Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết)

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Ôn tập những vấn đề cơ
bản………………………….…………….……………………

.

2. Tìm nghiệm của phương
trình………………………………………………………….

.

3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..…
.
4. Số nghiệm của phương
trình…………………………………………………………….

.

5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a; b ] ………..…………
.
6. Tìm m để phương trình có
nghiệm………………….………………………………

.

7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a; b ) …….…..…
.
8. Kỹ thuật hàm đặc trưng
…………………………………………….………………….….

.

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm
số……………………………………...………..………

1

.


10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m …………………………………
.

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

2018
có tập xác định là D = .
1 + tan 2 x
sin x
B. Hàm số y =
có tập xác định là D =  \ {3}.
3 - cos x
A. Hàm số y =

C. Hàm số y = cos x + 1 có tập xác định là D = .

2x
có tập xác định là D = .
x -2

x sin 2 x
æ 5p
ö
; y2 = 2 - sin x cos çç - 2 x ÷÷÷ ; y3 = sin x cos 2 x + tan x và
Câu 2. Cho các hàm số y1 =
3
ç
è2
ø
cos 2 x
D. Hàm số y = sin

y4 = x cos 2 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 3. Trong các hàm số y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x có bao nhiêu hàm số
thỏa mãn tính chất f ( x + k p ) = f ( x ), "x Î , k Î  .
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 4. Đường cong trong hình
bên là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới
đây. Hỏi hàm số đó là hàm số
nào?

2

D. 4.


Cõu 5. ng cong trong hỡnh bờn mụ t
th ca hm s y = A sin ( x + a ) + B (vi A, B, a
l

cỏc

hng

s

v

12a
.
p
A. S = 1.
C. S = 3.

ộ pự
a ẻ ờ 0; ỳ ).
ởờ 2 ỷỳ

Tớnh

S = A+B +

B. S = 2.
D. S = 5.

Cõu 6. Mt chic gung nc cú dng hỡnh trũn bỏn kớnh 2,5m,
trc ca nú cỏch mt nc 2m . Khi gung quay u, khong
cỏch h (một) t mt chic gu gn ti im A ca gung n
mt

nc

c

tớnh

theo

cụng

h= y

thc

trong

ú:

ộ ổ
1 ửự
y = 2,5sin ờ 2p ỗỗ x - ữữữỳ + 2 vi x l thi gian quay ca gung vi
ờở ỗố
4 ứỳỷ

x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn mt

nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao
nht khi no?
1
B. x = .
4

A. x = 0.

1
C. x = .
2

D. x = 1.

Cõu 7. Gi n l s nguyờn tha món (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )(1 + tan 450 ) = 2 n. Khng nh
no sau õy ỳng?
A. n ẻ [1;7 ].

B. n ẻ [8;19 ].

C. n ẻ [20;26 ].

D. n ẻ [27;33].

Cõu 8. Tỡm s nguyờn dng n nh nht ca tha món

1
1
1
2
+
++
=
.
0
0
0
0
0
sin 45 .sin 46
sin 46 .sin 47
sin134 .sin135
sin n 0
B. n = 45.
C. n = 46.
D. n = 91.
0

A. n = 1.

5
p
v sin a + cos a =
. Tớnh P = sin a - cos a.
2
4
3
3
1
1
.
.
A. P =
B. P = ì
C. P = - ì
D. P = 2
2
2
2
ổ 3p
ự
a
a
4
Cõu 10. Cho gúc a tha món tan a = - v a ẻ ỗỗ ;2p ỳ . Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ỳ
ố2

2
2
3
ỷ

Cõu 9. Cho gúc a tha 0 < a <

A. P = 5.

B. P = - 5.

C. P = -

5
.
5

D. P =

5
.
5

Vn 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh
ổ
ổp
ử 5
ổp
ử
pử

Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗ x + ữữữ + 4 cos ỗỗ - x ữữữ = . Nu t t = cos ỗỗ - x ữữữ thỡ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ

phng trỡnh ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?
A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.

B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.

C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.

D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.
ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x ) + sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗ x 0 + ữữữ bng
ỗố
4ứ
3


A. -1.

C. -

B. 1.

1
2

D.

.

1
2

.

Cõu 13. Phng trỡnh 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tng ng vi phng trỡnh no
trong cỏc phng trỡnh sau?
A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = -2.

B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = -2.
1
Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x -1 = 0 (1) v cos 2 x = (2). Tp cỏc nghim ca
2
phng trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l

p
B. x = k 2p (k ẻ ).
+ k 2p (k ẻ ).
3

p
2p
C. x = + k 2p (k ẻ ).
D. x =
+ k 2p (k ẻ ).
3
3
ỡp p p p ù
ỹ
ù
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ớ ; ; ; ý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng
ù
ù6 4 3 2ù
ù
ợ
ỵ
A. x =

ng vi phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .
A. a =

p
.
6

B. a =

p
.
4

C. a =

p
.
3

D. a =

p
.
2

ộ
5p ự
Cõu 16. Trờn on ờ-2p; ỳ , th hai hm s y = sin x v y = cos x ct nhau ti bao
ờở
2 ỳỷ

nhiờu im?
A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 8.

Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng
trũn lng giỏc ta c s im cui l

A. 2.
B. 4.

Cõu

18.

Cú

bao

nhiờu

giỏ

tr

C. 5.

a

ca

D. 6.

[0;2p ] ba phn t ca

thuc

S = {sin a,sin 2a,sin 3a} trựng vi ba phn t ca T = {cos a,cos 2a,cos 3a}.

A. 1.

B. 2.

Cõu 19. Phng trỡnh 2

n +1

C. 3.

D. 4.

cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 x = 1 vi n ẻ * cú tp nghim
n

trựng vi tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.

B. sin x = sin 2 n x .

C. sin x = sin 2 n +1 x .

D. sin x = sin 2 n +2 x .

Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu
ổ
pử
din cỏc nghim ca phng trỡnh tan x + tan ỗỗ x + ữữữ = 1.
ỗố

4ứ
A.

3 10
.
10

B.

3 10
.
5

C.

2.

D.

3.

Vn 3. Nghim dng nh nht
Nghim õm ln nht
Cõu 21. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 cú dng
a, b l cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.
C. S = 15.

4

D. S = 17.

pa
vi
b


Câu 22. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

sin x
1
pa
+
+ cot x = 2 có dạng
1 + cos x 1 - cos x
b

với a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 7.
æp
ö
æp
ö
Câu 23. Cho phương trình sin x + sin 5 x = 2 cos 2 çç - x ÷÷÷ - 2 cos 2 çç + 2 x ÷÷÷. Số vị trí biểu diễn
èç 4
ø

èç 4
ø
các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
A. 1.
B. 2.
C. 4.

D. 6.

Câu 24. Cho phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin 3 x ). Tổng nghiệm
âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng

p
A. - .
7

p
.
7
1
pa
Câu 25. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 3 x (2 cos 2 x + 1) = có dạng
với
2
b
B. -

p
.
18

C. -

p
.
20

D.

a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 7.
B. S = 8.
C. S = 15.

Câu 26. Cho phương trình sin

2018

x + cos

2018

x = 2 (sin

2020

x + cos

nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
A. 3.

B. 4.
C. 6.

2020

D. S = 17.

x ). Số vị trí biểu diễn các
D. 2020.

æ
pö
Câu 27. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 çç x + ÷÷÷ có
çè
4ø

pa
với a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b.
b
A. S = -3.
B. S = -1.
C. S = 1.
D. S = 3.

dạng

Câu 28. Cho phương trình 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x =

cos 2 x
. Nghiệm

1 - tan x

pa
với a, b là các số nguyên và nguyên tố
b

dương nhỏ nhất của phương trình có dạng
cùng nhau. Tính S = a + b.
A. S = 2.
B. S = 3.

C. S = 4.
D. S = 7.
1
1
1
1
Câu 29. Biết rằng phương trình
+
+
++
= 0 có nghiệm dạng
sin x sin 2 x sin 4 x
sin 2 2018 x
k 2p
với k Î  và a, b Î + , b < 2018. Tính S = a + b.
x= a
2 -b
A. S = 2017.
B. S = 2018.

