Đề thi và đáp án GT1 k58 XD

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 1 K58
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ) Tìm các số thực a và b để hàm số
ax2 sin x12 + b sin x1 khi x > 0
f (x) =
ax2 + b
khi x 0
khả vi trên R.
Câu 2 (2.0đ) Viết công thức khai triển Mac-Laurin của hàm số f (x) = xsin3 x tại lân cận của x = 0 tới
x6 . Từ đó suy ra f (6) (0).
x = 1 t2
Câu 3 (3.0đ) Cho đ-ờng cong d-ới dạng tham số
y = 3t t3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong.
b) Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi đ-ờng cong trên.
Câu 4 (3.0đ)
a) Chứng minh tích phân suy rộng

+

dx
hội tụ. Hãy tính tích phân đó.
+ 1)

x2(x

1

b) Tìm thể tích và diện tích vật thể tròn xoay khi quay đ-ờng tròn x2 + (y 2)2 = 1 khi quay quanh
trục Ox.

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 1 K58
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ) Tìm các số thực a và b để hàm số
ax2 cos x12 + b cos x1 khi x > 0
f (x) =
khi x 0
ax2 + bx
khả vi trên R.
Câu 2 (2.0đ) Viết công thức khai triển Mac-Laurin của hàm số f (x) = xcos3x tại lân cận của điểm
x = 0 tới x5. Từ đó suy ra f (5) (0).
x = 1 + t3
Câu 3 (3.0đ) Cho đ-ờng cong d-ới dạng tham số
y = 3t t3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong.
b) Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi đ-ờng cong trên và trục Ox.
Câu 4 (3.0đ)

a) Chứng minh tích phân suy rộng

+
1

dx
hội tụ. Hãy tính tích phân đó.
x(x + 1)2
2

b) Tìm thể tích và diện tích vật thể tròn xoay khi quay đ-ờng tròn (x 3) + y 2 = 1 khi quay quanh
trục Oy.


Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 1 K58
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (1.0đ) Chứng minh dãy số thực {un }, n N hội tụ, biết
cos n2
cos n1
cos nn
cos n1
n
+

+ ... +
+
với n N.
un =
1.2
2.3
(n 1).n n.(n + 1)


1 sin x 1 x
Câu 2 (2.0đ) Tìm giới hạn lim
.
x0
x2 e2x sin x
Câu 3 (3.0đ)
a) Phát biểu định lý Rolle.
b) Sử dụng Định lý Lagrange hoặc định lý Rolle để chứng minh rằng: với mọi x 1, ta luôn có
x1
ln x x 1.
x
Câu 4 (2.0đ) Viết khai triển Taylor (dạng Peano) hàm f (x) = (x 2) ln(4x x2 ) tại lân cận điểm
x = 2 đến cấp n = 5 và tính f (5) (2).
Câu 5 (2.0đ) Tính tích phân suy rộng

+

6

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

x2 2
1
dx.
ln
x5 x2 + 2

Đề thi môn Giải tích 1 K58
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (1.0đ) Chứng minh dãy số thực {un }, n N hội tụ, biết
1
sin n1
sin n1
sin 11 sin 12
+
+ ...+
+
với n N.
un =
1.2
2.3
(n 1).n n.(n + 1)


1 + sin x 1 + x
.

Câu 2 (2.0đ) Tìm giới hạn lim
x0
x cos 2x sin2 x
Câu 3 (2.0đ)
a) Phát biểu định lý Rolle.
b) Sử dụng Định lý Lagrange hoặc định lý Rolle để chứng minh rằng: với mọi x 0, ta luôn có
x
arctan x x.
1 + x2
Câu 4 (2.0đ) Viết khai triển Taylor (dạng Peano) hàm f (x) = (x + 1) ln(3 + 2x + x2 ) tại lân cận điểm
x = 1 đến cấp n = 5 và tính f (5)(1).
+
x2 + 3
1
dx.
ln
Câu 5 (2.0đ) Tính tích phân suy rộng
5
x2 3
3 x


Đề thi môn Giải tích 1 K58

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5

Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ)
a) Phát biểu định lý Lagrange.
b) Sử dụng định lý Lagrange chứng minh rằng: với mọi a, b R, ta có
ln


a + 1 + a2

b + 1 + b2

|a b|.


