BÀI TOÁN THUÊ XE DU LỊCH CÓ HẠN NGẠCH-LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HÀ NỘI

Đinh Thị Thủy

BÀI TOÁN THUÊ XE DU LỊCH CÓ HẠN NGẠCH

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 64080101

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Hoàng Xuân Huấn

Hà Nội - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự
hướng dẫn giúp đỡ của PGS.TS. Hoàng Xuân Huấn. Các kết quả được viết chung
với các tác giả khác đều được sự đồng ý của tác giả trước khi đưa vào luận văn.
Trong toàn bộ nội dung nghiên cứu của luận văn, các vấn đề được trình bày đều là
những tìm hiểu và nghiên cứu của chính cá nhân tôi hoặc là được trích dẫn từ các
nguồn tài liệu có ghi tham khảo rõ ràng, hợp pháp.
Trong luận văn, tôi có tham khảo đến một số tài liệu của một số tác giả được
liệt kê tại mục tài liệu tham khảo.
Hà Nội, ngày .. tháng .. năm 2018
Học viên

Đinh Thị Thủy

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới PGS.TS.Hoàng Xuân Huấn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Công nghệ thông tin, Đại học Công Nghệ, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày .. tháng .. năm 2018
Học viên

Đinh Thị Thủy

2


DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

ACO
Phương pháp tối ưu hóa đàn kiến(Ant Colony Optimisation).
AS
Hệ kiến AS(Ant System).
ACS
Hệ kiến ACS(Ant Colony System).
MMAS
Hệ kiến MMAS(Max-Min Ant System).

SMMAS Hệ kiến MMAS trơn(Smooth-Max Min Ant System).
CaRS
Bài toán thuê xe du lịch(Traveling car renter problem).
GA
Thuật giải di truyền(Genetic Algorithm ).
QTSP
Quota Traveling Salesman Problem.
q-CaRS Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch(Quota traveling car renter problem)
TSP
Bài toán người chào hàng(Traveling Salesman Problem).
||
Số phần tử trong một tập.


Mục lục
Danh mục kí hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. Quy hoạch nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Dạng tổng quát của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Ứng dụng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Các phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch nguyên . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
9

1.2. Bài toán người chào hàng(Traveling Salesman Problem - TSP). . . . . . . .

11

1.3. Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch(q-CaRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1. Bài toán người bán hàng có hạn ngạch(QTSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch(q-CaRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
15

Chương 2. Các phương pháp metaheuristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Thuật giải di truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1. Thuật toán di truyền cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2. Biễu diễn bằng véc tơ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. GA trong tối ưu tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
24
25

2.2. Phương pháp tối ưu hóa đàn kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.1. Cách tìm đường đi của kiến tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Kiến nhân tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Phương pháp ACO tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
29
29

Chương 3. Thuật giải di truyền cho bài toán q-CaRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1. Biểu diễn quần thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2. Quá trình tái tạo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3. Thủ tục tìm kiếm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4. Thuật toán MemPlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.5. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.5.1. Bộ dữ liệu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Tiến hành chạy thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

44
44


3.5.3. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chương 4. Thuật toán ACO giải bài toán q-CaRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.1. Đồ thị cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.2. Vết mùi và thông tin heuristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.3. Quy tắc cập nhật mùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.4. Thủ tục tìm kiếm cục bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.5. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.6. Kết quả thực nghiệm và đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5


LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, đi cùng với sự bùng nổ mạnh mẽ của công nghệ
thông tin và du lịch, các dịch vụ tiện ích phục vụ cho khách du lịch với các ứng

dụng di động cũng được phát triển mạnh mẽ. Nhu cầu tìm kiếm các kế hoạch cho
chuyến đi với chi phí phù hợp và thuận lợi là một trong những nhu cầu phổ biến.
Cụ thể, trong một tour du lịch tham quan các địa điểm của thành phố, tại mỗi địa
điểm đều có những sẵn những chiếc xe du lịch với giá thành cụ thể. Vì lý do tài
chính cũng như thời gian hành khách có thể sẽ không đi tham quan được hết các
địa điểm nhưng họ luôn mong muốn sẽ có một chuyến đi hài lòng nhất với chi phí
nhỏ nhất. Đây bài toán thuộc vấn đề tối ưu tổ hợp, thuộc lớp bài toán NP-khó và
là bài toán biến thể của bài toán người bán hàng du lịch(TSP) và bài toán thuê xe
du lịch(CaRS). Đã có rất nhiều các nghiên cứu đưa ra cho bài toán này như : “Các
phương pháp tối ưu cho bài toán người bán hàng du lịch trực tuyến”[46] , “Bảo
đảm xấp xỉ cho bài toán người bán hàng có trọng số”[6] , “Thuật toán Memetic
cho bài toán thuê xe du lịch”[20]. . . Tuy nhiên các nghiên cứu này không xét đến
chi phí di chuyển mà mới chỉ xét đến thời gian di chuyển thành công giữa các địa
điểm.
Vấn đề được đặt ra trong nghiên cứu này đó là sự tổng quát hóa của thuật toán
QTSP với một tập hợp các xe ô tô để người bán hàng có thể thuê để di chuyển.
QTSP là một biến thể của TSP với mỗi đỉnh đều có rằng buộc nhất định và mục
tiêu là tối thiểu hóa chi phí di chuyển với yêu cầu rằng buộc không nhỏ hơn giá trị
định sẵn. Trong nghiên cứu “Thuật toán Memetic cho bài toán thuê xe du lịch”[20]
đã đưa ra những kết quả được đánh giá khá cao, tuy nhiên trong nghiên cứu không
có ràng buộc nào đối với các địa điểm đến thăm.
Bài toán q-CaRS là bài toán tối ưu tổ hợp có nhiều ràng buộc , thuộc lớp bài toán
NP khó, chỉ có thể tìm lời giải gần đúng trong thời gian đa thức. Trong nghiên cứu
[21] tác giả đã đưa ra thuật giải di truyền để giải bài toán và kết quả thu được là
khá tốt. Tuy nhiên trong thời gian gần đây, phương pháp tối ưu hóa đàn kiến giải
bài toán tối ưu tổ hợp đang được nổi lên với những thực nghiệm được đánh giá
khá cao đặc biệt là thành công trong bài toán người bán hàng với số đỉnh lên đến
2000. Vì vậy luận văn đề xuất thêm phương pháp tổi ưu hóa đàn kiến giải bài toán
q-CaRS trên. Kết quả thực nghiệm cho thấy phương pháp tối ưu hóa đàn kiến cho
kết quả trong nhiều hợp tốt hơn thuật giải GA về cả chất lượng và thời gian. Trong