C. S = 2019.
D. S = 2020.
sin x
p
Câu 30. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm?
=
x
18
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Vấn đề 4. Số nghiệm của phương trình
Câu 31. Phương trình 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) có bao nhiêu
nghiệm thuộc khoảng (0;2018) ?
A. 2565.

B. 2566.

C. 2567.
5

D. 2568.

Câu 32. Phương trình

(0;2018p ) ?

(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
= 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
(1 + 2 cos x ) sin x

A. 3025.

B. 3026.
C. 3027.
D. 3028.
ép
ù
Câu 33. Phương trình sin ê 3 x - 9 x 2 -16 x - 80 ú = 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên
êë 4
úû

(

dương?
A. 1.

)

B. 2.

C. 3.
D. 4.

æ
ö
p
1
Câu 34. Phương trình sin 4 x + cos 4 çç x + ÷÷÷ =
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
çè
4ø 4

(0;2017p ) ?

A. 4032.

B. 4033.

C. 4034.

D. 4035.

Câu 35. Tìm số nghiệm của phương trình tan 4 x - tan 2 x - 4 tan x = 4 tan 4 x .tan 2 x .tan x trên
đoạn [-p; p ].
A. 2.

B. 3.

C. 6.

D. 7.

Vấn đề 5. Tổng các nghiệm của phương trình

trên đoạn [a; b ]

Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình tan 5 x - tan x = 0 trên [0;p ) bằng
A. p.

B.

3p
.
2

C. 2p.

D.

5p
.
2

Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos (sin x ) = 1 trên đoạn [0;2p ] bằng
C. 2p.

D. 3p.
9
Câu 38. Cho phương trình x 2 - (2 cos a - 3) x + 7 cos 2 a - 3cos a - = 0. Gọi S là tập các giá
4
B. p.

A. 0.

trị của tham số a thuộc đoạn [0;4p ] để phương trình có nghiệm kép. Tổng các phần tử
của tập S bằng
A.
Câu

20p
.
3
39.

B. 15p.
Tính

C. 16p.

S

tổng

tất

cả

các

(2 cos 2 x + 5)(sin x - cos x ) + 3 = 0 trên khoảng (0;2p ).
4

A. S =

7p
.
6

D. 17p.
nghiệm

của

phương

trình

4

B. S =

11p
.
6

C. S = 4 p.

Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình

D. S = 5p.

æ pö
3 -1
3 +1

+
= 4 2 trên khoảng çç0; ÷÷÷
èç 2 ø
sin x
cos x

bằng
A.

11p
.
36

B.

p
.
3

C.

7p
.
18

D. p.

Câu 41. Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 trên (0;2p ) bằng

D. 4 p.

é pù
1
Câu 42. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 x (1 - 4 sin 2 x ) = trên đoạn ê 0; ú
êë 2 úû
2
A. p.

B. 2p.

C. 3p.

bằng
6


A.

3p
.
7

B.

3p
.
5

C.

37p

.
70

Cõu 43. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh
trờn on [0;100p ] bng
A.

7375p
.
3

B.

7475p
.
3

C.

4036p
.
3

C.

36p
.
35
sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2
D.

2 cos x + 3

14701p
.
6

D.

412485p
.
2

D.

=0

14850p
.
3

ổ
pử
Cõu 44. Tng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin 3 ỗỗ x - ữữữ = 2 sin x trờn on
ỗố
4ứ

[0;2018] bng
A.

2018p
.
4

Cõu

45.

B.
Tng

tt

c

cỏc

nghim

cos x (tan x - cos 2 x ) = cos x - cos x + 1 trờn on [0;43p ] bng
2

A.

2

4220
p.
3

3

B.

ca

824967p
.
4

phng

trỡnh

2

4225
p.
3

C.

4230
p.
3

D.

4235
p.

3

Vn 6. Tỡm m phng trỡnh cú nghim
Cõu 46. Cú bao nhiờu giỏ tr ca tham s m thuc tp E = {-3; -2; -1;0;1;2} phng
trỡnh 2m sin x cos x + 4 cos 2 x = m + 5 cú nghim?
A. 2.
B. 3.
C. 4.

D. 5.

Cõu 47. Cho phng trỡnh m sin x + 2 sin x cos x + 3m cos x = 1. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca
2

2

tham s thc m phng trỡnh cú nghim.
ỡ 4ỹ
ỡ 4ỹ
ộ 4ự
A. m ẻ ùớ0; ùý.
B. m ẻ \ ùớ0; ùý.
C. m ẻ ờ 0; ỳ .
ù 3ỵ
ù
ù
ù
ợùù 3 ỵùù
ợ
ởờ 3 ỷỳ

ổ 4ử
D. m ẻ ỗỗ0; ữữữ.
ỗố 3 ứ

ổ 3p
ử
5 + 4 sin ỗỗ - x ữữữ
ỗố 2
ứ
6 tan a
Cõu 48. Cho phng trỡnh
=
. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ
sin x
1 + tan 2 a

tr thc ca a thuc on [0;2p ] phng trỡnh cú nghim. Tng cỏc phn t ca tp

S bng
A. p.

B. 2p.

C. 4 p.
D. 6p.
ổ
ửữ
ổ
ửữ

p
p
Cõu 49. Cho phng trỡnh 4 sin ỗỗ x + ữữ.cos ỗỗ x - ữữ = m 2 + 3 sin 2 x - cos 2 x . Gi S = [a; b ] l
ỗố
ỗố
3ứ
6ứ
tp tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cú nghim. Tớnh a + b.
A. a + b = -2.

1
B. a + b = - .
2

C. a + b = 0.

Cõu 50. Cho phng trỡnh sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x -

D. a + b = 4.

m
+ 2 = 0. Cú bao nhiờu giỏ tr
4

nguyờn ca tham s m phng trỡnh cú nghim?
A. 7.
B. 9.
C. 13.
D. 15.
3

Cõu 51. Cho phng trỡnh 3 tan 2 + tan x + cot x + 2 = m. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn
sin x

m nh hn 2018 phng trỡnh cú nghim?
A. 2004.
B. 2008.
C. 2011.

7

D. 2012.


Cõu 52. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh sin 4 x = m.tan x cú
nghim x ạ kp.

ộ 1 ử
A. m ẻ ờ- ;4ữữữ.
ờở 2 ứ

ộ 1 ự
B. m ẻ ờ- ;4 ỳ .
ờở 2 ỳỷ

ổ 1 ử
C. m ẻ ỗỗ- ;4ữữữ.
ỗố 2 ứ

D. m ẻ (-1;4 ).

Cõu 53. Cho phng trỡnh cos 2 x - (2m + 1) cos x + m + 1 = 0. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca
ổ p 3p ử
tham s m phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ ; ữữữ .
ỗố 2 2 ứ
A. -1 Ê m Ê 1 .
B. -1 Ê m Ê 0 .
C. -1 Ê m < 0 .

D. -1 < m < 0 .

Cõu 54. Cho phng trỡnh cos 2 x + 2 (1 - m ) cos x + 2m -1 = 0. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn
ca tham s m thuc on [-10;10 ] phng trỡnh cú nghim?
A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Cõu 55. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh cos 4 x = cos 2 3 x + m sin 2 x
ổ pử
cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữữữ.
ỗố 12 ứ
ổ 1ử
ổ1 ử
ổ
1ử
A. m ẻ ỗỗ0; ữữữ.
B. m ẻ ỗỗ ;2ữữữ.

C. m ẻ (0;1).
D. m ẻ ỗỗ-1; ữữữ.
ỗố 2 ứ
ỗố 2 ứ
ỗố
4ứ
Cõu 56. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh 2 sin x + m cos x = 1 - m cú
ộ p pự
nghim x thuc on ờ- ; ỳ .
ờở 2 2 ỳỷ
3
A. m - .
2

3
B. m > - .
2

D. -1 < m < 3.

C. -1 Ê m Ê 3.

Cõu 57. Cho phng trỡnh mx 2 + 4 p 2 = 4 p 2 cos x . Tng tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca tham
ổ pử
s m phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữữữ bng
ỗố 2 ứ
A. -54.
B. -35.
C. 35.
D. 51.

