Bài tập trắc nghiệm phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng có đáp án

www.thuvienhoclieu.com

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
PHÉP BIẾN HÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm
thuộc mặt phẳng đó .

M

của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất

M′

2. Kí hiệu và thuật ngữ:
P
F
Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình
:
F :P→P
M → M′= F ( M )
M′
M
F
M
M′
- Điểm
gọi là ảnh của điểm
qua phép biến hình
, hay

là điểm tạo ảnh của điểm
.
Η
H′
M′
M ∈Η
Η
- Nếu
là một hình nào đó thì
( gồm các điểm
là ảnh của
) được gọi là anh của
qua
F
phép biến hình
.
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
3. Tích của hai phép biến hình
G
F
M
M′
M
F
Cho hai phép biến hình
và
. Gọi
là điểm bất kỳ trong mặt phẳng.
là ảnh của
qua

,
G
M ′′
M′
là ảnh của
qua
.
G
G.F
M ′′
M
F
Ta nói,
là ảnh của
trong tích của hai phép biến hình
và
. Ký hiệu
M ′′ = G ( F ( M ) )

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
PHÉP TỊNH TIẾN
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ

r
v

. Phép biến hình biến mỗi điểm

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
•
•
•

r
v

r
v

.
Tvr

M

thành điểm

M′

sao cho

uuuuur r
MM ′ = v

r
v

Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là:
, được gọi là vectơ tịnh tiến.
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v
Ta có:
Phép tịnh tiến theo vecto – không chính là phép đồng nhất.

ur
v
2.
Tính chất:
ur
v

ur
v

Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm
M ′N ′ = MN
từ đó suy ra
.

M,N

thành hai điểm

M ′, N ′

thì

uuuuur uuuu
r
M ′N ′ = MN

,

ur
v
Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, đường tròn
thành đường tròn có cùng bán kính.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm
đó.
3. Biểu thức tọa độ:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
r
v = ( a; b ) , M ( x; y )

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ

. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ
x
'
=
x
+
a

r

r
v : Tv ( M ) = M' ( x '; y ')
y' = y + b
có biểu thức tọa độ:
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP
TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến.
Tìm quĩ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
Ứng dụng phép tịnh tiến vào các bài toán hình học khác ...
Ví dụ 1: Kết luận nào sauuu
đây
ur làr sai?
uur (A) = B
Tur ( A) = B ⇔ AB = u
TuAB
A.
B.

uuu
r
uuuu
r
uur ( M ) = N ⇔ AB = 2 MN
T0r ( B) = B
T2 uAB
C.
C.
Lời giải:
Đáp án D
uuuu
r
uuur
uur ( M ) = N ⇔ MN = 2 AB
T2 uAB
Ta có
. Vậy D sai.
STUDY TIP
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v
Định nghĩa phép tịnh tiến:
.
r
r
Tv ( M ) = M '; Tv ( N ) = N '
Ví dụ 2: Giảusử
. Mệnh đề nào sau đây
uuuuur uuuu
r

uuuusai?
ur uuuur
M ' N ' = MN
MM ' = NN '
A.
.
B.
MM ' = NN '
MNM ' N '
C.
.
D.
là hình bình hành.
Lời giải:
Đáp án D

Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
MNM ' N '
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
d1
d2
d1
d2
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng
và
cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến thành
A. Không.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.

Đáp án A
Lời giải:
Do phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên
d1
d2
không có phép tịnh tiến nào biến thành .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
M,N
AD, DC
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Phép tịnh tiến theo
INC
AMI
vectơ nào sau đây biến tam giác
thành

Ví dụ 4: Cho hình vuông

A.

uuuu
r
AM

.

ABCD

tâm

B.

I

uur
IN

uuur
AC

.

C.
Lời giải:

.

Đáp ánuuu
Du
r uur uur
uuur ( ∆AMI ) = ∆INC
MN = AI = IC ⇒ TuMN
Ta có

ABCD
I
Ví dụ 5: Cho hình bình hành
tâm . Kết luận nào sau đây là sai?
uur ( D ) = C
uuur ( B ) = A
TuAB
TCD
TuAIur ( I ) = C
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải:
Đáp án D

D.

D.

uuuu
r
MN

.

TuIDur ( I ) = B

.

uur uur
TuIDur ( I ) = I ' ⇔ II ' = ID ⇔ I ' ≡ D

Ta có
. Vậy D sai
Ví dụ 6: Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình
D), hình nào có phép tịnh tiến?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một
hướng xác định.
( C)
( C)
O
AB
∆
A
Ví dụ 7: Cho đường tròn
có tâm

và
đường
kính
.
Gọi
là
tiếp
tuyến
của
tại
điểm
.
uuu
r
AB
∆
Phép tịnh tiến theo vectơ
biến thành:
( C)
∆
A. Đường kính của đường tròn
song song với .
( C)
B
B. Tiếp tuyến của
tại điểm .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4

( C)

www.thuvienhoclieu.com

AB
song song với
.
O
∆
D. Đường thẳng song song với và đi qua
Lời giải:
Đáp án B.

