Đề HK I Toán 11CB (2008-2009)

ĐỀ THI HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN LỚP 11 ( Ban cơ bản )
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1. (2,5 điểm) Giải các phương trình sau :
a.
2sin 1
4
x
π
 
+ =
 ÷
 
b.
2
2cos 2 cos 2 1 0x x− − =
c.
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 
+ = +
 ÷
 
Câu 2. (1 điểm) Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
12

3
3
1
x
x
 
+
 ÷
 
Câu 3. (2 điểm) Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8X =
a. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác nhau ?
b. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập hợp
X
. Tính xác suất để tích của ba số đó chia hết cho 2.
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
(3; 4)M −
và đường tròn (C) có phương
trình (C) :
2 2
( 2) ( 3) 16x y− + + =
a. Tìm tọa độ điểm
1
M
là ảnh của điểm
M
qua phép tịnh tiến theo vectơ

(5; 2)v = −
v
b. Viết phương trình đường tròn
1
( )C
là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O
tỉ số
2k =
Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là
trung điểm của SC.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b. Gọi I là giao điểm của AM và SO, chứng minh
2IA IM=
. Tìm giao điểm E của SD và mặt
phẳng (ABM).
ĐỀ THI HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN LỚP 11 ( Ban cơ bản )
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1. (2,5 điểm) Giải các phương trình sau :
a.
2sin 1
4
x
π
 
+ =
 ÷
 
b.
2

2cos 2 cos 2 1 0x x− − =
c.
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 
+ = +
 ÷
 
Câu 2. (1 điểm) Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
12
3
3
1
x
x
 
+
 ÷
 
Câu 3. (2 điểm) Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8X =
a. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác nhau ?
b. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập hợp

X
. Tính xác suất để tích của ba số đó chia hết cho 2.
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
(3; 4)M −
và đường tròn (C) có phương
trình (C) :
2 2
( 2) ( 3) 16x y− + + =
a. Tìm tọa độ điểm
1
M
là ảnh của điểm
M
qua phép tịnh tiến theo vectơ
(5; 2)v = −
v
b. Viết phương trình đường tròn
1
( )C
là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O
tỉ số
2k =
Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là
trung điểm của SC.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b. Gọi I là giao điểm của AM và SO, chứng minh
2IA IM=
. Tìm giao điểm E của SD và mặt

phẳng (ABM).
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 11 – HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2008 – 2009
Câu ý Nội dung Điểm
1 Giải các phương trình : 2,5
1a
1
2sin 1 sin sin
4 4 2 6
x x
π π π
   
+ = ⇔ + = =
 ÷  ÷
   
0,5
2
2
4 6
12

5 7
2 2
4 6 12
x k
x k
k
x k x k
π π
π
π

π
π π π
π π


+ = +
= − +


⇔ ⇔ ∈




+ = + = +




Z
0,25
1b
2
cos 2 1
2cos 2 cos2 1 0
1
cos 2
2
x
x x

x
=


− − = ⇔

= −

0,25
cos 2 1 2 2 , x x k x k k
π π
= ⇔ = ⇔ = ∈ Z
0,25
2
2 2
1 2
3 3
cos 2 cos
2
2 3
2 2
3 3
x k x k
x k
x k x k
π π
π π
π
π π
π π

 
= + = +
 
= − = ⇔ ⇔ ∈
 
 
= − + = − +
 
 
Z
0,25
1c
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 
+ = +
 ÷
 
(1) Điều kiện :
sin 0

cos 0
2
x
k
x k

x
π
≠

⇔ ≠ ∈

≠

Z
0,5
(1)
( ) ( )
sin cos 1
2 sin cos sin cos 2 0
sin .cos sin .cos
x x
x x x x
x x x x
+
 
⇔ + = ⇔ + − =
 ÷
 
sin cos 0
2 sin 0

4
1
2 0
2sin .cos 1

sin .cos
x x
x
x x
x x
π

+ =
 

+ =
 ÷


⇔ ⇔
 


− =
=


0,25
sin 0
4 4
4
4 2
2 2
sin 2 1
2 4

x k x k
x
k
x
x k x k
x
π π
π
π π
π π
π π
π π
 

 
+ = = − +
 
+ =
 ÷

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = +
 
 