Câu 2 (2.0đ) Viết khai triển Mac-Laurin của hàm số f (x) = x 1 + 4x2 tại lân cận của điểm x = 0 tới
x5 . Từ đó suy ra f (5) (0).
an
, với a là hằng số thực.
n+ 2 + an

Câu 3 (2.0đ) Tìm giới hạn lim

+

dx
hội tụ. Hãy tính tích phân đó.
2
1 x 1+x
x2 y 2

+
và z = 4.
Câu 5 (2.0đ) Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z =
4
9
Câu 4 (2.0đ) Chứng minh tích phân

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD



Đề thi môn Giải tích 1 K58
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 6
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ)
a) Định nghĩa hàm số 1 biến liên tục tại một điểm và liên tục trên một đoạn.
b) Chứng minh rằng: với mọi a, b, c R, n N , ph-ơng trình
x2n + axn + bx2 + cx 1 = 0
có ít nhất 2 nghiệm thực phân biệt.

Câu 2 (2.0đ) Viết khai triển Mac-Laurin của hàm số f (x) = x 1 4x2 tại lân cận của điểm x = 0 tới
x5 . Từ đó suy ra f (5) (0).
1 + an
, với a là hằng số thực.
Câu 3 (2.0đ) Tìm giới hạn lim
n+ 2 + an

+

dx
hội tụ. Hãy tính tích phân đó.
2
1 x 9+x
x2 y 2
+
và z = 9.
Câu 5 (2.0đ) Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 mặt z =
4
16

Câu 4 (2.0đ) Chứng minh tích phân




Đề thi môn Giải tích 1 K58

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề số 7
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Thời gian làm bài 90 phút


7xn 12. Chứng minh dãy số

Câu 1 (2.0đ) Cho dãy số {xn }
n xác định bởi x1 = a; (a > 3); xn+1 =
hội tụ và tìm giới hạn của dãy.

Câu 2 (2.0đ) Xét tính khả vi tại điểm x = 0 của hàm số

3
x sin(x sin( x1 ))
f (x) =
0

với x = 0
với x = 0.



6
4
Câu 3 (2.0đ) Tính giới hạn lim ( x6 + x5 x4 + 2x3 ).
x+

Câu 4 (2.0đ) Tính các tích phân
+

2

arctan x

a)

(x2 + 1)3

x2

dx.
x1

b)

dx.

1

Câu 5 (2.0đ) Tính độ dài đ-ờng cong



x(t) =


y(t) =

t
1
t
1

sin u

du
u
cos u
du,
u

(1 t


).
3

Đề thi môn Giải tích 1 K58

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề số 8
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1 (2.0đ) Cho dãy số {xn }
n xác định bởi x1 = a; (a > 3); xn+1 =
hội tụ và tìm giới hạn của dãy.

Câu 2 (2.0đ) Xét tính khả vi tại điểm x = 0 của hàm số

3
x2 tan(x sin( x1 ))

f (x) =
0



với x = 0
với x = 0.



5
4
Câu 3 (2.0đ) Tính giới hạn lim ( x5 + 3x4 x4 x3).
x+

Câu 4 (2.0đ) Tính các tích phân
+

a)

1

arctan2 x
dx.
x2 + 1

x+1

dx.
1x

b)



0

Câu 5 (2.0đ) Tính độ dài đ-ờng cong



x(t) =


y(t) =

t
1
t
1

cos u
du
u
sin u
du,
u

(1 t

).
3

8xn 15. Chứng minh dãy số


Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 1
Câu 1 Dễ thấy hàm số khả vi với x R\{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Do lim sin x1 không tồn tại và lim x2 sin x12 = 0 nên để f (x) liên tục tại x = 0 thì b = 0. Thay b = 0
x0+

