100 bài tập về bất đẳng thức có lời giải chi tiết

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú

Chủ biên: Cao Văn Tú

1

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương:
1
1
1
1
1
1





(5)
a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a

Giải

1
1 1 1
 (  ) ta có:
x y 4 x y
1
1
4
2



a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c
1
1
4
2



b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a
1
1
4
2




c  3a a  2b  c (c  3a)  (a  2b  c) c  2a  b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
a  3b  b  2c  a

Đẳng thức xảy ra khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c
c  3a  a  2b  c


Vận dụng bất đẳng thức

Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh:
1
1
1
1 1 1 1


 (   )
ab bc ca 2 a b c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

(2)

Giải

1
1 1 1
 (  ) ta có ngay điều phải chứng minh.
x y 4 x y
 Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

1
1
1
1 1
1
1


 (


)
a  2b  c b  2c  a c  2a  b 2 a  b b  c c  a
 Kết hợp (2) và (3) ta có:


Áp dụng

Bài 3: Với a, b, c là các số dương:
1
1
1
1 1 1 1


 (   )
a  2b  c b  2c  a c  2a  b 4 a b c
Chủ biên: Cao Văn Tú

2

(3)

(4)

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Giải
1 1 1
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn    4 . Chứng minh rằng:
a b c
1
1
1
1 1 1 1


 (   )
a  2b  c b  2c  a c  2a  b 4 a b c
1 1 1
►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết:    4
a b c
Bài 4: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng
thức sau:

C
1
2



B
C
C
A
A
B
A
B
C
1  tan .tan
1  tan .tan
1  tan .tan
4.tan .tan .tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tan

A
2

tan

B
2

tan

Giải

A
B
C
, y  tan , z  tan thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
2
2
2
x
y
z
1



Hệ thức trở thành:
1  yz 1  zx 1  xy 4 xyz
Ta có:
x

y
z



1  yz 1  zx 1  xy
x
y
z




( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy )
Đặt x  tan

1 x
x  1 y
y  1 z
z 
 



 
 

4  xy  yz zx  yz  4  xy  zx yz  zx  4  xy  yz zx  xy 
1 x z
x y

y  z  1  1 1 1  xy  yz  zx
1
 



    
4  xy  yz zx  yz xy  zx  4  x y z 
4 xyz
4 xyz
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABC đều.
Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện:
x  y  z  0, x 1  0, y 1  0, z  4  0 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q

x
y
z


x 1 y 1 z  4

Chủ biên: Cao Văn Tú

3

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
Đặt a  x  1  0, b  y  1  0, c  z  4  0 .
a 1 b 1 c  4
1 1 4
Ta có: a  b  c  6 và Q 


 3   
a
b
c
a b c
Theo bất đẳng thức (1) ta có:
1 1 4
4
4
16
8
(  ) 
 

a b
c ab c abc 3
8 1
 Q  3 
3 3
a  b

3
1


a  b 
x  y 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

2 
2
a  b  c
a  b  c  6


c  3
 z  1


1
Vậy: MaxQ  đạt được khi
3

1

x  y 
2.

 z  1

Bài 6: Chứng minh rằng :

2x
x6  y 4



2y
2z
1
1
1




y6  z 4 z 6  x4 x4 y 4 z 4

Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Giải
2
x  1

1
1
x2
1
4x .






x 4 y 4 x6 y 4 x6  y 4 x6  y 4

Tương tự ta có:
1
1
4y
1
1
4z
.


;


4
4
6
4
4
4
6
4
y
z
y z
z

x
z x

Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả: ab  bc  ca  abc . Chứng minh rằng:
a4  b4
b4  c4
c4  a 4


1
ab a3  b3 bc b3  c3 ca c3  a3



 

 



Giải
Chủ biên: Cao Văn Tú

4

Email:

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Ta có: ab  bc  ca  abc 

Lưu hành nội bộ!

