Tuyển tập đề thi cao học toán đại học khoa học tự nhiên đại học quốc gia hà nội

Trần Tuấn Việt

Tuyển tập
đề thi Cao học
từ năm 2011 đến 2019
Ngành Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên

Hà Nội - 2019


Trần Tuấn Việt
Bộ môn Toán, Khoa KHCB, Học viện PK - KQ
Địa chỉ: Kim Sơn, Sơn Tây, Hà Nội.
—–o0o—

TUYỂN TẬP ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN
TỪ NĂM 2011 - 2019
Ngành Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên

HÀ NỘI - 2019


Mục lục
I

II

ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ GIẢI TÍCH

5

Năm 2019 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Năm 2018 - Đợt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Năm 2018 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Năm 2017 - Đợt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Năm 2017 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Năm 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Năm 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Năm 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Năm 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Năm 2012 - Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Năm 2012 - Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Năm 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

ĐỀ THI MÔN CƠ BẢN ĐẠI SỐ

18

Năm 2019 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Năm 2018 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Năm 2017 - Đợt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Năm 2017 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Năm 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Năm 2015 - Đợt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Năm 2015 - Đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Năm 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Năm 2012 - Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Năm 2012 - Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Năm 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3


LỜI NÓI ĐẦU
Tài liệu nhỏ này là bộ đề thi tuyển sinh đầu vào cao học chuyên ngành toán của trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN trong các năm từ 2011 đến 2018. Cuốn sách được biên soạn
lại bằng chương trình soạn thảo LATEX dựa trên các đề thi được cung cấp bởi một đồng nghiệp
của tôi, thầy Phạm Hồng Quân. Xuất phát từ thực trạng việc tìm các đề thi trên mạng rất khó,
tài liệu này ra đời nhằm mục đích cung cấp một nguồn ôn thi hiệu quả cho các bạn đồng nghiệp,
các bạn sinh viên mới tốt nghiệp có nhu cầu học cao học Toán tại Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội. Xin kính chúc các thầy, các bạn đồng nghiệp ôn thi đạt hiệu quả cao
nhất. Trong quá trình sử dụng nếu phát hiện có sai sót hoặc có đề thi của những năm tiếp theo,
vui lòng gửi cho chúng tôi để cuốn tài liệu được cập nhật hơn và giúp ích được nhiều người khác
nữa! Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4, năm 2019
Trần Tuấn Việt.1

1

Bộ môn Toán, Khoa Khoa học cơ bản, Học viện PK - KQ

4

Phần I
ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ GIẢI TÍCH

5


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2019
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu.
2. Khảo sát sự hội tụ của dãy số {an }n≥1 được xác định như sau:
a1 = 2018,

an+1 =

1 2
2019
an −
a
2020
2020 n

khi n ≥ 1.

Câu 2.
1. Nêu định nghĩa tập compact trong không gian Rn . Chứng minh rằng nếu A là một tập compact
trong Rn và hàm f : A −→ R liên tục trên A thì f bị chặn và đạt GTLN, GTNN trên A.

2. Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi

1


 − 2
x + y2
f (x; y) = e


0

nếu (x; y) = (0; 0)
nếu (x; y) = (0; 0).

Hãy xét tính khả vi của hàm f tại điểm (0; 0).
Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm trên một tập
hợp.
2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

n2

|x|
.
+ x2

a) Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

cos(x) − cos(3x)
dx,
xα
0

trong đó α là tham số thực dương.
6


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2018
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 2)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Cantor về dãy đoạn lồng nhau và thắt lại.
2. Khảo sát sự hội tụ của dãy số {an }n≥1 được xác định như sau:
1
a1 = , an+1 = a2n − an + 1 khi n ≥ 1.
2
Câu 2.
1. Nêu định nghĩa tập compact trong Rn . Chứng minh rằng nếu A là tập compact trong Rn và
hàm f : A −→ Rm liên tục trên A thì tập
f (A) = {f (x) : x ∈ A}
là tập compact trong Rm .

2. Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi

sin(x3 + y 3 )



x2 + y 2
f (x; y) =


0

nếu (x; y) = (0; 0)
nếu (x; y) = (0; 0).

Hãy xét tính khả vi của hàm f tại điểm (0; 0).
Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Weierstrass về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm trên một tập
hợp.
2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

(−1)n ln(nx)
.
1 + n2 x

a) Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

eβx − 1
dx,
xα

0

trong đó α là các tham số thực.
7


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2018
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 5.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu.
2. Xét tính liên tục đều của hàm số g(x) = ln(cos x) trên khoảng [0; 1].
Câu 6.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Fermat cho hàm một biến về điều kiện cần của cực trị địa
phương.
2. Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi

sin(y 3 )




x2 + y 2
f (x; y) =


0

nếu (x; y) = (0; 0)
nếu (x; y) = (0; 0).

Hãy xét tính khả vi của hàm f tại điểm (0; 0).
Câu 7.
1. Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm trên một tập
hợp.
2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

e−nx
.
n

a) Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 8. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

cos(x) − cos(2x)
dx,

xα
0

trong đó α là tham số thực dương.

8


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2017
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 2)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy số bị chặn.
2. Xét tính liên tục đều của hàm số g(x) = ln 1 +

1
x

trên khoảng (0; 1).

Câu 2.
1. Cho A ⊂ Rm và f : A → Rm , f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) với x ∈ A. Chứng minh rằng
hàm f liên tục tại điểm a ∈ A khi và chỉ khi các hàm thành phần f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) liên
tục tại điểm a.
2. Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi
f (x; y) = x2 − y 2 .
Hãy xét tính khả vi của f tại điểm (0; 0).
Câu 3.
1. Hãy phát biểu và chứng minh định lý về tính liên tục của hàm giới hạn của một dãy hàm.

2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

sin x
.
n(1 + nx2 )

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

e−ax − e−bx
dx,
x

0

trong đó a > 0, b > 0 là các tham số thực.

9


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2017
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1)
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy số bị chặn.
2. Xét sự hội tụ của dãy số {an } được cho bởi
a1 =

√

2, an+1 =

2+

√

an khi n ≥ 1.

Câu 2.
1. Nêu định nghĩa tập Compact trong Rn . Chứng minh rằng nếu A là một tập hợp Compact trong
Rn và hàm f : A → Rm liên tục trên A thì f liên tục đều trên A.
2. Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi

xy(x + y)


x2 + y 2
f (x; y) =


0

nếu (x; y) = (0; 0)

.
nếu (x; y) = (0; 0)

Hãy xét tính liên tục của f tại điểm (0; 0).
Câu 3.
1. Hãy phát biểu và chứng minh định lý về việc chuyển qua giới hạn của từng số hạng của một
chuỗi hàm.
2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

sin2 (nx)
.
n2 + 1

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

x2 sin(2x)
dx,
xλ + 1

0

trong đó λ là tham số thực dương.
10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2016
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về tính bị chặn và đạt được giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất
của hàm số một biến liên tục trên một đoạn.
2. Xét tính liên tục đều của hàm số y = sin

1
trên khoảng (0; 1).
x

Câu 2. Nêu định nghĩa tập Compact trong Rn . Chứng minh rằng nếu tập A là một tập Compact
trong Rn và hàm f : A → Rm liên tục trên A thì f (A) là tập Compact trong Rm .
Câu 3.
1. Hãy phát biểu và chứng minh định lý Weierstrass về sự hội tụ đều của một chuỗi hàm trên
một tập hợp.
2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

e−nx
.
n + x2

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4.
1. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

ln x dx
,
xα + xβ
0

trong đó α, β là các tham số thực thỏa mãn α > β > 0.
+∞

|f (x)| dx hội tụ. Chứng minh rằng

2. Cho hàm số f liên tục trên [0; +∞) và
0
+∞

lim

f

n→+∞

x+

1
n

0

11

− f (x) dx = 0.


