Chuyen de cuc tri

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005
Bài giải:
Ta có f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005
= (x
2
+ 3x + 1)
2
+ 2004
≥
2005
Dấu “ =” xảy ra
⇔
x
2
+ 3x + 1 = 0

⇔

3 5 3 5
2 2
x
− + − −
= ∨
Vậy minf = 2004.
Câu 2: Cho biểu thức: A = -a
2
– b
2
+ ab + 2a + 2b

A đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu và khi nào?
Bài giải:
Ta có: A = -a
2
– b
2
+ ab + 2a + 2b
⇔
2A = -2a
2
– 2b
2
+ 2ab + 4a + 4b
= 8 – (a – b)
2
– (a – b)
2
– (b – 2)
2

≥
8
⇔
A
≤
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
0
2 0 2 2.
2 0 2

a b a b
a a a b
b b
− = =
 
 
− = ⇔ = ⇔ = =
 
 
− = =
 
Vậy: A đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b = 2.
MaxA = 4 khi a = b = 2
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F = 3(x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10
Bài giải:
Ta có:
F = 3(x
2
+ y
2
+ z

2
+ t
2
) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10
= (x – y)
2
+ (y – x)
2
+ (z – t)
2
+ (t – z)
2
+(x
2
+ x) + (y
2
– y) + (z
2
– z) + (t
2

– t) + 10
= (x – y)
2
+ (y – x)
2
+ (z – t)
2
+ (t – z)
2

+ (x -
1
2
)
2
+ (y -
1
2
)
2
+ (z -
1
2
)
2
+
(t -
1
2
)
2
+ 9
Do đó ta có: f
≥
9
Dấu “=” xảy ra x = y = z = t =
1
2
Vậy minf = 9.
Câu 4: Cho x và y là hau biến số thực, a là hằng số.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
f = (x – 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
Bài giải:
Ta có: f = (x – 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2

0.f
⇒ ≥
Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm.
2 1 0
4
2 5 0
x y
a
x ay
− + =

⇔ ≠ −

+ + =

Do đó ta có: minf = 0 khi
4a ≠ −
và
10 3

;
4 4
a
x y
a a
+
= − = −
+ +
* Nếu a = -4, ta có: f = (x – 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
Đặt t – x – 2y +1, ta có: f = t
2
+ (2t + 3)
2
= 5t
2
+ 12t + 9 =
2
6 9 9
5
5 5 5
t f
 
+ + ⇒ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra
6

5 10 11 0
5
t x y
⇔ = − ⇔ − + =
Do đó: minf =
9
5
nếu a = -4 và (x, y) thỏa 5x – 10y + 11 = 0
Vậy * minf = 0 nếu a
≠
-4.
• minf =
9
5
nếu a
Câu 5: Cho ba số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 4
( )
a b c
T
a b c abc
+ +
=
+ +
Bài giải:
Ta có (a
2
– bc)
2
+ (b

2
+ ca)
2
+ (c
2
– ab)
2

≥
0
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2( )a b c a b b c c a a b c abc
⇒ + + + + + ≥ + +
(1)
Ta lại có : (a
2
– bc)
2
+ (b
2
+ ca)
2
+ (c
2
– ab)
2

≥
0
4 4 4 2 2 2 2 2 2

0a b c a b b c c a
⇔ + + − − − ≥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
4 4 4
( )a b c a b c abc
+ + ≥ + +
Với a, b, c > 0 nên ta có:
4 4 4
1
( )
a b c
T
a b c abc
+ +
= ≥
+ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
0; 0; 0
0; 0; 0
a bc b ca c ab
a b c
a b b c c a

− = − = − =
⇔ = =

− = − = − =


Vậy minT = 1 khi a = b = c.
Câu 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị
lớn nhất của các biểu thức:
3 3 3
T a b c= + +
Bài giải:
Đặt
6 6 6
, ,x a y b z c
= = =
Ta có:
3 3 3
, ,x a y b z c= = =

3 3 3
; ;x a y b z c
= = =
6 6 6
1x y z
⇒ + + =
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
3 3 3
2 2 2 2 4 4 4
4 4 4 2 2 2 6 6 6

2 2 2
4 4 4 2 2 2
( ) 3
* ( )( )
T a b c
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z
x y z x y z
= + +
= + + ≤ + +
+ + ≤ + + + +
= + +
⇒ + + ≤ + +
Do đó ta có:

2 2 2 2
4 3
3
3 3
9 9 9
T x y z T
T T T T
≤ + + =
⇒ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Dấu “=” xảy ra
1
3
a b c
⇔ = = =

Vậy: max T =
3
9
.
Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
F = x
2
+ y
2

Biết x và y là nghiệm của phương trình: 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36.
Bài giải:
Ta có: 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36

2
4 ( ) 36 36f f x y f⇔ + + = ⇒ ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
3 2
5 8 5 36
0
3 2

x
x xy y
x y
y

= ±

+ + =

⇔
 
+ =
=



m
Do đó: maxf = 36
* 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36

( )
2
9 4 36 4f x y f
⇔ − − = ⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2

5 8 5 36
2
0
x xy y
x y
x y

+ + =
⇔ = = ±

− =

Do đó: minf = 4.
Vậy * maxf = 36
minf = 4.
Câu 8: Cho biểu thức: M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2

Với x, y, t, z là các số nguyên không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị
tương ứng của x, y, z, t biết rằng:

2 2 2
2 2 2
21

3 4 101
x y z
x y z

− + =

+ + =

Bài giải:
Ta có:
2 2 2
2 2 2
21
3 4 101
x y z
x y z

− + =

+ + =

2 2 2 2
2
2
2 2 4 122
2 122
2 122 122
61
x y z t
M t

M t
M
⇒ + + + =
⇒ − =
⇒ = + ≥
⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 0
Vậy: M đạt giá trị nhỏ nhất là 61.
minM = 61 tại t = 0
Khi đó, ta có:
2 2
2 2 2
21
3 4 101
x y
x y z

− =

+ + =

Ta có: (1)
( ) ( )
21x y x y x y
⇔ + − = ⇒ >
x, y
0.N x y x y
∈ ⇒ + ≥ − >
Do đó ta có:
21 7 11 5

1 3 10 2
x y x y x x
x y x y y y
+ = + = = =
   
∨ ⇔ ∨
   
− = − = = =
   
Từ (2)
2 2
3 101 34 0 5y y y⇒ < ⇒ < ⇒ ≤ ≤
Ta chọn y = 2
5 4x z
⇒ = ⇒ =
Vậy: minM = 61 ứng với x = 5, y = 2, z = 4, t = 0.
Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
Trong đó x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện.
2 2 2
3x y z
+ + ≤
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
• (1 + xy) +(1 + yz) +(1 + zx)

( ) ( ) ( )
3
1
3
1 1 1xy yz zx
≥
+ + +
•
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
( ) ( ) ( )
3
1
3
1 1 1xy yz zx
≥
+ + +
( )
9
3 9
3
xy yz zx P P
xy yz zx
⇒ + + + ≥ ⇔ ≥
+ + +
Mà xy + yx + zx

2 2 2
3
3
2
x y z P
≤ + + ≤ ⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z = 1
Vậy: minP =
3
2
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
2
2
2
x
y
x x
+
=
+ +
Bài giải:
Xem hàm số:
2
2
2
2
x

y
x x
+
=
+ +
Tập xác định của hàm số là R.
Gọi
0
y
là một giá trị của hàm. Ta có:
2
0
2
2
2
x
y
x x
+
=
+ +