1
1
1
1 1 1
   1 . Đặt x  ; y  ; z   x+y+z=1 .
a b c
a
b
c

Khi đó ta có:
1
1

4
x
y4





2
3  y3

x
6
6
x
y





3
3
3
3
2
3
3
2
3
3


x y
ab a  b
x x y
y x y
x3  y3 x2  y 2
1 1
1




xy  x3 y3 
2
2  y2
x
3
3
4
4
x y
x
y
x2  y 2 x  y






2
2
2
2
x

y
2
x2  y 2 x x2  y 2
y x y

 x  y x  y
a 4  b4





 



Tương tự ta có:

x4  y 4













 









b4  c 4
yz
c4  a4
zx

;

3
3
3
3
2
2
bc b  c 
ca  c  a 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a4  b4
b4  c4
c4  a 4


 x  y  z  1.

3
3
3
3
3
3
ab a  b
bc b  c
ca c  a













Suy ra điều phải chứng minh
Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A

x t t  y y  z z  x




t  y y  z z  x xt

Giải
Ta có:
x t
ty
yz
zx
A(
 1)  (
 1)  (
 1)  (
 1)  4 
ty
yz
zx
xt

 1
 1
x y t  z y  x z t
1 
1 



 4  ( x  y) 


(

t

z
)


y z xt4
t  y y z z  x xt
t

y
z

x




4
4
4( x  y  z  t )
 ( x  y)
 (t  z )
4
40
x y z t
x y z t
z  y z t
Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t.


Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:

1
1 1 1 1
 (   )  6
x yz 9 x y z

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z
Chủ biên: Cao Văn Tú

5

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:
x  y + z  3 xyz

;

1 1 1
1 1 1
3
  3 . . 

x y z
x y z
xyz

1 1 1
1
1 1 1 1 
Từ đó: ( x  y  z )      9 
    
x  y  z 9 x y z 
x y z
Đẳng thức xảy ra khi x  y  z .
Bài 10: Cho ba số a, b, c bất kì và x, y, z là ba số thực dương ta có:
2
a 2 b2 c 2  a  b  c 
  
 7  . (Bất đẳng thức sơ-vac).
x
y z
x yz
a b c
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   .
x y z
Giải
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:

  a 2  b 2  c 2 
 a 2 b2 c 2 
 




    x  y  z  


  x   y   z   
y z
 x



 x    y    z  
2

2

2

 a  b  c .
2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

a 2 b2 c 2
   a  b  c với a, b, c là các số thực dương.
Bài 11: Chứng minh rằng:
b c a
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
2

a 2 b2 c 2  a  b  c 
  
 a  b  c . Suy ra điều phải chứng minh.
b c a
abc
a b c
  abc
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
b c a

Chủ biên: Cao Văn Tú

6

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
6

Lưu hành nội bộ!

6

6

a
b
c



b3  c3 c3  a3 a3  b3
Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a  b  c  1

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 

Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:

a3  b3  c3 

a6
b6
c6
a 3  b3  c 3
B 3 3  3 3  3 3 

. Mặt khác theo bất đẳng
b  c c  a a  b 2  a 3  b3  c 3 
2
2

thức Bunhiacovski ta có:
4
1   a  b  c   3 a 2  b2  c 2   3






2

aa a  bb b  cc c 

.
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
 9 a  b  c  a  b  c   9 a  b  c   a  b  c  
9
1
Vậy B 
18
Bài 13: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng :
1
1
1
1
4
 3
 3
 3


3
x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  3
2

Giải

1
1
1
1
Đặt x  ; y  ; z  ; t= , theo bài ra ta có abcd = 1 và
a
b
c
d
1
1
a2
; tương tự ta có :


1
1  bcd
x3  yz  zt  ty  1  1


a3  bc dc bd 

1

b2
1
c2
1
d2

;

;

y 3  xz  zt  tx  a  c  d z 3  yt  xt  xy  a  b  d t 3  yz  zx  xy  a  b  c

Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có:
1
1
1
1
 3
 3
 3
3
x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy 
a2
b2
c2
d2
a  b  c  d 






b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c 3 a  b  c  d 
2

a  b  c  d 4 4 abcd 4


3
3
3
(Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số)


Chủ biên: Cao Văn Tú

7

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
a  b  c  d  1
Dấu bằng xảy ra khi 
 a
b
c
d





b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 

a8

 b2  c 2 



2

Lưu hành nội bộ!