C. Tiếp tuyến của

uur ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′ //∆, ∆′
TuAB

Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên
là tiếp tuyến của đường tròn
( C)
B
tại điểm .
( O, R )
B, C
A
BD
Ví dụ 8: Cho hai điểm

cố định trên đường tròn
và
thay đổi trên đường tròn đó,
là
∆
ABC
H
đường kính. Khi đó quỹ tích trực tâm
của
là:
BC
∆ABC
A
A. Đoạn thẳng nối từ
tới chân đường cao thuộc
của
.
BC
B. Cung tròn của đường tròn đường kính
.
uur
TuHA
( O, R )
O′
R
C. Đường tròn tâm
bán kính
là ảnh của
qua
.

uuu
r
TuDC
( O, R )
O'
R
D. Đường tròn tâm
, bán kính
là ảnh của
qua
.
Lời giải:
Đáp án D.

AD //CH
AH //DC
BD ⇒ ADCH
Kẻ đường kính
là hình bình hành(Vì
và
cùng vuông góc
với umột
đường
thẳng)
uur uuur
uuu
r ( A) = H
⇒ AH = DC ⇒ TuDC
.
uuu

r
TuDC
( O, R )
O'
H
R
Vậy
thuộc đường tròn tâm
, bán kính
là ảnh của
qua
.
( C)
A, B
ABCD
I
Ví dụ 9: Cho hình bình hành
, hai điểm
cố định, tâm di động trên đường tròn
. Khi
DC
M
đó quỹ tích trung điểm
của cạnh
:
′
TuKIuur , K
(C )
( C)
BC

A. là đường tròn
là ảnh của
qua
là trung điểm của
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


B. là đường tròn

www.thuvienhoclieu.com

( C′)

C. là đường thẳng

là ảnh của

BD

D. là đường tròn tâm

I

( C)

qua

TuKIuur , K

là trung điểm của

AB

.

.
bán kính

ID

.
Lời giải:

Đáp án B.

AB ⇒ K
là trung điểm của
cố định.
u
u
u
r
u
u
u
r

TKI ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = TKI ( ( C ) )
Ta có
.

Gọi

K

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp
1. Xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
r
v
∆′
∆
2. Xác định ảnh
của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ .
A, B
A′, B′
∆
∆′
Cách 1. Chọn hai điểm
phân biệt trên , xác định ảnh
tương ứng. Đường thẳng
cần tìm
A′, B′
là đường thẳng qua hai ảnh
.

Cách 2. Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng cùng phương với nó.
Cách 3. Sử dụng quỹ tích.
M ( x; y ) ∈ ∆, Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y ′ )
M ′ ∈ ∆′
Với mọi
thì
.
′
′
x = x + a
x = x − a


x, y
 y′ = y + b
 y = y′ − b
∆
∆′
Từ biểu thức tọa độ
ta được
thế
và phương trình ta được phương trình .
3. Xác định ảnh của một hình
(đường tròn, elip, parabol…)
M ( x; y )
Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ )
M′
- Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm
thuộc hình ,

thì
thuộc ảnh ’ của
hình .
- Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
hoặc sử dụng quỹ tích.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com

A ( 3; −3)
Oxy
A′
A
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
. Tìm tọa độ diểm
là ảnh của
qua phép
r
v = ( −1;3)
tịnh tiến theo véctơ
.
A′ ( 2; −6 )
A′ ( 2;0 )
A′ ( 4;0 )
A′ ( −2;0 )

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án B.
 x = x A + xvr
x ′ = 2
uuur r ⇔  A′
⇔ A
⇒ A′ ( 2;0 )
Tvr ( A) = A′ ( x A′ y A′ ) ⇔ AA′ = v
 y A′ = y A + yvr
 y A′ = 0
Ta có
.
STUDY TIP
 x′ = x + a

 y′ = y + b
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Oxy

M ′ ( −4; 2 )

M′

M
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
, biết
là ảnh của
qua phép tịnh tiến
r
v = ( 1; −5 )
M
theo véctơ
. Tìm tọa độ điểm
.
M ( −3;5 )
M ( 3;7 )
M ( −5;7 )
M ( −5; −3 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án C.
uuuuur r
Tvr ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v
Ta có:
 xvr = xM ′ − xM

 xM = xM ′ − xvr
 x = −5
⇔
⇔
⇔ M
⇒ M ( −5;7 )
 yM = 7
 yvr = yM ′ − yM
 yM = yM ′ − yvr
.
′
M ( −5; 2 )
M ( −3; 2 )
Oxy
M
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
và điểm
là ảnh cảu
qua phép
r
r
v
v
tịnh tiến theo véctơ . Tìm tọa độ véctơ .
r
r
r
r
v = ( −2;0 )

v = ( 0; 2 )
v = ( −1;0 )
v = ( 2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án D.
 x r = x M ′ − xM
 xvr = 2
r
uuuuur r ⇔  v
⇔
⇒ v = ( 2;0 )
r
r
r
′
′
Tv ( M ) = M ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM = v
 yv = 0
 yv = yM ′ − yM
Ta có:
.
r

M ( 0; 2 ) , N ( −2;1)
v = ( 1; 2 )
Oxy
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai điểm
và véctơ
. Ơ. Phép tịnh
r
′
′
M
,
N
M
,
N
v
M ′N ′
tiến theo véctơ biến
thành hai điểm
tương ứng. Tính độ dài
.
M ′N ′ = 5
M ′N ′ = 7
M ′N ′ = 1
M ′N ′ = 3
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án A.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com