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2015
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy số bị chặn.
2. Xét tính liên tục đều của hàm số y = cos(x2 ) trên miền xác định của nó.
Câu 2.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Fermat về điều kiện cực trị địa phương của hàm số một biến
số.
2. Giả sử hàm số f : R2 → R liên tục theo biến x với mỗi y cố định, và có đạo hàm riêng

δf
(x, y)
δy

xác định và bị chặn trên R2 . Chứng minh rằng f liên tục theo cả hai biến trong R2 .
Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi hàm trên một tập hợp.
2. Cho chuỗi hàm

∞

√

ne

nx

.

n=1

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính khả vi của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

x dx
,
− 1)λ

(e3x
0

trong đó λ là tham số thực.

12


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2014

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu.
2. Tìm hai số thực a, b để hàm số f khả vi trên R, trong đó
 x

 e − 1 nếu (x > 0)
x
.
f (x) =

 ax + b
nếu x ≤ 0
Câu 2.
1. Cho U là một tập mở trong Rn , điểm a ∈ U và hàm số f : U → R khả vi tại a. Chứng minh
rằng:
a) Hàm số f liên tục tại a.
b) Hàm số f có đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm a.
2. Cho A là một tập Compact trong không gian Rn và hai hàm f, g : A → R liên tục trên A thỏa
mãn điều kiện f (x) > g(x) với mọi x ∈ A. Chứng minh rằng tồn tại λ > 1 sao cho f (x) > λg(x)
với mọi x ∈ A.
Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một dãy hàm.
√
2. Xét sự hội tụ của dãy hàm fn (x) = n( n x − 1) trên [−1; 1].
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

x cos x dx

,
xp + xq
0

trong đó p, q là các tham số thực.

13


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2013
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu.
2. Cho hàm số f : [0; +∞) → R liên tục và bị chặn trong [0; +∞). Chứng minh rằng có tồn tại
một dãy số {xn }n≥1 ⊂ [0; +∞) sao cho:
lim xn = +∞ và lim (f (xn + π) − f (xn )) = 0.

n→∞

n→∞

Câu 2.
1. Cho A ⊂ Rn và f : A → Rm , f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) với x ∈ A. Chứng minh rằng
hàm f liên tục tại điểm x0 ∈ A khi và chỉ khi các hàm thành phần f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) liên
tục tại điểm x0 .
2. Cho D là một tập mở trong R2 và hàm số f (x; y) xác định trên D. Chứng minh rằng nếu f
liên tục theo từng biến x, y trong miền D, đơn điệu theo một trong hai biến đó thì f liên tục
theo cả hai biến (x; y) trong D.

Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh định lý về qua giới hạn của từng số hạng của một chuỗi hàm.
2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

enx
.
n+x

a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
b) Xét tính liên tục, tính khả vi của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

eαx − 1
dx,
xβ

0

trong đó α, β là các tham số thực.

14


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Bolzano - Cauchy về giá trị trung gian của hàm số liên tục
trên một đoạn thẳng.
2. Cho hàm số f xác định và liên tục trên khoảng mở hữu hạn (a; b). Chứng minh rằng f liên tục
đều trên (a; b) khi và chỉ khi hai giới hạn lim+ f (x) và lim− f (x) tồn tại và hữu hạn.
x→a

x→b

Câu 2.
1. Nêu định nghĩa tập compact trong Rn . Chứng minh rằng nếu A là tập compact trong Rn và
hàm số f : A → R liên tục trên A thì f đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A.
2. Cho dãy fn (x) (n = 1, 2, . . .) các hàm số xác định và liên tục đều trên R. Chứng minh rằng
nếu dãy hàm {fn (x)}n≥1 hội tụ đều đến hàm giới hạn f (x) trên R thì f (x) liên tục đều trên R.
Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của dãy hàm trên một tập.
2. Cho dãy các hàm số
un (x) = (−1)n (1 − x)xn
∞

(n = 0, 1, 2, . . .).
∞

|un (x)| trên tập A = [0; 1].

un (x) và

Xét sự hội tụ đều của các chuỗi hàm

n=0

n=0

Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

ln(1 + x)
dx,
xα (1 + x)β
0

trong đó α, β là các tham số thực.

