Chúc các em lớp A thành công

Thầy : Trần Ngọc Văn

ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn : Toán, Khối A
(Thời gian 180 không kể phát đề)
Câu I:(2 điểm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
(1).
2) Xác định m để đường thẳng y=x-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân
biệt M, N sao cho MN=6.
Câu II: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: 2 10 5 10 2x x x+ ≥ + − −
2) Giải phương trình:
( )
4 4
5sin 2 4 sin os 6
0
2cos2 3
x x c x
x
− + +
=
+

Câu III: (2 điểm)
1) Tính tích phân:
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
.
2) Tìm m để phương trình sau luôn có nghiệm trong đoạn
[ ]
1;9
( ) ( )
2
3 3 3
log 2 log 2 4 1 logx m x m x+ + + = +
Câu IV: (2 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x
e 1+
, trục hoành
và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8.
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai câu V
a

và V
b
Câu V
a
: (2 điểm)
1) Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau
chia hết cho 3?
2) Cho 2 đường thẳng d
1
:2x+y-1=0, d
2
: y=2x-1. Viết phương trình đường tròn
có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với d
1
và d
2
.
Câu V
b
: (2 điểm)
1) Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
11 7
2
2
1 1
A x x
x x
   

= − + +
 ÷  ÷
   
2) Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
1
2 1
: 3 1
2
x t
d y t
z t
= −


= +


= +

2
2
: 5 2
2
x t
d y t
z t

= −


= −


= −

CMR : d
1
và d
2
chéo nhau, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên?
-----------------Hết---------------
§¸p ¸n
Câu Nội dung Điểm
Câu I
1) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
−
Tập xác định: D=R\{1}
1 1
2 1 2 1
lim ; lim

1 1
x x
x x
x x
− +
→ →
+ +
= −∞ = +∞
− −
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng.
2 1 2 1
lim 2; lim 2
1 1
x x
x x
x x
→−∞ →+∞
+ +
= =
− −

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
3
'
1 1
x x

y
x x
− − +
= = −
− −
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng:
( )
;1−∞
;
( )
1;+∞
.
Hàm số không có điểm cực trị.
Bảng biến thiên:
x
−∞
1
+∞
y’ - -
y 2
+∞

−∞

2
Vẽ đồ thị
x=2=>y=5
x=3=>y=7/2
x=0=>y=-1
x=-1=>y=1/2

đồ thị hàm số nhận I(1;2) là
tâm đối xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
2) phương trình hoành độ giao điểm :
2 1
2 (1); 1
1
x
x m x
x
+
= − ≠
−

( ) ( )
( )
2
2 1 2 1
3 2 2 1 0
x x m x
x m x m
⇔ + = − −
⇔ − + + − =
Để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt ta có điều kiện là:
0,25
( ) ( )
2

2
4 4 13 0
3 2 4 2 1 0
3 0
1
m m
m m
x


+ + >
∆ = + − − >

⇔
 
− ≠
≠



đúng với mọi giá trị
của m.
Theo định lí viét:
1 2
1 2
3 2
. 2 1
x x m
x x m
+ = +



= −

Giọi tọa độ của điểm M và N là:
1 1 2 2
( ; 2 ), ( ; 2 )M x x m N x x m− −
=>
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 4MN x x x x x x x x= − + − = + −
uuuur
Theo giả thiết đầu bài ta có:
( ) ( )
2
2 3 2 4 2 1 36m m
 
+ − − =
 

2
4 4 3 0
3
2
1
2
m m
m
m

⇔ + − =

= −

⇔


=


Vậy với m=-3/2 và m=1/2 là các giá trị cần tìm.
0,25
0,25
0,25
Câu II
1) Giải bất phương trình:
2 10 5 10 2x x x+ ≥ + − −
(1)
Điều kiện:
2x ≥
( )
2
1 2 10 2 5 10
2 6 20 1(2)
x x x
x x x
⇔ + + − ≥ +
⇔ + − ≥ +
Khi
2x