b8

 a2  c2 

2



b

c8

2

 a2 

2

Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện ab  bc  ca  1
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
B

b

a8
2

c

b8



2  a 4  b4

2 2

2

4







  a  c  b  a  b
a  b  c 
 c   2a b  b c  a c 

2 2

4

4

a  b  c 
   a  c   b
4

c8

2

2 2

2 2

2 2

2

 c2

2

4 2

4

2 2

2

2

 a2 

2

4 2

2 2

Xét biểu thức a 2b2  b2c2  a 2c 2 . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có :
a2b2  b2c2  a 2c2  a 4  b4  c 4 . Do đó:
B

a

4

 b4  c 4 

2

2  a 4  b4  c 4   2  a 4  b4  c 4

a  b  c   a

 4 a  b  c 
4

4 2

4

4

4

4

4

 b4  c 4
.
4

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski 1   ab  bc  ca   a 4  b4  c 4 .
2

1
2
2
2
Bài 15: Cho x,y, z > 0 và thoả: x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
y3
x3
z3


2x  3 y  5z 2 y  3z  5x 2z  3x  5 y

Giải
Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng
nhau và bằng

1
.
3

Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :

Chủ biên: Cao Văn Tú

8

Email:

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
Lưu hành nội bộ!
3
3
3
4
4
x
y
z
x
y
z4





2 x  3 y  5z 2 y  3z  5x 2 z  3x  5 y 2 x2  3xy  5xz 2 y 2  3 yz  5 yx 2 z 2  3xz  5 yz







x2  y 2  z 2





2

2 x2  y 2  z 2  8  xy  yz  zx 

 x2  y 2  z 2 







x2  y 2  z 2

 



2

2 x2  y 2  z 2  8 x2  y 2  z 2





x2  y 2  z 2



2

 10 x2  y2  z2 

1
30

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

x2
y2
z2



 2 x2  3xy  5xz 2 y 2  3 yz  5 yx 2 z 2  3xz  5 yz

1
x yz .
x  y  z
3

1
2
2
2
x  y  z 
3




Bài 16: Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1
2
Chứng minh rằng:

a3  b  c 

2
2

3
3
3
b c  a  c a  b

Giải
Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
chúng bằng nhau và bằng 1.
1
x

1
y

1
z

- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt a  ; b  ; c  .

1
1
1
Đặt a  ; b  ; c  . Theo giả thiết ta có: xyz = 1
x
y
z
2
2x2 ; tương tự ta có:
Ta có 3 2


a b  c  1  1 1  y  z

x3  y z 
2
2
2z 2 .
2
2
2 y2 ;




b3  a  c  1  1  1  x  z c3 b  a  1  1 1  y  x

y3  x z 
z3  y x 

Do đó Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :

2
2
2
2 x2 2 y 2 2 z 2






a 2  b  c  b2  c  a  c 2  a  b  y  z x  z y  x
2
2 x  y  z 
2 x  y  z  3

 3 xyz  3
2 x  y  z 
2
Chủ biên: Cao Văn Tú

9

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1

Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: x  y  z  3 . Tìm GTNN của biểu thức:
y2
x2
z2


A=
x  yz y  zx z  xy
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

 x  y  z
y2
x2
z2



.Ta có
x  yz y  zx z  xy x  y  z  yz  zx  xy
2

yz  zx  xy  x  y  z .

 x  y  z
y2

x y z 3
x2
z2





Do đó
2
2
x  yz y  zx z  xy x  y  z  x  y  z
2



x  y  z  3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x  y  z
 x  y  z 1
 x
y
z



 x  yz y  zx z  xy
Bài 18: Với x, y, z là các số dương và x. y.z  1
x
y

z
3
Chứng minh rằng:



2
x  yz
y  zx
z  xy

(1)

Giải
Đặt a  x , b 

y,c 

z

Bài toán trở thành: a, b, c là số dương và a.b.c  1

a2
b2
c2
3



(2)

2
2
2
2
a  bc
b  ac
c  ab

Chứng minh rằng:

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

a2



b2



c2



a  b  c

2

a  bc
b  ac

c  ab
a  bc  b  ac  c  ab
Bình phương hai vế bất đẳng thức:
2

2

Chủ biên: Cao Văn Tú

2

2

2

10

2

3

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!




a  b  c
a  b  c
VT 2 (3)   2


2
2
2
 a 2  bc  b2  ac  c 2  ab 
 a  bc  b  ac  c  ab 


4
4
a  b  c
a  b  c


2
2
2
3(a  b  c  ab  bc  ac) 3  a  b  c 2  3  ab  bc  ac 


4
a

b

c




2
3  a  b  c   3
2

2

4

( Vì ab  bc  ac  3 3  abc   3 )
2

Đặt t 

 a  b  c  thì t  9 ( vì a  b  c  3
2

3

abc  3 )

t2
3t  15 t  3
3
3.9  15
t 3 3
9





2
.

