Bài giảng đặc tính động học của hệ thống

MỞ ĐẦU
Đặc tính động của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo
thời gian khi có tác động ở đầu vào. Trong thực tế các hệ thống điều khiển rất đa dạng,
tuy nhiên những hệ thống được mô tả bằng mô hình toán học có dạng như nhau sẽ có đặc
tính động học như nhau. Để khảo sát đặc tính động học của hệ thống, tín hiệu thường
được chọn là tín hiệu cơ bản như hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hòa.
Tùy theo dạng của tín hiệu vào mà đặc tính động thu được là đặc tính thời gian hay đặc
tính tần số.

NỘI DUNG


I. KHÁI NIỆM VỀ ĐĂC TÍNH ĐỘNG HỌC
- Đặc tính thời gian:
+ Đáp ứng xung: tín hiệu vào là hàm dirac;
+ Đáp ứng nấc: tín hiệu vào là hàm nấc.
- Đặc tính tần số: tín hiệu vào là hàm sin.
A. ĐẶC TÍNH THỜI GIAN
Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống khi
tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.
Nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị r(t) = δ(t) thì đáp ứng của hệ thống là:
C(s) = R(s).G(s) = G(s) (do R(s) =1);
c(t) = L-1{C(s)} = L-1{G(s)} = g(t),
(4.1)

trong đó g(t) được gọi là đáp ứng xung hay còn gọi là hàm trọng lượng của hệ
thống và đáp ứng xung chính là biến đổi Laplace ngược của hàm truyền
Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị r(t) = 1(t) thì đáp ứng của hệ thống là:
G (s)
( do R (s) = 1)
s

t
G (s)
c (t) = L−1 {C(s)}=L−1{
}= ∫ g (τ ) d τ = h(t )
s
0

C (s) = R (s).G(s) =

(4.2)

=> Đáp ứng nấc chính là tích phân của đáp ứng xung
Đáp ứng nấc còn được gọi là hàm quá độ của hệ thống
Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền là:
G (s) =

s +1
s (s + 5)

Xác định hàm trọng lượng và hàm quá độ của hệ thống
Giải: Áp dụng công thức 3.1 và 3.2, ta được:
1 4 −5t
+ e
5 5
1
4
4
h(t) = t − e −5t +
5 25
25

g (t) =

B. ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính liên tục mô tả quan hệ giữa tín hiệu
ra và tín hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu
dao động điều hòa tác động ở đầu vào của hệ thống.
Xét hệ tuyến tính liên tục có hàm truyền là G(s), giả sử tín hiệu vào là tín hiệu
hình sin:
ωR
r (t) = R m sin ωt ⇔ R (s) = 2 m 2
s +ω
Tín hiệu ra của hệ thống là:
2


 ωR 
C (s) = R(s) G(s) =  2
G (s)
2 ÷
 s +ω 
Giả sử G(s) có n cực pi phân biệt thỏa pi ≠±jω, ta có thể phân tích C(s) dưới
dạng:
n
α
α
β
C (s) =
+
+∑ i
s + jω s − jω i =1 s − pi

Biến đổi Laplace ngược biểu thức trên, ta được:
n

c(t) = α e − jωt + α e jωt + ∑ βi e pit
i =1

Nếu hệ thống ổn định thì tất cả các cực p i đều có phần thực âm (khái niệm ổn
định sẽ nói rõ hơn trong chương 4). Khi đó:
n

lim ∑ β e
t →+∞

i =1

i

pi t

=0

Do đó:

cxl (t) = α e − jωt + α e jωt

(4.3)

Nếu G(s) có cực bội thì ta cũng có thể chứng minh được đáp ứng xác lập của
hệ thống có dạng (3.3). Các hệ số α và α xác định bởi công thức:
ωR

R G (− jω )
α = G (s) 2 m 2 (s + jω )
=− m
s +ω
2j
s =− jω
(4.4)
ω Rm
RmG (jω )
α = G (s) 2
(s − jω )
=
s + ω2
2j
s = jω
Thay (3.4) vào (3.3), rút gọn biểu thức ta được:
cxl (t) = R m G (jω ) sin(ω t + ∠ G(jω ))

(4.5)
Biểu thức cho thấy ở trạng thái xác lập tín hiệu ngõ ra của hệ thống là tín hiệu
hình sin, cùng tần số với tín hiệu vào, biên độ tỉ lệ với biên độ tín hiệu vào (hệ số tỉ
lệ là G (jω ) ) và lệch pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha là ∠G (jω ) ).
Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng
thái xác lập và tín hiệu vào hình sin
C (jω )
Đặc tính tần số=
(3.6)
R (jω )
Từ định nghĩa (3.6) và biểu thức (3.5) ta được:
Đặc tính tần số= G (s) s = jω = G (jω ) (3.7)

Ví dụ: Nếu hệ thống có hàm truyền là G (s) =
hệ thống là G (jω ) =

10(jω + 3)
jω (jω + 1)
3

10(s + 3)
thì đặc tính tần số của
s (s + 1)


Tổng quát đặc tính tần số G (jω ) là một hàm phức nên có thể biễu diễn dưới
dạng đại số hoặc dạng cực:
G (jω ) = P(ω ) + jQ(ω ) = M(ω ).e jϕ (ω )
Trong đó: P(ω ) là phần thực; Q(ω ) là phần ảo của đặc tính tần số
M (ω ) là đáp ứng biên độ; ϕ (ω ) là đáp ứng pha
Để biễu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai
dạng đồ thị thường được sử dụng:
1-Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm hai thành phần:
Biểu đồ Bode biên độ: đồ thị biễu diễn mối quan hệ giữa logarith của đáp ứng
biên độ L(ω ) theo tần số ω
L(ω ) = 20lg M (ω ) ,
(3.8)
L(ω ) - đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB (decibel).
Biểu đồ Bode pha: đồ thị biễu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha ϕ (ω ) theo
tần số ω.
Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành ω
chia theo thang logarith cơ số 10. Khoảng cách giữa hai tần số hơn kém nhau 10
lần gọi là mộ decade.

2-Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) là đồ thị biễu diễn đặc tính tần số
G ( jω ) trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0 → ∞ . Đường cong Nyquist tập hợp
tất cả các điểm ngọn của vecto biễu diễn số phức G ( jω ) .
Mặc dù biễu diễn dưới dạng hai đồ thị khác nhau nhưng thông tin về hệ
thống từ biễu đồ Bode và biểu đồ Nyquist là như nhau.

Hình 1: Biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist
Đặc tính tần số của hệ thống có các thông số quan trọng sau đây:
Đỉnh cộng hưởng (Mp): là giá trị cực đại của M(ω).
Tần số cộng hưởng (ωp): là tần số tại đó có đỉnh cộng hưởng.
4


Tần số cắt biên (ωc): là tần số tại đó biên độ của đặc tính bằng 1 (hay bằng
0dB).

M (ωc ) = 1

hay

L(ωc ) = 0.

(4.9)

Tần số cắt pha (ω-π): là tần số tại đó pha của đặc tính tần số bằng –π (hay
-180 )
ϕ (ω−π ) = −1800.
(4.10)
Độ dự trữ biên (GM - Gain Margin)
1

GM =
hay GM = − L(ω−π ).
(4.11)
M (ω−π )
0

Độ dự trữ pha

φ M = 1800 + ϕ (ωc )

(4.12)
Độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của hệ thống cho biết hệ thống có ổn định
hay không. Nội dung chương tiếp theo sẽ đề cập chi tiết vấn đề này.
II. CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH
A. KHÂU TỈ LỆ
Hàm truyền: G(s) = K;
Đặc tính thời gian: Y(s) = G(s).R(s) = KR(s);
y(t) = Kr(t).
Đặc tính tần số: G(jω) = K
- Biên độ: M(ω) = K => L(ω) = 20lgK ;
- Pha: φ(ω) = 0.
Các biểu thức trên cho thấy đặc tính tần số của khâu tỉ lệ là hằng số với mọi
ω, do đó biểu đồ bode là một đường song song với trục hoàng, cách trục hoành
20lgK; biểu đồ bode về pha là một đường nằm ngang trùng với trục hoàng; biểu đồ
Nyquist là một điểm do vecto G(jω) không đổi với mọi ω.

5


Hình 2: Biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist của khâu tỉ lệ

B. KHÂU TÍCH PHÂN LÝ TƯỞNG

Biểu đồ Bode được chia theo thang cơ số 10 nên biểu đồ bode của khâu tích
phân lý tưởng là đường thẳng có độ dốc -20dB/dec. Biểu đồ Bode về pha của khâu
tích phân lý tưởng là đường nằm ngang do φ(ω)=-90 0. Biểu đồ Nyquist là nửa dưới
trục tung do G(jω) có phần thực bằng 0, phần ảo luôn luôn âm.

Hình 3: Hàm trọng lượng và hàm quá độ

6


Hình 4: Biểu đồ Bode và Nyquist của khâu tích phân lý tưởng
C. KHÂU VI PHÂN LÝ TƯỞNG

Biểu đồ Bode về biên độ của khâu vi phân lý tưởng là đường thẳng có độ dốc
+20dB/dec, biểu đồ Bode về pha là đường nằm ngang φ(ω) = 90 0. Biểu đồ Nyquist
là nửa trên của trục tung G(jω) có phần thực bằng 0, phần ảo luôn luôn dương.

Hình 5: Biểu đồ Bode và Nyquist của khâu vi phân lý tưởng
D. KHÂU QUÁN TÍNH BẬC NHẤT

7


Hình 5: Biểu đồ Bode và Nyquist của khâu quán tính bậc nhất
E. KHÂU VI PHÂN BẬC NHẤT

8

Hình 6: Biểu đồ Bode và Nyquist của khâu vi phân bậc nhất
III. ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG

9


10


HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU

1.

2.

Ôn tập bài cũ
- Các đặc tính động học của hệ thống điều khiển
- Các khâu động học điển hình
- Đặc tính tần số của hệ thống điêu khiển
Chuẩn bị bài mới: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

KẾT LUẬN
Chương này trình bày khái niệm đặc tính động học của hệ thống tự động. Đặc
tính động học của các khâu cơ bản được khảo sát và cách xây dựng biểu đồ Bode.
Học viên phải nắm vững đặc tính động học của các khâu cơ bản và cách xây dựng
đặc tính động học của hệ thống mới có thể giải quyết tốt bài toán thiết kế hệ thống
tự động sẽ được trình bày trong các chương sau.

11