Cõu 58. Cho hm s y = f ( x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v

x
f '(x )

-2

-Ơ

-1
+

1
-

0

0

+Ơ

4
+

+Ơ

3

f (x )

1

0

-1

-Ơ m phng trỡnh f ộ3cos ( x + 1) + 1ự = - m cú nghim?
Cú bao nhiờu s nguyờn
ở
ỷ
2
A. 2.

B. 3.

C. 9.

D. 13.

Cõu 59. Cho hm s y = f ( x ) cú bng bin thiờn nh hỡnh v

x
f '(x )

-Ơ

-1

2

0
+

-

0

0

+

2

1

0

-2
8

+Ơ
+Ơ

f (x )

-Ơ

3

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f (2 sin x + 1) = f (m ) có nghiệm?
A. 2.

B. 3.

Câu 60. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ,

C. 4.

D. 5.

thỏa f ( x ) > 3 với mọi x > 5 và f ( x ) < -3 với
mọi x < -2 , có đồ thị như hình bên. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương

f (3sin x + 2) = f (m )

trình

nghiệm?
A. 6.
C. 8.

có

B. 7.
D. 9.

Vấn đề 7. Tìm m để phương trình có đúng n nghiệm
thuộc khoảng (a; b )

Câu 61. Cho phương trình 2 cos 2 3 x + (3 - 2m ) cos 3 x + m - 2 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực
æ p pö
của tham số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng çç- ; ÷÷÷.
çè 6 3 ø
A. -1 £ m £ 1.
B. 1 < m £ 2.
C. 1 £ m £ 2.
D. 1 £ m < 2.

Câu

62.

Tìm tất cả các giá trị của tham số
æ
pö
sin 2 x + 2 sin çç x + ÷÷÷ - 2 = m có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng
çè
4ø

m
để
æ 3p ö÷
çç0; ÷.
çè 4 ÷ø

A. -3 < m < -1 + 2. B. -3 < m £ -1 + 2. C. -1 < m £ -1 + 2.

phương

trình

D. -1 < m < -1 + 2.

Câu 63. Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m -1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị
æ 3p ö
nguyên m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc çç0; ÷÷÷ . Tổng
çè 2 ø
2

các phần tử của S bằng
A. -15.
B. -14.

C. 0.

D. 15.

Câu 64. Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos 2 x - m cos x ) = m sin x . Số các giá trị nguyên của
2

é 2p ù
tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú là
êë 3 úû

A. 1.
Câu

B. 2.
65.

Có

bao

C. 3.
nhiêu

số

thực

D. 4.

m

để

phương

trình

(sin x -1)(2 cos 2 x - (2m + 1) cos x + m ) = 0 có đúng 4 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 66. Cho phương trình sin x + cos x + cos 4 x = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
é p pù
tham số m để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú .
ëê 4 4 ûú
4

A. 1.

4

2

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 67. Cho phương trình (sin x -1)(cos 2 x - cos x + m ) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ].
9


1
A. 0 £ m < .
4

1
B. - < m £ 0.
4

1
C. 0 < m < .
4

1
D. - < m < 0.
4

Câu 68. Biết rằng khi m = m0 thì phương trình 2 sin 2 x - (5m + 1) sin x + 2m 2 + 2m = 0 có
æ p
ö
đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng çç- ;3p÷÷÷ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
çè 2
ø
æ3 7 ù
æ 3 2ö
1
A. m0 = -3.
B. m0 = . C. m0 Î çç ; ú .
D. m0 Î çç- ; - ÷÷÷.
çè 5 5 ø
èç 5 10 úû
2

Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để số vị trí

æ
pö
biểu diễn các nghiệm của phương trình 1 + 2 cos 2 2 x - 3 sin 4 x - m = m sin çç2 x - ÷÷÷ trên
çè
3ø

đường tròn lượng giác là 4 ?
A. 8.
B. 9.

C. 10.

D. 12.

Câu 70. Cho phương trình (m + 1) cos x + (m -1) sin x = 2m + 3. Có bao nhiêu giá trị của
tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 =
A. 0.

B. 1.

C. 2.

2p
.
3

D. Vô số.

Vấn đề 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng
Câu

71.

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

m

để

phương

trình

m + sin (m + sin 3 x ) = sin (3sin x ) + 4 sin x có nghiệm thực?
3

A. 4.

B. 5.

C. 8.

D. 9.

Câu 72. Cho phương trình (8 sin x - m ) = 162 sin x + 27m. Có bao nhiêu giá trị nguyên
3

3

æ pö
của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷ ?
çè 3 ø

A. 1.

B. 2.

Câu 73. Cho phương trình

C. 3.
3

m + 3 3 m + 3sin x = sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để phương trình có nghiệm?
A. 2.
B. 3.
Câu

74.

Tập

tất

cả

D. Vô số.

các

giá

C. 5.
trị

của

tham

D. 7.
số

m

để

phương

m + m + 1 + 1 + sin x = sin x có nghiệm là [a; b ]. Giá trị của a + b bằng
A. 4.

B.

1
- 2.
2

C. 3.

1
D. - - 2.
4

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin x (2 - cos 2 x ) - 2 (2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2

é 2p ö
có đúng một nghiệm thuộc ê 0; ÷÷÷ ?
êë 3 ø
A. 1.
B. 2.

C. 3.

10

D. 4.

trình

Câu 76. Cho phương trình sin 2 x - cos 2 x + sin x + cos x - 2 cos 2 x + m - m = 0. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
Câu 77. Cho phương trình

3

D. 9.

4 sin x + m + sin x = 3 sin x + 4 sin x + m - 8 + 2. Có tất cả bao
3

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?
A. 18.
B. 19.
C. 20.

D. 21.

Câu 78. Cho phương trình 3 tan x + 1 (sin x + 2 cos x ) = m (sin x + 3cos x ). Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m thộc đoạn [-2018;2018] để phương trình trên có đúng một
æ pö
nghiệm thuộc çç0; ÷÷÷ ?
çè 2 ø
A. 2015.

B. 2016.

C. 2018.

D. 4036.

Câu 79. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x + cos x + m = m có
2

nghiệm là
A. 2.
Câu

B. 3.

80.

Số

các

giá

C. 4.
trị

nguyên

của

m

có nghiệm là
1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x =
3
A. 2.
B. 3.

D. 5.

tham

số

C. 4.

m

để

phương

trình

D. 5.

Vấn đề 9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số
æp
ö
Câu 81. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin çç sin x ÷÷÷ lần lượt là
èç 3
ø

A. -1 và 1.

C. -

B. 0 và 1.

3
3
.
và
2
2

D. 0 và

3
.
2

Câu 82. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 cos3 x - cos 2 x trên đoạn
é p pù
ê- ; ú lần lượt là
êë 3 3 úû

A. -3 và 1.

B.

Câu 83. Gọi m, M

y = (3 - 5sin x )

2018

A. 2

2018

1
và 1.
4

C.

19
và 1.
27

D. -3 và

3
.
4

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

. Giá trị của M + m bằng

(1 + 2 ).

4036

B. 2 2018.

C. 2 4036.

C. 2 6054.

Câu 84. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = sin 2 x - 4 sin x + 5 . Tính P = M - 2m 2 .
A. P = 1.
B. P = 7.

C. P = 8.
D. P = 2.
æ 2 x ö÷
æ 4 x ö÷
+ cos çç 2
+ 1 gần nhất với số nào sau
Câu 85. Giá trị nhỏ nhất của f ( x ) = sin çç 2
çè x + 1÷÷ø
çè x + 1÷÷ø
đây?
1
1
1
A. -1.
B. - .
C. - .

D. - .
2
4
8

11


Cõu 86. Gi

y=

ln lt l giỏ tr nh nht v ln nht ca hm s

cos x + 2 sin x + 3
. Tớnh S = 11m + M .
2 cos x - sin x + 4
A. S = -10.
B. S = 4.