15


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2012
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Lagrange về hàm số một biến số khả vi (được phép sử dụng
định lý Fermat).
2. Cho hàm số f xác định và liên tục trên khoảng đóng [a; b], khả vi trong khoảng mở (a; b).
Chứng minh rằng nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim+ f (x) = λ thì f có đạo hàm phải tại a và
x→a

f+ (a) = λ.
Câu 2.

1. Nêu định nghĩa tập compact trong Rn . Chứng minh rằng nếu A là tập compact trong Rn và
hàm số f : A → R liên tục trên A thì f liên tục đều trên A.
2. Cho D = [a; b] × [c; d] là hình chữ nhật trong R2 và F : D → R là các hàm số liên tục trên
D. Giả sử rằng ϕn : [a; b] × [c; d]

(n = 1, 2, . . .) là dãy các hàm số liên tục và hội tụ đều trên

[a; b]. Với mỗi n ∈ N đặt
fn (x) = F (x, ϕn (x)),

x ∈ [a; b] .

Chứng minh rằng dãy hàm {fn (x)} hội tụ đến một hàm liên tục trên [a; b].
Câu 3.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm trên một tập hợp.
2. Cho chuỗi hàm
sin(nx)
.
n2 + 1
a) Tìm miền hội tụ và xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
b) Chứng minh rằng hàm tổng của chuỗi hàm là hàm khả vi trong khoảng (0; π).
Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

xp
√ x
dx,
e −1

0

trong đó α, β là các tham số thực.
16


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2011
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
1. Phát biểu và chứng minh định lý Cantor về tính liên tục đều của các hàm số trên một đoạn
thẳng.
2. Giả sử A là một tập hợp bị chặn trong Rn và f : A → R là hàm số liên tục đều trên A. Chứng
minh rằng f (A) là một tập bị chặn trong R.
Câu 2. Cho chuỗi hàm

∞

n=1

(−1)n−1
.
nx

1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm.
2. Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.
Câu 3. Giả sử A là một tập mở lồi tròn Rn , f : A → R là một hàm số khả vi trong A, a và b là
một trong hai điểm bất kỳ trong A. Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ A sao cho
f (a) − f (b) = f (x)(b − a).

Câu 4. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau
+∞

dx
,
xα (ln x)β
1

trong đó α, β là các tham số thực.
∞
Câu 5. Cho a và b là hai số thực dương, {an }∞
n=1 , {bn }n=1 là hai dãy số thực được xác định như

sau:
a1 =

√
a+b
an−1 + bn−1
, b1 = ab, an =
, bn =
2
2

an−1 bn−1

(n = 2, 3, . . .).

∞
Chứng minh rằng {an }∞

n=1 , {bn }n=1 là các dãy hội tụ và lim an = lim bn .
n→∞

17

n→∞


Phần II
ĐỀ THI MÔN CƠ BẢN ĐẠI SỐ

18


Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2019
MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đợt 1)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho hai phép thế α, β của nhóm đối xứng S7 với


1 2 3 4 5 6 7
.
α = (1, 5)(2, 3, 7)(4, 6),
β=
3 6 5 7 1 2 4
a) Tìm các phép thế x, y ∈ S7 thỏa mãn αx = β và yα = β.
b) Tính α2019 . Tìm cấp và dấu của phép thế này.
c) Tìm một phép thế z ∈ S7 sao cho zβz −1 = α.

