giao an boi duong hoc sinh gioi

Buổi 1 Ngày soạn 5 /9/2008
Ngày dạy
Chuyên đề1: Toán cực trị
I.Mục tiêu: HS nắm vững phơng pháp giải các dạng toán cực trị,có kỹ năng biến đổi thành
thạo,các thao tác linh hoạt ,sáng tạo
II.Tài liệu: -Tài liệu bồi dỡng hs giỏi lớp 8,9 phần cực trị
Toán nâng cao đại số 8,9
Một số v/đ phát triển đại số 8,9
III.Nội dung
Dạng 1: Tam thức bậc hai,biến đổi đa về dạng
F(x)=A
2k
(x)+a
a


F(x)=a là giá trị nhỏ nhất khi A(x)=0
F(x)=A
2k
(x)-a
a


F(x)=a là giá trị lớn nhất khi A(x)=0
Bài tập: Tìm min,max biểu thức
1, a, 2x
2
-4x+5 b, 2x
2
+6x +5 c, x
4

+x
2
+1
2, a, -2x
2
+4x-5 b, -x
4
+x
2
+1
Dạng 2: Phân thức
Ph ơng pháp: Đa về tìm miền giá trị ,tìm min ,max .Hoặc biến đổi đa về dạng 1
a .Phân thức tử hằng số
1. Tìm max a. A=
1
1
2
+
x
b.B=
2)1(
2
2
+
x
2. Tìm min a. A=
2
1
2

x
b.B=
2)1(
2
2
+

x
3. Tìm min ,max: a, A=
2
1
43
x
x
+

b, max B=
22
542
2
2
+
+
xx
xx
4.Tìm min ,max A=
22
4
)1(

1
+
+
x
x
, B=
1
13
2
2
+
++
x
xx
Dạng 3: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp: lập bảng xét dấu
Vận dụng:
a
+
bab
+
dấu bằng xảy ra khi ab
0

1.Tìm min A=
1

x
+
2

x
2. Tìm min B=
12

x
+
2

x
3. Tìm min
22
)2007()2006(
+
xx
4 . Tìm min
222
)2008()2007()2006(
++
xxx
Dạng 5: Biểu thức hai biến
Tìm min a. A=
22
)2()1(
+
yx
-3
b. B=
2)1()1(
22

+++
xyx
c. C=2x
2
+ y
2
+4-2xy +2y
HD: Câu c. đa về câu b. vận dụng HĐT (a-b-c )
2

2
Buổi 2
Ngày soạn 13/9 / 2008 Ngày dạy
Chuyên đề 2 : Bất đẳng thức
I. Mục tiêu : Nắm vững phơng pháp chứng minh các bất đẳng thức đơn giản , vận dụng
vào chứng minh các bất đẳng thức khác
II .Nội dung :
Bất đẳng thức cô si : a>0 ,b>0
abba 2
+
Bất đẳng thức Bu nhi a Cốp x ki : x,y >0 ,a,b hằng số
(ax + by )
2

))((
2222
yxba
++
Bài tập : Chứng minh :
1,

0
1
1
+
x
x
2. Chứng minh a, b, c độ dài 3 cạnh đối diện góc A,B, C của
ABC

,
CABB


>
C/M
cb
ca
b
a
+
+
>

HD: Tính
cb
ca
b
a
+
+

Dựa vào BĐT tam giác
3 C/m a
2
+ b
2
+c
2

bcacab
++
4 . a, cho x>0 , y> 0 c/m
yxyx
+
+
411
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b , Tam giác ABC chu vi 2p= a+ b+ c chứng minh
)
111
(2
111
cbacpbpap
++

+

+

Dấu bằng xảy ra khi nào? Tam giác ABC có đặc điểm gì?
?a , Dựa vào BĐT nào?
xyyx
xyyx
1
2
11
2
+
+
yxyxyx
yx
+
+++
411
4)
11
)((
Dấu bằng xảy ra x=y
b , p-a=
0
22

+
=
++
acb
a
cba
tơng tự p-b>0 ,p-c >0

3
áp dụng câu a :
;
411
;
411
4
2
4
)()(
411
bapbpacpbp
cbapbpapbpap


+



+

=

=
+


+

Cộng từng vế ta đpcm

Bài 5. Chứng minh BĐT a,
3344
abbaba
++
b ,
2
1
22
+
ba
với
1
+
ba
HD: áp dụng phép biến đổi tơng đơng
Bài tập : 1. Chứng minh
3344
baba
++
2.
3
33
)
2
(
2
baba
+

