 lim 
t 

1

ln  5x  2  dx
x2

 lim I  t 
t 

5 3 ln  5t  2  5
2
I  t   ln 3  ln 
 ln 1 
2 5
t
2
5t
5 3
lim I  t   ln 3  ln (Tách thành 2 giới hạn + Lopitan)
t 
2 5

Q

TC   MCdQ  FC  FC  3,5Q  0,025Q2  FC  3,5  Q1  Q2   0,025  Q1  Q2 

5

2

0

2
2
TR  PQ
1 1  P2 Q2   24  0,15Q1  Q1  18  0,075Q2  Q2  24Q1  18Q2  0,15Q1  0,075Q2

  Q1 ; Q2   TR  TC =>giải theo cực trị tự do:  Q1 ; Q2    50;60 

6

Cực đại: M  82;123
2
x

Hướng 1: ptdc  y  y  8x. y 1 , giải theo phương trình Bernoulli. TPTQ:
7

Hướng 2: ptdc  x

y2  8x 2  Cx 4

dy
8x 2
dy 2 y 2  8x 2
y2
, đưa về phân ly biến. TPTQ: 2  8  Cx 2
 2y 


dx

y
dx
xy
x

1


Đề 2
Câu
1

Hướng dẫn giải
f  x   3  4 x  4 x  2 x  o  x  : Biểu thức đơn giản => đạo hàm từng bước rồi thay vào!
2

 fy  0;0   lim

3

f  0; y   f  0;0 
y 0

y 0

2

3

 x  0 : fy  x;0   lim

00
 lim 0  0
y 0
y 0
y

 lim

f  x; y   f  x;0 

 lim



2 x 3x 2  5y 2

  6x

3

 6x

3

y 0
y 0
x 2  y2
f   x;0   fy  0;0 
6x  0

  fyx  0;0   lim y
 lim
 lim 6  6
x 0
x 0
x 0
x 0
x
Cực tiểu: M  3;2; 3 , giá trị cực tiểu UCT  U  3;2  3  8

4

Sửa đề: hàm sản xuất Q  K 0,3 L0,5
Cần tìm  K ; L  để doanh nghiệp tối đa Q trong điều kiện 3K  5L  800

y 0

PP nhân tử Lagrange:  K ; L   100;100  ;   0,3.1000,2
t

5

t

57dx
I  lim 
 lim I  t  ;
t   x  4  ln 2  x  4 
t 
0

I t   

57d  ln  x  4  

6

ln  x  4 
2



t 57
57
57


ln  x  4  6 ln 2 ln  t  4 

 57
57  57
57
I  lim I  t   lim 

0 

t 
t  ln 2
ln  t  4   ln 2
ln 2



Sửa đề bài (theo đúng đề gốc): 
6

x2

3x
4 y 2  3x 2
dx

dy  0
y2
y3

Hướng 1: PTVP toàn phần. Tích phân tổng quát (TPTQ): 
dy
3xy
Hướng 2: Đưa về phân ly biến:   2
.
dx 4 y  3x 2
a. d 2 w  wx 2 dx 2  2wxy dxdy  wy2 dy 2  8dx 2  6 ydy 2

3x 2
 4 ln y  C
2 y2

TPTQ:

3x 2

ln y  2  C
8y

b. x  1  4  3y  8  4  y3  0  y3  3 y  0  y  y 2  3  0  y  0  Do y 2  3  0   y 1  0
7

L1  lim
x 1

yx

 x  1

2

Fx
Fy

8  8 x
4
4
4
3  3y 2
 lim
 lim
 lim
 lim


x 1 2  x  1

x 1 2  x  1
x 1 2  x  1
x 1 3  3 y 2
30
3

 L



y  x 



57

57
 y x 
57
4
L  lim 
   L1     
2
x 1
3
  x  1 

Đề 3
Câu



() y  x  3

1



x



() lim x  3x
x 

4
x



4
x

 ln y 



4 ln x  3
x

x

;

Hướng dẫn giải
() lim ln y  lim
x 

 e4ln3  81

2

x 



4 ln x  3x
x

  ...  4 ln 3 (Lopitan 3 lần)
L


() D 

2

() y  8e

;