Tvr ( M ) = M ′
⇒ MN = M ′N ′ =

Tvr ( N ) = N ′

( −2 − 0 )

2

+ ( 1 − 2) = 5
2

Ta có
.
STUDY TIP
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm

A ( 2; 4 ) B ( 5;1) C ( −1; −2 )
Oxy
∆ABC
Ví dụ 5. Trong u
mặt
phẳng
tọa
độ
,
cho
biết
,
,
. Phép tịnh tiến theo
uur
∆ABC
∆A′B′C ′
G′
∆A′B′C ′
BC
véctơ
biến
thành
tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm
của
là:
G ′ ( −4; −2 )
G′ ( 4; 2 )
G′ ( 4; −2 )
G′ ( −4; 4 )

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án A.
uuur
G
2;1
BC = ( −6; −3)
(
)
∆ABC
Ta có tọa độ trọng tâm
là
;
.
uur
 xG′ = xG + xuBC
 xG ′ = −4
uuuu
r uuur ⇔ 
⇔
⇒ G′ ( −4; −2 )
uur
uur ( G ) = G ′ ( x ; y ) ⇔ GG ′ = BC

TuBC
 yG′ = yG + yuBC
 yG′ = −2
G′
G′

.
STUDY TIP
G
∆ABC
G′
∆A′B′C ′
Phép tịnh tiến biến trọng tâm
của
thành trọng tâm
của
Oxy

∆′
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ
, tìm phương trình đườn thẳng
là ảnh của đường thẳng
r
v
=
1;
−
1
( )
∆ : x + 2 y −1 = 0

qua phép tịnh tiến theo véctơ
.
′
′
′
∆ : x + 2y = 0
∆ : x + 2y −3 = 0
∆ : x + 2 y +1 = 0
∆′ : x + 2 y + 2 = 0
A.
.
B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Đáp án A.
Cách 1:
A ( 1; 0 ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′
Chọn
.
B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( B ) = B′ ( 0;0 ) ∈ ∆′
Chọn
.
⇒
∆′
A′B′
đường thẳng
chính là đường thẳng
.

r
′
A
2;
−
1
n
= ( 1; 2 )
(
)
′
∆
Đường thẳng
qua
và có một véctơ pháp tuyến
có phương trình là:
∆′ :1( x − 2 ) + 2 ( y + 1) = 0 ⇔ x + 2 y = 0
.
STUDY TIP
Hai đường thẳng cùng phương thì có hai véctơ pháp tuyến cùng phương.
Cách 2.
Tvr ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′, ∆
x + 2y + m = 0
∆′
là hai đường thẳng cùng phương nên
có dạng
.
A ( 1; 0 ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ ⇒ m = 0
Chọn
.

∆′ : x + 2 y = 0
Vậy phương trình
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com
Cách 3: Sử dụng quỹ tích
M ( xM ; yM ) ∈ ∆ ⇔ xM + 2 yM − 1 = 0 ( 1)
Lấy
.
 x′ = x M + 1
 x = x′ − 1
Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ∈ ∆′ ⇔ 
⇔ M
 y ′ = yM − 1  yM = y ′ + 1
Ta có
( 1)
( x′ − 1) + 2 ( y′ + 1) − 1 = 0 ⇔ x′ + 2 y ′ = 0
Thay vào
ta được
.
∆′ : x + 2 y = 0
Vậy
.
Nhận xét: Độc giả sử dụng cách 3 tỏ ra có tính tư duy cao hơn, nhanh hơn và áp dụng cho
nhiều loại hình khác nhau.

( C′)
Oxy
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ
, tìm phương trình đường tròn
là ảnh cảu đường tròn
r
2
2
v = ( 1; 2 )
Tvr
( C ) : x + y − 2x + 4 y − 1 = 0
qua
với
.
2
2
2
( x + 2) + y = 6
( x − 2) + y2 = 6
A.
.
B.
.
2
2
2
2
x + y − 2x − 5 = 0
2x + 2 y − 8x + 4 = 0
C.

.
D.
.
Lời giải:
Đáp án B.
Cách 1: Theo tính chất của phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
I ( 1; −2 )
( C)
R= 6
Ta có: đường tròn
có tâm
, bán kính
.
Tvr ( I ) = I ′ ( 2;0 )
Suy ra:
.
I ′ ( 2;0 )
( C′)
R′ = R = 6
Vậy đường tròn
có tâm
, bán kính
có phương trình:
2
2
( x − 2) + y = 6
.
Cách 2: Sử dụng quỹ tích:
M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ )
Gọi

 x′ = x + 1
 x = x′ − 1
⇒
⇔
 y′ = y + 2
 y = y′ − 2

( C)

x, y

Thế
vào phương trình đường tròn
, ta có:
2
2
2
2
( x′ − 1) + ( y ′ − 2 ) − 2 ( x′ − 1) + 4 ( y ′ − 2 ) − 1 = 0 ⇔ ( x′ ) + ( y′ ) − 4 x′ − 2 = 0

( C′) : ( x − 2)

2

+ y2 = 6

Vậy
Study Tip

.

