Tiet 1 + 2 + 3 Chu De - Menh De - Tap Hop.doc

Tuần : 1 + 2 + 3 Ngày soạn : 04/09/2006
Chủ đề 1 : MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HP

I. Các dạng toán : Nhằm củng cố lại kiến thức trọng tâm về tập mệnh đề và tập hợp :
1- Xác đònh mệnh đề toán học .
2- Điều kiện cần và điều kiện đủ .
3- Chứng minh đònh lý bằng phương pháp phản chứng .
4- Xác đònh các tập hợp .
5- Các phép toán trên tập hợp .
6- Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp .
II. Phương pháp: Từ các đònh nghóa và tính chất đã nêu trong phần lý thuyết, GV xây dựng
cho học sinh phương pháp giải .
III. Hệ thống bài tập :
* Tiết tự chọn 1 : Gồm hai dạng toán
1. Xác đònh mệnh đề toán học .
2 . Điều kiện cần và điều kiện đủ .
Bài 1 : Nêu mệnh đề phủ đònh của các mệnh đề sau và xác đònh mệnh đề đúng sai :
a) A : “ PT x
2
-2x + 2 = 0 vô nghiệm ” b) B : “ 124 là một số chính phương ”
c) C : “ Tứ giác ABCD là một hình thang” d) ∀ x ∈  , x > x
2
.
e) ∀ x ∈ , n
2
+ 1 không chia hết cho 3. f) ∃ n ∈ , n
2
+ 1 chia hết cho 8.
k) ∀ n∈ 
*
,1 + 2 + ... + n không chia hết cho 11. h) ∀ x ∈  , x

2
+ x + 1> 0.
Bài 2 : Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các đònh lý sau :
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng nhau .
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân .
d) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ A cũng là đường cao .
Bài 3 : Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các đònh lý sau :
a) Nếu tứ giác T là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau :
b) Nếu a = b thì a
2
= b
2
c) Nếu một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì số đó
phải có dạng 4k +1 (k
∈ ¥
) .
d) Nếu m, n là hai số nguyên dương sao cho m
2
+ n
2
là một số chính phương thì tích m.n chia
hết cho 12 .
* Hướng dẫn trả lời
Bài 1 : Câu f) : Mệnh đề sai
Mệnh đề phủ đònh là : “
2
n , n 1 không chia hết cho 8∀ ∈ +¥
” . Đây là một mệnh đề đúng
Thật vậy : Vì n

∈
¥
nên n nhận giá trò chẵn hoặc lẻ, khi đó
2

2 1
n k
k
n k
=

∈

= +

¥
Như vậy n
2
+1 = 4k
2
+1 hoặc 4k
2
+4k+2 nên khi chia cho 8 sẽ dư 1 hoặc 2 .
Câu i) : Mệnh đề sai, chẳng hạn chọn n = 1
1
Chú ý :
( )
1
1 2 3 ...
2

n n
n
+
+ + + + =

Bài 2:
a) Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là chúng bằng nhau .
b) Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là chúng bằng nhau .
c) Để một hình thang là hình thang cân, điều kiện đủ là hai đường chéo của nó bằng nhau.
d) Điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC vuông góc với BC
là tam giác đó cân tại A .
Bài 3 :
a) Tứ giác T có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để tứ giác T là hình thoi .
b) a
2
= b
2
là điều kiện cần để a = b .
c) Để một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì một điều
kiện cần là số đó phải có dạng 4k +1 (k
∈
¥
) .
d) Cho m, n là hai số nguyên dương . Điều kiện cần để m
2
+n
2
là một số chính phương là tích
m.n chia hết cho 12 .
* Tiết tự chọn 2 : Gồm hai dạng toán

3 - Chứng minh đònh lý bằng phương pháp phản chứng .
4 - Xác đònh các tập hợp .
Bài 1: Bằng phương pháp phản chứng hãy chứng minh các đònh lý sau :
2
2
)