+

3. a, b, c dơng a+b+c=1 c/m
9
111
++
cba
4. a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác ab+ac+ bc
)(2
222
bccaabcba ++<++
Buổi 3,4 : Ngày soạn 25/ 9/2008
Ngày dạy
Chuyên đề 3 : toán chứng minh chia hết
I Mục tiêu: Nắm vững phơng pháp toán chứng minh chia hết , vận dụng vào giải các
bài tập thành thạo
II Nội dung: Giáo viên hớng dẫn Hs
1. Ôn tập các dấu hiệu chia hết :
2. Tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho số nào?
3. Tính chất đồng d:
4. Nhắc lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử?
5. Bài tập : 1. Chứng minh nếu n số nguyên lẻ thì
A= n
3
-3n n +21 chia hết 6
Hd: A=(n
3
- n)+18 (3n
2
-3) = n(n -1)(n+1) +18 -3n (n
2
-1)

4
2. . Phơng pháp 1: Dùng tính chất chia hết
Ví dụ1: Chứng minh rằng:
a. Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
b. Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
c. Tích của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120
Giải:
a.Tích của 2 số chẵn có dạng : 2n(2n+2)
Khi đó 2n(2n+2)=4n(n+1) . Ta thấy n và n+1 là hai số nguyên liên tiếp nên có một số chia
hết cho 2 . Vậy n(n+1)
2M
Do đó
( )
4 1 8n n
+
M
b. Tích của ba số nguuyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3, mà ƯCLN của 2 và 3 là 1
cho nên tích đó chia hết cho 6
c. Ta có 120=2
3
.3.5 . Trong 5 số nguyên liên tiếp phảI có 2 số chẵn liên tiếp nên tích
đó chia hết cho 8 ,mà trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 một số chia hết
cho 5 nên tích chia hết cho 3 và 5
Vậy tích của 5 số liên tiếp chia hết cho 120
Ví dụ 2: Chứng minh rằng : a
3
-13a
6M
Giải: Ta có a
3

-13a=(a-1).a.(a+1)-12a
Vì (a-1).a.(a+1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6, và
12 6aM
Vậy: a
3
-13a
6M
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: n
4
-4n
3
-4n
2
+16n
Với
n

chẵn và n>1
Giải:
Nhận xét 384=3.128 với (3,128)=1 n chẵn và n>4

n=2k, k

N , k>2
Đặt A=n
4
-4n
3
-4n
2

+16n=16k
4
-32k
3
-16k
2
+32k

A=16k(k
3
-2k
2
-k
+2
+2)
A=16k(k-2)(k-1)(k+1)
Ta thấy k,k-1,k-2 ,k+1 là 4 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho2 và một số chia hết
cho 4 nên ( k-2).(k-1).k(k+1)
M
8
128A M
Mặt khác trong 3 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3

(k-1).k(k+1)
M
3
3A M
5
Vì (3,128)=1 nên A
384M

n chẵn và n>4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho9
Giải:
Ta có(n-1)
3
+n
3
+(n+1)
3
=3(n
3
+2n)=3(n
3
-n+3n)=3(n-1).n.(n+1)+9n
9M
Ví dụ 5: Chứng minh rằng n
4
+6n
3
+11n
2
+6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
(Thi học sinh giỏi toàn quốc)
Giải:
Ta có n
4
+6n
3
+11n

2
+6n=n(n+1)(n+2)(n+3) .Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết
cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên n(n+1)(n+2)(n+3)
M
8.
Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 nên n(n+1)(n+2)(n+3)
M
3 Vì
(3,8)=1
ta có n
4
+6n
3
+11n
2
+6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
Một số bài tập t ơng tự
1.Chứng minh rằng: tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24
Tích 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720
2. Chứng minh với mọi m, n nguyên :
a. n
2
(n
2
-1)
M
12
b. n
2
(n

4
-1)
M
60
c. m.n (m
4
-n
4
)
M
30
d. (n
5
-n)
M
30
3. Chứng minh với mọi n nguyên: 3n
4
-4n
3
+21n
2
-10n
M
24
2.2.2.2. Phơng pháp 2: dùng công thức khai triển
Ta biết các dạng hằng đẳng thức:
a
2
-b

2
=(a-b)(a+b) chia hết cho a-b
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+a.b+b
2
) chia hết cho a-b
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
) chia hết cho a+b
Tổng quát: nên :a
n
-b
n
=(a-b )(a
n-1
+a
n-2
b+ +ab
n-2

+b
n-1
) và a
n
+b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+ b
n-1
)
a
n
-b
n
M
a-b (a

b) ,a
n
+b
n
chia hết a+b mọi n lẻ ,a
n
-b
n
chia hết cho a+b nế n chẵn
(a+b)

n
=b
n
(mod a)
Ví dụ 1: với n chẵn ,chứng minh 20
n
+16
n
-3
n
-1 chia hết 323
Giải :
Ta có 323=17.19
6