phương pháp tối ưu hóa đàn kiến, luận văn sử dụng quy tắc cập nhật mùi Maxmin trơn trong nghiên cứu của tác giả Đỗ Đức Đông và các cộng sự [2].
Luận văn trình bày về bài toán thuê xe có hạn ngach q-CaRS, sau đó là giới thiệu
chung về hai phương pháp metaheuristic là thuật giải di truyền và phương pháp
6


tối ưu hóa đàn kiến giải bài toán toán tối ưu tổ hợp. Tiếp theo luận văn trình bày
cụ thể về hai phương pháp trên giải bài toán q-CaRS và chương trình thực nghiệm.
Bố cục của luận văn bao gồm 4 chương:
• Chương 1: Bài toán thuê xe có hạn ngạch.
• Chương 2: Các phương pháp metaheuristic.
• Chương 3: Thuật toán di truyền giải bài toán q-CaRS.
• Chương 4: Thuật toán ACO giải bài toán q-CaRS.
• Phụ lục trình bày một số module cơ bản trong lập trình thuật toán.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm
luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Hà Nội, ngày .. tháng .. năm 2018
Học viên

Đinh Thị Thủy

7


Chương 1
Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch
1.1.

Quy hoạch nguyên

Quy hoạch nguyên (Integer Programming) , viết tắt là IP, là bài toán quy hoạch
mà trong đó tất cả hoặc một phần các biến bị ràng buộc chỉ lấy giá trị nguyên.
Trường hợp thứ nhất được gọi là quy hoạch nguyên hoàn toàn (Pure Integer Programming – PIP), trường hợp thứ hai được gọi là quy hoạch nguyên bộ phận
(Mixed Integer Programming – MIP)

1.1.1.

Dạng tổng quát của bài toán

Bài toán quy hoạch nguyên tổng quát được biểu diễn dưới dạng:
f ( x ) = c T x → min(max )
với các điều kiện:
Ax ≤ b
x≥0
x ∈ Zn
Bài toán quy hoạch nguyên được gọi là hoàn toàn khi tất cả các biến đều là số
nguyên và được gọi là bộ phận khi một số biến không phải là số nguyên.
Bài toán quy hoạch nguyên 0-1 là bài toán khi các biến được giới hạn là 0 hoặc 1.

1.1.2.

Ứng dụng của bài toán

Ứng dụng của bài toán được phát triển dựa vào các biến thể là bài toán quy
hoạch nguyên hỗn hợp và bài toán quy hoạch nguyên 0-1.
8

Lập kế hoạch sản xuất
Quy hoạch nguyên hỗn hợp có nhiều ứng dụng trong sản xuất công nghiệp, bao
gồm mô hình hóa việc làm. Một ví dụ quan trọng xảy ra trong quy hoạch sản xuất
nông nghiệp bao gồm xác định năng suất sản xuất cho một số loại cây trồng có thể
chia sẻ tài nguyên (ví dụ như đất đai, lao động, vốn, hạt giống, phân bón ...). Một
mục tiêu có thể là tối đa hóa tổng sản lượng mà không vượt quá các nguồn lực
sẵn có. Trong một số trường hợp, điều này có thể được biểu diễn dưới dạng một
chương trình tuyến tính, nhưng các biến phải được hạn chế là số nguyên.
Bài toán lập lịch
Bài toán này liên quan đến dịch vụ và lập lịch trình xe trong mạng lưới vận tải. Ví
dụ, bài toán liên quan đến việc chỉ định xe buýt hoặc tàu điện ngầm vào các tuyến
đường riêng để có thể đáp ứng được thời gian biểu, và cũng để trang bị cho họ
các trình điều khiển. Ở đây các biến quyết định nhị phân cho biết xe buýt hoặc tàu
điện ngầm được gán cho tuyến đường và liệu người lái xe có được chỉ định cho
một chuyến tàu hoặc tàu điện ngầm hay không.
Mạng viễn thông
Mục tiêu của những bài toán này là thiết kế một mạng lưới các đường dây cài đặt
để đáp ứng các yêu cầu truyền thông được xác định trước và tổng chi phí của mạng
là tối thiểu. Điều này đòi hỏi tối ưu hóa cả topo của mạng cùng với việc thiết lập
năng suất của các đường khác nhau. Trong nhiều trường hợp, năng suất bị hạn chế
là số nguyên. Thông thường, tùy thuộc vào công nghệ được sử dụng, các hạn chế
bổ sung có thể được mô hình hóa như là một bất đẳng thức tuyến tính với các biến
số nguyên hoặc nhị phân.
Mạng di động
Nhiệm vụ quy hoạch tần số trong mạng di động GSM bao gồm việc phân phối
các tần số sẵn có trên các ăng ten để người dùng có thể được đáp ứng và sự kết
hợp được giảm thiểu giữa các ăng-ten. Bài toán này có thể được xây dựng như là
một chương trình tuyến tính số nguyên, trong đó các biến nhị phân cho biết tần số
được gán cho một ăng-ten.

1.1.3.

Các phương pháp tiếp cận giải bài toán quy hoạch nguyên

Sử dụng tổng số đơn modulo
Nếu bài toán có dạng max (c T x ), Ax = b với A, b, c đều nguyên và A là tổng đơn
modulo, khi đó tất cả các phương án đều là số nguyên. Do đó, đáp án trả về bằng
thuật toán đơn giản được đảm bảo là nguyên. Để chỉ ra tất các các đáp án đều là
nguyên, đặt x là một lời giải của bài toán. Khi đó Ax = b, x0 = [ xn1 , xn2 , ..., xn j ] là
các phần tử tương ứng trong cột của x. Theo định nghĩa, có ma trận vuông con B
của A sao cho Bx0 = b.
9