, chia hết cho 3 n chia hết cho 3
b) , chia hết cho 6 n chia hết cho 6
c) Nếu a+b<2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1
d) Nếu x -1 và y -1thì x+y+xy 1
e) Cho các số
a x n
x n
∀ ∈ ⇒
∀ ∈ ⇒
≠ ≠ ≠ −
¥
¥
n1 2
n1 2
n1 2
...
, ,..., . là trung bình cộng của chúng a=
: ít nhất một trong các số , ,..., sẽ lớn hơn hay bằng a
a a a
thực a a a
a a a
Gọi
n

CMR
+ + +
Bài 2 : Viết dưới dạng liệt kê các phần tử của các tập hợp sau :

( ) ( )
{ }
{ }
{ }
2 3 2
/ 2 3 1 3 2 0
/ 5 / 3 với k và -4<x<12
A x x x x x x
B n n C x x k
= ∈ − + − + =
= ∈ ≤ = = ∈
¡
¢ ¢
Bài 3 : Tìm tất cả các tập con của tập X sao cho
{ } { }
1;2 1;2;3;4;5X⊂ ⊂
Bài 4 : Viết các tập sau dưới dạng chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó :
{ } { }
4;0;4;8;12 B= 1;4;7;10;13;16A = −
* Hướng dẫn trả lời
Bài 1 :
Câu a) Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó n có dạng :
n = 3k +1 ; n = 3k + 2 với k
∈ ¢
, dẫn đến điều trái với giả thuyết .
Câu b) Tương tự câu a)

Câu c) Giả sử cả a và b đều lớn hơn bằng 1, dẫn đến a + b
2≥
( trái với giả thuyết)
Câu d) Giả sử x+ y +xy = -1, phân tích dẫn đến x = -1 hoặc y =-1 (trái với giả thuyết)
Câu e) Ta giả sử
n1 2
, ,...,a a a
đều nhỏ hơn a , từ đó dẫn đến kết quả a < a (vô lý)
2
Bài 2 :
Câu a) Giải các phương trình
2 3 2
2 3 1 0 và 3 2 0x x x x x− + = − + =
để tìm x .
Câu b) Ta có
5 5 5n n≤ ⇔ − ≤ ≤
Câu c) Từ x = 3k và -4<x<12 ta tìm được
{ }
1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3k ∈ −
Bài 4 :
+ x thuộc tập A thì x có dạng x = 4k, với k
∈ ¢
+ x thuộc tập B thì x có dạng x = 3k+1, với k
∈ ¢
* Tiết tự chọn 3 : Gồm hai dạng toán
5-Các phép toán trên tập hợp .
6-Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp .
Bài 1 :
A B ; A B ; A\B tập và biểu diễn trên trục số của các tập này :Tìm ∪ ∩
[ ]

( )
[
) (
]
{ } { }
{ }
+
= − ∞
∈ ≤ ∈ ∈ <¡ ¡ ¡ ¡
*
) 4 ;5 B = 0 ; 6 ) A = - ; 3 B = -1 ; 5
) A = x / -3<x 10 và B = x / x>2 ) A = và B = x / x 1
a A b
c d
Bài 2 :
{ }
{ }
) tập / 2< x 3 . Hãy biểu diễn tập A thành hợp của hai khoảng .
) tập / x 2 . Hãy biểu diễn tập B thành hợp của hai khoảng .
a Cho A x
b Cho B x ≥
= ∈ <
= ∈
¡
¡
Bài 3 : Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
) Nếu A B thì A B=A ; A B=B ; A\B= b) A ; A = A
c) A B ) A B
a A A

C A B C d C A C B C
⊂ ∩ ∪ ∅ ∪ = ∪∅
∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩
* Hướng dẫn trả lời
Bài 1 :
(
]
( ) ( ) ( )
c) A = -3;10 B= 2 ; + d) A = 0 ;+ B= -1 ; 1Câu Câu∞ ∞
Qua đó biểu diễn trên trục số và kết luận .
Bài 2 :
( ) ( )
[
) (
]
2;3 3; 2 2; ; 2A B= ∪ − − = +∞ ∪ −∞ −
Bài 3 : Để chứng minh tập A = B ta chứng minh :
(tức là )
(tức là )
A B x A x B
B A x B x A



⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈
⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈
VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Bài 1: CMR : “Với n là số nguyên, nếu 5n + 1 là một số chẵn thì n là một số lẻ” .
Bài giải mẫu:
Giả sử 5n + 1 là một số chẵn và n cũng là một số chẵn . Khi đó vì n − chẵn ⇒ n = 2k ,