( x − a)

2

+ ( y − b) = R2
2

I ( a; b )

R.
có tâm
bán kính
I ( a; b )
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
R = a 2 + b2 − c .
Phương trình đường tròn
có tâm
bán kính
Phương trình đường tròn

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


Ví dụ 8. Cho vectơ

r
v = ( a; b )

www.thuvienhoclieu.com

y = f ( x ) = x3 + 3 x + 1

r
v

sao cho khi tịnh tiến đồ thị
theo vectơ ta nhận
3
2
y = g ( x ) = x − 3x + 6 x − 1
P = a +b
được đồ thị hàm số
. Tính
.
P=3
P = −3
P = −1
P=2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:

Đáp án A.
3
g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = ( x − a ) + 3 ( x − a ) + 1 + b


Từ giả thiết ta có:
⇔ x 3 − 3x 2 + 6 x − 1 = x 3 − 3ax 2 + 3 ( a 2 + 1) x − a 3 − 3a + 1 + b

Đồng nhất thức ta được:
Study Tip

a = 1
⇒ P = a+b =3

b = 2

.

⇔
Đồng nhất thức của 2 đa thức
các hệ số của các đa thức tương ứng bằng nhau.
A ( −5; 2 ) C ( −1;0 )
B = Tur ( A ) , C = Tvr ( B )
Oxy
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai điểm
,
. Biết
.
r r

r r
T
C.
u +v
u +v
A
Tìm tọa độ của vectơ
để có thể thực hiện phép tịnh tiến
biến điểm thành điểm
( −6; 2 )
( 2; −4 )
( 4; −2 )
( 4; 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Đáp án C.
uuu
r r
Tur ( A ) = B ⇔ AB = u
Ta có:
uuur r
Tvr ( B ) = C ⇔ BC = v
uuur uuu

r uuur r r
AC = AB + BC = u + v
Mà
uuur r r
Tur +vr ( A) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 )
Do đó:
.
Study Tip
Ta có sơ đồ tổng quát:

A ( −2;1)
Oxy
OABC
B
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hình bình hành
với điểm
, điểm
thuộc
∆ : 2x − y − 5 = 0
C
đường thẳng
. Tìm quỹ tích đỉnh ?
2 x − y − 10 = 0
A. Là đường thẳng có phương trình
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10

www.thuvienhoclieu.com
B. Là đường thẳng có phương trình

x + 2y − 7 = 0

.

2x − y + 7 = 0
C. Là đường thẳng có phương trình
.
2
2
x + y − 2x + y = 0
D. Là đường tròn có phương trình
.
Đáp án A.
Lời giải:
uur ( B ) = C
TuAO
OABC
Vì
hình bình hành nên
C
∆'
∆
Vậy quỹ tích điểm
là đường thẳng
song song với . Ta tìm được phương trình

∆ ' : 2 x − y − 10 = 0
.
Oxy
d : 3x + y − 9 = 0
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
. Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ
r
A ( 1;1)
Oy
d
d'
v
có
biến
thành
đi quar
r giá song song với
r
r
v = ( 0;5 )
v = ( 1; −5 )
v = ( 2; −3)
v = ( 0; −5 )
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Đáp án D.
Lời giải:
r
r
Oy ⇒ v = ( 0; k ) , k ≠ 0
v
Véc tơ có giá song song với
x ' = x
M ( x; y ) ∈ d ⇒ Tvr ( M ) = M ' ( x '; y' ) ⇔ 
y' = y + k
Gọi
A ( 1;1)
d ⇒ d ' : 3 x '+ y´−k − 9 = 0
d'
k = −5
Thế vào phương trình
mà
đi qua
nên
.
Oxy
d : 2x − 3y + 3 = 0
Ví dụ 12. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
r
r
T

d' : 2 x − 3 y − 5 = 0
d
d
v
v
. Tìm tọa độ có phương vuông góc với và
biến đường thẳng thành
d'
.
r  −6 4 
r  −1 2 
r  −16 −24 
r  16 −24 
v= ; ÷
v= ; ÷
v=
;
v
= ;
÷
÷
 13 13 
 13 13 
 13 13 
 13 13 
A.
.
B.
.
C.

. D.
.
Đáp án D.
Lời giải:
 x = x '− a
r
⇒
Tvr ( M ) = M ' ( x '; y') ∈ d '  y = y '− b
v = ( a; b )
Gọi
, ta có
d 2 x '− 3 y '− 2a + 3b + 3 = 0
Thế vào phương trình đường thẳng :
−2a + 3b + 3 = −5 ⇔ −2a + 3b = −8 ( 1)
Từ giả thiết suy ra
r
r r rr
u
=
3;
2
u
⊥ v ⇒ u.v = 0 ⇔ 3a + 2b = 0
(
)
( 2)
d
Véc tơ chỉ phương của là
. Do
16

−24
a = ;b =
( 1) ( 2 )
13
13
Giải hệ
và
ta được
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP
TỊNH TIẾN
1
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
2
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn thành chính nó?

