DE VA DAP AN THI VAO 10

Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên
Môn: toán
( Học sinh làm bài 180 phút- không kể thời gian giao đề )

Đ1
Bài 1( 2 điểm):
Cho biểu thức :
A=
a1
1
a1
1
a1
42a
3
2


+


+
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 2 (2,5 đ ):
Cho phơng trình :
x
2
-2(m+2)x +m+1 = 0 (x là ẩn, m là tham số )
a. Giải phơng trình khi m=
2

3

b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình.Tìm các giá trị của m để :
x
1
( 1- 2x
2
)+ x
2
(1- 2x
1
)=m
2
Bài 3 (2 điểm)
Dân số xã X hiện nay có 10000 ngời . Ngời ta dự đoán sau hai năm dân số
xã X là 10404 ngời . Hỏi trung bình hàng năm dân số xã X tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài 4 ( 3 điểm)
Cho đờng tròn (o, r) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau. E là điểm
bất kỳ trên cung nhỏ BD (E

B , E

D ). EC cắt AB ở M , EA Cắt CD ở N .
a. Hai tam giác AMC và ANC có quan hệ với nhau thế nào ? Tại sao ?
b. Chứng minh: AM. CN = 2 r

2
.
c. Giả sử AM = 3 MB . Tính tỉ số
ND
CN
.
Bài 5 ( 1 điểm )
Tìm tất cả các cặp số (x; y ) thoả mãn phơng trình sau :
5x - 2
x
( 2+y ) + y
2
+1 = 0
1
đáp án Đ.t. tuyển sinh p.t.t.h. chuyên
Môn: toán

H1
Bài 1:
a. Rút gọn (1 đ)
Biểu thức A xác định với : 0

a

1 0,25 đ
A=
( )( )
( )
2
2

aa1a1a1
42a
+++
+
-
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
2
2
2
2
aa1a1a1
aa1a1
aa1a1a1
aa1a1
+++
+++

+++
++
A =
2
aa1
2

++
0,75 đ
b. Biểu thức A có giá trị lớn nhất khi 1+a+a
2
có giá trị nhỏ nhất 0,25 đ
Vì a

0 nên 1+a+a
2

1

mẫu của biểu thức A có giá trị nhỏt nhất là 1.
0,5 đ
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 0,25 đ
Bài 2 : (2,5đ)
a.(0,5đ): Thay m = -
2
3
vào phơng trình ta đợc :
x
2
- 2(-
2
3
+ 2)x +
2
3

+ 1 = 0

2x
2
+ 2x 1 = 0
Vì
/

= 3 nên x
1
=
2
31
+
; x
2
=
2
31

b. (1đ): Phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 tức là :
m + 1 < 0

m < -1 0,75 đ
Vậy với m < -1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. 0,25 đ
c. (1đ) : Tìm giá trị m của phơng trình đã cho để có :
x
1
( 1 2x
2
) + x

2
( 1-2x
1
) = m
2

x
1
2x
1
x
2
+ x
2
2x
1
x
2
= m
2

( x
1
+ x
2
) 4x
1
x
2
= m

2
(1) 0,25 đ
Theo Vi et thì x
1
+ x
2
=
a
b

=2(m+2)
x
1
x
2
=
a
c
= m + 1
nên (1) có dạng :
2(m + 2 ) - 4( m +1 ) =m
2
0,25đ

2m + 4 4m - 4 = m
2



m

2
+2m =0


m( m +2 ) =0

m =0 hoặc m = - 2 0,25 đ
Vậy với m = 0 hoặc m =- 2 thì

> 0 phơng trình đã cho
Có 2 nghiệm x
1
, x
2
0,25 đ
2
Bài 3 (2 điểm)
Gọi tỉ số phần trăm tăng dân số hàng năm của xã X hàng năm là
100
x
(x >0)
Dân số xã X hiện nay có 10 000 ngời thì sau 1 năm dân số sẽ là:
10 000 +
100
x
. 10 000 = 10 000 + 100 x (ngời)
Sang năm thứ 2 dân số xã X sẽ là :
10 000 + 100 x +
100
x

