phương trình lượng giác

/>I. HỆ THỨC CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1. sin a cos a 1; sin a 1 cosa 1 cosa ; cos a 1 sin a 1 sin a
sin a cosa 1
2. tan a = ; cot a = ; tan a.cot a = 1; tan a = ; c
cosa sin a cot a
+ = = - - = - +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
ot a =
tan a
1 1
3. 1 tan a; 1 cot a;
cos a sin a
tan a cot a
4. sin a ; cos a ;
1 tan a 1 cot a
= + = +
= =
+ +

II. CÔNG THỨC CỘNG

tan a tan b
1. cos(a b) cosa.cos b sin a.sin b; 5. tan(a b) ;

1 tan a.tan b
tan a tan b
2. cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b; 6.tan(a b) ;
1 tan a.tan b
3. sin(a b) sin a.cos b sin b.cosa; 7.cot(
+
+ = - + =
-
-
- = + - =
+
+ = +
cot a.cot b 1
a b) ;
cot a cot b
cot a.cot b 1
4. sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa; 8. cot(a b)
cot a cot b
-
+ =
+
-
- = - - =
-
III. CÔNG THỨC NHÂN
A. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

2 2
2 2 2
2 2 2

3
sin 2a 2sin a.cos a cos2a cos a sin a
1. sin 2a (sin a cos a) 1 2. cos2a 2cos a 1
sin 2a 1 (sin a cos a) cos2a 1 2sin a
3tan a tan a
3. tan 2a
1 3tan
ì
ì
ï
= = -
ï
ï
ï
ï
ï
ï ï
= + - = -
í í
ï ï
ï ï
= - - = -
ï ï
ï
î
ï
î
-
=
-

2
2
cot a 1
4. cot 2a
a 2cot a
-
=
B. CÔNG THỨC NHÂN BA

3 3
3 3
2 2
1. sin3a 3sin a 4sin a 2. cos3a 4cos a 3cosa
3tan a tan a cot a 3cot a
3. tan3a 4. cot3a
1 3tan a 3cot a 1
= - = -
- -
= =
- -
C. CÔNG THỨC HẠ BẬC

3
2 3
2
1 3sin a sin 3a
1. sin a.cosa sin 2a 5. sin a
2 4
1 cos2a cos3a 3cos a
2. sin a 6. cos a

2 4
1 cos 2a
3. cos a
2
-
= =
- +
= =
+
=
3
2 3
3sin a sin 3a
7. tan a
cos3a 3cosa
1 cos 2a cos3a 3cos a
4. tan a 8. cot a
1 cos2a 3sin a sin 3a
-
=
+
- +
= =
+ -
D. BIỂU DIỄN THEO
a
t tan
2
=

2 2
2 2
2
2t 2t
1. sin a 3. tan a
1 t 1 t
1 t 1 t
2. cosa 4. cot a
1 t 2t
= =
+ -
- -
= =
+

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
A.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CỦA HÀM SỒ SIN, COS

a b a b a b a b
1. cosa cos b 2cos .cos 2. cosa cos b 2sin .sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
3. sin a sin b 2sin .cos 4. sin a sin b 2cos .sin
2 2 2 2
5. sin a cosa 2 sin a 2 cos a
4
+ - + -
+ = - =-
+ - + -
+ = - =

æ ö
p
÷
ç
+ = + = -
÷
ç
÷
ç
è ø
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
A B 0
4
6. sin a cosa 2 sin a 2 cos a
4 4
7. cos a sin a 2 sin a 2 cos a
4 4
A B sin a
8. Asin a sin b
A B cos a
B
+ >
æ ö
p
÷

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
- = - =- +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
- =- - = +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
é
+ +a
ê
+ =

ê
ê
+ - b
ë

B.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CỦA HÀM SỐ TAN, COT

( ) ( )
( )
( )
sin a b cos a b
1. tan a tan b 5. tan a cot b
cosa.cos b cosa.cos b
sin a b
2
2. tan a tan b 6. tan a cot b
cosa.cosb sin 2a
sin a b
3. cot a cot b
sin a.sin b
+ -
+ = + =
-
- = + =
+
+ =
( )
( )
cos a b
7. cot a tan b

sin a.sin b
sin a b
4. cot a cot b 8. cot a tan a 2cot 2a
sin a.sin b
+
- =
- -
- = - =

V. CÔNG THỨC BIẾN DỔI TÍCH THÀNH TỔNG

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1. cosa.cos b cos a b cos a b 2. sin a.sin b cos a b cos a b
2 2
1 1
3. sin a.cos b sin a b sin a b 4. cosa.sin b sin a b sin a b
2 2
é ù é ù
= - + + = - - +
ë û ë û
é ù é ù
= + + - = + - -
ë û ë û
VI. MỞ RỘNG CÔNG THỨC NHÂN VÀ CÔNG THỨC HẠ BẬC

4 2 5 3
6 4 2 7 5 3
4

1. cos 4a 8cos a 8cos a 1 2. cos5a 16cos a 20cos a 5cosa
3. cos 6a 32cos a 48cos a 18cos a 1 4. cos7a 64cos a 112cos a 56cos a 7cos a
1 1
5. cos a cos4a cos 2
8 2
= - + = - +
= - + - = - + -
= +
4
5 5
6
3 1 1 3
a 6. sin a cos 4a cos2a
8 8 2 8
1 5 5 1 5 5
7. cos a cos5a cos3a cosa 8. sin a sin 5a sin 3a sin a
16 16 8 16 16 8
1 3 15 5
9. cos a cos6a cos 4a cos2a 10.s
32 16 32 16
+ = - +
= + + = - +
= + + +
6
1 3 15 5
in a cos6a cos 4a cos 2a
32 16 32 16
-
= + - +
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
n 1 n
2n k k 2n 1 k
2n 2n 2n 1
2n 1 2n 2n
k 0 k 0
n n
n 1
k k
2n k n 2n 1 k
2n 2n 2n 1
2n 1 2n 2n
k 0 k
1 1 1
11. cos a C cos 2 n k a C 12. cos a C cos 2n 2k 1 a
2 2 2
1 1
1
13. sin a 1 .C cos 2 n k C 14. sin a 1 .C sin 2n 2k 1 a
2 2 2
-
+
+
-
= =
-
+

+
-
= =
= - + = - +
- -
= - - + = - - +
å å
å
n
0
å