BAI TAP ANH XA TUYEN TINH

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TRẦN NGỌC DIỄM


ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

f: U → V là axtt nếu
i) f(x+y) = f(x) + f(y), ∀x, y∈U
ii) f(λx) = λf(x), ∀x∈ U, ∀ λ ∈K

* f(M) = {f(x)/ x∈ M}
*f

−1

(N) = {x/ f(x) ∈ N}

* Imf = f(U)
* Kerf = f

−1

: ảnh của f
(0) : nhân của f


Một số tính chất cần nhớ

f : U → V tt:

i.

Nếu M ≤ U thì f(M) ≤ V

ii.

M ≤ U, M = < S> ⇒ f(M) = < f(S)>

Chú ý

1.

Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập sinh hoặc cơ sở của U.

2.

Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0

3.

dimImf + dimKerf = dimU


CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.

Cho bởi biểu thức tường minh:

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + 3x3 , −2 x1 + 2 x2 )

2.

Cho thông qua ảnh của cơ sở

Cho {e1, …, en} là cơ sở của U, {f1, …, fn} là hệ vector tùy ý trong V.
Khi đó tồn tại duy nhất axtt f: U→ V sao cho f(ei) = fi, i = 1, 2, …, n

Với x = α1e1 +…+ αnen ∈V: f(x) = α1f1 +…+ αnfn


Cách cho axtt

1. Tìm axtt f: R2 → R3 xác định bởi
f (1,1) = (1,−2,0), f (2, − 3) = (1,2,3)

2. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( −1,1,1) ; f ( 2,1, −2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm f(2,0,1)


Cách cho axtt

1. Cho f: R3 → R3,

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − 2 x3 , 2 x1 + x3 ,3 x1 + x2 − x3 )
Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf.

2.

f: R4 → R3,

f ( x, y, z , t ) = ( x + 2 z − t , 2 x + 5 y − z + 3t , − 2 x + y − 5 z + 3t )
Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf.


Cách cho axtt

3. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( −1,1,1) ; f ( 2,1, −2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf

4. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

f ( 1,0, −1) = ( 1,2,3) ; f ( 1,1, −1) = ( −1,1,1) ; f ( 2,1,2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm m để u =(1,-2,m) thuộc về Kerf


Cách cho axtt

5.

Tìm cơ sở và chiều của Kerf, Imf nếu f cho bởi
f: R3 → R3 : f(1,1,1) = (1,2,1),
f(1,1,2) = (2,1,-1), f(1,2,1)= (5,4,-1)


MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

f : U → V tuyến tính, dimU = n, dim V = m
E = {e1, …, en}, F = {f1, …, fm} là cơ sở của U và V

A =[ f ]E =
F

( [ fe ] [ fe ]
1 F

2 F

A gọi là ma trận của f trong 2 cơ sở E, F.

[ f ( x) ] F = [ f ] E [ x ] E
F

...

[ fen ] F )


Ma trận axtt

1.

Cho f : R3 → R2, f(x,y,z) = (x+y-z, x+z)

a.

Xác định ma trận của f trong các cơ sở chính tắc của R 3 và R2.

b.

Xác định ma trận của f trong các cơ sở
E = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} và F = {(2,1), (1,-1)}


Ma trận axtt

2. Cho f : R3 → R3,
f(x, y, z) = (x+y − z, y+z, 3x+y)

a.

Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E của R 3 .

b.

Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và
cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.

c.

Xác định ma trận của f trong cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.


Ma trận axtt

f : R3 → R3

3. Cho axtt

Có ma trận trong 2 cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
F = { ( 1,1, −1) , ( 1,1, 2 ) , ( 1,2,1) }
là:

 −3 1 1 
A =  2 −2 2 ÷

÷
 1 1 −3 ÷


a)

Tìm f(2,0,-1)

b)

Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf


Ma trận axtt

f : R3 → R3

4. Cho axtt

Có ma trận trong cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
là:

0 2 2

÷
A = 1 1 −1

÷
 −1 1 3 ÷


a)

Tìm f(2,0,-1)

b)

Tìm m để (m, 2, 0) thuộc về Kerf