Vì các cột của B là độc lập tuyến tính và B là ma trận vuông, theo giả định B là
đơn modulo và det( B) = ±1. Vì B là ma trận không suy biến, khả nghịch nên
B adj
(B adj là ma trận liên hợp của B). Khi đó:
x0 = B−1 b. Theo định nghĩa B−1 = det
( B)
B−1 = ± B adj là nguyên
x0 = B−1 b là nguyên
Tất cả các đáp án có thể đều nguyền
Thuật toán chính xác
Khi ma trận A không hoàn toàn unimodular, có một loạt các thuật toán có thể được
sử dụng để giải bài toán quy hoạch nguyên chính xác. Một lớp các thuật toán là
các phương pháp cắt mặt phẳng bằng cách giải sự lũy biến của bài toán quy hoạch
nguyên và sau đó thêm các ràng buộc tuyến tính đưa ra giải pháp theo hướng
nguyên mà không loại bỏ bất kỳ điểm khả thi nào.
Một lớp các thuật toán khác là các biến thể của nhánh cận và phương thức giới hạn

biên. Ví dụ, phương pháp nhánh cận và cắt kết hợp phương pháp cắt và phương
pháp nhánh cận. Một lợi thế là các thuật toán có thể được kết thúc sớm và miễn
là có ít nhất một giải pháp tích hợp đã được tìm thấy khả thi, mặc dù không nhất
thiết phải tối ưu, giải pháp có thể được trả lại. Hơn nữa, các giải pháp của sự bài
toán quy hoạch nguyên lũy biến có thể được sử dụng để ước tính trường hợp xấu
nhất từ giải pháp tối ưu được trả lại. Cuối cùng, phương pháp nhánh cận và giới
hạn biên có thể được sử dụng để trả về nhiều giải pháp tối ưu.
Lenstra năm 1983 cho thấy rằng, khi số lượng các biến được cố định, bài toán quy
hoạch nguyên có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.
Phương pháp Heuristic
Vì bài toán quy hoach nguyên là bài toán NP, nên nhiều trường hợp khó giải quyết
được và do đó phương pháp heuristic phải được sử dụng thay thế. Ví dụ, tìm kiếm
tabu có thể được sử dụng để tìm kiếm lời giải cho bài toán quy hoạch nguyên. Để
sử dụng tìm kiếm tabu để giải quyết bài toán quy hoạch nguyên, các chuyển động
có thể được định nghĩa là tăng hoặc giảm một số biến ràng buộc nguyên, trong
khi tất cả các biến số nguyên ràng buộc khác không đổi. Các biến không bị ràng
buộc sau đó được giải. Bộ nhớ ngắn hạn có thể bao gồm các giải pháp đã được
thử nghiệm trước đó trong khi bộ nhớ trung hạn có thể bao gồm các giá trị cho
các biến số nguyên bị ràng buộc. Cuối cùng, bộ nhớ dài hạn có thể hướng dẫn tìm
kiếm theo các giá trị số nguyên mà chưa từng được thử.
Một số phương pháp heuristic khác:
Hill climbing
Simulated annealing
Reactive search optimization
Ant colony optimization
10


Hopfield neural networks
Ngoài ra còn có một loạt các phương pháp heuristic khác đối với các bài toán đặc

biệt, chẳng hạn như phương pháp k-opt cho bài toán người chào hàng.

1.2.

Bài toán người chào hàng(Traveling Salesman Problem - TSP)

Bài toán người bán hàng là một trong những bài toán điển hình của tối ưu
tổ hợp được định nghĩa trong thế kỉ 19 bởi nhà toán học Ireland William Rowan
Hamilton và nhà toán học Anh Thomas Kirkman. Trò chơi Icosa của Hamilton là
một trò chơi giải trí dựa trên việc tìm kiếm chu trình Hamilton.
Bài toán được phát biểu như sau:
Có một người giao hàng cần đi giao hàng tại n thành phố(hoặc điểm tiêu thụ) C =
{c1 , c2 , ..., cn } độ dài đường đi trực tiếp từ ci đến c j là dij . Anh ta xuất phát từ một thành
phố nào đó, đi qua các thành phố khác để giao hàng và trở về thành phố ban đầu, mỗi thành
phố chỉ đến một lần. Hãy tìm một chu trình (một đường đi khép kín thỏa mãn điều kiện
trên) sao cho tổng độ dài các cạnh là nhỏ nhất.
Dưới dạng đồ thị bài toán được mô hình hóa như một đồ thị vô hướng có trọng
số. Đây chính là bài toán tìm chu trình Hamilton với đồ thị đầy đủ có trọng số
G = (V, E), với V là tập các đỉnh với nhãn là các thành phố trong C, E là tập các
cạnh nối các thành phố tương ứng, độ dài mỗi cạnh chính là độ dài đường đi
giữa hai thành phố tương ứng. Trong trường hợp này, tập S sẽ là tập các chu trình
Hamilton trên G, f là độ dài của chu trình, Ω là ràng buộc đòi hỏi chu trình là chu
trình Hamilton (qua tất cả các đỉnh, mỗi đỉnh đúng một lần), C là tập thành phố
được xét, C0 trùng với C, tập X là vectơ độ dài n: x = { x1 , x2 , ..., xn } vớixi ∈ C
∀i ≤ n, còn X ∗ là các vectơ trong đó xi khác x j đối với mọi cặp (i, j).
Do đó, lời giải tối ưu của bài toán TSP là một hoán vị π của tập đỉnh c1 , c2 , ..., cn
sao cho hàm độ dài f (π ) là nhỏ nhất, trong đó f (π ) được tính theo công thức sau:
n −1

f (π ) =

∑ (d(π (i), π (i + 1))) + d(π (n), π (1))

i =1

Trong bài toán TSP đối xứng, khoảng cách giữa hai thành phố là không đổi dù
đi theo chiều nào. Như vậy đồ thị trong bài toán này là đồ thị vô hướng. Việc đối
xứng này làm giảm đi một nửa số lời giải có thể. Trong khi đó, với bài toán TSP bất
đối xứng thì đường đi giữa hai thành phố có thể chỉ một chiều hoặc có độ dài khác
nhau giữa mỗi chiều, tạo nên đồ thị có hướng.
TSP là một trong những bài toán
được nghiên cứu sâu nhất trong tối ưu hóa. Nó thường được dùng làm thước đo
cho nhiều phương pháp tối ưu hóa. Mặc dù bài toán rất khó giải trong trường hợp
11