Cõu 87. Gi
y=

m, M

M, m

sin x + cos x + 1
2 + sin 2 x

C. S = 6.

D. S = 24.

ln lt l giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s

. Khi ú, M + 3m bng

A. -1.

C. 2.
D. 1 + 2 2.
2
1
Cõu 88. Bit giỏ tr nh nht ca hm s y =
cú dng a + b 2 vi a, b
+
1 - cos 4 x cos 4 x
B. 1.

l cỏc s nguyờn. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.

C. S = 5.

D. S = 7.

Cõu 89. Cho hm s y = 1 + 2 sin x + 1 + 2 cos x -1. Gi m, M ln lt l giỏ tr nh
2

2

nht v giỏ tr ln nht ca hm s. Khi ú giỏ tr ca M + m gn nht vi s no sau
õy?
5
7
9
11
.
A. .
B. .
C. .
D.
2
2
2
2
Cõu 90. Giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s f ( x ) = sin 2018 x + cos 2018 x ln lt
l
1
1
1
A. 1008 v 2.
B. 1009 v 1.
C. 0 v 1.
D. 1008 v 1.
2
2
2

Vn 10. Bi toỏn GTLN-GTNN cú cha tham s m
Cõu 91. Cú bao nhiờu giỏ tr ca tham s thc a hm s y =
tr ln nht bng 1 ?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

cos x + a sin x + 1
cú giỏ
cos x + 2
D. 3.

Cõu 92. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc [0;10 ] hm s

1 - m sin x
cú giỏ tr nh nht nh hn -2 ?
cos x + 2
A. 5.
B. 6.
C. 11.
D. 12.
ổ
ử
ổ
ử
p
x

Cõu 93. Cho hm s y = 2 sin 2 ỗỗ x - ữữữ + 2 cos 2 ỗỗ ữữữ - 3 sin x + a 2 (vi l tham s). Gi m, M
ốỗ
ốỗ 2 ứ
6ứ
y=

ộ p 2p ự
ln lt l giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s trờn on ờ ; ỳ . Cú bao nhiờu
ờở 6 3 ỳỷ
321
giỏ tr nguyờn ca a m 2 - M Ê
?
4
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 7.

Cõu 94. Gi S l tp tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m giỏ tr nh nht ca hm
s y = sin 4 x + cos 2 x + m bng 2. Hi tp S cú bao nhiờu phn t?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Cõu 95. Cho x , y l cỏc s thc tha món cos 2 x + cos 2 y = 1. Giỏ tr nh nht ca biu
thc P = tan 2 x + tan 2 y bng

A.

1
.
3

B.

2
.
3

D.

12

8
.
3

C. 3.


Câu 96. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên , thỏa mãn f (tan x ) =

1
sin 2 x - cos 2 x với
2

æ p pö

mọi x Î çç- ; ÷÷÷. Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của
çè 2 2 ø

biểu thức S = f (a ). f (b ) bằng
A.

1
.
25

1
B. - .
2

C.

5-3 5
.
2

D.

5+3 5
.
2

æ pö
Câu 97. Cho hai số thực x , y thuộc çç0; ÷÷÷ và thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y + 2 sin ( x + y ) = 2.
çè 2 ø
cos 4 x cos 4 y

bằng
+
y
x
3
2
B. .
C. .
p
p

Giá trị nhỏ nhất của P =
A.

2
.
3p

D.

5
.
p

Câu 98. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất M
æ pù
trong tất cả các hàm số y = a + b sin x + c cos x với x Î çç0; ú .
çè 4 úû
A. M = 1 + 2 .

C. M = 2 1 + 2 .

B. M = 1 + 2.

(

)

D. M = 2 1 + 2 .

Câu 99. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin (2 - 2ab ) - sin (a + b ) = 2ab + a + b - 2. Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 2b bằng
A.

2 10 - 3
.
2

B.

3 10 - 7
.
2

C.

2 10 -1
.
2

D.

28 + 8 7
.
21

D.

2 10 - 5
.
2

Câu 100. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos ( x + y + 1) + 3 = cos (3 xy ) + 9 xy - 3 x - 3 y.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x ( y + 2) bằng
A.

11 + 4 7
.
9

B. 1.

C.
----------

HẾT

13

----------

7+2 7
.
21


LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
Mục lục
1. Ôn tập những vấn đề cơ
bản………………………….…………….……………………

02

2. Tìm nghiệm của phương
trình………………………………………………………….

04

3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..…
07
4. Số nghiệm của phương
trình…………………………………………………………….

10

5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a; b ] ………..…………
12
6. Tìm m để phương trình có
nghiệm………………….………………………………

16

7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a; b ) …….…..…
21
8. Kỹ thuật hàm đặc trưng
…………………………………………….………………….….

27

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm
số……………………………………...………..………

1

31


10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m …………………………………
34

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

2018
có tập xác định là D = .
1 + tan 2 x
sin x
B. Hàm số y =
có tập xác định là D =  \ {3}.
3 - cos x

A. Hàm số y =

C. Hàm số y = cos x + 1 có tập xác định là D = .
D. Hàm số y = sin

2x
có tập xác định là D = .
x -2

Lời giải. Chọn C.
Câu 2. Cho các hàm số y1 =

æ 5p
ö
; y2 = 2 - sin x cos çç - 2 x ÷÷÷ ; y3 = sin x cos 2 x + tan x và
ç
è2
ø
cos 2 x

x sin 2 x
3

y4 = x cos 2 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Kiểm tra ta có y1 và y3 là các hàm số lẻ. Chọn B.
Câu 3. Trong các hàm số y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x có bao nhiêu hàm số
thỏa mãn tính chất f ( x + k p ) = f ( x ), "x Î , k Î  .
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

C. y = - sin x

D. y = - cos x .

Lời giải. Chọn C. Đó là các hàm số y2 ; y3 ; y4 .
Câu 4. Đường cong trong hình
bên là đồ thị của một hàm số
trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới
đây. Hỏi hàm số đó là hàm số
nào?
A. y = sin 2 x
B. y = cos x .
Lời giải. Khi x = 0 thì y = 1. Chọn B.

2

Cõu 5. ng cong trong hỡnh bờn mụ t
th ca hm s y = A sin ( x + a ) + B (vi A, B, a
l

cỏc

hng

s

12a
.
p
A. S = 1.
C. S = 3.

v

ộ pự
a ẻ ờ 0; ỳ ).
ởờ 2 ỷỳ

Tớnh

S = A+B +

B. S = 2.
D. S = 5.

ỡù
ổ
ử
ùù A sin ỗỗ- 2p + aữữ + B = -3 (1)
ữứ
ỗố 3
ùù
ùù
Li gii. Da vo th hm s ta cú h phng trỡnh ớ A sin a + B = 0
(2).
ùù
ổp
ử
ùù
(3)
ùù A sin ỗỗỗ + aữữữ + B = 1
ố
ứ
3
ùợ
ổp
ử 1- B
. (4 )
Ta thy A = 0 khụng tha món h. Do ú (3) sin ỗỗ + aữữữ =
ỗố 3
ứ
A
ổ
ử

ổp
ử
2p
(4 )
đ-A sin ỗỗp + aữữữ + B = -3 -A sin ỗỗ + aữữữ + B = -3 ắắ
đ B = -1.
T (1) ắắ
ốỗ
ứ
ốỗ 3
ứ
3

ỡù A sin a = 1
ùù
ổp
ử
Thay B = -1 vo (2) v (3) , ta cú h ớ
ắắ
đ sin ỗỗ + aữữữ = 2 sin a
ổp
ửữ
ỗ
ỗ
ùù A sin ỗ + aữ = 2
ố3
ứ
ữứ
ỗố 3
ợùù

ộ pự

p
p
3 aẻờởờ0; 2 ỳỷỳ
p
cos a + cos sin a = 2 sin a 3 cos a = 3sin a tan a =
ắắắđ a = .
3
3
3
6
ỡ
ù
ù A = 2; B = -1
p
12a
Vi a = ắắ
đ A = 2. Vy ùớ
ắắ
đS = A + B +
= 3. Chn C.
p
ù
6
p
a=
ù
ù
6

ợ
sin

Nhn xột: Cỏch trc nghim: nhỡn th oỏn c A = 2; B = -1 (da vo min max)
v dựng d kin th i qua gc ta suy ra a =

p
.
6

Cõu 6. Mt chic gung nc cú dng hỡnh trũn bỏn kớnh 2,5m,
trc ca nú cỏch mt nc 2m . Khi gung quay u, khong
cỏch h (một) t mt chic gu gn ti im A ca gung n
mt

nc

c

tớnh

theo

cụng

h= y

thc

trong

ú:

ộ ổ
1 ửự
y = 2,5sin ờ 2p ỗỗ x - ữữữỳ + 2 vi x l thi gian quay ca gung vi
ờở ốỗ
4 ứỳỷ

x 0 tớnh bng phỳt. Ta quy c rng y > 0 khi gu trờn mt

nc v y < 0 khi gu di nc. Vy chic gu v trớ cao
nht khi no?
1
C. x = .
D. x = 1.
2
ộ ổ
1 ửự
1
đ x = . Chn C.
Li gii. Gu v trớ cao nht khi: sin ờ 2p ỗỗ x - ữữữỳ = 1 ắắ
ờở ốỗ
4 ứỳỷ
2

A. x = 0.

1
B. x = .

4

Cỏch trc nghim thay tng ỏp ỏn vo v bm mỏy so sỏnh.

Cõu 7. Gi n l s nguyờn tha món (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )(1 + tan 450 ) = 2 n. Khng nh
no sau õy ỳng?
A. n ẻ [1;7 ].

B. n ẻ [8;19 ].

C. n ẻ [20;26 ].
3

D. n ẻ [27;33].


Li gii. Ta cú bin i: (1 + tan1).(1 + tan 2)(1 + tan 45)

=
=

(cos1 + sin1) (cos 2 + sin 2)


cos1
2 sin (1 + 45)



cos 2

2 sin (2 + 45)

(cos 45 + sin 45)

cos 45
2 sin (45 + 45)



cos1
cos 2
cos 45
45 cos 44.cos 43.....cos 2.cos1
sin 90
2 .

cos1.cos 2.....cos 43.cos 44 cos 45
ổ
ửữ
ỗỗ
ữ
45 ỗ 1 ữ
45
ữữ
23
2 .ỗỗỗ
đ n = 23. Chn C.
ữữ = 2 . 2 = 2 ắắ
ỗỗ 2 ữữ
ỗỗố 2 ữữứ

=

( )

=

( )

( )

Cõu 8. Tỡm s nguyờn dng n nh nht ca tha món

1
1
1
2
+
++
=
.
0
0
0
0
0
sin 45 .sin 46
sin 46 .sin 47
sin134 .sin135
sin n 0

A. n = 1.
B. n = 45.
C. n = 46.
D. n = 91.
1
1
1
Li gii. t P =
+
++
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
sin1
sin1
sin1
ị sin1.P =
+
++
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47
sin134.sin135
ị sin1.P = cot 45- cot 46 + cot 46- cot 47 + ... + cot134- cot135
2
ị sin1.P = cot 45- cot135 = 2 ắắ
đP =
ắắ
đ n = 1. Chn A.
sin1
0

5

p
v sin a + cos a =
. Tớnh P = sin a - cos a.
2
4
3
1
1
.
B. P = ì
C. P = - ì
D. P = 2
2
2

Cõu 9. Cho gúc a tha 0 < a <
A. P =

3
.
2

Li gii. Ta cú (sin a - cos a ) + (sin a + cos a ) = 2 (sin 2 a + cos 2 a ) = 2 .
2

2

Suy ra (sin a - cos a ) = 2 - (sin a + cos a ) = 2 2

2

5 3
= .
4 4

3
p
. Chn D.
suy ra sin a < cos a nờn sin a - cos a < 0 . Vy P = 2
4
ổ 3p
ự
a
a
4
Cõu 10. Cho gúc a tha món tan a = - v a ẻ ỗỗ ;2p ỳ . Tớnh P = sin + cos .
ỗ
ố2
2
2
3
ỷỳ

Do 0 < a <

5
.
5
ổ 3p
ự

a ổ 3p ự
Li gii. Ta cú P 2 = 1 + sin a. Vi a ẻ ỗỗ ;2p ỳ ị ẻ ỗỗ ; p ỳ .
ỳỷ
ốỗ 2
2 ốỗ 4 ỳỷ
ỡ
ù
a
2
ù
0 Ê sin <
ù
ù
a
a
2
2
Khi ú ùớ
, suy ra P = sin + cos < 0 .
ù
2
2
a
2
ù
ù
-1 Ê cos < ù
ù
2
2

ợ

A. P = 5.

B. P = - 5.

C. P = -

T h thc sin 2 a + cos 2 a = 1 , suy ra sin 2 a = 1 - cos 2 a = 1 ổ 3p
ự
4
Vỡ a ẻ ỗỗ ;2p ỳ nờn ta chn sin a = - .
ỳỷ
ốỗ 2
5

Thay sin a = -

1
16
.
=
2
1 + tan a 25

4
1
5
vo P 2 , ta c P 2 = . Suy ra P = . Chn C.
5

5
5

4

D. P =

5
.
5


Vn 2. Tỡm nghim ca phng trỡnh
ổ
ổp
ử 5
ổp
ử
pử
Cõu 11. Cho phng trỡnh cos 2 ỗỗ x + ữữữ + 4 cos ỗỗ - x ữữữ = . Nu t t = cos ỗỗ - x ữữữ thỡ
ỗố
ỗ
ỗ
ố6
ứ 2
ố6
ứ
3ứ

phng trỡnh ó cho tr thnh phng trỡnh no di õy?

A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.
B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.
C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.
D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0.
ổ
ổ
ổp
ử
pử
pử
Li gii. Ta cú cos 2 ỗỗ x + ữữữ = 1 - 2 sin 2 ỗỗ x + ữữữ = 1 - 2 cos 2 ỗỗ - x ữữữ.
ỗố
ỗ
ỗ
ố
ố6
ứ
3ứ
3ứ
ổ
ử
ổ
ử 3
p
p
Do ú phng trỡnh tng ng vi -2 cos 2 ỗỗ - x ữữữ + 4 cos ỗỗ - x ữữữ - = 0
ỗố 6
ỗ
ứ
ố6

ứ 2
ổ
ử
ổ
ử
p
p
-4 cos 2 ỗỗ - x ữữữ + 8 cos ỗỗ - x ữữữ - 3 = 0.
ốỗ 6
ứ
ốỗ 6
ứ
ổp
ử
Nu t t = cos ỗỗ - x ữữữ thỡ phng trỡnh tr thnh -4 t 2 + 8t - 3 = 0 4 t 2 - 8t + 3 = 0. Chn
ỗố 6
ứ
A.

ổ
pử
Cõu 12. Cho x 0 tha món 6 (sin x - cos x ) + sin x cos x + 6 = 0. Giỏ tr cos ỗỗ x 0 + ữữữ bng
ỗố
4ứ

A. -1.

C. -

B. 1.

1
2

D.

.

1
2

.

ổ
pử
1- t 2
Li gii. t t = sin x - cos x = - 2 cos ỗỗ x + ữữữ - 2 Ê t Ê 2 . Suy ra sin x cos x =
.
ỗố
4ứ
2
ộ t = -1
1- t 2
+ 6 = 0 ờờ
Phng trỡnh ó cho tr thnh 6t +
2
ở t = 13 (loaùi)
ổ
ổ
pử

pử
1
ắắ
đ- 2 cos ỗỗ x + ữữữ = -1 cos ỗỗ x + ữữữ =
. Chn D.
ỗố
ỗ
ố
4ứ
4ứ
2

(

)

Cõu 13. Phng trỡnh 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tng ng vi phng trỡnh no
trong cỏc phng trỡnh sau?
A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2.
C. cos 2 x - 2 sin 2 x = -2.

B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2.
D. sin 2 x - 2 cos 2 x = -2.

Li gii. Phng trỡnh tng ng vi (2 sin 2 x + 2 cos 2 x ) - 2.2 sin x cos x + (2 cos 2 x -1) = 0

2 - 2 sin 2 x + cos 2 x = 0 cos 2 x - 2 sin 2 x = -2. Chn C.

Cõu 14. Cho hai phng trỡnh cos 3 x -1 = 0 (1) v cos 2 x = -

1
2

(2). Tp cỏc nghim ca

phng trỡnh (1) ng thi cng l nghim ca phng trỡnh (2) l

p
+ k 2p (k ẻ ).
3
p
C. x = + k 2p (k ẻ ).
3

B. x = k 2p (k ẻ ).

A. x =

2p
+ k 2p (k ẻ ).
3
k 2p
Li gii. Phng trỡnh (1) cos 3 x = 1 3 x = k 2p x =
(k ẻ ).
3
2p
2p
p
Phng trỡnh (2) cos 2 x = cos
2x =

+ k 2p x = + k p (k ẻ ).
3
3
3
D. x =

Biu din nghim trờn ng trũn lng giỏc ta thy c nghim chung ca hai

2p
+ k 2p (k ẻ ). Chn D.
3
ỡp p p p ù
ỹ
ù
Cõu 15. Tỡm gúc a ẻ ớ ; ; ; ý phng trỡnh cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tng
ù
ù6 4 3 2ù
ù
ợ
ỵ
phng trỡnh l x =

ng vi phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x .

5


A. a =

p

.
6

B. a =

p
.
4

C. a =

p
.
3

D. a =

p
.
2

Li gii. Ta cú
cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0

ổ
1
3
pử
cos 2 x +
sin 2 x = cos x cos ỗỗ2 x - ữữữ = cos x .

ỗ
ố
2
2
3ứ

ỡp p p p ù
ỹ
ù
T ú cho thy vi a ẻ ớ ; ; ; ý hai phng trỡnh ó cho tng ng vi nhau thỡ
ù6 4 3 2ỵ
ù
ù
ù
ợ

p
tha món. Chn C.
3
ộ
5p ự
Cõu 16. Trờn on ờ-2p; ỳ , th hai hm s y = sin x v y = cos x ct nhau ti bao
ờở
2 ỳỷ
ch cú duy nht a =

nhiờu im?
A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 8.

Li gii. Phng trỡnh honh giao im ca hai th hm s l: sin x = cos x
p
+ k p (k ẻ ).
4
ộ
5p ự
p
5p
9
9 k ẻ
đ-2p Ê + k p Ê
- Ê k Ê ắắắ
đ k ẻ {-2; -1;0;1;2}.
Do x ẻ ờ-2p; ỳ ắắ
ờở
2 ỳỷ
4
2
4
4
ộ
5p ự
Vy th hai hm s ó cho ct nhau ti 5 im trờn on ờ-2p; ỳ . Chn C.
ờở
2 ỳỷ

tan x = 1 x =

Cõu 17. Biu din tp nghim ca phng trỡnh cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trờn ng
trũn lng giỏc ta c s im cui l
A. 2.
B. 4.

C. 5.

D. 6.

Li gii. Ta cú cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 2 cos 2 x cos x + cos 2 x = 0
ộ
p k 2p
ộ cos 2 x = 0
ờx = +
đ 4 diem
ờ
ờ
4
4
ờ

(k ẻ ) v cỏc im ny khụng trựng nhau nờn
ờ
1
ờ cos x = p
ờ
ờ x = + k 2p đ 2 diem
2

ởờ
ờở
3
tp nghim ca phng trỡnh ó cho cú 6 im biu din trờn ng trũn lng giỏc.
Chn D.
Cõu

18.

Cú

bao

nhiờu

giỏ

tr

a

ca

thuc

[0;2p ] ba phn t ca

S = {sin a,sin 2a,sin 3a} trựng vi ba phn t ca T = {cos a,cos 2a,cos 3a}.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Li gii. Vỡ S = T ắắ
đ sin a + sin 2a + sin 3a = cos a + cos 2a + cos 3a

2 sin 2a cos a + sin 2a = 2 cos 2a cos a + cos 2a sin 2a (2 cos a + 1) = cos 2a (2 cos a + 1)

ộ
p
p
ộ sin 2a = cos 2a
ờa = + k
ờ
ờ
8
2
ờ
ờ
(k ẻ ).
1
ờ cos a = ờ
2p
ờở
a
=

+
k
2
p
ờ
2
ờở
3
p
p
Th li ta thy ch cú a = + k
(k ẻ ) tha S = T .
8
2
p
p
1
15 k ẻ
Vỡ a ẻ [0;2p ] ắắ
đ 0 Ê + k Ê 2p - Ê k Ê ắắắ
đ k ẻ {0;1;2;3}. Chn D.
8
2
4
4

Cõu 19. Phng trỡnh 2 n +1 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = 1 vi n ẻ * cú tp nghim
trựng vi tp nghim ca phng trỡnh no sau õy?
A. sin x = 0.

B. sin x = sin 2 n x .

C. sin x = sin 2 n +1 x .
6

D. sin x = sin 2 n +2 x .


Li gii. Vỡ x = kp khụng l nghim ca phng trỡnh ó cho nờn nhõn hai v phng
trỡnh cho sin x , ta c 2 n +1 (sin x cos x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n (sin 2 x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n (sin 2 x .cos 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x
2 n-1 (sin 2 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x



sin 2 n +2 x = sin x . Chn D.

Cõu 20. Tớnh din tớch ca a giỏc to bi cỏc im trờn ng trũn lng giỏc biu
ổ
pử
din cỏc nghim ca phng trỡnh tan x + tan ỗỗ x + ữữữ = 1.
ỗố
4ứ
A.

3 10
.
10

B.

3 10
.
5

C.

D.

2.

3.

ỡ
p
ù
ỡ
cos x ạ 0
ù
ù
x ạ + kp
ù
ù
ù
ù
2
ù

Li gii. iu kin: ớ ổ
ử
(k ẻ ).
ỗỗ x + p ữữ ạ 0 ớ
ù
ù
cos
p
ù
ù
ữ
ỗ
x ạ + kp
ù
ù
4ứ
ù
ợ ố
ù
4
ù
ợ

y
T

3

ổ
pử

tan x + 1
=1
Ta cú tan x + tan ỗỗ x + ữữữ = 1 tan x +
ỗố
4ứ
1 - tan x

tan x - tan 2 x + tan x + 1 = 1 - tan x
ộ tan x = 0
ộ x = kp
tan 2 x - 3 tan x = 0 ờ
ờ
(k ẻ ).
ờ tan x = 3
ờ x = arctan 3 + k p
ở
ở

Nghim x = kp biu din trờn ng trũn lng giỏc l hai

1

M

H
O

x
A

B

im A, B (xem hỡnh v).
Nghim x = arctan 3 + kp biu din trờn ng trũn lng giỏc

N -1

l hai im M , N (xem hỡnh v).
Ta cú SDAMN =

1
1
AO. AT
3 10
3 10
MN . AH = .MN .
=
ắắ
đ S AMBN =
. Chn B.
2
2
2
2
10
5
AO + AT

Vn 3. Nghim dng nh nht
Nghim õm ln nht

Cõu 21. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 cú dng
a, b l cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 3.
B. S = 7.
C. S = 15.

pa
vi
b

D. S = 17.

Li gii. Phng trỡnh tng ng vi sin 5 x = 1 - 2 cos x sin 5 x = - cos 2 x
ộ
p
2p
ờx = - + k
ổ
ử
p
ờ
6
3
sin 5 x = sin ỗỗ2 x - ữữữ ờ
ỗố
3p
2p
2ứ ờ
+k
ờx =

ờở
14
7
ỡ
a
=
3
ù
3p
ắắ
đù
ắắ
đ S = 17. Chn D.
ắắ
đ nghim dng nh nht l
ớ
ù
14
ù
ợb = 14
2

Cõu 22. Nghim õm ln nht ca phng trỡnh

sin x
1
pa
+
+ cot x = 2 cú dng
1 + cos x 1 - cos x

b

vi a, b l cỏc s nguyờn, a < 0 v a, b nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
7


A. S = 3.

B. S = 4.
C. S = 5.
ỡùùcos x ạ 1
x ạ k p (k ẻ ).
Li gii. iu kin: ớ
ùùợsin x ạ 0
Phng trỡnh

sin x (1 - cos x ) + 1 + cos x
2

+

sin x
sin x + cos x + 1 = 2 sin 2 x

D. S = 7.

cos x
=2
sin x

sin x + cos x + cos 2 x = 0

(sin x + cos x )(1 + cos x - sin x ) = 0.