x0+

vào ta sẽ đ-ợc f (0) = f + (0) = 0. Do đó để f (x) khả vi trên R thì b = 0; a R. . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
x
Câu 2 Để ý rằng sin3 x = 14 (3 sin x sin 3x). Ta có: sin x = x x6 + 120
+ o (x5) sin 3x = 3x 9x2 +
5
81x
+ o (x5 ) . Do đó f (x) = 14 x (3 sin x sin 3x) = 14 x (4x3 2x5 + o (x5)) = x4 12 x6 + o (x6) .. 1.0 đ
40
Vì vậy f (6) (0) = 1
.6! = 360. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
2
Câu 3 a) Đạo hàm x (t) = 2t = 0 t {0}; y (t) = 3 3t2 = 0 t {1; 1} . Đạo hàm cấp 2:
3(t2 +1)
(t)x (t)
=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
y (x) = y (t)x (t)y
3
4t3
[x (t)]
3

5

3

Bảng biến thiên và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ




3

b) Tìm diện tích S = 2

3

(3t t3)2tdt =

|y(t)x (t)| dt = 2

0
+

0

24 3
.
5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ

1
1
1
+
dx = 1 ln 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 đ

2
x
1+x 1+x
1
b) Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với Ox, thiết diện là vành khuyên với bán kính lớn là R = 2+
1




2
2
(2 + 1 x2 ) (2 1 x2 ) dx = 8 2 .
1 x2, bán kính nhỏ là r = 2 1 x2 . Do đó V =
Câu 4 a) Ta có I =

1

Vậy, ta có S = 2

1

1

(R + r)ds = 2
1

4ds = 16 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 đ

1

Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 2
Câu 1 Dễ thấy hàm số khả vi với x R\{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Do lim cos x1 không tồn tại và lim x2 cos x12 = 0 nên để f (x) liên tục tại x = 0 thì b = 0. Thay b = 0
x0+

x0+

vào ta sẽ đ-ợc f (0) = f + (0) = 0. Do đó để f (x) khả vi trên R thì b = 0; a R. . . . . . . . . . . . 1.0 đ
2
4
Câu 2 Để ý rằng cos3 x = 14 (3 cos x + cos 3x). Ta có: cos x = 1 x2 + x24 + o (x4 ) . cos 3x =
2
4
+ o (x4 ) . Do đó, f (x) = 14 x (3 cos x + cos 3x) = x 32 x3 + 78 x5 + o (x5) . . . . . . . . . . . 1.0 đ
1 9x2 + 27x

8
Vì vậy f (5) (0) = 78 .5! = 105. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Câu 3 a) Đạo hàm x (t) = 2t = 0 t {0}; y (t) = 3 3t2 = 0 t {1; 1}. Đạo hàm cấp 2:
3(t2 +1)
(t)x (t)
=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
y (x) = y (t)x (t)y
3
4t3
[x (t)]
Bảng biến thiên và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ


b) Tìm diện tích S = 2


3

3

(3t t3)3t2 dt =

|y(t)x (t)| dt = 2

0
+

0

27
.
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ

1
1
1
1


dx = ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 đ
2
x 1 + x (1 + x)
2
1
b) Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với Oy, thiết diện là vành khuyên với bán kính lớn là R = 3+
Câu 4 a) Ta có I =

1 y 2 , bán kính nhỏ là r = 3

1 y 2. Do đó V =

1

(3 +

2

1 y 2) (3

1 y 2)

2

dy = 12 2.

1

Vậy, S = 2

1

1

(R + r)ds = 2
1

1

6ds = 24 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 đ


Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 3
Câu 1 Dãy {un } tăng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
1
) nên dãy đã cho hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Dãy bị chặn trên bởi 1 (un 1