Câu 2. Phân tích đa thức X 4 + 1 thành tích các đa thức bất khả quy lần lượt trên các trường
số hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C.
Câu 3. Tự đồng cấu f của một không gian véc-tơ thực V có ma trận đối với cơ sở (e1 , e2 , e3 , e4 )
là





−2 3 −6 −8


 −2 2 −6 −6 


.

 −4 1 −8 −8 


−1 −3 1
3
a) Tìm số chiều và một cơ sở của hạt nhân của f .
b) Tìm số chiều của ảnh của f .
Câu 4. Tính định thức cấp n + 1 sau đây
1

a1

a2

...

an

a2

...

an

a2 + b 2 . . .
..
...
.

an
..
.

1 a1 + b 1
1
..
.

a1
..
.

1

a2

a3

. . . an + bn

Câu 5. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định đối

2018 −3

A=
 −3 2018
−3
−3
trong đó a1 , b1 , . . . , an , bn ∈ R là các tham số.
19

.

với cơ sở chính tắc của R3 bởi ma trận sau

−3

−3 
,
2018


Câu 6. Trang bị cho R3 tích vô hướng chính tắc. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định đối

với cơ sở chính tắc của R3 bởi ma trận sau


−2

2


A=
 2

−1




−2 
.
−1 −2 −2
1

a) Tìm các giá trị riêng ϕ.
b) Với mỗi giá trị riêng của ϕ, tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con riêng tương ứng.
c) Tìm một ma trận trực giao Q sao cho Q−1 AQ là một ma trận chéo. Tìm ma trận chéo đó.
Câu 7. Sử dụng phương pháp Largrange, đưa dạng toàn phương trên trường số thực sau đây về
dạng chính tắc
x21 + 3x22 + 2x23 + 4x22 + 2x1 x2 − 4x2 x3 + 4x2 x4 + 3x3 x4 + 4x1 x4 .
Tìm hạng, chỉ số quán tính dương và chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương đó.

20

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2018
MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đợt 1)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
a) Chứng minh rằng nhóm xyclic Z/n có các phần tử sinh là [k] với 1 ≤ k < n và ƯCLN(k, n) =
1.
b) Cho p là một số nguyên tố và s là một số nguyên dương. Nhóm xyclic Z/ps có tất cả bao
nhiêu phần tử sinh?
Câu 2. Phân tích đa thức x4 + x3 + 2x − 4 thành tích các nhân tử bất khả quy trong các vành
sau đây:
a) Z [x].
b) R [x].
c) Q [x].
Câu 3.
a) Tính định thức
1
A=

1

1

1

x2 y 2 z 2 t2
x4 y 4 z 4 t4

.

x6 y 6 z 6 t6
b) Với y = 0, z = 1 và t = 2, hãy tìm tất cả các giá trị của x để A = 0.
Câu 4. Cho một phép biến đổi tuyến tính ϕ với ma trận trong cơ sở chính tắc của R2 .
 1
1 
√ −√

2 
A =  12
1 .
√
√
2
2
a) Tìm ảnh của ϕ của tam giác ABC với A(1; 0), B(2; 0) và C(2; 2).
b) Tìm ma trận trong cơ sở chính tắc ϕ2018 .

21


Câu 5. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định đối

2018 −3

A=
 −3 2018
−3
−3

với cơ sở chính tắc của R3 bởi ma trận sau

−3

−3 
.
2018

a) Tìm các giá trị riêng ϕ.
b) Với mỗi giá trị riêng của ϕ, tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con riêng tương ứng.
c) Tìm một ma trận trực giao Q sao cho Q−1 AQ là một ma trận chéo; Tìm ma trận chéo đó.