≥
=> x+1>0 bình phương 2 vế phương trình (2)
(
] [
)
2 2
2
(2) 2 6 20 2 1
4 11 0
x ; 7 3;
x x x x
x x
⇔ + − ≥ + +
⇔ + − ≥
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phương trình là:
3x
≥
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Giải phương trình:
( )
( )
4 4
5sin 2 4 sin os 6
0 1
2 os2 3
x x c x

c x
− + +
=
+
Điều kiện:
5 5
2 os2 3 0 2 2 ,
6 12
c x x k x k k Z
π π
π π
+ ≠ ⇔ ≠ ± + ⇔ ≠ ± + ∈
( )
2
2
1
1 5sin 2 4 1 sin 2 6 0
2
2sin 5sin 2 2 0(2)
x x
x x
 
⇔ − − + =
 ÷
 
⇔ + + =
Đặt sin2x=t, Đk:
1t ≤
0,25
0,25

( )
( )
( )
2
2 2 5 2 0
2

1
2
t t
t loai
t TM
⇔ + + =

= −

⇔

= −


Khi t=1/2=>sin2x=-1/2
( )
( )
2 2
2
6
12
, ,
7 7

2 2 2
6 12
x k
x k tm
k Z k Z
x k x k l
π
π
π
π
π π
π π


= − +
= − +


⇔ ∈ ⇔ ∈




= + = +




0,25
0,25

Câu III
1) Tính:
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
Đặt
2
1 1x t x t+ = ⇔ = −
dx=2tdt; khi x=0=>t=1,x=3=>t=2
( ) ( )
( )
2
2 2
2
1
2
5
4 2 3 2
1
1
2 1 1 1

2
4
=2 2 3 2
5
128 4 124 54
= 16 2 14
5 5 5 5
t t
I tdt
t
t
t t dt t
− + − −
=
 
− = −
 ÷
 
− − + = − =
∫
∫
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
( ) ( )
2
3 3
log 2 log 3 2 4 1 log

x
x m m x+ + + = +
(1) Đk: x>0
Đặt:
3
log ,x t khi=

[ ]
1;9x∈
=>
[ ]
0;2t ∈
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2 2 4
t 4 3 2
t m t m mt
t m
⇔ + + + = +
⇔ + = − +
Vì
[ ]
0;2t ∈
từ (2)
2
4
3
t

m
t
+
⇔ = −
+
Đặt
( ) ( )
( )
2 2
2
4 6 4
' 0
3
3
t t t
f t f t
t
t
+ − − +
= − => = =
+
+
0,25
0,25
0,25
I
F
E
A
D

B
C
( )
( )
3 13
3 13
t loai
t tm

= +

⇔

= −

Ta có : f(
3 13−
)=
26 2 13
6 13
−
−
; f(0)=-4/3; f(2)=-8/5
Vậy với
8 2 13 2
;
5
6 13
m
 

−
∈ −
 
−
 
thì phương trình có nghiệm với mọi
[ ]
1;9x∈
0,25
Câu
IV
a)
Gọi F là trung điểm của BC
=> AF
⊥
BE
Vì
ABFAIB∆ ∆
2 2 2
2
2
2 2
5 5
4
AI AB AB a a a
AI
AB AF AF
a
a
a

⇔ = ⇔ = = = =
+
Vì
AI BE
SI BE
SA BE
⊥

⇒ ⇒ ⊥

⊥

2
2 2 2
4 2 6
4
5
5
a a
SI SA AI a⇒ = + = + =
0,5
0,5
b) Gọi O là trung điểm của SC
(1)SO AO CO⇒ = =
Vì
SDC∆
vuông góc D (
,CD SD CD AD⊥ ⊥
)
SO OD⇒ =

(2)
Vì
SBC∆
vuông góc B (
,BC BA BC SA⊥ ⊥
)
SO OB⇒ =
(3)
Từ (1), (2), (3)
⇒
SO=AO=BO=CO=DO
=> O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
0,5
O
I
F
E
A
B
D
C
S