Đề- Đáp án TS chuyên tin Vĩnh phúc 09-10

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2 1 0
| | 1 0
y x
y x
− + =


− − =


b) Giải phương trình:
4 1 3x x− + =
Câu 2 (1,5 điểm). Cho
,x y
là các số thực dương thoả mãn
1x y+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2
1
8( )P x y

xy
= + +
.
Câu 3 (1,5 điểm). Cho
2 2
a b≠
và
a b a b
M
a b a b
+ −
= +
− +
. Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4 4
4 4 4 4
a b a b
N
a b a b
+ −
= +
− +
theo M.
Câu 4. (3.0 điểm) Hai đường tròn
1 1 2 2
( , ),( , )O R O R
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
Đường thẳng vuông góc với
AB
tại

B
cắt
1
( )O
tại C và cắt
2
( )O
tại D (C, D khác B). Một
đường thẳng quay quanh B cắt các đường tròn
1 2
( ),( )O O
theo thứ tự tại giao điểm thứ hai là E
và F .
a) Chứng minh
AE
AF
không đổi.
b) Các đường thẳng
,EC DF
cắt nhau tại
.G
Chứng minh tứ giác
AEGF
nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh khi đường thẳng
EF
quay xung quanh B thì tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AEGF luôn thay đổi trên một đường tròn cố định.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho 3 số thực không âm
, ,a b c

. Chứng minh rằng:
( )
2 2 2
2 1 2a b c abc ab bc ca
+ + + + ≥ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh ............................................................................................ SBD ................
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho lớp chuyên Tin.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).
a) 1,5 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Viết lại hệ:
2 1 0 (1)
| | 1 0 (2)
y x
y x
− + =


− − =

Từ (1) rút y theo x ta được y = 2x -1. Thay vào (2) ta có: 2x - |x| - 2 = 0 (3) 0,50
Nếu x

0≥
thì (3) tương đương với x = 2 suy ra y = 3. 0,50
Nếu x < 0 thì (3) tương đương với 3x - 2 = 0
2
3
x⇔ =
(không thoả mãn x < 0). 0,25
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 3) 0,25
b) 1,5 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện xác định: x
≥
1. (*) 0,25
Phương trình đã cho tương đương với
4 1 3x x− = −
2
3 0 (1)
16( 1) ( 3) (2)
x
x x
− ≥

⇔

− = −

0,5
2
11 96
(2) 22 25 0

11 96
x
x x
x

= +
⇔ − + = ⇔

= −


0,5
Kết hợp với điều kiện (*) và (1) ta được nghiệm của phương trình là
11 96x = +
0,25
Câu 2 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
Có:
2
1
4 ( ) 1 4xy x y
xy
≤ + = ⇒ ≥
, dấu ‘=’ xảy ra
1
2
x y⇔ = =
(1)
0,5
Mặt khác có:

2 2 2 2 2
1
1 ( ) 2( ) ( )
2
x y x y x y= + ≤ + ⇒ + ≥
, dấu ‘=’ xảy ra
1
2
x y⇔ = =
(2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra
1
8. 4 8
2
P ≥ + =
, dấu ‘=’ đạt được
1
2
x y⇔ = =
hay giá trị nhỏ nhất của
P bằng 8. 0,5
Câu 3 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
a b a b
M
a b a b
+ −
= +
− +

=
2 2
2 2
2.( )
a b
a b
+
−
0,25
Ta có:
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 1
.
2.( )( ) 2
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
 
+ + + − + −
= = +
 ÷
− − + − +
 
0,5
=
2
1 2 4
2 2 4
M M
M M

+
 
+ =
 ÷
 

0,25
Do đó,
2 4 2
2 2
4 4 24 16
4 4 4 ( 4)
M M M M
N
M M M M
+ + +
= + =
+ +
0,5
2
Câu 4 (3,0 điểm):
I
G
F
D
C
A
B
O
1

O
2
E
a) 1,0 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Xét hai tam giác
,ACD AEF
ta có
•
AEF AEB ACB ACD
∠ = ∠ = ∠ = ∠
(cùng chắn cung
»
AB
của
1
( )O
)
•
AFE AFB ADB ADC
∠ = ∠ = ∠ = ∠
(cùng chắn cung
»
AB
của
2
( )O
)
Suy ra
AEF ACD

∆ ∆
:
.
0.5
Vì
·
·
0
90ABC ABD= =
nên AC và AD lần lượt là đường kính của (O
1
) và (O
2
) 0,25
Do đó
1
2
R
AE AC
const
AF AD R
= = −
0.25
b) 1,0 điểm:
Theo phần a) ta có:
0
90AEG AEC
∠ = ∠ =
và
0

90AFG AFD∠ = ∠ =
(góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
0.5
Từ đó, tứ giác
AEGF
có
0
90AEG AFG
∠ = ∠ =
do đó nội tiếp trong đường tròn đường kính
AG
.
0.5
c) 1.0 điểm
Ta có
·
·
ACE ABE=
mà
·
·
ABE ADG=
(do cùng bù với
·
ABF
) nên
·
·
ACE ADG=

Suy ra
·
·
0
180ACG ADG+ =
hay tứ giác ACGD nội tiếp.
0.5
Gọi
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF. Khi đó I là trung điểm AG
Suy ra
1 2
|| , ||IO CG IO DG
Từ đó
0 0
1 2
180 180AO I ACG ADG AO I
∠ = ∠ = −∠ = −∠
. Từ đó, do
1 2
,O O
khác phía với
AI

suy ra tứ giác
1 2
AO IO
nội tiếp, hay
( )
1 2

I AO O
∈
cố định.
0.5
Câu 5 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
+ Trong ba số
1 ,1 ,1a b c
− − −
luôn có hai số cùng dấu (số 0 được coi là cùng dấu với mọi
số). Không mất tổng quát, coi
1 ,1b c
− −
cùng dấu
0.25
+ Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
2 1 2 1 2 2 2
1 2 1 1 0
a b c abc ab bc ca a b c a abc ab ca
a b c a b c
+ + + + − + + = − + − + + − +
= − + − + − − ≥
0.5
+ Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1a b c

= = =
0.25
3
Một số lưu ý:
-Trên đây chỉ trình tóm tắt một cách giải với những ý bắt buộc phải có. Trong quá trình
chấm, nếu học sinh giải theo cách khác và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
-Trong quá trình giải bài của học sinh nếu bước trên sai, các bước sau có sử dụng kết quả
phần sai đó nếu có đúng thì vẫn không cho điểm.
-Bài hình học, nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần
đó.
-Những phần điểm từ 0,5 trở lên, tổ chấm có thể thống nhất chia tới 0,25 điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm.
—Hết—
4