() y  0 

x 3



 x 3

2  x  2   5   et 3 2t 2  5dt 
 o


x 2 3

7

2

* 

et 3 2t 2  5dt  0   x  3  0  e 3 2 2  5  0  x  3  0  x  3

0

(*) Sử dụng định lý giá trị trung bình với  là giá trị nào đó nằm giữa  x  3 và 0
(+) Cực tiểu duy nhất xCT  3 , khoảng tăng  3;   , khoảng giảm  ; 3
2 y3  5z 2
; w  w  x; y; z   cos y  u  f  v; w   v w
4

3x
3
2
4  2 y  5z 
4  2 y3  5z 2 
w 1

 ux   f  v; w  x  vx fv  wx fw  
.w.v  0  
.w.v w 1
3x 5
3x 5
2 y2
 uy  vy fv  wv fw  4 .w.v w 1  sin y.v w ln v
x
10z
10z
 uz   f  v; w z  vz fv  wz fw  4 .w.v w1  0  4 .w.v w1
3x
3x

du  ux dx  uy dy  uzdz

3

Đặt v  v  x; y; z  

4 cos y  2 y3  5z 2 
du  



x  3x 4 

cos y

10z cos y  2 y3  5z 2 
dx 


3x 4  3x 4 

cos y 1

.dz 

cos y
 2 y 2 cos y  2 y3  5z 2 cos y 1
 2 y3  5z 2 
 2 y3  5z 2  


sin
y
ln





  dy

4
4
4
4
 x
 3x

 3x

 3x
 


4

2 xdx
x2  2x  5



2x  2  2
x2  2x  5

2x  2

dx  

x2  2x  5

 2 x 2  2 x  5  2 ln x  1 

5
6

dx  

 x  1

2

x2  2x  5





d x2  2x  5
x2  2x  5

 2



d  x  1

 x  1

2

5 C

Cực đại  x; y; z    3;4;3 , giá trị cực đại uC§  u  3;4;3  13
Cần tìm  x ; y  để người tiêu dùng tối thiểu chi phí C  8x  9 y trong điều kiện x  y  4   288
Cực tiểu  x; y   18;12  ;   0,5
2 x 6

Nghiệm tổng quát của PTTNLK: y  Ce
7

2dx

 x2 6 x 13 dx

 Ce





d x 2 6 x 13
x 2 6 x 13


 Ce



ln x 2 6 x 13

  C x 2  6 x  13




Nghiệm tổng quát của PTPV đã cho:

1 2
x 3
x  6 x  13 arctan
 C x 2  6 x  13
2
2
 Đặt u  x 7 ; v  cos x  g  x   x  f  u; v 



 



y  x 2  6 x  13 ln x 2  6 x  13 









 g  x   1   f  u; v    1  u. fu  u; v   v. fv  u; v   1  7 x 6 . fu  u; v   sin x. fv  u; v 

8

7 x 6 . fu  u; v   0

 fx  x; y   0

 g  x   0  x 
Theo bài: 


1


sin
x
.
f
u
;
v

1


0  fy  x; y   1 
v


g
2016


g
2015
 Vậy, 
 


ĐỀ 4
Câu

Hướng dẫn giải _ Đáp số
3

 g  x  đồng biến trên

4




 y   x  cos 2 x 



tan 2 x

4

 ln y  tan 2 x. ln  x  cos 2 x 



 4

4
ln 1   x  cos2 x  1  *
x  cos2 x  1  L

4


 lim ln y  lim tan 2 x. ln  x  cos2 x   lim  
 lim 


cot 2 x
cot 2 x
x
x
x

 x

1

4

4

4

4



2
2

 lim 

 1 ;
2

2 1  0 

x  2 1  cot 2 x
4

 L

 2 sin 2 x



4

 lim  x  cos 2 x 
x  

4

f   x   3 f   x  

tan 2 x

MXĐ: D 
3

1

e

f   x 
2x  3

Đáp số: f  x   3 

2



f x
e3 x
 3 f  x  
;
2x  3
2x  3


2 f  x 

 2 x  3

2



2 f  x 

 2 x  3

2



f   x   3 f   x  

f  x 
2x  3



2 f x

 2 x  3

2

23 f  x 

 2 x  3

3

 