3(t  3)
12
12 t  3
12
12 t  3 2
9
3
 VT 2 (5')   VT (4') 
2
2
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1  điều phải chứng minh
Ta có:

Tổng quát: Ta có bài toán sau: với x1 , x2 ,..., xn  n  2 là số dương và x1.x2 ...xn  1
Chứng minh rằng:

x1
x1  x2 .x3 ...xn



x2
x2  x3 .x4 ...xn

 ... 

xn
xn  x1.x2 ...xn1



n
2

Bài 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  ab  bc  ca thì
1
1
1
3



a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16
Giải
Từ abc  ab  bc  ca suy ra

1 1 1
  1 .
a b c

1
1
1
x  ; y  ; z  thì x  y  z  1 . Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

a
b
c
1 2 3
36
1
x  2 y  3z
a  2b  3c    


x y z x  2 y  3z a  2b  3c
36

đặt

Tương tự ta cũng có:

1
y  2 z  3x
1
z  2x  3 y

;

;
b  2c  3a
36
c  2a  3b
36

Chủ biên: Cao Văn Tú

11

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
6 x  y  z 1 3
1
1
1



 
a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b
36
6 16
Cách
1
1
1 1
1
1  1 1 1 2 3


 


 .    
a  2b  3c  a  c    b  c    b  c  9  a  c b  c b  c  9 4  a b c 
Tương tự ta có:

2:

1
1
1 1
1
1  1 1 3 1 2

 


  .    ;
b  2c  3a  a  c    a  c   b  a  9  a  c a  c b  a  9 4  a b c 
1
1
1 1
1
1  1 13 1 2

 


 .    

c  2a  3b  b  c    b  a   b  a  9  b  c a  b b  a  9 4  b c a 

cộng vế với vế ta có:
1
1
1
1 6 6 6 3


    
a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36  a b c  16
suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.

x  y  z  1

Bài 20: Cho x, y, z  0

. Chứng minh rằng: P 

x
y
z
9



1  x2 1  y 2 1  z 2 10

Giải


x2 
y2  
z2 

P  x 1 
 y 1 
 z 1 

2 
2 
2 
 1 x 
 1 y   1 z 
 x3
y3
z3 
 1 



2
2
2 
 1 x 1 y 1 z 
2
x2  y 2  z 2 

 x4

y4
z4 
 1 


 1
3
3
3 
x

x
y

y
z

z
x  y  z  x3  y 3  z 3


Đặt t  x2  y 2  z 2 từ điều kiện  t 

1
3

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi ta có:

x3  y 3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   3xyz 

1
t
 x2  y 2  z 2  3 1
2
2
2
 x  y  z  1   x  y  z   3 
 t  t

2
3
3

 2 2
3

2

2

2

Chủ biên: Cao Văn Tú

12

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

P  1

2t

2

 1

2t

2

t
t
3t  1  t 2 
3
3
1
(  t )(57t  9)
9
9
P 3 2
 
3t  10t  3
10 10



1  3t  3t

Lưu hành nội bộ!

3t  10t  3 9
9
 

2
3t  10t  3 10 10
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1  đpcm.
3

Bài 21: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm
x2  y  z 
y2  z  x 
z2  x  y 
GTNN của biểu thức: P =


y y  2z z z z  2x x x x  2 y y
Giải
x2  y  z 

y2  z  x 

z2  x  y 

z 2 2 xy

y 2 2 xz
P





y y  2 z z z z  2 x x x x  2 y y y y  2z z z z  2x x x x  2 y y


x 2 2 yz

2y y
2x x
2z z


y y  2z z z z  2x x x x  2 y y

Đặt a  x x ; b  y y ; c  z z ;
Ta có
2a  b  c
2a
2b
2c
2a 2
2b2
2c 2
P







b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b  3  ab  bc  ca 
2




2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca 
3  ab  bc  ca 

2  a 2  b2  c 2 

3  ab  bc  ca 





2  a 2  b2  c 2 

3  ab  bc  ca 



2  2ab  2bc  2ca 
3  ab  bc  ca 

4
3

Mặt khác ta có a2  b2  c2  ab  bc  ca . Nên ta có:

