Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ HSG toan 8

Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

Ngày soạn: 31 / 08 / 2018
Ngày giảng: 11+14 / 09 / 2018

Chuyªn ®Ò 1:
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. Mục tiêu:
- HS nắm được các những hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức mở rộng,
phương pháp giải các bài toán có sử dụng hằng đẳng thức.
- Có kĩ năng nhận dạng và vận dụng hằng đẳng thức, kĩ năng giải các bài toán có sử
dụng hằng đẳng thức.
- Tăng cường và rèn luyện tư duy thuật toán, tư duy logic, khả năng khái quát hóa bài
toán.
- Bồi dưỡng năng lực tính toán, năng lực sáng tạo và năng lực tự học cho HS.
- Bồi dưỡng niềm đam mê toán học, rèn tính cẩn thận, tỉ mỉ, chính xác khi giải toán.
B. Chuẩn bị:
- GV: giáo án, các loại sách tham khảo (Nâng cao và chuyên đề Toán 8, Nâng cao và
phát triển Toán 8, …), nghiên cứu và tìm hiểu trong thư viện tài nguyên Violet…
- HS: Tự tìm hiểu trước về nội dung chuyên đề qua các sách tham khảo và tra cứu thư
viện điện tử.
C. Nội dung ôn luyện:
I/. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
 Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. Bình phương của một tổng:

( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 = ( A − B ) 2 + 4 AB

2. Bình phương của một hiệu:

( A − B ) 2 = ( B − A) 2 = A 2 − 2 AB + B 2 = ( A + B ) 2 − 4 AB
3. Hiệu của hai bình phương:
A 2 − B 2 = ( A − B )( A + B )

4. Lập phương của tổng:

( A + B ) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3 = A3 + B 3 + 3 AB( A + B )
5. Lập phương của hiệu:

( A − B ) 3 = A 3 − 3 A 2 B + 3 AB 2 − B 3 = A 3 − B 3 − 3 AB( A − B )
6. Tổng hai lập phương:

(

)

(

)

A 3 + B 3 = ( A + B ) A 2 − AB + B 2 = ( A + B ) − 3 AB.( A − B)

7. Hiệu hai lập phương:

3

A 3 − B 3 = ( A − B ) A 2 + AB + B 2 = ( A − B ) 3 + 3 AB.( A − B )
N¨m häc 2018 - 2019

1


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

 Một số hằng đẳng thức tổng quát:
1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)
2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)
3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)
4. (a + b)n = an + nan-1b +
5. (a -b)n = an - nan-1b +

n(n − 1) n-2 2
n(n − 1) 2 n-2
a b +…+
a b +nabn-1 + bn
1.2
1.2

n(n − 1) n-2 2
n(n − 1) 2 n-2
a b - …a b +nabn-1 - bn
1.2
1.2

II/. Các dạng bài tập vận dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ thường gặp:
 Vận dụng 1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1. ( A + B + C ) = A 2 + B2 + C 2 + 2 ( AB + BC + AC )
2

2. ( A + B + C ) = A 3 + B3 + C3 + 3 ( A + B ) . ( B + C ) . ( A + C )
3

3. 2 ( A 2 + B2 ) = ( A + B ) + ( A − B )
2

2

2
2
2
2
4. ( A + B ) . ( X + Y ) = ( AX − BY ) + ( AX + BY )
2

2

Hướng giải: Sử dụng HĐT biến đổi cả 2 vế đưa về cùng 1 biểu thức
 Các đẳng thức vừa chứng minh là những HĐT mở rộng, có rất nhiều áp
dụng hay.
 Vận dụng 2: Tính nhanh:
a). A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20182 + 20192
b). B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Hướng giải:
a). A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20182 + 20192

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20192 – 20182)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2019 + 2018)(2019 – 2018)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2018 + 2019
A = ( 1 + 2019 ). 2019 : 2 = ….
b). B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B=…
B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
B = 264 – 1 – 264
N¨m häc 2018 - 2019