tổng quát, có nhiều phương pháp giải chính xác cũng như heuristic đã được tìm ra
để giải quyết một số trường hợp có tới hàng chục nghìn thành phố.
Ngay trong hình thức phát biểu đơn giản nhất, bài toán TSP đã có nhiều ứng
dụng trong lập kế hoạch, hậu cần, cũng như thiết kế vi mạch.
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, phiên bản quyết định của TSP (cho trước
độ dài L, xác định xem có tồn tại hay không một chu trình đi qua mỗi đỉnh đúng
một lần và có độ dài nhỏ hơn L) thuộc lớp NP-đầy đủ. Do đó, có nhiều khả năng
là thời gian xấu nhất của bất kì thuật toán nào cho TSP đều tăng theo cấp số nhân
với số thành phố.
TSP có một vài ứng dụng thậm chí trong dạng thức nguyên thuỷ của nó như lập
kế hoạch, logistic, và sản xuất các microchip. Thay đổi đi chút ít nó xuất hiện như
một bài toán con trong rất nhiều lĩnh vực như việc phân tích gen trong sinh học.
Trong những ứng dụng này, khái niệm thành phố có thể thay đổi thành khách
hàng, các điểm hàn trên bảng mạch, các mảnh DNA trong gen, và khái niệm

khoảng cách có thể biểu diễn bởi thời gian du lịch hay giá thành, hay giống như sự
so sánh giữa các mảnh DNA với nhau. Trong nhiều ứng dụng, các hạn chế truyền
thống như giới hạn tài nguyên hay giới hạn thời gian thậm chí còn làm cho bài
toán trở nên khó hơn.
Trong lý thuyết của độ phức tạp tính toán, phiên bản quyết định của bài toán
TSP thuộc lớp NP-đầy đủ. Vì vậy không có giải thuật hiệu quả nào cho việc giải
bài toán TSP. Hay nói cách khác, giống như thời gian chạy xấu nhất cho bất ký giải
thuật nào cho bài toán TSP tăng theo hàm mũ với số lượng thành phố, vì vậy thậm
chí nhiều trường hợp với vài trăm thành phố cũng đã mất vài năm CPU để giải
một cách chính xác.
Một số cách tiếp cận bài toán
• Thiết kế thuật toán tìm kiếm lời giải tối ưu (thường hoạt động hiệu quả cho
những trường hợp nhỏ).
• Thiết kế thuật toán heuristic để tìm những lời giải tốt nhưng không nhất thiết
tối ưu.
• Thiết kế thuật toán xấp xỉ để tìm những lời giải không quá lớn so với lời giải
tối ưu..
• Giải quyết các trường hợp đặc biệt.

12


1.3.

Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch(q-CaRS)

Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch được đề xuất bởi Elizabeth F.G. Goldbarg
và các cộng sự[22]. Đây là bài toán mở rộng của bài toán người bán hàng có hạn
ngạch và bài toán thuê xe du lịch được ứng dụng trong việc chọn tour du lịch.

1.3.1.

Bài toán người bán hàng có hạn ngạch(QTSP)

Bài toán được giới thiệu trong[21]. Dưới dạng đồ thị đây là bài toán có đồ
thị có hướng và có trọng số. Ta có G = {V, A} là một đồ thị đầy đủ, với V =
{v1 , v2 , ..., vn } là tập các đỉnh và A = {(vi , v j ), vi , v j ∈ V }. Mỗi đỉnh vi ∈ V đều có
một ràng buộc là mức độ hài lòng, tại mỗi cạnh (vi , v j ) ∈ A có một trọng số cij là
chi phí thuê xe. Lời giải của bài toán chính là tìm chu trình Hamilton từ tập con V
của V với chi phí thấp nhất. Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch được mở rộng
từ bài toán QTSP.

1.3.2.

Các bài toán liên quan

Hầu hết các nghiên cứu trước đây của vấn đề du lịch là dựa trên các biến thể
của vấn đề [23] và chúng không xem xét đến các chi phí vận chuyển. Họ xem xét
đến thời gian di chuyển thành công giữa các điểm và giá trị tối đa của tổng các
lợi ích liên kết với mỗi điểm. Một số bài bái có xem xét đến thời gian cần thiết để
đến thăm các điểm du lịch hấp dẫn. Cho một tập hợp các điểm tương ứng với các
đỉnh của 1 đồ thị, mỗi đỉnh có một điểm số tương ứng đại diện cho mức độ hài
lòng của điểm đến. Trọng số tương ứng với mỗi cạnh (vi , v j ) ∈ A biểu thị cho thời
gian cần thiết để di chuyển giữa vi và v j . Mục tiêu của bài toán là tìm được giá trị
lớn nhất của tổng số điểm cho những điểm du lịch đã chọn trong một khoảng thời
gian giới hạn nhất định. Một cuộc khảo sát heuristic và metaheuristic để tiếp cận
TTDP được giới thiệu trong [15]. Một công cụ hướng dẫn du lịch động ở Goerlitz
(Đức) được giới thiệu trong [24, 26] bằng cách dùng thuật toán tham lam để giải
quyết các vấn đề tối ưu. Một biến thể của bài toán định hướng đã được dùng trong
các bài toán thực tế trong [39], trong đó mỗi đỉnh có một giá trị trọng số tương ứng

với thời gian cần thiết để di chuyển tới mỗi vị trí.
Điểm số tương ứng với mỗi vị trí được tính toán bằng thông tin thu được từ kĩ
thuật tìm kiếm thông tin và tìm kiếm địa phương sẽ được áp dụng cho bài toán.
Một hệ thống thực tế được hoàn thành đã được giới thiệu cho thành phố Ghent.
Bài báo này được kế thừa từ [38] bằng cách xem xét đến thời tiết, giờ mở cửa, địa
điểm đông dân và sở thích cá nhân.
Về cơ bản, mô hình cơ sở của nghiên cứu này giống với bài toán định hướng,
13