22


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2017
MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đợt 2)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho G là một nhóm với luật hợp thành được viết theo lối nhân. Cho H, K là hai nhóm
con chuẩn tắc của G. Ký hiệu HK = {hk |h ∈ H, k ∈ K }.
a) Chứng minh rằng HK là một nhóm con của G. (Gợi ý: h1 k1 h2 k2 = h1 h2 (h−1
2 k1 h2 k2 ))
b) Giả thiết thêm rằng cấp của H và cấp của K là hữu hạn và nguyên tố cùng nhau. Chứng
minh rằng hk = kh với mọi h ∈ H, k ∈ K.
Câu 2. Cho đa thức f (x) = x4 + 2.
a) Hãy phân tích f (x) thành các đa thức bất khả quy trong Q [x], R [x], C [x].
b) Chứng minh iđêan sinh bởi (x4 + 2) là một iđêan nguyên tố trong Q [x].
Câu 3.

a) Tính định thức của ma trận vuông cấp n sau đây lần lượt trong các trường hợp n chẵn và
n lẻ















1 1 0 0 ... 0 0



0 1 1 0 ... 0 0







.







0
..
.

0
..
.

1
..
.

1 ...
..
. ...

0
..
.

0
..
.

0 0 0 0 ... 1 1
1 0 0 0 ... 0 1

b) Cho (e1 , e2 , . . . , en ) là cơ sở chính tắc của Rn . Khi nào hệ các véc-tơ (e1 +e2 , e2 +e3 , . . . , en−1 +
en , en + e1 ) cũng lập thành một cơ sở của Rn .
Câu 4. Giả sử f : R4 → R3 là một ánh xạ tuyến tính có

2
−1
λ

A=
λ
−1
 1
2 10 + λ −7

ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là

5

2 
,
3

trong đó λ là tham số.
a) Với λ = 3, hãy tìm một cơ sở, số chiều của hạt nhân và ảnh của f .
23

b) Tìm số chiều của hạt nhân của f như một hàm của λ.
Câu 5. Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ xác định đối với cơ sở chính tắc của R3 bởi ma trận sau


1 0
1


.
A=
0
1
−1


1 −1 2
a) Tìm giá trị riêng của ϕ.
b) Với mỗi giá trị riêng của ϕ, tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con tương ứng.
c) Tìm ma trận trực giao Q sao cho Q−1 AQ là ma trận chéo. Tìm ma trận chéo đó.

24


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2017
MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (Đợt 1)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Với mỗi a ∈ R2 , cho Tn : R2 → R, x → x + a là phép tịnh tiến bởi a trong không gian
véctơ R2 . Đặt R = {Tn |a ∈ R2 }. Gọi S là nhóm các phép thế (hay các song ánh) trên tập R × R.
a) Chứng minh rằng E là một nhóm con của S,

b) Đặt NS (E) = {α ∈ S | αEα−1 ⊂ E}. Chứng minh rằng E ≤ NS (E) ≤ S. Liệu E có chuẩn
tắc trong S hay không? Vì sao?
Câu 2.
a) Cho n là một số nguyên dương và Z/n là vành các số nguyên modulo n. Chứng minh rằng
mọi iđêan của Z/n đều là các iđêan chính.
b) Hãy tìm tất cả các iđêan của Z/12. Trong các iđêan tìm được ở trên, hãy xác định iđêan
nào là iđêan nguyên tố, iđêan nào là iđêan cực đại. Giải thích vì sao?
Câu 3. Cho M2 (R) là không gian véc-tơ các ma trận vuông cấp 2 hệ số thực với các phép toán
cộng và nhân với vô hướng thông thường.
a) Chứng minh rằng hệ véc-tơ sau đây

 
 
 

1 1
0 −1
1 −1
1 0

,
,
,

1 1
1 0
0 0
0 0
lập thành một cơ sở của M2 (R).
b) Hãy tìm tọa độ của ma trận




2 3
4 7




trong cơ sở trên.
Câu 4. Cho R3 là không gian véc-tơ các véc-tơ hàng (x, y, z) với các tọa độ đều là các số thực.
Giả sử f : R3 → R3 là một ánh xạ tuyến tính có ma trận trong cơ sở v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2),
v3 = (0, 0, 1) là


2 −1

5





 1 −1 2  ,


5 −3 12
25