8 3
31 3 2 76 3 3
x
x 
x  o x3
3
9
27

y  3 1  9  x  1  3 3 ,

y  0  3 1  9  x  1  3 3  x 

2

,

* : ln 1  u  ~ u; u  0



f   x   3e 3 x 2 x  3 

2

4

2

3 2
3

3 2
3 2
, cực tiểu duy nhất xCT 
3
3

t
dx
dx
  2
 lim  2
 lim I  t 
t

x  4x  6
x  4 x  6 t 
0
0

Cực đại duy nhất xC§ 

t

 I t   
0

4

t

dx

 x  2

2

2


0

d  x  2

 x  2 
2

 

2

1



2

2

arctan



x 2 t
1
t 2 1

arctan

arctan  2
2 0
2
2
2



t 2 1

1
 1
 1  1
arctan


arctan  2  
. 
arctan  2 

arctan  2
t 
t 
2
2
2 2
2
2 2
2
 2


dx

1
  2


arctan  2 nên tích phân đã cho hội tụ.
x  4x  6 2 2
2
0



 lim I  t   lim 













5

Đây là bài (6)_Dạng 1_ 2.1. Đạo hàm riêng _ Chương III: Hàm nhiều biến _ Tờ bài tập tổng hợp

6

Cực đại  x; y; z   

7

119 1
67 
119 1
67 
, giá trị cực đại wct  w 
; ;
; ;



 178 89 178 
 178 89 178 

Vì doanh nghiệp cạnh tranh nên sẽ chấp nhận giá, sản lượng không đổi 4000 đơn vị nên doanh thu là
cố định. =>Lợi nhuận tối đa  chi phí cực tiểu.
Cần tìm  K ; L  để tối thiểu chi phí sản xuất C  10K  20 L trong điều kiện 50 K 0,7 L0,8  4000
2

  7 0,8  3
4
0,7 0,2
 K ; L    K0 ; L0  ;   0,5K0 L0 : với K0  80    ; L0  K0
7
  4  

8



PTVP toàn phần. Tích phân tổng quát của phương trình là: 3xy2 
ĐỀ 5
4

x 3 y2
 C
3 2

Câu
1

 y   x 2  cos3x  sin x  ln y 
2

1



 lim  x  cos3x 

1
sin2 x

x 0

3

4




1






2

e

lim ln y

x0

e



7
2

1








1

3



1
3

2  2 z  4   2  2 x  1

 2z  4 

3

;f

4

x  

54

1  3x 

2

dx 
2

3
2

4  2 x  1 2 y  1

 2z  4 

Cần tìm  x ; y  để tối đa U trong điều kiện
 I  lim 
t 

0



arctan

 I t  


0

2  2 z  4   2  2 y  1
2

dxdy 

 2z  4 
9 x  24 y  330 .  x; y   10;10  ;
2

2

3

dy 2

  1,5.100,1

3

 x  3tan u
dx 
du
t
2

t
arctan


cos
u
; x u
3
    
u  ;  
3
0
2

0




  2 2   9  x  cos u
t
t
arctan
t
t
arctan
1
3


u
3du
1
1 u tan u  1 arctan
1
1
3

u cos udu  ...  

3

2

2
2
27 cos u 9 0
9  1  tan u 
9

9
9t
0
3
cos u

x
x
t arctan
3 dx , đặt
3 dx : I  t  
3
3
0
2
2
2
9 x 2
9 x

arctan

t

t
3

Chú ý biến đổi sau: cos u 

1

1  tan 2 u

; sin u  tan u.cos u 


 1
1 1
t
1
I  t   ...    lim 
arctan 
 tlim

9 9 t  
3
9
9  t2
 1 2
t

Sửa đề bài (lỗi đánh máy): ehxy  e xy

PTVP toàn phần với thừa số tích phân: p  y   e

1  tan 2 u

dy

y

e

ln y

2
2
xy
 y   y . TPTQ: x  y  e  2  C

Hướng dẫn giải _ đáp án
5

tan u



1 1 
 2
      0  
9 9 2
18





ĐỀ 6
Câu

1  3x 

2

3
9
2
4
6040 2
43
dQ P
p
 p  3020  21,5Q  Q 
; p  215    
 p ; 
 0,0766

dP Q 3020  p
43 43
561
 TR   3020  21,5Q  Q  3020Q  21,5Q2  MR  3020  43Q
Q  20
9
2x 1
2y 1
Đặt F  x; y; z   x 2  y2  z 2  x  y  4z  ; zx  
; zy  
;
2
2z  4
2z  4