.(10 000 + 100 x ) =10 000 +200 x +x
2
(ngời) 0,5 đ
sau 2 năm dân số xã X là 10 404 ngời nên có phơng trình
10 000 + 200 x + x
2
= 10 404


x
2
+ 200 x - 404 = 0 0,5 đ
Giải phơng trình đợc x
1
=2 ; x
2
=- 202 (loại)
Sau khi thử lại có kết quả :
Dân số xã X hàng năm tăng 2% 0,25đ
Bài 4 : (3đ)
-Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận
a, Vì AB CD nên cung AD= cung DB = cungBC = cung AC
Số đo NAC=
2
1
số đo( cung EB + cung BC)
Số đo AMC=số đo (cung EB + cung AC)

NAC = AMC 0,25đ
Số đo CAN =

2
1
số đo cung AD =
2
1
số đo cung BC =
2
1
số đo cung MAC 0,25đ
Vậy AMC

ANC vì có hai cặp góc tơng ứng bằng nhau 0,5đ
b, Vì

AMC

ANC nên
AN
AC
AC
AM
=

AM.CN = AC
2
0,5đ
Theo đing lý PiTa Go trong

vuông AOC ta có AC
2

=OA
2
+OC
2
Hay AC
2
=2r
2
0,25đ
Vậy AM. CN = 2r
2
0,25đ
c, Ta có AM+MB = 2r
Mà AM = 3MB
Nên 4MB = 2r

MB =
2
1
r

AM =
r
2
3
0,25đ
3
A
E
B

D
M
C
O
N
CN =
AM
r
2
2


CN =
r
3
4
0,25đ
Vì CN +ND = 2r nên ND = 2r -
r
3
4
=
r
3
2
0,25đ
Vậy
2
=
ND

CN
0,25đ
Bài 5 :
Phơng trình : 5x -2
x
(2+ y)+ y
2
+1 =0

4x - 4
x
+1 +y
2
-2
x
.y +x = 0


(2
x
- 1)
2
+ (y -
x
)
2
=0 (1) 0,25đ
Vế trái của (1) là tổng của hai biểu thức không âm,
nên mỗi biểu thức phải bằng 0
Vây (1)

=
=
0
012
xy
x









=
=
2
1
4
1
y
x
0,5đ

Vậy cặp số phải tìm là: (
4
1
;
2
1
) 0,25đ
4
Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên
Môn: toán
( Học sinh làm bài 180 phút- không kể thời gian giao đề )

Đ3
Bài I (2điểm)
a) Trong mọi cặp nghiệm của phơng trình :
x
2
- yx
2
+2xy y + 7 = 0
Hãy tìm cặp nghiệm (x ,y) mà y có giá trị nhỏ nhất.
b)Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức :
x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0
Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S = x + y +1.
Bài II (1,5điểm)Giả sử hệ phơng trình sau có nghiệm :

=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax

Chứng minh rằng a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Bài III)(2 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O), có đờng cao AN và CK (N thuộc
BC, K thuộc AB). Đờng tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đờng tròn(O) tại điểm thứ hai M. Gọi
P là trung điểm của AC . Chứng minh rằng PM

MB.
Bài IV)(3 điểm)
Cho đờng tròn(O,R) và điểm P cố định nằm trong (O). Qua P vẽ 2 cát tuyến APB
và CPD vuông góc với nhau(A,B,C,D thuộc đờng tròn(O)).
a)Chứng minh rằng AC
2
+BD

2
không đổi. Từ đó suy ra PA
2
+PB
2
+PC
2
+PD
2
không đổi.
b)Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng khi hai cát tuyến APB và CPD quay
quanh P và vuông góc với nhau thì điểm I luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
Bài V) (1,5điểm)Giải phơng trình :
56328631142
2242
++=+++
xxxxxx
5