BÀI 5 BẤT ĐẲNG THỨC KHỐI A-2009

Câu 5 đề thi ĐH- CĐ năm học 2008-2009
Đề bài: Cho x,y,z dương thoả mãn x(x+y+z)=3yz.
Chứng minh rằng:
3 3 3
(x y) (x z) 3(x y)(x z)(y z) 5(y z)+ + + + + + + ≤ +
(1)
Lời giải:
Từ giải thiết ta có (x+y)(x+z)=4yz.
Do đó BĐT (1) tương đương với
3 3 3
(x y) (x z) 12yz(y z) 5(y z)+ + + + + ≤ +
(2)
Mặt khác
[ ]
2
2 2 2
3 3
3(y z)
x (y z)x 3yz 4x 4(y z)x 3(y z) 0
4
(2x y z) 2x 3(y z) 0 2x y z 8x (y z)
+
+ + = ≤ ⇒ + + − + ≤
⇔ − − + + ≤ ⇒ ≤ + ⇒ ≤ +
Áp dụng BĐT cơ bản:
3 3 3
(x y) 4(x y )+ ≤ +
ta được
3 3 3 3 3 3 3
VT(2) 4(x y ) 4(x z ) 12yz(y z) 8x 4(y z) 5(y z)≤ + + + + + = + + ≤ +
(đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.