2
2
2
2
2  2 x  1 zy
2  2 z  4   2  2 x  1
2  2 z  4   2  2 y  1
2  2 x  1 2 y  1
; zx2  
zy2  
zxy  zyz 

3
3
2
2
 2z  4 
 2z  4 
 2z  4 
 2z  4 
d z

7

9

 Khai triển cần viết: f  x    ln3  1  ln3 x  x 2  x 3  x 4  o  x 4 

2

6



2

; f   x   
 f  x    x   ln  x   ; f   x   ln  x    1; f   x  
3
3
3
1  3x

2

5

ln x  cos3x

sin x
ln 1  x  cos3x  1  *
x 2  cos3x  1  L 
2 x  3sin 3x  L
2  9cos3x
7
 lim
 lim
 lim

 lim ln y  lim

2
2
x 0
x 0
x

0
x

0
x

0
sin x
x
2x
2
2
2

2



Hướng dẫn giải _ đáp số
2

3

5

 y   x cot x  x  ln y 

1

5ln  x cot x 

;

x

  x

 x 
 x

5ln 1  
 1   *1
5ln 
5
 1

5ln  x cot x 
 tan x   lim
  tan x    lim  tan x  
 lim
 lim ln y  lim
x 0
x 0

x

0
x

0
x 0
x
x
x
x
2
5 1  1  tan x 
5  x  tan x  *2
5  x  tan x   L 
5tan x tan x
 lim
 lim

lim
 lim
.
 0.1  0
2
x 0
x 0
x 0
x 0
x tan x
x

2x
2
x
*1 :ln 1  u  ~ u; u  0
*2  : tan x ~ x; x  0





5

 lim  x cot x  x  e0  1
x 0

1
3

TR   650  5Q  Q  650Q  5Q2 ;

2

p  650  5Q  Q  130  0,2 p   

Q  30  p  500 ;



  TR  TC   Q3  5Q2  600Q  170

1
1
 6  lim f  x   f  6  : Đặt f 1 6  a  6  f a  2a3  4a2  9a  1  6  a  1
 
 
  x 6
x 6
f 1  x   t  x  f  t   2t 3  4t 2  9t  1;
x  6  t 1

f 
1

3

   f 1   6   lim
t 1

t





I  lim  x  5 e
t 

0

2



x2
10

 L
t 1
1
1
  lim 2

3
2
t

1
2t  4t  9t  1  6
6t  8t  9 7
t

dx :





I t    x  5 e
2



x2
10

0

t

4

10
dQ p
0,2 p
; p  500    

3
dp Q 130  0,2 p

I2  t    e

x2

10

* 

dx  xe

t

dx   x e
2



x2
10

0

x2

10

0

t

dx  5 e

x2

2
10

t 1

xe
0 5 0

t



x2
10

0

dx  te



t2
10

6
7
8

2

t

1
5t
 I1  t   I  t   5te 10  t2
5
e10

5t  L 
5
I  lim I  t   lim t 2  lim
0 ;
(*) Dùng tích phân từng phần
t2
t 
t 
t 
t 10
10
e
e
5
y
5arctan
1
y
1
y
2
2
x
Đặt F  x; y   ln x 2  y2  5arctan
x y e
 ln  x 2  y2   5arctan ;
2
x
2

x
x
y
5 2
 x  5y  26 xy  26 y 26 x 2  26 y 2
Fx
x 2  y2
x  y 2 x  5y
y  x   

;
y  x     

 
2
3
y
x
5
x

y
Fy
5
x

y
5
x


y
5x  y 






5
x 2  y2
x 2  y2
9
9
87
Cực đại  x; y; z    9;1;   , giá trị cực đại wC§  w  9;1;   
2
2 2


7
Cần tìm  x ; y  để tối đa U trong điều kiện 2 x  3y  960 .  x; y    210;180  ;   .2100,3.1800,9
5



5

dx  I1  t   5I2  t 

PTVP toàn phần với vế trái là vi phân toàn phần của hàm số:

6




y
x
x
x x xdx  x 2

2x 
x 2 x 3 y *  
3
  x; y     arccos x   dx   3y 2 dx   arccos xdx 
y
  x arccos x  
   y 1
2
y 
y 0
1 
0 0 1 x  y
0
1
0
x x2
x2
 x arccos x  1  x 2   y3  1  x arccos x  1  x 2   y3 ;
* Dïng TP tõng phÇn

0 y
y

Tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: x arccos x  1  x 2 

x2
 y3  C
y

ĐỀ 7
Câu

1

Hướng dẫn giải _ Đáp án

  x  1  2  2  x   x  5 ; x  1
1 ; x  1


f  x    x  1  2  2  x   3x  3;  1  x  2 ; f   x   3 ;  1  x  2
1 ; x  2


 x  1  2  x  2   5  x ; x  2
f  x   f  1
f  x   f  1
x 56
3x  3  6
lim

 lim
 lim 1  1  lim
 lim
 lim 3  3   f  1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x   1
x 1
x 1
x 1
lim

f  x   f 2
x 2

x 2

 lim
x 2

f  x   f 2
3x  3  3
5 x 3
 lim 3  3  lim
 lim
 lim  1  1   f  2 

x

2
x

2
x

2
x 2
x 2
x 2
x 2
13

MXĐ: D 
2

y  0 

 3 x 7 8 2

8

Đạo hàm: y  14.3. 3  3x  8  4  3x  7   7.   3t  4t  7dt 
 1

2

,

3 x 7



3

* 

3t 2  4t  7dt  0   3x  7   1 3 3 2  4  7  0  3x  8  0  x  8

1

3

(*) Sử dụng định lý giá trị trung bình với  là giá trị nào đó nằm giữa  3x  7  và 1







Cực tiểu duy nhất xCT  8 , khoảng tăng 8 3 ;  , khoảng giảm ; 8 3
3
t

t

0

0

 I  lim   4 x  6  e2 x dx; I  t     4 x  6  e2 x dx   2 x  2  e2 x
t 

3

2t  2  L
2
 2  lim 2 t  2  0  2
t 
t 
t  e2 t
t  2e
2x  7
2x  7
1
1
 f  x  2



x  7 x  10  x  2  x  5 x  2 x  5
f   x   

1

 x  2

 f  x   ln10 

2





1

 x  5

2

;

f   x  

2

 x  2

3



2

 x  5

3

;

f

4

x 

6

 x  2

4



6

 x  5

 

7
29 2 3133 3
641 4
x
x 
x 

x  o x4
10
200
75000
40000

 Đặt v  v  x; y   5

x2
y
; w  w  x; y   cos  u  f  v; w 
2
y
x

u
x
y
y
  f  v; w x  vx . fv  wx . fw  10 2 fv  2 sin . fw ;
x
y
x
x

u
10 x 2
1
y
 vy fv  wy fw   3 fv  sin fw

y
y
x
x

u
u  x 2
y
y  
x2
y
y 
 y   10 2 fv  sin . fw    10 2 fv  .sin . fw   0  ®pcm 
x
y  y
x
x  
y
x
x 
Cực đại  x; y; z    4; 2;1 , giá trị cực đại wC§  w  4; 2;1  4

 x
6

t
  2t  2  e 2 t  2 (Từng phần)
0

 I  lim I  t   lim  2t  2  e2 t  2   2  lim

4

5



7

4


 Cần tìm  K ; L  để doanh nghiệp tối đa Q trong điều kiện 12 K  10 L  1680 .

 K ; L   80;72  ;   5. 3

72
80

 Hệ số co dãn của sản lượng cực đại  Qmax  theo ngân sách sản xuất  m  là:  
7

Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange ta có:

Qmax
m
  nên:   
m
Qmax

72
72
1680
1680 7
; Qmax  90. 3 802 . 72    5 3
.
5

3
2
90.80 6
80
80 90. 80 . 72
7
 Vậy, tại m  1680 , nếu ngân sách sản xuất tăng 1% thì sản lượng cực đại tăng xấp xỉ %
6
3 4
3
PTVP toàn phần. Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: x  x  x 3 y  2 xy2  y2  C
4
2

Tại m  1680 , ta tìm được   5 3

8

Qmax m
m Qmax

8