tuy nhiên nó khác ở điểm là cho một số lượng địa chỉ có thể di chuyển đến nhưng
bị giới hạn bởi một thời gian nhất định. Thuật toán tìm kiếm ngẫu nhiên tham lam
(GRASP) với phương pháp nối liền (relinking) đã được áp dụng để giải quyết bài
toán tối ưu. Phiên bản với 2 tham số của vấn đề này được đề cập trong [39] và
cũng được nghiên cứu trong[34], có 2 giá trị lợi ích khác nhau được gán với mỗi
thành phố. Thuật toán đàn kiến và thuật toán khu phổ biến(variable neighborhood
) với phương nối liền (path relinking) đã được áp dụng cho nhiều trường hợp với
một và 2 tham số. Ngoài ra, để có thể đánh giá các trường hợp, các thuật toán đã
được áp dụng cho những trường hợp thực tế với dữ liệu từ Úc và thành phố Padua
(Italy).
Trong [??], GRASP đã được dùng để phát triển hệ thống chuyên gia du lịch gọi
là City Trip Planner. Năm thành phố ở Belgium đã được chọn để kiểm thử. Một
phần mở rộng của vấn đề đó là xem xét đến các phương tiện đi lại công cộng được
giới thiệu trong [14] và thành phố San Sebastian đã được chọn để kiểm thử. Vấn
đề đã được mô hình hóa thành bài toán định hướng phụ thuộc thời gian với các
cửa sổ thời gian và đã được giải quyết bằng thuật toán tìm kiếm địa phượng[42] .
Hầu hết các nghiên cứu trước đây đều bị giới hạn khu vực, ví dụ như 1 thành phố
hoặc các địa điểm lân cận. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, khách du lịch hoặc
người bán hàng có thể di chuyển qua nhiều thành phố khác nhau bằng cách thuê
xe [20] và mục tiêu của vấn đề có thể là việc tối ưu chi phí của tour, bao gồm số

tiền bỏ ra để thuê xe. Có nhiều phương tiện và công ty trong mỗi thành phố, phạm
vi của các tùy chọn có thể là người dùng chọn phương tiện tốt nhất để sử dụng
khi di chuyển trong tour. Nói chung, một tour sẽ bắt đầu và kết thục tại một thành
phố. Để chọn được xe nào là tốt nhất cho mỗi phần của tour, khách hàng nên xem
xét đến giá tiền thuê xe, các chí phí liên quan đến nhiên liệu tiêu thụ và các chi phí
khác (ví dụ như phí cầu đường). Nếu một chiếc xe được thuê ở một thành phố và
được trả lại ở một thành phố khác, khách hàng sẽ phải trả thêm lệ phí để đưa chiếc
xe trở lại thành phố ban đầu. Trong một công ty, các xe cho thuê được quản lý theo
cấu trúc phân cấp đơn giản với các khu vực chung [11]. Theo [11], những công ty
này sẽ quản lý khoảng 15 nhóm xe, mỗi nhóm gồm những xe có chất lượng giống
nhau và những nhóm khác nhau sẽ có chất lượng và giá tiền để thuê xe khác nhau.
Một nghiên cứu về vấn đề định tuyến trong lĩnh vực thuê xe được giới thiệu trong
[45]. Một vấn đề chính khác là sự phân phố xe tại mỗi trạm cho thuê, vì khách
hàng được phép thuê tại một trạm và trả lại xe tại một trạm khác. Do đó, cần thiết
để duy trì số lượng cố định xe tại mỗi trạm vì phương tiện được thuê phải được
trả lại. Những hệ thống cho thuê xe và trả lại có thể xảy ra tại những trạm khác
nhau và được sử dụng ở nhiều địa điểm khác nhau[16]. Có những cách để giảm tỉ
lệ số xe được trả lại ở một trạm khác đó là cung cấp những ưu đãi cho khách hàng.

14


Những trạm có tỉ lệ sử dụng cao có thể được khuyến khích giảm đi lợi nhuận một
chút để khách hàng trả xe tại những trạm có tỉ lệ sử dụng thấp hơn

1.3.3.

Bài toán thuê xe du lịch có hạn ngạch(q-CaRS)

Bài toán xuất phát từ những nhu cầu thực tiễn của người du lịch. Khi người du

lịch đi tham quan một khu vực, họ thường đặt ra các mục tiêu về sự hấp dẫn của
địa điểm. Tuy nhiên vì một số lý do tài chính và thời gian họ không thể tham quan
được tất cả. Do đó mục tiêu đặt ra là thỏa mãn về mức độ hài lòng đồng thời chi
phí tiết kiệm nhất. Bài toán được đặt ra trong nghiên cứu này không đề cập đến
thời gian di chuyển mà tập trung vào mức độ hấp dẫn của những địa điểm tham
quan và chi phí di chuyển. Yêu cầu được đặt ra là khách tham quan có thể thuê xe
để di chuyển giữa các thành phố. Mức giá thuê xe ở mỗi thành phố là khác nhau.
Khi khách hàng trả xe lại tại một thành phố không phải là nơi thuê xe thì mất thêm
chi phí trả xe để xe đó di chuyền về nơi ban đầu. Các vấn đề liên quan đến bài toán
này đã được ứng dụng rất nhiều trong thực tế[14].
Bài toán có một số ràng buộc sau:
-Một chiếc xe không thể bị thuê nhiều hơn 1 lần.
-Một ràng buộc được gán với mỗi thành phố được gọi là mức độ hấp dẫn.
-Tour du lịch bắt đàu và kết thúc trong thành phố với nơi đầu tiên bắt đầu, còn
gọi là cơ sở.
Mô hình toán học của bài toán:
Đây là một bài toán biến thể của bài toán TSP
Input:
-C: tập các xe để cho thuê
-V: tập các các thành phố
-A: tập các cạnh (đường đi nối giữa hai thành phố))
- Một ràng buộc qi , i = 1, ..., n, được gán với thành phố i ∈ V và ω là tổng ràng
buộc tối thiểu cần thiết thu được trong suốt tour du lịch.
-Giá để thuê c ∈ C trên canh (i, j) ∈ A là dijc
-Số tiền bổ sung γijc phải được trả nếu c được thuê tại thành phố j và di chuyển
đến thành phố i với i = j, giá trị này tương ứng với thuế phải trả để chuyển c về j
Các biến số:
- f ijc có giá trị 1 khi xe c di chuyển trên cạnh (i, j) từ i tới j và có giá trị 0 trong
những trường hợp khác.
-wijc có giá trị 1 khi xe c được thuê ở j và được chuyển tới i.