0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
3
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
4
Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau đây?
A. Khoảng cách giữa hai điểm.
B. Thứ tự ba điểm thẳng hàng.
C. Tọa độ của điểm.
D. Diện tích.
r r
r
r
Tv ( A) = A′, Tv ( B ) = B′
A, B
v≠0
5
Vớiuu

hai
phân biệt và
. Mệnh đề
uur điểm
r
uuu
r với
r
uuunào
ur sau
uuu
r đây
r đúng?
uuuur uuu
r
′
′
′
′
AB =v
AB = v
A B + AB = 0
A′B′ = AB
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
d1
d2
6
Cho hai đường thẳng
và
song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ
r r
d
d
1
2
v≠0
biến
thành ?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
uur uuur
TuAB
ABCD
+ AD
A
7
Cho hình bình hành
. Phép tịnh tiến

biến điểm thành điểm nào?
C
C
A′
A
A′
D
A. đối xứng với
qua .
B.
đối xứng với
qua .
O
AC
C
BD
C.
là giao điểm của
qua
.
D. .
uur ( G ) = M
ABC
G TuAG
8
Cho tam giác
có trọng tâm ,
. Mệnh đề nào là đúng?
BC
M

A. là trung điểm
.
M
A
B.
trùng với .
BGCM
M
C.
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.
BCGM
M
D.
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.
uuu
r
ABCDEF
O
∆AOF
AB
9
Cho lục giác đều
tâm . Tìm ảnh của
qua phép tịnh tiến theo vectơ
.
∆AOB
∆BOC
∆CDO

∆DEO
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
I
10
Cho hình bình hành
tâm . Kết luận nào sau đây sai?
uuu
r ( A) = B
uuur ( B ) = A
TuDC
TCD
TuDIuur ( I ) = B
TuIAur ( I ) = C
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
M, N

AD, DC
ABCD
I
11
Cho hình vuông
tâm . Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Phép tịnh tiến
∆
MDN
∆AMI
theo vectơ nào sau đây biến
thành
?

www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


A.
12

13

14

16

17

18

19

www.thuvienhoclieu.com
uur
uuur
NI

.

B.
ABCD

.

C.

AC

.

D.

uuuu
r
MN

.

AB

Cho hình bình hành
. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng
thành đường
CD
BC
AD
thẳng
và biến đường thẳng
thành đường thẳng
?
0
1
2
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
( O)
( O)
A, B
M
Cho đường tròn
và
thay đổi trên đường tròn
. Tìm quỹ
uuuhai
uu
r điểm

uuur uuur . Một điểm
M′
MM ′ + MA = MB
tích điểm
sao cho
.
uuur ( ( O ) )
( O′) = TuABuur ( ( O ) )
( O′ ) = TuAM
( O′) = TuBAuur ( ( O ) )
( O′ ) = TuBMuuur ( ( O ) )
A.
.
B.
. C.
. D.
.
·
·ADC = 45°
= 75°
ABCD
AB = BC = CD = a BAD
AD
Cho tứ giác lồi
có
,
và
.Tính độ dài
.
a 2+ 5

.

a 3

a 2+ 3

a 5
B.
.
C.
.
D.
.
µ
µ
µ
AB = 6 3, CD = 12 A = 60°, B = 150°, D = 90°
ABCD
BC
Cho tứ giác
có
,
. Tính độ dài
.
5
6
4
2
A. .

B. .
C. .
D. .
AC BD
=
ABCD
C
AD AB
AD
Trên đoạn
cố định dựng hình bình hành
sao cho
. Tìm quỹ tích đỉnh .
AB 3
AC
A
A
A. Đường tròn tâm , bán kính là
.
B. Đường tròn tâm , bán kính là
.
AD 2
A
AD
A
C. Đường tròn tâm , bán kính là
.
D. Đường tròn tâm , bán kính là
.
M

,
N
MN
R
Cho hai đường tròn có bán kính
cắt nhau tại
. Đường trung trực của
cắt các
2
2
A
,
B
MN
P
=
MN
+
AB
A
B
đường tròn tại
và
sao cho
nằm cùng một phía với
. Tính
.
2
2
2

2
P = 3R
P = 6R
P = 2R
P = 4R
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
R
K
Cho hai đường tròn có bán kính
tiếp xúc ngoài với nhau tại
. Trên đường tròn này lấy
·
AKB = 90°
A
B
AB
điểm , trên đường tròn kia lấy điểm
sao cho
. Độ dài
bằng bao nhiêu?
R 3
R 2
R

2R
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
ABCD
B
BK
BH
Từ đỉnh
của hình bình hành
kẻ các đường cao
và
của nó biết
H
KH = 3, BD = 5
1
B
BKH
. Khoảng cách từ
đến trực tâm
của tam giác
có giá trị bằng bao
nhiêu?
4,5
5
6

4
A. .
B. .
C. .
D.
.
A.

15

uuuu
r
AM

DẠNG 2. XAC DỊNH ẢNH CỦA MỘT DIỂM HOẶC HINH QUA PHEP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHAP TỌA DỘ

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com

Câu 1:

Câu 3:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Câu 10:

Câu 11:

M ( 1; 2 )
Oxy
M′
Trong mặt phẳng
tọa
độ
,
tìm
tọa
độ
điểm
là
ảnh
của
điểm
qua phép tịnh tiến
r
v = ( 3;1) .
theo vectơ
M ′ ( 4; −2 )