n+1
Câu 2 Bằng nhân liên hợp và thay thế t-ơng đ-ơng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
1
Sử dụng quy tắc Lopital ta tính đ-ợc giới hạn L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
12
Câu 3 a) Phát biểu định lý Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
b) Với x = 1, bất đẳng thức luôn đúng. Với x > 1, xét hàm số f (x) = ln x trên [1; x]. Sử dụng Định lý
1
ln x
1
1
Lagrange, tồn tại c (1; x) sao cho =
. Ta có, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
c
x1
x
c
Sử dụng Định lý Rolle cho hàm số f (x) trên các đoạn [1, 2], [2, 3] và [c1, c2 ]. Khi đó, tồn tại c1
(1, 2), c2 (2, 3), c (c1 , c2 ) sao cho f (c1) = 0, f (c2 ) = 0 và f (c) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
(x 2)3 (x 2)5
(x 2)2
]} = (x 2) ln 4 +
+
+ o(x 2)5 . 1.0 đ
Câu 4 Ta có, f (x) = (x 2) ln{4.[1
4
4
32
5!
Suy ra, f (5) (2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ

32
1
1
x2 2
8x
1
, dv = 5 dx du = 4
dx, v = 4 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Câu 5 Đặt u = ln 2
x +2
x
x 4
4x
16
+
2
1
1
1
x 2
3
+ 1
ln 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Suy ra, I = ( 4 ) ln 2
6
dx =
3

16 4x
x +2 6

2x
16
24
Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 4
Câu 1 Chứng minh dãy {un } tăng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
1
). (Sv có thể chứng minh nó là dãy Cauchy.) 1.0 đ
Chứng minh dãy bị chặn trên bởi 1 (un 1
n+1
Câu 2 Nhân liên hợp và thay thế t-ơng đ-ơng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
1
Sử dụng quy tắc Lopital, ta tính đ-ợc giới hạn L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
12
Câu 3 a) Phát biểu định lý Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
b) Với x = 0, bất đẳng thức luôn đúng. Với x > 0, xét hàm số f (x) = arctan x trên [0; x]. Sử dụng
1
arctan x
1
1
. Ta có,
=

1. . . . 1.0 đ
Định lý Lagrange, tồn tại c (0; x) sao cho
2
2
1+c
x
1+x
1 + c2

Sử dụng Định lý Rolle cho hàm số f (x) trên các đoạn [3, 2], [2, 1] và [c1 , c2]. Khi đó, tồn tại
c1 (1, 2), c2 (2, 3), c (c1 , c2) sao cho f (c1 ) = 0, f (c2 ) = 0 và f (c) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
(x + 1)3 (x + 1)5
(x + 1)2
]} = (x + 1) ln 2 +

+ o(x + 1)5. 1.0 đ
Câu 4 Ta có, f (x) = (x + 1) ln{2.[1 +
2
2
8
5!
Suy ra, f (5) (1) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
8
1
1
x2 + 3
12x
1
, dv = 5 dx du = 4
dx, v = 4 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Câu 5 Đặt u = ln 2
x 3
x
x 9
4x
36
+
1
1

1
x2 + 3
2
1
+
ln 2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Suy ra, I = ( 4 ) ln 2
3
dx =
36 4x
x 3 3
3x3
81
54


Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 5
Câu 1 a) Phát biểu định lý Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1
b) Xét hàm số f (x) = ln(x + 1 + x2. Với mọi x R, ta có x + 1 + x2 > 0, f (x) =
.
1 + x2

a + 1 + a2

= f (c)(a b).
Với mọi, a, b ta có f (a) f (b) = ln
b + 1 + b2

a + 1 + a2

Suy ra ln
|f (c)(a b)| |a b|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b + 1 + b2

t t2
Câu 2 Ta có 1 + t = 1 + + o(t2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
8

Suy ra x 1 + 4x = x +2x3 2x5 + o(x5 ). Vậy f ( 5)(0) = 25! = 240. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
khi 1 < a < 1




1

a2
khi a = 1
.........................................
Câu 3 lim
=
2
n+ 2 + an

1
khi
1
<
|a|



không tồn tại a = 1.
+ dx
Câu 4 a) So sánh với tích phân
3 . Suy ra hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 x2
+


du
= ln(1 + 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Đặt u = 1 + x2 , I =
(u 1)(u + 1)
2

1.0 đ

1.0 đ
1.0 đ
1.0 đ
2.0 đ

1.0 đ

1.0 đ

Câu 5 Cắt khối V bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oz tại z, ta đ-ợc thiết diện là elip có diện tích
S(z) = 6z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Suy ra, V =