P  2 . dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Hay x x  y y  z z  x=y=z=1
Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng. Chøng minh r»ng:
a
b
c
3



bc ca ab 2

Chủ biên: Cao Văn Tú

13

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
Ta cã:

1
1
1
9
9




b  c c  a a  b b  c  c  a  a  b 2(a  b  c)
1
1
1
9
 (a  b  c)(


)
bc ca ab 2
abc abc abc 9
a
b
c
3



 




bc
ca
ab
2
bc ca ab 2
(§pcm).

3
Bài 23: Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
S  a2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

Giải
S  a2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2

b
c
a

(12  42 )(a 2 

1
1
1
1
4
)  (1.a  4. )2 a 2  2 
(a  )
2
b
b
b
b
17

Tương tự
b2 

1
1
4
1
1
4


(b  ); c 2  2 
(c  )
2
c
c
a
a
17
17

Do đó:
1
4 4 4
1
36
(a  b  c    ) 
(a  b  c 
)
a b c
a bc
17
17

S


 3 17
1 
9
135

(a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   2
17 


Bài 24: Cho x,y,z là ba số thực dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng
x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82
2
y
z
x

Giải

Chủ biên: Cao Văn Tú

14

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

1

1
1
1
9
(1.x  9. )2  (12  92 )( x 2  2 )  x 2  2 
(x  )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9

( y  ); z 2  2 
(z  )
2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1

81
S
(x  y  z    ) 
(x  y  z 
)
x y z
x yz
82
82

TT : y 2 



1 
1
80 
(
x

y

z

)

 82

x  y  z x  y  z 
82 

3 9 4

a 2b c

Bài 25: Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c  
Giải
Dự đoán a=2,b=3,c=4

12 18 16
12  
18   16 

   a  2b  3c   3a     2b     c   
a b c
a 
b 
c

20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13
4S  4a  4b  4c 

1 1 1
   4 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1
1
1
P



2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Bài 26: Cho x,y,z> 0 và

Giải
Ta có
1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
 
;  
    



    
x y x y y z yz
x y y z x  y y  z x  2y  z
x  2 y  z 16  x y z 
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2

    ;
    
2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z 
1  4 4 4
S      1
16  x y z 

Bài 26: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8x  8y  8z  4x1  4y1  4z1
Giải
Chủ biên: Cao Văn Tú

15

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8x  3 64x  4x nên :

Lưu hành nội bộ!

8x  8x  82  3 3 8x.8x.82  12.4x ;
8 y  8 y  82  3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ;
8z  8z  82  3 3 8z.8z.82  12.4z
8x  8 y  8z  3 3 8x.8 y.8z  3 3 82.82.82  192

Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 27: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng:
1  x3  y 3
1  y3  z 3

1  z 3  x3


3 3
xy
yz
zx

Giải
x3  y 3  xy  x  y   1  x3  y 3  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy 3 xyz  3xy
1  x3  y 3
3xy
3 yz
3 1  y3  z 3


;


xy
xy
xy
yz
yz
 1
1
1 
S  3



  3 3
 xy
yz
zx



1
x2 y 2 z 2

3 1  z 3  x3
3zx
3
;


yz
zx
zx
zx

3 3

Bài 28: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 

 x  y 1  xy 
1  x 2 1  y 2

Giải

 x  y  1  xy 

x  y 1  xy   x  y 1  xy  

2
  1  1  P  1
P


2
2
2
2
4
1  x  1  y  1  x  1  y   x  y  1  xy 2 4 4
2

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca
Bài 29: Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:
b c a

Giải

Chủ biên: Cao Văn Tú

16

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Cách 1:

Lưu hành nội bộ!

a b c
a b c
(a  b  c )  ab  bc  ac 
  
  

 ab  bc  ac
b c a ab bc ca
ab  bc  ac
ab  bc  ac
3

3

3

4

4

4

2

2

2

2 2

3
3
a3
2 b
2 c
Cách 2:  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a 2
b
c
a

a 3 b3 c 3
   2(a 2  b2  c 2 )  ab  bc  ac  ab  bc  ac
b c a

Bài 30: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51



1 x

1 2 y
1  3z
7

Giải
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5


1 x
1 2 y
1  3z
2 y  3z  5
3z  x  5
x  2y  5

1
1
1 3
1 x
1 2 y
1  3z
 1
1
1 
9
  x  2 y  3z  6  


3
  3  24.