2


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

B=-1
 Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2
 Vận dụng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a). A = x2 – 4x + 7
b). B = x2 + 8x
c). C = - 2x2 + 8x – 15
Hướng giải:
a). A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b). B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c). C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
 Nhận xét:
 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A > m với m là một hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A < M với M là một hằng số.
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là M (kí hiệu maxA)
 Vận dụng 4: Chứng minh rằng nếu (a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac) thì a = b = c
Hướng giải:
(a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac)


a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac



a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0



2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0



(a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2) = 0

N¨m häc 2018 - 2019

3


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n



(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0



(a – b)2 = 0 hay (b – c)2 = 0 hay (c – a)2 = 0



a = b hay b = c hay c = a



a=b=c

 Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức:
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
 Vận dụng 5: Chứng minh rằng:
a). 7.52n + 12.6n M19 ( n ∈ N)
b). 11n+2 + 122n+1 M133 ( n ∈ N)
Hướng giải:
a). 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n M19
Vì (25n – 6n) M(25 – 6) nên (25n – 6n) M19 và 19.6n M19
Vậy 7.52n + 12.6n M19 (n ∈ N)
b). 11n+2 + 122n+1 M133 = 112 . 11n + 12.122n
= 12.(144n – 11n) + 133.11n M133
Vì (144n – 11n) M(144 – 11) nên (144n – 11n) M133

 Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức:
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)

do đó (an – bn) M(a- b)

 Vận dụng 6: Tìm x, y, z biết rằng:
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Hướng giải:
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
⇔ (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
⇔ (x + y + z)2 = 0 ; (x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
⇒ x = - 5 ; y = -3; z = 8

 Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng
thức
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
11...15
 Vận dụng 7: Cho x = 1 2 3

n chöõ
soá1

N¨m häc 2018 - 2019

11...19
; y = 123 .
n chöõ
soá1

4


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
11...19
11...15
Hướng giải: Ta có : y = 1 2 3 = 1 2 3 + 4 = x + 4

n chöõ
soá1

n chöõ
soá1

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x 2 + 4x + 4 = ( x + 2 ) 2
11...17
hay xy + 4 = 14 2 43

2

n chöõ
soá1

là số chính phương.

III/. Hằng đẳng thức mở rộng:
Xét bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Hướng giải: Ta có:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – c(a + b) + c2 ]– 3ab (a + b + c)
= (a + b + c) (a2 + 2ab + b2 – ac - ab + c2 - 3ab)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
=

1
(a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
2

 Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
⇔

1
(a + b + c) [(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2] = 0
2

a + b + c = 0
a + b + c = 0
⇔ 
⇔
a = b = c
2
2
2

(a − b) + (b − c) + ( a − c) = 0

Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
 Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
N¨m häc 2018 - 2019

5

Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

Hướng giải: Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x - y) (y - z) (z - x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.
Hướng giải: Ta có :
(x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + - y2 - z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 – x2) (-y2 – z2)
= 3(x2 + y2) (x + z)(x - z)(y2 +z 2)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
Hướng giải: (x + y + z)3 – x3 - y3 - z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3.
= (x + y)3 + 3 (x + y) (x + y + z) – x3 - y3 - z3
= x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 - y3 - z3.
= 3(x + y) (xy + yz + xz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử :
(x + y + z)3 – (x + y - z)3 -(x – y + z)3 -(-x + y + z)3
Hướng giải: Đặt : x + y – z = a; x – y + z = b ; -x + y + z = c.
=> x + y + z = a + b + c
=> (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) = 24xyz
 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Cho

1 1 1
+ + = 0 tính P =

x y z

Hướng giải: Từ

=> P =

xy yz zx
+
+
z 2 x2 y 2

1 1 1
1
1
1
3
+ + = 0 => 3 + 3 + 3 =
x y z
x
y
z
xyz

 1 1 1  xyz3
xy yz zx xyz xyz xyz
+ 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz 3 + 3 + 3  =
=3
2
z
x

y
z
x
y
y
z  xyz
x

N¨m häc 2018 - 2019

6


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n




a 
b 

b 
c 

c
a

Bài 2: Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc tính A = 1 + 1 + 1 + 
a + b + c = 0

Hướng giải : Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => 
a = b = c

 a + b  b + c  a + c  − c − a − b
.
.
= −1


=
b c α
 b  c  c 

Nếu a + b + c = 0 thì A = 

Nếu a = b = c thì A = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 8
=> A có 2 giá trị: -1 và 8
Bài 3: Cho xyz ≠ 0 thoả mãn : x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2.

x 
y  z 
Tính P = 1 + 1 + 1 + 


y 

z 

x

Hướng giải : Đặt a = xy, b = yz, c = zx.
a + b + c = 0

Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => 
a = b = c
Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz
P=

=


x 
y  z   x + y  y + z  z + x  ( x + y ) z ( y + z ) x ( x + z ) y
1 + 1 + 1 +  = 

.
.

=
y
x
x
y
z
x
yz

zx
xy













( − xy )( − yz )( − zx ) = −1
zx.xy. yz

Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
Bài 4: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a - b)c3 + (b - c)a3 + (c - a)b3
Hướng giải : Ta biến đổi b - c = b – a + a - c
Ta được A = (a - b)c3 + (b - a)a3 + (a - c)b3 = (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c).
Vì a + b + c = 0 -> A = 0
x3 + y 3 + z 3
Bài 5: Cho x + y + z = 0. Tính giá trị biểu thức B =
− xzy

Hướng giải : Vì x + y + z = 0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz => B =
N¨m häc 2018 - 2019

x 3 + y 3 + z 3 3 xyz
=
= −3
− xyz
− xyz
7


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

a 2 + b2 + c2
Bài 6: Cho a + b + c = 3abc và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị biểu thức. M=
( a + b + c) 2
3

3

3

Hướng giải : Ta có: a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = 0


[

]

1
( a + b + c) ( a − b) 2 + ( b − c) 2 + ( c − a ) 2 = 0
2

Mà: a + b + c ≠ 0 => (a + b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 => a = b = c
a 2 + a 2 + a 2 3a 2 1
= 2 =
=> M =
9a
3
( 3a ) 2

Bài 7: Cho a + b + c = 0 (a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0). Tính giá trị biểu thức
a2
b2
c2
B= 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2
a −b −c
b −c −a
c −a −b

a 2 b2 c2
+ +
A=
;
cb ca ab

Hướng giải : Ta có A =

a 3 + b3 + c 3

abc

Vì a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A =

3abc
=3
abc

Từ a + b + c = 0 => a + b = - c => a2 + b2 + 2ab = c2 -> c2 - a2 - b2= 2ab
Tương tự: a2 - b2 - c2 = 2bc; b2 - c2 - a2 = 2ac
Nên B =

a2
b2
c2
a 3 + b3 + c 3
+
+
=
a 2bc 2ac 2ab
2abc

Ta có a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => B =

3abc 3
=
2abc 2

Bài 8: Cho a + b + c= 0. Tính giá trị biểu thức:
a −b

b−c

c −a  c

a

b 

+
+
+
+
A= 
a
b   a − b b − c c − a 
 c

Hướng giải : Đặt B =

Ta có : B .

a −b b−c c −a
+
+
c
a
b

c

c b−c c−a
c  b − bc + ac − a 2 
= 1+
+
.

 = 1+

a−b
a−b a
b 
a−b 
ab


N¨m häc 2018 - 2019

8


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8
THCS Lª Quý §«n

=1+

Tương tự : B .
Vậy A = 1 +

Lª Phong Lan - Trêng

c ( a − b )( c − a − b )
2c 2
2c 3
.
= 1+
. = 1+
a −b
ab
ab
abc

a
2a 3
b
2b3
= 1+
; B.
= 1+
;
b−c
abc
c−a
abc

(

2c 3
2a 3
2b3
a 3 + b3 + c3

+1
+1
=3
abc
abc
abc
abc

)

Vì a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +

2.3abc
=9
abc

 Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x - 3)3 = (2x + 1)3.
Hướng giải : (3x - 2)3 – (x - 2)3 = (2x + 1)3 => (3x - 2)3 – (x - 3)3 – (2x + 1)3 = 0
=> (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 0
=> Nhận xét: Ta có : 3x - 2 - x + x - 2x - 1 = 0
Áp dụng nhận xét, ta có :
(3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x - 2)(-x + 3)(-2x - 1) = 0
Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1
Hướng giải : Ta có : x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1
⇔ (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – xz - yz) = 1

Ta xét x2 + y2 + z2 – xy – xz =

1

[(x - y2 + (y- z)2 + (z - x)2 ] ≥ 0 nên chỉ có thể xảy ra :
2

 x + y + z = 1(1)
 2
2
2
 x + y + z − xy − yz − zx = 1( 2)

Từ (1) ta có: x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 1

(3)

Từ (2), (3) => xy + yz + zx = 0 nên x2 + y2 + z2 = 1
Giả sử : x2 ≥ y2 ≥ z2 =>z = 0; y = 0; x = ± 1

N¨m häc 2018 - 2019

9


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

x = 1

Nếu  y = 0 = > không t/m

z = 0

x = 1

Nếu  y = 0 = >T/m phương trình
z = 0

x = 0

và TH:  y = 1 = >
z = 0


x = 0

và  y = 0
z = 1


 Dạng 4: Chứng minh đẳng thức :
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
a + b + c = 0

Hướng giải : Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ 
a = b = c

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a + b + c ≠ 0 nên ta có a = b = c (a, b, c >0)
=> ∆ABC là tam giác đều.
Bài 2: Cho a + bc + c + d = 0. Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 + d3 = 3 (d + c) (ab - cd)

Hướng giải : Đặt c + d = x. Ta có a + b + x = 0
⇒ a3 + b3 + x3 = 3abx hay a3 + b3 + (c + d)3 = 3ab(c + d)
⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab (c + d) - 3cd(c + b) = 3(c + d)(ab - cd)

Bài 3: CMR : nếu x + y + z = 0 thì 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Hướng giải : Từ x + y + z = 0 ⇒ -x = y + z ⇒ (y + z)5 = -x5.
⇒ y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5
⇒ x5 + y5 + z5 + 5yz (y3 + 2yzz + 2yz2 + z3) = 0
⇒ x5 + y5 + z5 + 5yz(y + z)(y2 + yz + z2) = 0
⇒ 2(x3 + y5 + z5) - 5yzx((y2 + z2) + (y + z)2)= 0
⇒ 2(x3 + y5 + z5)- 5yzx((x2 + y2 + z2)= 0
N¨m häc 2018 - 2019

10


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

2(x5 + y5 + z5) = 5yzx (x2 + y2 + z2) ⇒ đpcm.

IV/. Sử dụng hằng đẳng thức trong biến đổi đồng nhất :
Bài tập 1 : Cho a > b > 0 , biết:
a). 3a 2 + 3b 2 = 10ab . Tính P =

a −b
a+b

b). 2a 2 + 2b 2 = 5ab . Tính Q =

a+b
a−b

Hướng giải :
2

a − 2ab + b
3a + 3b − 6ab 10ab − 6ab 1
 a −b
= 2
=
= . Mà P > 0 ⇒ P =
a). Xét P 2 = 
÷ = 2
2
2
a + 2ab + b
3a + 3b 2 + 6ab 10ab + 6ab 4
a+b
2

2

2

2

1

b). (Tương tự) Xét E 2 = 9 ⇒ E = 3
Bài tập 2:
a). Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14 . Tính A = a 4 + b 4 + c4
b). Cho x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Tính B = x 4 + y 4 + z 4 theo a.
Hướng giải : a).Ta có: 142 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) ⇒ a 4 + b 4 + c 4 = 196 − 2 ( a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 )
2

Ta có: a + b + c = 0 ⇒ ( a + b + c )

2

a 2 + b 2 + c2
= 0 ⇒ ab + bc + ac = −
= −7
2

⇒ ( ab + bc + ac ) = 49 ⇒ a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2c 2 + 2abc(a + b + c) = 49 ⇒ a 2 b 2 + b 2c 2 + a 2c 2 = 49
2

Vậy A = a 4 + b 4 + c 4 = 196 − 2.49 = 98
b). x = − ( y + z ) ⇒ x 2 = ( y + z ) ⇒ x 2 − y 2 − z 2 = 2yz ⇒ ( x 2 − y 2 − z 2 ) = 4y 2z 2
2

2

(

) (

⇒ x 4 + y 4 + z 4 = 2x 2 y 2 + 2y 2 z 2 + 2x 2 z 2 ⇒ 2 x 4 + y 4 + z 4 = x 2 + y 2 + z 2

Bài tập 3: Cho x ≠ 0 và x +
A = x2 +

1
x2

)

2

= a4 ⇒ B =

a4
2

1
= a . Tính các biểu thức sau theo a.
x

B = x3 +

1
x3

C = x6 +

1

x6

D = x7 +

1
x7

Hướng giải : Dễ dàng chứng minh được, khi n>1, ta có:
N¨m häc 2018 - 2019

11


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

x n +1 +

Ta tính được: A = a 2 − 2 ;

1
x

n +1

1 
1 

1 

=  x n + n ÷ x + ÷−  x n −1 + n −1 ÷
x 
x 
x 


B = a 3 − 3a ;

C = a 6 − 6a 4 + 9a 2 − 2 ;

D = a 7 − 7a15 + 14a 3 − 7a

Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số:
2
2
2
a). a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b )

b). a 3 + 4a 2 − 29a + 24
c). x 4 + 6x 3 + 7x 2 − 6x + 1
d). x 3 + 6x 2 + 11x + 6
e). ( x + 1) . ( x + 3) . ( x + 5 ) . ( x + 7 ) + 15
f). ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )
3

3

3

Hướng giải :
a). Thay b − c = −(c − a) − (a − b)
Sau khi thay, ta được

( a − b ) ( c 2 − a 2 ) + ( c − a ) ( b 2 − a 2 ) = ( a − b ) ( c − a ) ( c + a ) − ( b + a )  = ( a − b ) ( c − a ) ( c − b )

b). Đáp số: ( a − 1) ( a − 3) ( a + 8 )
c). Đáp số: ( x 2 + 3x − 1)

2

d). Đáp số: ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3)
2
e). Đáp số: ( x + 8x + 10 ) . ( x + 6 ) . ( x + 2 )

f). Đặt x − y = a y − z = b z − x = c
⇒ a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c ⇒ ( a + b ) = − c 3
3

⇒ a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 ⇒ a 3 + b 3 + c3 = −3ab(a + b) = 3abc

( x − y)

3

+ ( y − z) + ( z − x ) = 3( x − y) ( y − z) ( z − x )
3

3

D. Hướng dẫn tự học:
- Xem lại nội dung chuyên đề đã ôn (các dạng bài tập và phương pháp giải).

 Bài tập tự luyện: Bài 156-164/ Bài tập nâng cao và các chuyên đề Đại số 8.
Bài 67-70/ Sách 500 bài toán cơ bản và nâng cao Toán 8.
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của x, y, z thoả mãn đẳng thức: (x – y + z)2 = x2 – y2 + z2
N¨m häc 2018 - 2019

12


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

Bài 2 : Tìm các cặp số nguyên sao cho tổng hai số nguyên ấy bằng tích của chúng.
Bài 3: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng: P = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bằng bình phương của một số thực.
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu x là một số tự nhiên lẻ thì A = x4 + 2x3 – 16x2 _ 2x + 15 chia hết cho 16.
Bài 5: Tìm GTNN (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức:
f(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2040.
Bài 6: Biết x = y = 10. Tìm GTLN (giá trị lớn nhất) của P = xy.
Bài 7: Tìm đa thức dư trong phép chia (x2005 + x200 + x20 + x2): (x2 – 1).
Bài 8: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thoả mãn:
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì tam giác ABC đều.
Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 số thoả mãn a + b = c thì ta có đẳng thức:

a2 + b2 + c2 + 2( ab – ac _ bc) = 0
Bài 10: Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên lẻ thì:
A = n3 = 3n2 _ n _ 3 chia hết cho 8.
- Chuẩn bị nội dung chuyên đề 2 “Các PP phân tích đa thức thành nhân tử”.
E. Rút kinh nghiệm:
- Kế hoạch và tài liệu dạy học:……………………………………….…………………………………………………..
- Tổ chức hoạt động học cho HS:………………………………..…………………………………….………………..
- Hoạt động của HS:……………………………………….……………………………………………………………………..



N¨m häc 2018 - 2019

13


Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8

Lª Phong Lan - Trêng

THCS Lª Quý §«n

N¨m häc 2018 - 2019

14