M ′ ( 4; 2 )
M ′ ( 2;1)
M ′ ( 4; −1)
A.
.
B.
. r
C.
.
D.
.
A ( 4;5 ) .
v = ( 2;1)
Oxy
A
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho vectơ
và
điểm
Hỏi
là ảnh của điểm nào
r
v.
sau đây qua phép tịnh tiến theo vectơ
( 1;6 )
( 2; 4 )
( 4;7 )
( 6; 6 )
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
r
r
A
2;
2
B
4;6
T
A
=
B
( ) ( )
( )
Oxy
v.
v
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho điểm
,
và
. Tìm vectơ
( 1; 2 )
( 2; 4 )
( 4; 2 )

( −2; −4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Tur
M ′ ( −3;0 )
M ( 1; −2 )
Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, biết điểm
là ảnh của điểm
qua
và điểm
r r
r
′′
Tv
M ( 2;3)
u + v.
M′
là ảnh của
qua . Tìm tọa độ vectơ
( 1;5)
( −2; −2 )
( 1; −1)

( −1;5)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A ( 2;3) , B ( 1;1)
Oxy
A′, B′
Trong mặt phẳng tọa độ
, rcho các điểm
lần lượt là ảnh của các điểm
uuuur
v = ( 3;1)
A′B′.
qua phép tịnh tiến theo vectơ
. Tính độ dài vectơ
3
5
2
2
A. .
B.
.
C.
.
D.

.
A ( 3;0 ) , B ( −2; 4 ) , C ( −4;5 ) G
Oxy
ABC
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho tam giác
có các rđiểm
.
r
ABC
G
u≠0
A
là trọng tâm tam giác
và phép tịnh tiến theo vectơ
biến điểm
thành
. Tìm tọa
r
′
G = Tu ( G ) .
G′
độ
biết
G ′ ( −5;6 )
G′ ( 5;6 )
G′ ( 3;1)
G′ ( −1;3)
A.
.

B.
.
C.
.
D. r
.
v = ( 4; 2 )
Oxy
∆ : x + 5y −1 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và vectơ
. Khi đó
r
v
∆
ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ là
x + 5 y − 15 = 0
x + 5 y + 15 = 0
x + 5y + 6 = 0
−x − 5y + 7 = 0
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
r

v = ( −4; 2 )
Oxy
∆′ : 2 x + y − 5 = 0
∆′
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường thẳng
. Hỏi
là ảnh
Tvr .
∆
của đường thẳng nào sau đây qua
∆ : 2x + y + 5 = 0
∆ : 2x + y − 9 = 0
∆ : 2 x + y − 15 = 0
∆ : 2 x + y − 11 = 0
A.
.
B.
. C.
. D.
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 14


www.thuvienhoclieu.com
Câu 12:

Câu 13:

Câu 14:

Câu 15:

Câu 16:

Câu 17:

 x = 1 + 2t
∆:
 y = −1 − t

Oxy
∆′ : x + 2 y − 1 = 0
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường thẳng
và đường thẳng
r
Tvr ( ∆ ) = ∆′.
v
. Tìm tọa độ vectơ biết
r
r
r
r
v = ( 0; −1)
v = ( 0; 2 )

v = ( 0;1)
v = ( −1;1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
( C′)
Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, tìm phương trình đường tròn
là ảnh của đường tròn
r
2
2
v = ( 1;3) .
( C ) : x + y − 4x − 2 y +1 = 0
qua phép tịnh tiến theo
2
2
2
2
( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 2
( C ′ ) : ( x − 3) + ( y − 4 ) = 4
A.
.
B.

.
2
2
2
2
( C ′ ) : ( x + 3) + ( y + 4 ) = 4
( C ′ ) : ( x + 3) + ( y − 4 ) = 4
C.
.
D.
.
r
2
2
v = ( 3; −1)
( C ) : ( x − 4 ) + y = 16
Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường tròn
. Ảnh của
r
Tv
( C)
qua phép tịnh tiến
là
2
2
2
2

( x − 1) + ( y − 1) = 16
( x + 1) + ( y + 1) = 16
A.
.
B.
.
2
2
2
2
( x − 7 ) + ( y + 1) = 16
( x + 7 ) + ( y − 1) = 16
C.
.
D.
.
r
2
v = ( 1; −2 )
( C ) : 2 x + 4 y2 = 1
( C)
Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
và đường cong
. Ảnh của
Tvr
qua phép tịn tiến
là
2

2
2 x + 4 y + 4 x + 16 y − 17 = 0
2 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 16 y + 17 = 0
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2 x + 4 y − 4 x − 16 y + 17 = 0
2 x + 4 y − 4 x − 16 y − 7 = 0
C.
.
D.
.
2
2
x
y
r
( E) : + =1
v
= ( 2;1)
( E)
Oxy
16 9
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho elip

và véc tơ
. Ảnh của
qua
Tvr
phép tịn tiến
là:
2
2
2
2
x − 2)
y − 1)
x + 2)
y + 1)
(
(
(
(
+
=1
+
=1
( E) :
( E) :
16
9
16
9
A.
.