x  2 y  3z  3
 1  x 1  2 y 1  3z 
9
51
 24.  3 
21
7

Bài 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( x  y  1)2 xy  y  x
A

(Với x; y là các số thực dương).
xy  y  x ( x  y  1)2
Giải
Đặt

( x  y  1)
1
 a; a  0  A  a  Có
xy  y  x
a

Aa

2

1 8a a 1 8
a 1 8 2 10
10

  (  )  .3  2. .     A 
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3

Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ab  bc  ca
P  a 2  b2  c 2  2
a b  b 2c  c 2 a
Chủ biên: Cao Văn Tú

17

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
2
2
2
2
2
2
3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 +

ca2
Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c +
c2a) > 0
ab  bc  ca
9  (a 2  b 2  c 2 )
2
2
2
2
2
2
Suy ra P  a  b  c  2
Pa b c 
a  b2  c 2
2(a2  b2  c2 )
t = a2 + b2 + c2, với t  3.
9t t 9 t 1
3 1
     3   4  P  4
Suy ra P  t 
2t
2 2t 2 2
2 2

a=b=c=1

Bài 33: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 . Chứng minh rằng:
a2 

1

1
1
97
 b2  2  c 2  2 
2
b
c
a
2

Giải
2

9 1   2 81  2 1 
1
4 
9

2
1.a  4 . b   1  16  a  b2   a  b2 
 a  4b  ;
97 

 



1
4 
9

1
4 
9 
b2  2 
b   ; c2  2 
c 


c
4c 
a
97 
97  4a 

cộng các vế lại

Bài 34: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ
3 3 3

4
(
abc
)1

5
a
b
c
nhất của biểu thức P
.

Giải
2 2
2

a

(
b

c
)(

a

b

c
)
(
a

b

c
)

b

(

c

ab
)(


c

a
)
(
b
c

a
)
Có a
(1) , b
(2)
2 2
2
c

ca

(

bc
)(



a

b
)
(
c

a

b
)
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra abc
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế
b
c

(
a

b

c
)
(
b
c

a
)

(
c
a

b
)
với vế của (1), (2), (3) ta có : a
(*)
a
b
c

(
2

2
a
)
(
2

2
b
)
(
2

2
c
)

Từ abc2 nên (*) 
2 2

2


8

8
(
a

b

ca
)

8
(
b

b
c

c
a
)

90
a

b
c


8

9
a
b
c

8
(
a
b

b
c

c
a
)

0

9
a
b
c


8
(
a
b

b
c

c
a
)


8
(*)
3
3
3
3

b

c

()
a

b

c


3
()
a

b

c
(
a
b

b
c

c
a
)

3
a
b
c

8

6
(
a
b


b
c

c
a
)

3
a
b
c
Ta có a

Chủ biên: Cao Văn Tú

18

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

3
3
3
(
a


b

c
)

1
5
a
b
c

2
7
a
b
c

2
4
(
a
b

b
c

c
a
)


3
2

3
9
a
b
c

8
(
a
b

b
c

c
a
)

3
2


Từ đó 4
(**)

3 3 3

(
a

b

c
)

1
5
a
b
c

3
.
(

8
)

3
2

8
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc3.

2

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi abc3
Bài 35: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
 a3  b3  c3  3abc  .
9
4

Giải

*P  a3  b3  c3  3abc
Ta có a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)
 a3  b3  c3  3abc  (a 2  b2  c 2  ab  bc  ac) (1)
có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c) 
2 8
1  4(ab  bc  ca)  8abc  6abc 
  ab  bc  ca  (2)
3 3
2 5
(1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a 2  b2  c 2    ab  bc  ca 
3 3
mà ab  bc  ca 
2



1  a 2  b2  c 2
2

2

P1

a
6

2



 b2  c 2 

1
6

2

1  1  1
1
1 1 1 2

2
2
2
a


b



c


0

a

b

c


P

.  