4


6zdz = 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ

0

Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 6
Câu 1 a) Định nghĩa hàm liên tục... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
b) Hàm số f (x) = x2n + axn + bx2 + cx 1 liên tục trên R. Ta có f (0) = 1 < 0 và lim . Suy ra tồn
x

tại < 0, > c sao cho f () > 0, f() > 0. Suy ra điều phải chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ

t t2
Câu 2 Ta có 1 + t = 1 + + o(t2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
8

Suy ra x 1 4x = x 2x3 2x5 + o(x5 ). Vậy f ( 5)(0) = 25! = 240. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1


khi 1 < a < 1

2


2
2
a
khi a = 1
.........................................
Câu 3 lim
=
3
n+ 2 + an



1
khi 1 < |a|



không tồn tại a = 1.
+ dx
Câu 4 a) So sánh với tích phân
3 . Suy ra hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 x2
+

1
du
= ln(3 + 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Đặt u = x2 + 9, I =

(u 3)(u + 3)
3
10

1.0 đ
1.0 đ

2.0 đ

1.0 đ
1.0 đ

Câu 5 Cắt khối V bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oz tại z, ta đ-ợc thiết diện là elip có diện tích
S(z) = 8z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Suy ra, V =

9

0

8zdz = 144. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ


Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 7
Câu 1 - Nếu a < 4 dãy {xn } đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 4, suy ra hội tụ.

- Nếu a 4 dãy {xn } là dãy giảm và bị chặn d-ới bởi 4, suy ra hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
lim xn = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
n+

Câu 2 Hàm số khả vi tại x = 0 và f (0) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.0 đ


1
2
6
4
6
4
Câu 3 Ta có A = lim ( x6 + x5 x4 + 2x3) = lim x( 1 + 1 + ). . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
x+
x+
x
x
t
t


6
(1 + + o(t)) (1 + + o(t))
1
1
1 + t 4 1 + 2t
6
2
=

= . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Đặt t = A = lim+
x
x0
t
t
3
+

arctan x

Câu 4 a) Đổi biến x = tan t, ta tính đ-ợc I =
2

2

x2

dx =
x1

b) Ta có J =
1


2


x 1dx +

1

(x2 + 1)3


2

t cos t dt = 0. . . . . . . . . . 1.0 đ

dx =

2

2

1

dx = 2/3 +
x1
1



1
dx.
x1

1

2

2
8
1
1

dx = lim+
(x 1) 2 = 2 J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
0 1+
3
x1
1
1
Câu 5 Ta có x 2(t) + y 2(t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
t

3 dt

= ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Vậy độ dài cung là l =
t
3
1

Đáp án và thang điểm Đề thi môn Giải tích 1 K58-Đề số 8
Câu 1 - Nếu a < 5 dãy {xn } đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 5, suy ra hội tụ.
- Nếu a 5 dãy {xn } là dãy giảm và bị chặn d-ới bởi 5, suy ra hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
lim xn = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
n+

Câu 2 Hàm số khả vi tại x = 0 và f (0) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.0 đ


3
1
5
4
5
4
Câu 3 Ta có B = lim ( x5 + 3x4 x4 x3) = lim x( 1 + 1 ). . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
x+
x+
x
x
3t
t


5
(1 + + o(t)) (1 + o(t))
17
1
1 + 3t 4 1 t
5
4

A
=
lim
=

= . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Đặt t =
+
x0
x
t
t
20
+

Câu 4 a) Đổi biến x = tan t, ta tính đựợc I =
1

b) Ta có J =
0
1

1

x+1

dx =
1x
0


1


1 xdx +

arctan2 x
dx =
x2 + 1


2

t2dt =


2

1

2

dx = 2/3 +
1x
0

3
. . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
12

2

dx.
1x
0

1
2
1

dx = lim+
2(1 x) 2 = 4
0
1x
0
0
10
J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
3
1
Câu 5 Ta có x 2(t) + y 2(t) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
t

3 dt

= ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0 đ
Vậy độ dài cung là l =
t
3
1