p
sin x + cos x = 0 tan x = -1 x = - + k p (k ẻ )(thoỷa maừn).
4
ộ
p
ờ x = + k 2p (thoỷa maừn)
ổ
p ửữ
2
ỗ
ờ
1 + cos x - sin x = 0 sin ỗ x - ữữ =

2
(k ẻ ).
ỗố
ờ
4ứ
2
ờở x = p + k 2p (loaùi)

ỡùa = -1
p
ắắ
đ ùớ
ắắ

đ S = 3. Chn A.
ùùợb = 4
4
ổp
ử
ổp
ử
Cõu 23. Cho phng trỡnh sin x + sin 5 x = 2 cos 2 ỗỗ - x ữữữ - 2 cos 2 ỗỗ + 2 x ữữữ. S v trớ biu din
ỗố 4
ỗ
ứ
ố4
ứ

ắắ
đ nghim õm ln nht l -

cỏc nghim ca phng trỡnh trờn ng trũn lng giỏc l?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
ỡ
ổ
ử
ổ
ử
ù
p
p
ù

2 cos 2 ỗỗ - x ữữữ = 1 + cos ỗỗ - 2 x ữữữ = 1 + sin 2 x
ù
ỗố 4
ỗố 2
ù
ứ
ứ
ù
Li gii. Ta cú ớ
.
ù
ổ
ử
ổ
ửữ
p
2 ỗp
ù
ữ
ỗ
2
cos
+
2
x
=
1
+
cos
+

4
x
=
1
sin
4
x
ù
ữ
ữ
ỗỗ
ỗỗ
ữứ
ữứ
ù
ố4
ố2
ù
ợ

D. 6.

Do ú phng trỡnh tng ng vi sin x + sin 5 x = sin 2 x + sin 4 x
2 sin 3 x cos 2 x = 2 sin 3 x cos x
sin 3 x = 0 x =

2 sin 3 x (cos 2 x - cos x ) = 0.

kp
(k ẻ ).

3

ộ x = k 2p
ờ
cos 2 x - cos x = 0 cos 2 x = cos x ờ
k 2p (k ẻ ).
ờx =
ờở
3

Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

k p k 2p
=
(k ẻ )
3
6

ắắ
đ cú 6 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn D.

Cõu 24. Cho phng trỡnh sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin 3 x ). Tng nghim
õm ln nht v nghim dng nh nht ca phng trỡnh bng

p
A. - .
7

p
.

7
1
3sin x - sin 3 x
Li gii. Phng trỡnh sin x + (sin 3 x + sin x ) + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x +
2
2
sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x
ổ
pử
sin ỗỗ3 x + ữữữ = cos 4 x
ỗố
3ứ
ộ
p k 2p
ờx =
+
ổ
ửữ
ổp
ửữ ờ
p
42
7
sin ỗỗ3 x + ữữ = sin ỗỗ - 4 x ữữ ờ
(k ẻ ).
ỗố
ỗố 2
ứ ờ
p
3ứ

ờ x = - + k 2p
ờở
6
B. -

p
.
18

C. -

8

p
.
20

D.


p
p
Suy ra nghim õm ln nht l - ; nghim dng nh nht l
. Chn A.
42
6
1
pa
Cõu 25. Nghim dng nh nht ca phng trỡnh cos 3 x (2 cos 2 x + 1) = cú dng
vi

2
b
a, b l cỏc s nguyờn v nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 7.
B. S = 8.
C. S = 15.

Li gii. Phng trỡnh 4 cos 3 x cos 2 x + 2 cos 3 x = 1

D. S = 17.

2 (cos 5 x + cos x ) + 2 cos 3 x = 1

2 cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x = 1.

Nhn thy sin x = 0 x = k p (k ẻ ) khụng tha món phng trỡnh.
Nhõn hai v cho sin x ta c 2 sin x cos x + 2 sin x cos 3 x + 2 sin x cos 5 x = sin x

sin 2 x + (sin 4 x - sin 2 x ) + (sin 6 x - sin 4 x ) = sin x

ộ
k 2p
ờx =
ờ
5
sin 6 x = sin x ờ
(k ẻ ).
ờ
p k 2p
ờx = +

ờở
7
7
ùỡùa = 1
p
đớ
ắắ
đ S = 8. Chn B.
Suy ra nghim dng nh nht l ắắ
ùùợb = 7
7

Cõu 26. Cho phng trỡnh sin 2018 x + cos 2018 x = 2 (sin 2020 x + cos 2020 x ). S v trớ biu din cỏc
nghim ca phng trỡnh trờn ng trũn lng giỏc l?
A. 3.
B. 4.
C. 6.
Li gii. Phng trỡnh sin

2018

x (1 - 2 sin x ) + cos
2

2018

x (1 - 2 cos x ) = 0

D. 2020.

2

sin 2018 x .cos 2 x - cos 2018 x cos 2 x = 0
ộ cos 2 x = 0
ờ 2018
.
ờ sin
x = cos 2018 x
ở

cos 2 x = 0 x =

p kp
+
(k ẻ ).
4
2

p
sin 2018 x = cos 2018 x tan 2018 x = 1 tan x = 1 x = + k p (k ẻ ).
4

Hp hai trng hp ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

p kp
+
(k ẻ )
4
2

ắắ
đ cú 4 im biu din trờn ng trũn lng giỏc. Chn B.

ổ
pử
Cõu 27. Nghim õm ln nht ca phng trỡnh tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 ỗỗ x + ữữữ cú
ỗố
4ứ

pa
vi a, b l cỏc s nguyờn, a < 0 v a, b nguyờn t cựng nhau. Tớnh S = a + b.
b
A. S = -3.
B. S = -1.
C. S = 1.
D. S = 3.
ỡùtan 2018 x + cot 2018 x 2
ùù
Li gii. Ta cú ùớ
.
ổ
ử
ùù2 sin 2017 ỗỗ x + p ữữ Ê 2
ữ
ỗ
ố
4ứ
ùợù
dng

ỡ
p
ù
ỡtan x = cot x
ù
ù
x = + kp
ù
ù
p
ù
ù
4
ù
x = + k 2p (k ẻ ).
Do ú phng trỡnh tng ng vi ớ ổ
ử
ỗỗ x + p ữữ = 1 ớ
ù
ù
sin
p
4
ù
ù
ỗ
x = + k 2p
ù
ù
4 ữứ

ù
ợ ố
ù
4
ù
ợ

ắắ
đ nghim õm ln nht l -

ỡùa = -7
7p
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = -3. Chn A.
ùùợb = 4
4

9


Cõu 28. Cho phng trỡnh 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x =
dng nh nht ca phng trỡnh cú dng
cựng nhau. Tớnh S = a + b.
A. S = 2.
B. S = 3.
ỡ
ùcos x ạ 0
.

Li gii. iu kin: ùớ
ù
ù
ợtan x ạ 1
Ta cú

cos 2 x
. Nghim
1 - tan x

pa
vi a, b l cỏc s nguyờn v nguyờn t
b
C. S = 4.

D. S = 7.

cos 2 x
cos 2 x - sin 2 x
=
= cos x (cos x + sin x ).
sin x
1 - tan x
1cos x

Do ú phng trỡnh 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x = (sin x + cos x ) cos x
cos x = 0 : (loaùi).

cos x (sin x + cos x ). ộờ 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) -1ựỳ = 0.
ở

ỷ

p
sin x + cos x = 0 tan x = -1 x = - + k p (k ẻ ).
4

2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) -1 = 0 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) = 1 : vụ nghim vỡ

1009
ổ a1009 + b1009 ửữ
ổ a + b ửữ
1
ữữ 2 ỗỗ
sin 2018 x + cos 2018 x = 2.ỗỗỗ
= 1008 vi a = sin 2 x , b = cos 2 x .
ữ
ữ
ỗ
ố 2 ứ
2
2
ố
ứữ

ùỡa = 3
3p
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = 7. Chn D.

ùùợb = 4
4
1
1
1
1
Cõu 29. Bit rng phng trỡnh
+
+
++
= 0 cú nghim dng
sin x sin 2 x sin 4 x
sin 2 2018 x
k 2p
vi k ẻ v a, b ẻ + , b < 2018. Tớnh S = a + b.
x= a
2 -b
A. S = 2017.
B. S = 2018.
C. S = 2019.
D. S = 2020.

ắắ
đ nghim dng nh nht l

Li gii. iu kin: sin 2 2018 x ạ 0.

cos a cos 2a 2 cos 2 a - cos 2a
1
=

=
.
sin a sin 2a
sin 2a
sin 2a
ổ
ử
x
Do ú phng trỡnh ỗỗcot - cot x ữữữ + (cot x - cot 2 x ) + ... + (cot 2 2017 x - cot 2 2018 x ) = 0
ỗố
ứ
2
x
cot - cot 2 2018 x = 0
2
x
x
k 2p
cot 2 2018 x = cot 2 2018 x = + k p x = 2019
(k ẻ )
2
2
2 -1
ùỡa = 2019
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = a + b = 2020. Chn D.
ùùợb = 1

Ta cú cot a - cot 2a =

Cõu 30. Phng trỡnh
A. 1.

sin x
p
cú bao nhiờu nghim?
=
x
18
B. 2.

C. 3.

D. Vụ s.

Li gii. iu kin: x ạ 0 .
Phng trỡnh

sin x
p
p
=
ắắ
đ sin x = x .
x
18
18

(1)

Phng trỡnh (1) l phng trỡnh honh giao im ca th hm s y = sin x (cú
th l mu xanh nh hỡnh v) vi th hm s y =
v).
10

p
x (cú th l mu nh hỡnh
18


Da vo hỡnh v ta thy hai th hm s ct nhau ti 3 im phõn bit nờn phng
trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit ắắ
đ i chiu iu kin bi toỏn ta loi nghim x = 0
nờn phng trỡnh ó cho cú 2 nghim. Chn B.

Vn 4. S nghim ca phng trỡnh
Cõu 31. Phng trỡnh 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) cú bao nhiờu
nghim thuc khong (0;2018) ?
A. 2565.

B. 2566.

C. 2567.

D. 2568.

Li gii. Phng trỡnh (1 + cos 2 x ) + (1 + cos 4 x ) + (1 + cos 6 x ) - 3 = 2 cos 4 x sin 2 x + cos 4 x

cos 6 x + cos 2 x = 2 cos 4 x sin 2 x
2 cos 4 x cos 2 x - 2 cos 4 x sin 2 x = 0
2 cos 4 x (cos 2 x - sin 2 x ) = 0
cos 4 x = 0 x =

p
p
+ k (k ẻ ).
8
4

( cos 4 x = cos 2 2 x - sin 2 2 x = (cos 2 x - sin 2 x )(cos 2 x + sin 2 x ) nờn cha luụn cos 2 x - sin 2 x )
đ0 <
Vỡ x ẻ (0;2018) ắắ

ổ
p
p
1
pử 4
+ k < 2018 - < k < ỗỗ2018 - ữữữ -0,5 < k < 2565,39
ỗố
8
4
2
8ứp

ắắ
đ k ẻ {0;1;2;3;...;2565} . Vy cú 2566 nghim. Chn B.

Cõu 32. Phng trỡnh

(0;2018p ) ?
A. 3025.

(1 - 2 cos x )(1 + cos x )
= 1 cú bao nhiờu nghim thuc khong
(1 + 2 cos x ) sin x

B. 3026.

C. 3027.

Li gii. iu kin: (1 + 2 cos x ) sin x ạ 0.

D. 3028.

Phng trỡnh 1 - cos x - 2 cos 2 x = sin x + 2 sin x cos x
cos 2 x + cos x + sin 2 x + sin x = 0
3x
x
3x
x
2 cos cos + 2 sin cos = 0
2
2
2
2
ộ
x

ờ cos = 0 (loaùi)
x ổỗ 3 x
3 x ửữ
3x
p
2p
ờ
2
2 cos ỗsin
+ cos ữữ = 0 ờ
tan
= -1 x = - + k
(k ẻ ).
ỗ
ố
ứ
3x
ờ 3x
2
2
2
2
6
3
+ cos
=0
ờ sin
2
2
ởờ

ổ
p
2p
1
1ử 3
1
đ0 <- + k
< 2018p < k < ỗỗ2018 + ữữữ. < k < 3027,25.
Vỡ x ẻ (0; 2018p ) ắắ
ốỗ
6
3
4
6ứ 2
4
ắắ
đ k ẻ {1;2;3;...;3027} . Vy cú 3027 nghim. Chn C.

11


(

ộp
Cõu 33. Phng trỡnh sin ờ 3 x - 9 x 2 -16 x - 80
ờở 4

dng?
A. 1.

)ỳỳỷ = 0
ự

cú bao nhiờu nghim nguyờn

B. 2.
C. 3.
p
2
Li gii. Phng trỡnh 3 x - 9 x -16 x - 80 = k p
4

(

)

D. 4.

3 x - 9 x 2 -16 x - 80 = 4 k
9 x 2 -16 x - 80 = 3 x - 4 k
ùỡ3 x 4 k
(1)
ùớ 2
.
2
2
ùù9 x -16 x - 80 = 9 x - 24 kx + 16 k (2)
ợ
2 (9 k 2 - 4 ) + 98
2 k 2 + 10

98
Phng trỡnh (2) x =
ắắ
đ 9x =
= 2 (3k + 2) +
.
3k - 2
3k - 2
3k - 2
ộ k = 1 ị x = 12
ờ
k ẻ
+
đ ờờ k = 3 ị x = 4
. Chn B.
Vỡ x ẻ nờn ta cn cú 3k - 2 = {1;2;7;14;49;98} ắắắ
ờ
ờở k = 17 ị x = 12 (loaùi)
ổ
pử 1
Cõu 34. Phng trỡnh sin 4 x + cos 4 ỗỗ x + ữữữ =
cú bao nhiờu nghim thuc khong
ỗố
4ứ 4

(0;2017p ) ?

A. 4032.

B. 4033.

ỡù 2
1
ùùsin x = - cos 2 x
ù
2
Li gii. Ta cú ùớ
.
ổ
ùù
pử
ùùcos x - sin x = 2 cos ỗỗỗ x + ữữữ
ố
4ứ
ùợ

C. 4034.

D. 4035.

2
ổ1 - cos 2 x ửữ ổỗ 1 ửữ
1
4
Phng trỡnh ỗỗ
ữữứ + ỗốỗ 2 ữữứ (cos x - sin x ) = 4
ốỗ
2
4

(1 - cos 2 x ) + (1 - sin 2 x ) = 1

2

2

3 - 2 (cos 2 x + sin 2 x ) = 1

ộ x = kp
ổ
ờ
p ửữ
1
ỗ
sin ỗ2 x + ữữ =
ờ
(k ẻ ).
p
ờ x = + kp
ốỗ
ứ
4
2
ờở
4
Vỡ x ẻ (0;2017p ) nờn

0 < k p < 2017p 0 < k < 2017 ắắ
đ cú 2016 nghim
0<

p

1
8067
+ k p < 2017p - < k <
ắắ
đ cú 2017 nghim.
4
4
4

Vy cú tng cng 4033 nghim. Chn B.
Cõu 35. Tỡm s nghim ca phng trỡnh tan 4 x - tan 2 x - 4 tan x = 4 tan 4 x .tan 2 x .tan x trờn
on [-p; p ].
A. 2.

B. 3.
ùỡùcos x ạ 0
ù
Li gii. iu kin: ùớcos 2 x ạ 0.
ùù
ùùợcos 4 x ạ 0

C. 6.

Phng trỡnh tan 4 x - tan 2 x = 4 tan x (1 + tan 4 x .tan 2 x )



D. 7.

tan 4 x - tan 2 x

= 4 tan x (vỡ cos 2 x ạ 0 ắắ
đ 1 + tan 4 x .tan 2 x ạ 0 )
1 + tan 4 x .tan 2 x

12