3   3   3 
3
6 3 6 9

*P  a3  b3  c3  3abc
abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc  0
1
 ab  bc  ca)  2abc 
(3)
4
P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)  6abc
 a 2  b2  c2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc
2

1 1
 1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3. 
4 4
Chủ biên: Cao Văn Tú

19

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Bài 36:

Lưu hành nội bộ!

Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz  8
Giải
Chứng minh được
xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z 
 (6  2 x)(6  2 y)(6  2 z)  216  72( x  y  z)  24( xy  yz  zx)  8xyz
8
 xyz  24  ( xy  yz  zx) (1)
3
mà  x  y  z   9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9
2

 x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz
(2)
8
Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz
3
1
2
 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)
3
1  x  y  z
36
 xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12  .
 12   8
3
3
9
2

2

2

2

Bài 37: Cho a  1342; b  1342 . Chứng minh rằng a2  b2  ab  2013 a  b  . Dấu đẳng thức
xảy ra khi nào?
Giải
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

 a 13422  b 13422  0;  a 1342b 1342  0; a 1342  b 1342  0

Thật vậy:
(1)
 a 13422  b 13422  0  a2  b2  2.1342.  a  b   2.13422  0
(2)
 a 1342b 1342  0  ab 1342a 1342b 13422  0
 a 2  b2  2.1342.  a  b   2.13422  ab  1342a 1342b  13422  0
 a 2  b2  ab  3.1342.  a  b   3.13422  2.2013.  a  b   3.13422
 2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342  2013.  a  b   2013.  a  b 1342 1342   2013.  a  b 

Bài 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A   x 1   x  3  6  x 1  x  3
4

4

Chủ biên: Cao Văn Tú

2

2

20

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
A   x  1   x  3  6  x  1  x  3
4

4

2

2

2
2
2
2
A   x  1   x  3   4  x  1  x  3


2

A   2x 2  8x  10  4  x 2  4x  3
2

A   2( x  2)2  2  4  ( x  2)2  1
2

2

2

A  4( x  2)4  8( x  2)2  4  4( x  2)4  8( x  2)2  4

A  8( x  2)4  8  8

Bài 39: Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
1
1 x  y
3

3



1
1

1
3
3
1  y  z 1  z 3  x3

Giải

x  y  2xy   x  y   x  y   2xy  x  y   x 3  y3  xy  x  y 
2

2

2

2

 1  x3  y3  xy  x  y  z  


1
1 x  y
3

3



1
1

3
3
1 x  y
xy  x  y  z 

z
1
x
1
y
;

;

 dpcm
3

3
3
3
x  y  z 1 y  z
x  y  z 1 z  x
x yz

Bài 40: Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3



y 1 z 1 x 1 2

Giải
x
y 1
y
z 1
z
x 1
3
3 3
3 3

 x;


 y;

 z  VT   x  y  z    .3  
y 1
4
z 1 4
x 1 4
4
4 4
4 2
2

2

2

Bài 41: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b:
1 1
4
+ 
a b
a+b
Giải
(a+b)2−4ab (a−b)2
1 1
4
a+b
4
Xét hiệu + −
=

−
=
=
0
a b a+b ab a+b
ab(a+b)
ab(a+b)
 VT  VP. Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  a = b.
Chủ biên: Cao Văn Tú

21

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Bài 42: Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b| a, b.
Giải
và |x|.|y| = |xy|

Nhận xét: |x| = x với x
x, y.
Ta có:
|a| + |b|  |a + b|  (|a| + |b|)2  (|a + b|)2
 |a|2 + 2|a|.|b| + |b|2  (a + b)2
 a2 + 2|ab| + b2  a2 + 2ab + b2

 |ab|  ab (đúng với mọi a, b).
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu “=” xảy ra  ab  0.
2

2

Bài 43: Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh bất đẳng thức:
a 2  b2  c 2  a  b  c 

3
3 


2

Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
a 2  b2  c 2  a  b  c 
2

 3  a 2  b2  c 2    a  b  c 
3
9
2
2
2
 3  a  b  c   a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca 
2

 2  a 2  b2  c 2   2  ab  bc  ca 
  a  b  b  c    c  a   0
2

2

2

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng
đúng.
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
Bài 44: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
1

a
b
c


2
a b bc c a

Giải
Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:
b
c
 a


 a  b b  c c  a  1


 a  b  c 2
 a  b b  c c  a

Chủ biên: Cao Văn Tú

22

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015



Chứng minh bất đẳng thức

a
b
c


1
a b bc c a

Lưu hành nội bộ!