-aic nhận giá trị 1 khi c được thuê ở i.
-eic có giá trị 1 khi xe c được chuyển tới i.
15


- Giá trị nguyên ui định nghĩa vị trí của đỉnh i trong tour. Đỉnh 1 gọi là thành
phố cơ sở.
Các ràng buộc:
-Tour bắt đầu và kết thúc tại thành phố 1

∑∑

c ∈ C j ∈V

f 1jc =

∑∑

c ∈ C i ∈V

f 1jc = 1

(1.3.1)

-Mỗi đỉnh chỉ được đến thăm một lần duy nhất và nếu một chiếc xe đến đỉnh i
thì sau đó phải có 1 chiếc xe khác rời khỏi đỉnh i.
sumc∈C

∑

f ihc =

i ∈V

∑∑

c ∈ C j ∈V

c
f hj
≤ 1∀ h ∈ V

(1.3.2)

-Các cặp biến aic và f ijc biểu diễn rằng nếu xe c được thuê ở thành phố i, (i = j)
thì xe c sẽ được sử dụng để di chuyển từ i đến thành phố j và sẽ có xe c đi đến
thành phố i từ thành phố h.


aic =

∑

f ijc

∑



j ∈V

∑

f hic ∀c ∈ C, i ∈ V, i > 1

(1.3.3)

c ∈C,c =C h∈V

-Tương tự điều kiện [1.3.3], các biến eic và f ijc



eic =

∑

f ijc

j ∈V

∑



∑

f ihc ∀c ∈ C, i ∈ V, i > 1

(1.3.4)

c ∈C,c =C h∈V

- Các cặp biến wijc , aic , eic .
omegaijc = acj .eic ∀c ∈ C, ∀i, j ∈ V

(1.3.5)

∑ a1c = 1

(1.3.6)

∑ a1c ≤ 1∀c ∈ C

(1.3.7)

-Có 1 xe thuê ở đỉnh 1

c∈C

-Mỗi xe chỉ được thuê một lần

i ∈V

-Nếu xe c được thuê thì sau đó nó sẽ được trả lại.

∑ a1c = ∑ e1c ∀c ∈ C

i ∈V

i ∈V

16

(1.3.8)


-Phải đảm bảo được mức độ hài lòng.

∑

∑∑

f ijc

qi

≥ω

(1.3.9)

c ∈ C j ∈V

i ∈V

-Không có các tour du lịch con
2 ≤ ui ≤ n∀i = 2, ..., n
ui − u j + 1 ≤ (n − 1)(1 −

∑

f ic j)∀i, j = 2, ..., n

(1.3.10)
(1.3.11)

c∈C

-Các biến đều là nhị phân và biến ui là số nguyên dương.
f ijc , ωijc , aijc , eijc ∈ [0, 1]

(1.3.12)

ui ∈ N

(1.3.13)

Hàm mục tiêu
Chi phí cho chuyến đi đảm bảo là thấp nhất
min

∑ ∑ dijc . fijc + ∑ ∑ γijc .ωijc

c ∈ C j ∈V

c ∈ C j ∈V

17

(1.3.14)

Chương 2
Các phương pháp metaheuristic
2.1.

Thuật giải di truyền

Thuật toán di truyền (Genetic Algorithm viết tắt là GA ), là phương pháp metaheuistic đang được sử dụng rộng rãi. Phương pháp này phỏng theo quá trình tiến
hoá tự thích nghi của các quần thể sinh học dựa trên học thuyết Darwin để tìm lời
giải các bài toán tối ưu.
Trong tự nhiên, mỗi cá thể có một tập các tính chất và đặc điểm riêng biệt được
thể hiện ra ngoài môi trường gọi là kiểu hình. Kiểu hình này được quyết định bởi
cấu trúc của các gene trong cơ thể, được gọi là kiểu gene. Sự đa dạng về kiểu gene
của các cá thể dẫn đến sự đa dạng về kiểu hình của một quần thể sinh học. Quá
trính phát triển của mỗi quần thể tuân theo quy luật chọn lọc tự nhiên mà tiến hoá
qua các thế hệ kế tiếp nhau. Trong đó, các hậu duệ được sinh ra từ thế hệ trước
thông qua quá trình sinh sản (di truyền và biến dị) cạnh tranh tự nhiên, cá thể nào
có kiểu hình (và do đó là kiểu gene) thích nghi cao hơn với môi trường phát triển
thì sẽ có khả năng lớn hơn trong tồn tại và sản sinh con cháu, do đó kiểu gene này
tiến hoá và hoàn thiện. Quá trình tiến hoá này được lặp đi lặp lại, các cá thể có kiểu
gene phù hợp sẽ sống sót và phát triển, các cá thể yếu sẽ bị loại bỏ.
Dựa vào tư tưởng trên, để giải bài toán tối ưu người ta mã hoá mỗi lời giải tiềm
năng dưới dạng thích hợp gọi là một nhiễm sắc thể. Mỗi nhiễm sắt thể (còn gọi là
cá thể) cấu tạo từ các gene,thường dùng nhất là dạng xâu. Trên tập nhiễm sắc thể
này, người ta xây dựng các toán từ di truyền (tương giao chéo: crosover, biến dị:
mutation) và mô phỏng quá trình chọn lọc tự nhiên trên một quần thể nhiễm sắc
thể để tìm lời giải gần đúng của bài toán. Để hiểu rõ GA. , trước hết ta làm quen
với GA. cổ điển dùng cho bài toán tối ưu liên tục.

18


2.1.1.

Thuật toán di truyền cổ điển

GA cổ điển được Holland (1975) giới thiệu để tối ưu hoá bài toán:
max { f ( x )/x ∈ M ⊂ Rn }

(2.1.1)

nhờ biểu diễn gene dạng nhị phân, ở đây M là hình hộp in=1 [ ai , bi ] trong không
gian véc tơ thực n chiều Rn , f nhận các giá trị dương trên M.
Để thực hiện thủ tục GA, trước hết cần mã hóa các phần tử của tập M. Mỗi
x trong M được mã hoá bởi một xâu nhị phân độ dài m z = (z1 , z2 , ..., zm ) gọi là
nhiễm sắc thể hay một cá thể, mỗi zi được gọi là một gene.
Phương pháp mã hoá và giải mã
Mã hóa
Giả sử ta cần tìm cực đại hàm f với sai số mỗi biến xi là 10− p . Ta chia mỗi đoạn
[ ai , bi ] thành (bi − ai )10 p đoạn bằng nhau và ký hiệu mi là số tự nhiên nhỏ nhất
thoả mãn:

(bi − ai )10 p

2m i − 1

Khi đó nếu x = ( x1 , ..., xi , ..., xn ) và xi thuộc đoạn thứ k thì xi được mã hoá bởi xâu
nhị phân độ dài mi có dạng sao cho sẽ thoã mãn yêu cầu về độ chính xác và x được
biễu diễn bởi xâu nhị phân có độ dài .