 
= + = +
=

 
 

k
∈
Z
0,25
2
Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
12
3
3
1
x
x
 
+
 ÷
 
1,0
( ) ( )
12
3 3
1 12
0 12
k k
k
k
T C x x k
−

−
+
= ≤ ≤

3(12 ) 3 36 6
12 12
.
k k k k k
C x x C x
− − −
= =
0,5
1k
T
+
không chứa
x
khi :
36 6 0 6k k
− = ⇔ =
0,25
⇒

7
T
là số hạng không chứa
x
và
6
7 12

924T C= =
0,25
3 2,0
3a
Gọi
1 2 3 4
a a a a
là số tự nhiên cần tìm. Ta xét hai trường hợp
+ Trường hợp
4
0a =
Chọn vào vị trí
4
a
: có 1 cách
Chọn vào các vị trí
1 2 3
, ,a a a
có
3
8
A
cách
Do đó : có 1.
3
8
336A =
số
0,25
+ Trường hợp

4
0a ≠
Chọn vào vị trí
4
a
: có 4 cách
Chọn vào vị trí
1
0a ≠
: có 7 cách
Chọn vào các vị trí
2 3
,a a
có
2
7
A
cách
Do đó : có
2
7
4.7. 1176A =
số
0,5
Vậy có tất cả :
336 1176 1512
+ =
số 0,25
3b
Lấy ngẫu nhiên 3 số trong 9 số , ta có :

( )
3
9
n CΩ =
Gọi A là biến cố “ chọn được một số chẵn và hai số lẻ ”, ta có :
( )
1 2
5 4
n A C C=
Khi đó :
1 2
5 4
3
9
30 5
( )
84 14
C C
P A
C
= = =
0,25
Gọi B là biến cố “ chọn được hai số chẵn và một số lẻ ”, ta có :
( )
2 1
5 4
n B C C=
Khi đó :
2 1
5 4

3
9
40 10
( )
84 21
C C
P B
C
= = =
0,25
Gọi C là biến cố “ chọn được ba số chẵn ”, ta có :
( )
3
5
n C C=
Khi đó :
3
5
3
9
10 5
( )
84 42
C
P C
C
= = =
0,25
Khi đó, biến cố “ tích ba số chia hết cho 2 ” là :
A B C∪ ∪

Do các biến cố A, B, C đôi một xung khắc nên

( ) ( ) ( )
( )P A B C P A P B P C∪ ∪ = + +
Vậy
5 10 5 20
( )
14 21 42 21
P A B C∪ ∪ = + + =
0,25
4 2,0
4a
1 1
1 1
1 1
3 5 8
( )
4 2 6
v
x x
T M M MM v
y y
− = =
 
= ⇔ = ⇔ ⇔
 
+ = − = −
 
v
uuuuuv v

1
(8; 6)M −
0,75
4b
Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C ) :
(2; 3)I −
,
4R =
0,25
Gọi
1
( ; )I x y
và
1
R
là tâm và bán kính của đường tròn (C
1
)
(0,2) 1 1
2.2 4
( ) 2
2.( 3) 6
x
V I I OI OI
y
= =

= ⇔ = ⇔


= − = −

uuuv uuv

1
(4; 6)I −
0,5
Bán kính
1
2 8R R= =
0,25
Phương trình đường tròn
2 2
1
( ) : ( 4) ( 6) 64C x y− + + =
0,25
5 2,5
Hình vẽ đầy đủ cho 0,5; nếu chỉ vẽ được hình chóp cho 0,25
0.5
A
S
E
B
C
D
O
M
I
●
●

5a
Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )SAC
và
( )SBD
( ) ( )S SAC SBD∈ ∩
, ( ) ( )
( ) ( )
, ( ) ( )
O AC AC SAC O SAC
O AC BD O SAC SBD
O BD BD SBD O SBD
∈ ⊂ ⇒ ∈

= ∩ ⇒ ⇒ ∈ ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈

0,75
Do đó :
( ) ( )SO SAC SBD= ∩
0,25
5b Chúng minh :
2IA IM=
Trong tam giác SAC , ta có : I là giao điểm của hai trung tuyến SO và AM
2
2
3
IA AM IA IM⇒ = ⇔ =
0,5

Giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM)
Trong mặt phẳng (SBD), ta có :
( )
, ( ) ( )
E SD
BI SD E E SD ABM
E BI BI ABM E ABM
∈

∩ = ⇒ ⇒ = ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈

0,5
Tháng 12 năm 2008