(1)

Vì a, b, c > 0 nên ta có:

a
 a
b  c  a  b  c
a  b  a  b  c 
b

 b

b  c  a  b  c  
c  a  a  b  c  b  c a  b  c

c
 c
c  a  a  b  c

a
b
c
a
b
c






1
bc bc c  a a b c a b c a b c


Chứng minh bất đẳng thức

a
b
c


2
bc bc ca

Đầu tiên, ta cần chứng minh một bất đẳng thức phụ:

x xz

y yz

với 0 < x < y và z > 0.
(Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp biến đổi
tương đương)
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
a
ca 

a b a bc

b
ab 
a
b

c
ca
a b
bc






2

bc abc  ab bc ca abc abc abc
c
bc 

c  a a  b  c 
Bài 45: Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh:
1
a3 + b3 
4
Giải
Ta có: a + b = (a + b)(a − ab + b ) = a2 − ab + b2
Mà (a + b)2 = 1  a2 + 2ab + b2 = 1
(1)
(a − b)2  0  a2 − 2ab + b2  0
(2)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có:
1
2(a2 + b2)  1  a2 + b2 

2
3

3

Chủ biên: Cao Văn Tú

2

2

23

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

1
1
1
Lại từ (2)  2ab  a2 + b2   ab   − ab  −
2
4
4
1 1 1
Vậy a3 + b3 = a2 − ab + b2  − =
(đccm)

2 4 4
1
Dấu “=” xảy ra  a = b =
2
Bài 46: Chứng minh rằng, với a, b là hai số khác 0 và cùng dấu thì:
a b
+ 2
b a

Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử a  b
Khi đó a = b + c (c  0)
Vì c  0 nên ta có:
a b bc
b
c
b
bc  c2  b2
b2  bc
 

 1 
 1
 1
2
b a
b
bc
b bc
b b  c 

b b  c 

Dấu “=” xảy ra  c = 0  a = b
Bài 47: Cho các số dương x, y có tổng không quá 1. Chứng minh:
1
1
 2
4
x  xy y  xy
2

Giải
1 1
4
Áp dụng bất đẳng thức + 
(a, b > 0)
a b a+b
với a = x2 + xy > 0 và b = y2 + xy > 0:
1
1
4
4
 2
 2

4
2
x  xy y  xy x  xy  y  xy  x  y 2
2

(vì x + y  1)

Bài 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:
bc + ca + a + b + c  6.

ab +

Giải
Ta có: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 = 3
Mà (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2) = 3.3 = 9  a + b + c  3
Chủ biên: Cao Văn Tú

24

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Từ đó có đccm.
Bài 49: Với mọi số thực a, b, c chứng tỏ:
a2
 b2  c 2  b  a  c   c  a  b 
4

Giải
Giả sử

a2
 b2  c 2  b  a  c   c  a  b 
4

Khi đó, ta có:
a2
 b2  c 2  b  a  c   c  a  b 
4
a2
  b2  c2  ab  ac  2bc  0
4
2
a

  b c  0
2


Điều này là vô lí vì x2  0 với mọi x  R.
a2
Do đó giả sử sai. Vậy  b2  c2  b  a  c   c  a  b 
4

Bài 50: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 thì ta có bất
2n > 2n + 1.

đẳng thức

Giải
1. Với n = 3 thì 2 = 2 = 8, 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7  2n > 2n + 1.

Mệnh đề đúng với n = 3.
2. Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k  N, k  3). Khi đó 2k > 2k + 1
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
2k+1 > 2(k + 1) + 1. Thật vậy, 2k+1 = 2.2k > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)
 2k+1 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k  3)
Vậy mệnh đề đúng với mọi k  3.
3. Kết luận: 2n > 2n + 1 với mọi n  N, n  3.
n

3

Bài 51: Chứng minh rằng: 0 

1 1 1
1
 2  2   2  1 với n  N, n  2
2
2 3 4
n

Giải
S

1 1 1
1
 2  2   2
2
2 3 4
n

Hiển nhiên S > 0 vì tổng của (n − 1) số dương là một số dương
Chủ biên: Cao Văn Tú

25

Email: