De thi HSG Tinh Nghe An(07-08).doc

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng a
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x

>
ữ

, với
x (0; )
2


.
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Cho hai số thực x, y thoả mãn:
x 0
y 1
x y 3

+ =

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x
3
+ 2y
2
+ 3x
2
+ 4xy - 5x.
b) Giải hệ :
x y
2 2
sinx
e
sin y
3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y
x, y 0;
4


=



+ + = + +

ữ



Bài 3. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dơng n luôn tồn tại duy nhất số thực x
n
sao cho
n
n
x
1
x n 0
2008
+ =
. Xét dãy số (x
n
), tìm giới hạn: lim(x
n + 1
- x
n
).
Bài 4. (5,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3

2
. Biết A(2; - 3),
B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3xy8=0.
Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng cho đờng tròn (C) có tâm O, bán kính R và đờng thẳng d tiếp xúc với (C) tại
điểm A cố định. Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đờng tròn (C) kẻ tiếp tuyến MT tới
đờng tròn (C) (T là tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.
Chứng minh rằng đờng tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định
khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH.
-----------Hết -----------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Trang / 51
Đề chính thức
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng a
----------------------------------------------
Câu Nội dung
Biểu
điểm
Câu 1:
6,0
a.
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0

ĐK: x 0; Đặt t =
x
, t 0.
0,5
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t
2
+ 3 - m = 0 <=> m =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
(2)
0,5
Xét f(t) =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
, t 0
f
/
(t) =
2
2 2
t 2t
(t t 1)

+
; f
/
(t) = 0 <=>
t 0
t 2
=


=

1,0
Bảng biến thiên
t 0 2
+
0,5
f
/
(t)

0 +
f(t)
3
2
5
3
Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0
<=>
5

m 3
3

.
0,5
b.

3
sinx
cosx
x

>
ữ

(1).
3,0
(1) <=> tgx.sin
2
x - x
3
> 0.
Xét f(x) = tgx.sin
2
x - x
3
> 0 ; x
(0; )
2

.
0,5
f
/
(x) = tg
2
x + 2sin
2
x - 3x
2
.
f
//
(x) = 2tgx.
2
1
cos x
+ 4sinx.cosx - 6x =
3
2sin x
cos x
+ 2sin2x - 6x
f
///
(x) =
4 2 2
6
2cos x 6sin x.cos x
4cos2x 6

cos x
+
+
0,5
Trang / 52
=
2 2
2
4
2cos x 6sin x
8cos x 10
cos x
+
+ − =
6 4 2
4
8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x
− − +
=
2 2 2
4
2(cos x 1) (4cos x 3)
0
cos x
− +
>
x (0; )
2
π

∀ ∈
0,5
=> f
//
(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f
//
(x) > f
//
(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
=> f
/
(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f
/
(x) > f
/
(0) = 0 ,
x (0; )

2
π
∀ ∈
0,5
=> f(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f(x) > f(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
Bµi 2.
6,0
a.
x + y = 3 <=> y = 3 - x. Ta cã
x 0
y 1
≥


≥

=> x
[ ]
0; 2∈
0,5
Thay vµo P: P = x

3
+ 2(3 - x)
2
+ 4x(3 - x) - 5x + 3x
2
= x
3
+ x
2
- 5x + 18.
0,5
XÐt f(x) = x
3
+ x
2
- 5x + 18 ; x
[ ]
0; 2∈
f
/
(x) = 3x
2
+ 2x - 5 ; f
/
(x) = 0 <=>
x 1
5
x (lo )
3
¹i

=


−

=

1,0
Ta cã: f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20
0,5
VËy
max P 20 t
min P 15 t
¹i x = 2 ; y = 1

¹i x = 1 ; y = 2
=


=

0,5
b.
3,0

x y
sinx
e (1)
sin y
cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)

x, y 0; (3)
4
−

=



− + = + −


π
 

∈
 ÷

 

Ta cã (1) <=>
/
x y
sin x sin y
(1 )
e e
=
0,5
XÐt f(t) =
t
sin t

e
, t
0;
4
π
 
∈
 ÷
 
f
/
(t) =
t
2t t t
2.cos(t )
e (cos t sin t) cos t sin t
4
0 , t (0; )
4
e e e
π
+
− − π
= = > ∀ ∈
.
0,5
=> f
/
(t) ®ång biÕn trªn
0;

4
π
 
 ÷
 
. Khi ®ã tõ (1
/
) => x = y.
0,5
Trang / 53
Thay vào (2) ta đợc:
2 2
3 8x 3 1 6 2x 2x 1 8x+ + = + +
<=>
2 2
3( 8x 3 8x 8x 4) 8x 1+ + =
<=> 3(8x - 1) = (8x - 1)(
2 2
8x 3 8x 8x 4+ + +
)
<=> (8x - 1)(
2 2
8x 3 8x 8x 4+ + +
- 3) = 0
<=>
2 2
8x 1 0
8x 3 8x 8x 4 3 0 (*)
=

+ + + =



0,5
Xét phơng trình (*) ta có:
2 2
8x 3 8x 8x 4+ + +
- 3
=
2 2
8x 3 2(2x 1) 2 3+ + +

3 2 3 0+ >
=> phơng trình vô nghiệm.
0,5
Với 8x - 1 = 0 <=> x =
1
0;
8 4



ữ

Vậy hệ có nghiệm
1
x
8

1
y
8

=




=


0,5
Bài 3.
2,5
Với n N
*
, xét f(x) =
x
1
x n
2008
+
; x R.
f
/
(x) = -
x
ln 2008
2008

- 1 < 0 x R.
=> f(x) nghịch biến trên R (1). 0,5
Ta có:
n
n 1
1
f (n) 0
2008
1
f (n 1) 1 0
2008
+

= >




+ = <


=> f(x) =0 có nghiệm x
n
(n; n + 1) (2).
Từ (1) và (2) => đpcm. 0,5
Ta có: x
n
- n =
n
x

1
2008
> 0 => x
n
> n.
=> 0 < x
n
- n <
n
1
2008
.
0,5
Mặt khác: lim
n
1
0
2008
=
=> lim(x
n
- n) = 0.
0,5
Khi đó lim(x
n - 1
- x
n
) = lim{[x
n + 1
- (n + 1)] - (x

n
- n) + 1} = 1
0,5
Trang / 54
Bài 4.
5,5
a.
Gọi C(a; b)
3,0
S =
1
2
CH.AB (1).
Ta có: AB =
2
Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =
a b 5
2

do đó: (1) <=>
a b 5
3 1
. . 2 a b 5 3
2 2
2

= =
.
<=>
a b 8

a b 2
=


=

0,5
Toạ độ G(
a 5 b 5
;
3 3
+
)
Ta có: G <=>
3(a 5) b 5
8 0
3 3
+
=
<=> 3a - b = 4
0,5
TH
1
:
a b 8 a 2
3a b 4 b 10
= =

= =

=> C(-2; -10)
0,5
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 65 89+ +
=> r =
2S 3
2p
2 65 89
=
+ +
.
0,5
TH
2
:
a b 2 a 1
3a b 4 b 1
= =



= =

=> C(1; -1)
0,5
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 5 2+
=> r =

3
2 5 2+
.
0,5
b.
Xét hệ toạ độ Axy nh hình vẽ:
O(R; 0).
0,5
Gọi M(x
0
; y
0
)
MT = MH <=> MT
2
= MH
2
<=> OM
2
- R
2
= MH
2
<=> (x
0
- R)
2
+ y
0
2

- R
2
= x
0
2
<=> y
0
2
= 2Rx
0
.
=> M (P): y
2
= 2Rx ; (P) có tiêu điểm F(
R
;0
2
)
1,0
Trang / 5
A
H

y
F
O
x
T
M(x
0;

y
0
)
5