Giải mã
Với mỗi đoạn gene (bmi −1 , ..., b0 ) ta xác định ki theo hệ số 10 :
m −1

k i = ∑ j=i 0 (b j 2 j )10
( bi − a i )
2m i −1
m −1
(b − a )
ai + ∑ j=i 0 (b j 2 j )10 2mi i −i1 .

và có xi = ai + k i
Hay là xi =

Mô tả lược đồ GA
Với phương pháp mã hóa và giải mã như trên, để thực hiện GA, ta dựng thủ
tục mã hoá , giải mã tương ứng.
Tiếp theo, xây dựng thủ tục tính hàm eval trên tập nhiễm sắc thể để đánh giá
độ thích nghi của mỗi cá thể: eval (z) = f ( x ), trong đóx là véc tơ tương ứng với z.
Sau khi đã có các thủ tục mã hóa-giải mã và tính hàm eval cho các nhiễm sắc thể,
thủ tục GA khở tạo ngẫu nhiên quần thể ban đầu P(0) gồm N nhiễm sắc thể và
thực hiện lặp quá trình tiến hoá quần thể này cho đến khi dừng nhờ các thử tục
19


chọn lọc và tái tạo bằng các toán tử di truyền (biến dị và tưng giáo chéo). Như
các thuật toán metaheuristic khác, chất lược của GA được quyết định nhờ hai đặc
tính định hướng quá trình tiến hóa: tính tăng cường và khám phá/đa dạng. Tính tăng
cường thực hiện nhờ ưu tiên chọn lọc các các thể có giá hàm đánh giá (eval) cáo
trong quần thể hiện thời cho tạo sinh quần thể kế tiếp. Tính khám phá/đa dạng nhằm

tạo sinh ra các lời giải tiềm năng mới nhờ các toán tử tái tạo: di truyền và biến dị.
Cấu trúc của thủ tục GA được mô tả trong hình 2.1

Hình 2.1: Cấu trúc tổng quát của thuật toán di truyền
Thủ tục chọn lọc một quần thể thực hiện theo phương pháp bánh xe xổ số ở
mục I.1.3 còn thủ tục tái tạo đựơc thực hiện nhờ các toán tử di truyền trong mục
I.1.4 dưới đây
Thủ tục chọn lọc
Với mỗi quần thể P(t − 1) gồm N nhiễm sắc thể : P(t − 1) = {v1 , .., v N } ta xây
dựng bánh xe xổ số (roulette wheel) để thực hiện quá trình chọn lọc như sau.
Bánh xe xổ số
Đánh giá độ phù hợp toàn phần : F = ∑iN=1 eval (vi ).
Tính các xác suất chọn pi của nhiễm sắc thể vi : pi = eval (vi )/F.
Tính xác suất tích luỹ qi của vi : qi = ∑ij=1 p j .

20


Quá trình chọn lọc
Quá trình chọn lọc quần thể Q(t) từ P(t − 1) dựa vào bánh xe xổ số được thực
hiện theo cách sau:
Đối với mỗi số tự nhiên k ∈ {1, 2, ..., N } ta tạo một số ngẫu nhiên rk in[0, 1].
Nếu qi ≥ rk ≥ qi−1 thì chọn vi thuộc Q(t). Hiển nhiên, ở đây mỗi nhiễm sắc thể có
thể được chọn nhiều lần và Q(t) vẫn được xem là có N phần tử. Các cá thể có độ
thích nghi (eval) lớn sẽ có khả năng được chọn nhiều hơn.
Quá trình tái tạo
Quá trình tái tạo dựa trên các toán tử di truyền : tương giao chéo và biến dị
Toán tử tương giao chéo (Crossover operator)
Với 2 nhiễm sắc thể x = ( x1 ...xm ) và y = (y1 ...ym ) tuỳ ý, chọn điểm tương giao
k (có thể ngẫu nhiên) ta sẽ sinh được hai nhiễm sắc thể mới:

x = ( x1 , ...xk , yk+1 ...ym )
y = (y1 , ...yk , xk+1 ...xm )
Toán tử biến dị (Mutation operator)
Nếu gene xk của nhiễm sắc thể x = ( x1 ...xm ) biến dị thì ta được nhiễm sắc thể
mới x có:

x
i=k
i
xi =
1 − x i = k
i
Thủ tục tái tạo.
Cho trước các xác suất tương giao chéo pc và xác suất biến dị pm . Quá trình tái
tạo được thực hiện như sau.
Đối với mỗi nhiễm sắc thể vi ( i chạy từ 1 đến N) thuộc Q(t), ta tạo một số ngẫu
nhiên r ∈ [0, 1]. Nếu r < pc thì vi được đưa vào tập tương giao chéo. Tập này được
chia thành cặp , nếu lẻ thì có thể thêm hoặc bớt ngẫu nhiên một nhiễm sắc thể khác
và áp dụng toán tử tương giao chéo để tạo nên hậu duệ mới thay thế cho nó.
Sau khi tương giao chéo, đối với mỗi gene của mỗi nhiễm sắc thể ta tạo một số
ngẫu nhiên r ∈ [0, 1]. Nếu r < pm thì gene này được biến dị.
Quá trình trên cho ta quần thể P(t) của thế hệ t và được đánh giá để chọn phần tử
có giá trị thích nghi tốt nhất.
Điều kiện kết thúc có thể là số lần lặp định trước và lời giải có thể là các thể tốt
21


nhất ở lần lặp cuối hoặc của mọi lần lặp. Để quần thể có tính ổn định, đảm bảo tính
tăng cường, xác suất pm thường được chọn đủ bé để không qua s nhiều các thể bị

biến dị và mỗi cá thể cũng không bị biến dị nhiều gene khi chuyển sang thế hệ kế
tiếp.
Sự hội tụ của GA
Các kết quả nghiên cứu , đánh giá về sự hội tụ của GA còn rất nghèo nàn, chi
mới ở mức chứng minh sự hội tụ theo xác suất tới lời giải tối ưu của bài toán. Tuy
nhiên, về mặt thực hành, giải thuật di truyền vẫn là một giải thuật được ưa thích để
giải các bài toán khó trong thực tế và cho lời giải đủ tốt. Đặc biệt GA. tỏ ra rất hiệu
quả đối với các bài toán mà hàm mục tiêu phức tạp, có nhiều cực trị địa phương
và không trơn. Đối với các bài toán đã có phương pháp giải tốt bằng phương pháp
truyền thống thì GA vẫn kém hiêụ quả hơn.
Ví dụ.
Để minh hoạ, ta xét bài toán cực đại hàm hai biến :
f ( x1 , x2 ) = 10 + x1 sinx1 + x2 sinx2
trên miền −1 ≤ x1 1 ≤ 3; 3 ≤ x2 ≤ 5
với sai số các biến là 10−2 .
Biểu diễn nhiễm sắc thể.
Vì a1 − b1 = 3 − (−1) = 4, 4x100 = 400 và 28 < 400 < 29 nên cần 9 gene để biểu
diễn x1 . Tương tự, ta cần 8 gene để biễu diễn x2 và m = 17.
Khởi tạo. Giả sử ta khởi tạo ngẫu nhiên 10 cá thể được :
v1 =(10011010000000111) tương ứng với x1 =1,41 ; x2 =3,15 ; eval (v1 )=12,68 ;
v2 =(11100010010011011) tương ứng với x1 =2,54 ; x2 =4,22 ; eval (v2 )=14,78 ;
v3 =(00001000001100100) tương ứng với x1 =-0,87; x2 =3,78 ; eval (v3 )=10,94 ;
v4 =(10001100010110100) tương ứng với x1 =1,19 ; x2 =4,41 ; eval (v4 )=10,81 ;
v5 =(00011101100101001) tương ứng với x1 =-0,54 ; x2 =3,32 ; eval (v5 )=7,67 ;
v6 =(00010100001001011) tương ứng với x1 =-0,69 ; x2 =3,58 ; eval (v6 )=7,53 ;
v7 =(00100010000011010) tương ứng với x1 =-0,47 ; x2 =3,20 ; eval (v7 )=9,23 ;
v8 =(10000110000111010) tương ứng với x1 =1,01 ; x2 =3,45 ; eval (v8 )=7,52;
22

v9 =(01000000011010001) tương ứng với x1 =0,00 ; x2 =4,64 ; eval (v9 )=5,67 ;
v10 =(00010100001001010) tương ứng với x1 =0,88 ; x2 =3,19 ; eval (v10 )=9,94 .
Cá thể tốt nhất : v2 =(11100010010011011) , eval (v2 )=14,78 ; độ phù hợp toàn phần
F=96,77.
Chọn lọc.
Nếu các ri tương ứng là :
r1 =0,52 ; r2 =0,17 ;
r3 =0,70 ; r4 =0,01 ;
r5 =0,78 ; r6 =0,31 ;
r7 =0,42 ; r8 =0,28 ;
r9 =0,64 ; r1 0=0,95
thì kết quả chọn lọc được Q(1) như sau.
STT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10

pi
0,13
0,15
0,11
0,11
0,08

0,08
0,10
0,08
0,06
0,10

qi Số ngẫu nhiên
0,13
0,52
0,28
0,17
0,40
0,70
0,51
0,78
0,59
0,42
0,67
0,31
0,76
0,42
0,84
0,28
0,90
0,64
1,00
0,95

Cá thể được chọn Đánh số lại
v5 =(00011101100101001)

u1
v2 =(11100010010011011)
u2
v6 =(00010100001001010)
u3
v8 =(10000110000111010)
u4
v4 =(10001100010110100)
u5
v4 =(00001000001100100)
u6
v4 =(10001100010110100)
u7
v2 =(11100010010011011)
u8
v6 =(00010100001001011)
u9
v10 =(00010100001001010)
u10

Tương giao chéo. Với pc =0,25 ta chọn được cặp tương giao chéo là
u3 = (00010100001001010)
u5 = (10001100010110100) với điểm trao đổi k=5.
Sau khi tương giao ta được
u3 = (00010100010110100)
u5 = (10001100001001010)
Với xác suất đột biến là pm =0,01 ; các gene đánh số từ 1 đến 170 ta chọn được gene
thứ 81 (gene thứ 13 của cá thể thứ 5) và gene thứ 127 (gene thứ 8 của cá thể thứ 8)
Ta được P(1) là :

23


v5 = (00011101100101001)
v2 = (11100010010011011)
v6 = (00010100010110100)
v8 = (10000110000111010)
v4 = (10001100001011010
v3 = (00001000001100100)
v4 = (10001100010110100)
v2 = (11100011010011011)
v6 = (00010100001001011)
v10 = (00010100001001010)
Độ thích hợp toàn phần là F= 107,65 ; cá thể tốt nhất vẫn là v2 =(11100010010011011)
với eval=14,78 nhưng thế hệ này tốt hơn p(0) nhiều quá trình tiếp tục cho tới lúc
dừng ta được lời giải gần tối ưu.

2.1.2.

Biễu diễn bằng véc tơ số thực

Sau khi GA cổ điển được Holland công bố nó chứng tỏ là một phương pháp tốt
để giải các bài toán tối ưu khó và nó được cải tiến phong phú để tăng hiệu quả ứng
dụng.
Đối với các bài toán có miền chấp nhận được lớn và đòi hỏi sai số bé thì độ dài
của mỗi mỗi nhiễm sắc thể theo phương pháp GA cổ điển rất lớn nên việc áp dụng
GA rất khó khăn. Vì vậy người ta cải tiến bằng biễu diễn nhiễm sắc thể bằng véc tơ
thực để giải bài toán (I,1). Trong biễu diễn này, người ta dùng các véc tơ thực trong
miền chấp nhận đươc (thuôc tập M) làm nhiễm sắc thể và thiết kế các nhóm toán
tử di truyền cho thích hợp với biễu diễn này mà vẫn giữ nguyên thủ tục GA đã đặc

tả ở trên. Dưới đây giới thiệu một số toán tử dễ dùng.
Các toán tử tương giao chéo
Người ta chó thể chọn một vài toán tử tương giao chóe trong số các toán tử sau.
Tương giao đơn giản
Toán tử này thực hiện trao đổi hai nhóm gene tương tự như giải thuật cổ điển.
Nếu tương giao hai véc tơ
x = ( x1 , x2 , ..., xn ),
x = (y1 , y2 , ..., yn )
với điểm chọn ở vị trí thứ k thì ta được
x = ( x1 , ...xk , yk+1 , ..., yn ) ,
y = (y1 , ...yk , xk+1 , ..., xn )
Tương giao số học đơn
24