*
k ∈ ¥

⇒ 5n + 1 = 10k + 1 là một số lẻ. Điều này mâu thuẩn với giả thiết .
Do đó n phải là một số le û


Bài 2: CMR : “Với n là số tự nhiên, nếu n
2
không chia hết cho 4 thì n là một số lẻ” .
Bài 3: CMR : “Với n là số tự nhiên, nếu n
2
chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5” .
Bài 4: CMR : “Nếu phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu”
Bài 5: CMR : “Nếu a.b.c ≠ 0 thì có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :
ax
2
+ 2bx + c = 0; bx
2
+ 2cx + a = 0; cx
2
+ 2ax + b = 0”
Bài 6: CMR : “
2 là số vô tỉ
”
Bài giải mẫu:
3
Giả sử 2 là số hữu tỉ ⇒

m
n
*
m
2 = , với m, n và tối giản
n
∈ ¥

Với
m
n
2 =
⇒ m
2
= 2n
2
⇒ m
2
là số chẵn ⇒ m là số chẵn ⇒ m = 2k , với k ∈
*
¥
Từ m
2
= 2n
2
⇒ 4k
2
= 2n
2
⇒ n

2
= 2k
2
⇒ n
2
làmột số chẵn ⇒ n là một số chẵn ⇒ n = 2l, với l ∈
*
¥
⇒
m 2k
= chưa tối giản . Điều này mâu thuẩn giả thiết.
n 2l
Vậy 2 là số vô tỉ


Bài 7: CMR : “Nếu các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện sau :

a + b + c > 0 (1)
ab + bc + ca > 0 (2) thì a > 0, b > 0, c > 0
abc > 0 (3)





”
Bài giải mẫu:
Giả sử ba số a, b, c không đồng thời là các số dương . Vậy ∃ ít nhất một số không dương. Do a,
b, c có vai trò như nhau không giảm tổng quát ta giả sử : a ≤ 0 thay vào (3) ta được
a 0

bc 0
<


<


Thay vào (2) ⇒ a(b + c) > − bc > 0 ⇒ b + c > 0 . Như vây ta có :
a 0
b c 0
<


+ <

⇒ a + b + c < 0 .
Điều này mâu thuẩn với giả thiết (1) ⇒ 
Bài 8: CMR :
a) “Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1” .
b) “Nếu ∆ ABC không phải là một ∆ đều thì ∆ ABC có một góc trong nhỏ hơn 60
0
”.
c) “Nếu x ≠ − 1 và y ≠ − 1 thì x + y + xy ≠ −1” .
Bài 9: CMR : “
( )
Nếu a, b, c 0 ; 1 thì có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai :∈

1 1 1
a(1 - b) > (1) ; b(1 - c) > (2) ; c(1 - a) > (3)
4 4 4

”
Bài giải mẫu:
Giả sử cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đều đúng. Khi đó nhân vế theo vế (1),(2),(3) ta được :
a.(1 − a).b.(1 − b).c.(1 − c) >
1
64
(*) .
Ta có: x(1 − x) = − x
2
+ x = − (x
2
− x) = − [x
2
− 2
1
2
x +
1
4
−
1
4
] = −
2
1 1
x
2 4
 
 
− −

 
 ÷
 
 
 

=
1 1 1
x , x
4 2 4
2

 
− − ≤ ∀ ∈
 ÷
 
¡

Vậy ∀ x ∈ (0 ; 1) thì 0 < x(1 − x) ≤
1
4
. Do đó :
1
a(1 - a) > (4)
4
1
b(1 - b) > (5)
4
1
c(1 - c) > (6)

4









Nhân vế theo vế (4), (5), (6) ta được : a.(1 − a).b.(1 − b).c.(1 − c) ≤
1
64
(**) .
Rõ ràng bất đẳng thức (**) mâu thuẩn với bất đẳng thức (*). Do đó cả ba đẳng thức (1), (2), (3)
không thể đồng thời đúng. Vậy có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên sai .


4
VẤN ĐỀ 2: TẬP HP
1. Tập hợp và phần tử:
Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học .
a ∈ A (phần tử a thuộc tập hợp A); b ∉ A (phần tử b không thuộc tập hợp A) .
2. Các cách xác đònh tập hợp :
a) Liệt kê các phần tử : Ví dụ: E = {a, b, c}
b) Nêu tính chất đặt trưng của các phần tử : Ví dụ: E = {x / x có tính chất α}
3. Tập con của một tập hợp − tập hợp bằng nhau và tập rỗng :
A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A .
Tập rỗng : là tập không có phần tử nào : ∅ Chú ý : ∅ ⊂ A , ∀ tập A .
4. Các phép toán về tập hợp :

A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} (giao của hai tập hợp)
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} (hợp của hai tập hợp)
A \ B = {x / x ∈ A ∨ x ∉ B} (hiệu của hai tập hợp)
{ }
A
E
C E x A E \ A = x / x (phần bù của A trong E) với A E= ∈ ∧ ∉ ⊂
BÀI TẬP VỀ TẬP HP
Bài tập 1: Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và tập hợp ⊂ của tập hợp E là :
A = {1; 2; 3; 4} , B = {2; 4; 6; 8} . Tìm
E E E E E
C C C A B) C CA , B , ( , A B∪ ∩
.
Bài tập 2: Cho tập hợp A = {x ∈
¢
− 4 ≤ x < 3}, B = {x x = 2k, với k ∈
¥
}. Tìm A ∪ B và A ∩ B và
biểu diễn các tập đó trên trục số .
Bài tập 3: Cho A = { x ∈
¡
/ x − 1 > 3} và B = { x ∈
¡
/ x + 2 < 3} . Tìm A ∩ B .
Bài tập 4: Xác đònh tập hợp A ∩ B và A ∪ B và biểu diễn các tập đó trên trục số trong các trường hợp
sau . Biết :
1. A = {x ∈
¡
 x ≥ 1}, B = {x ∈
¡

 x ≤ 5} 2. A = {x ∈
¡
 x ≥ 1}, B = {x ∈
¡
 x ≥ 5}.
3. A = {x ∈
¡
 x ≤ 1}, B = {x ∈
¡
 x ≤ 5} 4. A = {x ∈
¡
 x ≤ 1}, B = {x ∈
¡
 x ≥ 5}.
5. A = {x ∈
¡
 x ≥ 1}, B = {x ∈
¡
 x ≤ 3} 6. A = {x ∈
¡
 x ≤ 1}, B = {x ∈
¡
 x ≥ 3}.
7. A = [1 ; 3], B = (2 ; + ∞ ) 8. A = (−1 ; 5), B = [0 ; 6) .
Bài tập 5: Xác đònh tập hợp A ∪ B, B ∪ C, A ∩ C và B ∪ C và biểu diễn các tập đó trên trục số trong
các trường hợp sau . Biết :
a) A = [0 ; 4], B = (1 ; 5), C = (− 3 ; 1] , b) A = (− ∞ ; 2], B = [2 ; + ∞ ), C = (0 ; 3) .
Bài tập 6: Cho hai nửa khoảng (− 1 ; 3] và [2 ; 4). Tìm
C (A B) C (A B) và ∪ ∩
¡ ¡

.
Bài tập 7: Cho hai nửa khoảng (− 2 ; 1] và [1 ; 3). Tìm A ∪ B, A ∩ B và
E
C A
.
Bài tập 8: Cho A = { x ∈
¡
− 3 ≤ x < 1} và B = { x ∈
¡
/ x > 2}. Tìm A ∩ B, A ∪ B,
C A, C B
¡ ¡
Bài tập 9: CMR : Với hai tập hợp A, B bất kì ta có : (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Bài tập 10: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.
Bài tập 11: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Bài tập 12: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
Bài tập 13: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)
Bài tập 14: Cho số thực a < 0. Điều kiện cần và đủ để hai khoảng (− ∞ ; 9a) và
;
4
a
 
+ ∞
 ÷
 
có
giao khác rỗng là : (A)
2
3
−

< a < 0 ; (B)
2
3
−
≤ a < 0 ;
(C)
3
4
−
< a < 0 ; (D)
3
4
−
≤ a < 0 .
5