B.
.
2
2
2
2
x
y
x − 2 y −1
+
=1
( E) : + =1
( E) :
4 9
16
9
C.
.
D.
.
Oxy
α , a, b
F
Trong mặt phẳng tọa độ
, với
là những số cho trước, xét phép biến hình
biến mỗi
 x ' = x.cos α − y.sin α + a

M ( x; y )

M ' ( x '; y ' )
 y ' = x.sin α + y.cos α + b
điểm
thành điểm
trong đó:
. Cho hai điểm

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


M ( x1 ; y1 )

www.thuvienhoclieu.com

N ( x2 ; y2 )

M ', N '
M,N
F
, gọi
lần lượt là ảnh của
qua phép biến hình . Khi đó
d
N'
M'
khoảng cách giữa
và
bằng:

d=

( x2 − x1 )

d=

( x2 + x1 )

A.
C.

Câu 18:

Câu 19:

,

Cho véc tơ

2

+ ( y2 − y1 )

2

+ ( y2 − y1 )

( x2 + x1 )

2

+ ( y2 + y1 )

2

d=

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 + y1 )

2

B.

2

.

D.

y = f ( x) =

sao cho khi phép tịnh tiến đồ thị
x2
y = g ( x) =
a.b

x +1
nhận đồ thị hàm số
. Khi đó tích
bằng:
5
1
A. .
B. .
C. .
6
Trong mặt phẳng tọa độ

ảnh của
A.

6
13

d

Oxy

, cho

qua phép tịnh tiến
B.

Trong mặt phẳng tọa độ

16

13

Oxy

M '= F(M)

Tuwr

. Khi đó

a +b

.

C.

, cho phép biến hình

sao cho

M ' ( x '; y ' )

theo véc tơ

D.

là phép tịnh tiến theo r
.
v = ( 2; −3)

Trong mặt phẳng tọa độ

ta

d : 2x − 3 y + 3 = 0

Oxy

, cho hai điểm

D.

5
13

,

.

x ' = x + 2; y ' = y − 3

M ( x; y )

. Mệnh đề nào sau

F

là phép tịnh tiến theo r
.
v = ( −2;3)

F

là phép tịnh tiến theo r
.
v = ( −2; −3)

A ( 1;6 ) ; B ( −1; −4 )

. Gọi

C, D

lần lượt là ảnh của

qua phép tịnh tiến theo r
. Kết luận nào sau đây là đúng:
v = ( 1;5 )

ABCD

r
v

.

4

xác định như sau: Với mỗi điểm

thỏa mãn:

C.

A.

D.

.

−8
13

F

B.

A, B

x − x +1
x −1

bằng:

đây đúng:
A.
là phép tịnh tiến theo r
.
F
v = ( 2;3 )

F

.

2

và đường thẳng

r
v = ( −2;1)

.

. Tìm tọa độ ur
có phương vuông góc với đường thẳng
để
là
d
d1
w = ( a; b )

.

ta có điểm

Câu 21:

.

d=

r
v = ( a; b )

d1 : 2 x − 3 y − 5 = 0

Câu 20:

2

là hình vuông.

B.

ABCD

www.thuvienhoclieu.com

là hình bình hành.

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com
C.
Câu 22:

ABDC

là hình bình hành.

Trong mặt phẳng tọa độ

B ( 3; −4 )

. Lấy

M

AM + MN + NB
A.

C.

Oxy

trên

D.

8  8 
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
5  5 

thẳng hàng.

, cho đường thẳng có phương trình

d

,

N

trên trục hoành sao cho

nhỏ nhất. Tìm tọa độ

6  6 
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
5  5 

A, B, C , D

d:y=2

MN

, và hai điểm

vuông góc với

A ( 1;3) ;

d

và

, ?

M N

.

B.

.

D.

7  7 
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
5  5 
9  9 
M  ; 2 ÷, N  ;0 ÷
5  5 

.

.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA
PHÉP TỊNH TIẾN
Câu 1:
Đáp án D.
Khi véc tơ r của phép tịnh tiến
có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho thì se
r
T

v
v
Câu 2:

có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành chính nó.
Đáp án B.
Khi r r : Đường tròn
có tâm thì
biến đường tròn
thành chính nó.
I
Tvr
v=0
( C)
( C)

Câu 3:

Đáp án B.
Khi r r có một phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó.
v=0

Câu 4:

Đáp án C.
Khi tọa độ của véc tơ tịnh tiến r r .
v≠0

Câu 5:

Đáp án B.
Ta chỉ ra được

Câu 6:

ABB ' A '

Đáp án D.
Chẳng hạn lấy bất kỳ

là hình bình hành

uuuuu
r uuu
r
⇒ A ' B ' = AB

,

A ∈ d1 B ∈ d 2 ⇒ T

uuur
AB

Câu 7.

Câu 8.

( d1 )

thành

d2

nên có vô số phép tịnh tiến thỏa

mãn.
Đáp án D.
Ta có uuu
.
r uuur uuur
uur ( A) = C
AB + AD = AC ⇒ TuAC
Đáp án C.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 17


www.thuvienhoclieu.com

Ta có

Câu 9.

là hình bình hành.
uuur uuuu
r
uur ( G ) = M ⇔ AG = GM ⇒ BGCM

TuAG

Đáp án B.

Ta có

Tuuur ( A) = B
 AB
uur ( O) = C ⇒ Tuuur ( ∆AOF ) = ∆BCO
TuAB
AB

uur ( F ) = O
TuAB

Câu 10.

Đáp án D.
Ta có
nên đáp án D sai.
TuIAur ( I ) = A

Câu 11.

Đáp án A.

Từ hình ve ta có

Câu 12.

uuu
r ( ∆AMI ) = ∆MDN
TuAM

.

.

Đáp án B.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 18


www.thuvienhoclieu.com

Từ hình ve ta có
với

uur ( AB) = CD
TuBC

uur ( AB) = CD
TuBC

Câu 13.

, với

AD, BC

là các đoạn thẳng.

là đoạn thẳng nên có một phép tịnh tiến thỏa mãn.

Đáp án A.
Ta có : uuuuu
.
r uuur uuur
uuuuu
r uuur uuur uuu
r
u
u
u
r
MM ′ + MA = MB ⇔ MM ′ = MB − MA = AB ⇔ TAB ( M ) = M ′
Vậy tập hợp điểm

Câu 14.

AB,CD

M′

là ảnh của đường tròn

( O)

qua

uu
r
TuAB

.

Đáp án C.

Xét

uur ( A) = A′.
TuBC

Khi đó

CA′ = BA = CD ⇒ ∆CA′D

⇒ ·A′CD = 600 ⇒ ∆CA′D
⇒ ·A′DA = 150

và

cân tại

C

.

đều.

AA′ = BC = CD = A′D = a

⇒ ·AA′D = 1500
Do đó

(áp dụng định lí cosin).

AD = 2A′A − 2A′A cos AA′D = 2a + 3a
2

2

2

2

2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
.
⇒ AD = a 2+ 3
Câu 15.

Đáp án C.

Xét
T

uuur
BC

( A) = M ⇒ ABCM

là hình bình hành.

·
·
⇒ BCM
= 300 ⇒ BCD
= 600
Ta có

và

·
MCD
= 300

MD2 = MC 2 + DC 2 − 2MC.DC.cos300 = 36 ⇒ MD = 6

1
MD = CD
2

và

MC = MD 3 ⇒ ∆MDC

là nửa tam giác đều.

·
·
⇒ DMC
= 900 ⇒ MDA
= 300
Vậy

·
·
·
MDA
= MAD
= MAB
= 300 ⇒ ∆AMD
vuong

cân tại

M ⇒ BC = MA = MD = 6

.

Hide Luoi

Câu 16.

Đáp án D.
Chọn hệ trục về chiều dương như hình ve.

y

B(x,y)

I

C(x+1,y)

x
A

D

www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com
Cố định

D ( 1;0)

Từ giả thiết

( x + 1)

⇔

. Với

B ( x; y) ⇒ C ( x + 1; y)

AC.AB = AD.BD
2

( x − 1)

+ y2 . x2 + y2 =

2

+ y2

(
)(
)
⇔ ( x + y + 1) ( x + y + 2x) − x − y − 2x = 1− 2x
⇔ x2 + y2 x2 + y2 + 2x = 1− 2x
2

2

(

2

2

2

)(

2

(do

)

⇔ x2 + y2 + 1 x2 + y2 + 2x − 1 = 0

x2 + y2 + 1> 0

⇔ x + y + 2x − 1= 0 ⇔ ( x + 1) + y = 2 (1)
2

2

2

Suy ra quỹ tích
Ta có

B

.

2

là đường tròn tâm

I

, bán kính

(

2

I

là điểm đối xứng của

D

qua

A

)

uur ( B) = C
TuBC

Vậy quỹ tích của
Câu 17.

).

Đáp án C.
Giả sử trung trực

C

là đường tròn tâm

MN

cắt

(O )

tại

1

A

A

, bán kính

.

AD 2

, cắt

(O )

tại

2

( ở giữa
)
B O
A, B
1

(Bạn đọc tự ve hình)
Thực hiện phép trịnh tiến theo vectơ uuuuu
biến thành đường tròn
. vì
r đường tròn
O2O1
( O2 )
( O1 )
vậy

B

biến thành

MNN1M1

là

A

,

hình

M

biến trhành
bình

hành

MN 2 + M1M 2 = MN 2 + AB2 = 4R2
Câu 18.

Câu 19.

M1

,

N

nội

biến thành
tiếp

N1

nên

.
là

hình

chữ

nhật.

Vậy

.

Đáp án D.
(Bạn đọc tự ve hình).
Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ uuuuu
biến thành ,
thành
. Vì vậy
r thì
C
CB
K

KA
AB = 2R
O1O2
.
Đáp án A.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
P

B

H

H1
A

C

D

K

Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ uuur ta có :
KD

K

biến thành

Ta có

∆PHK

D

,

H1

biến thành

vuông tại

H

và

H

,

B

biến thành

KH = 3, KP = BD = 5

P
nên

.
PH = 25− 9 = 4 ⇒ BH1 = PH = 4

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.
Câu 1.

Đáp án B.
 x′ = 4
Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ 
⇒ M ′ ( 4;2)
′
y
=
2


Câu 3.

Đáp án B.
Theo biểu thức tọa độ

 x = x + xvr
x = 2
⇒ A

⇔
y = 4
 yA = y + yvr

Câu 6.

Đáp án B.
Ta có
 xvr = xB − xA
 xr = 2
⇔ v

 yvr = yB − yA
 yvr = 4

Câu 7.

Đáp án A.
Ta có r uuuuu
.
r r uuuuuur
r r uuuuur
u = MM ′, v = M ′M ′′ ⇒ u + v = MM ′′ = ( 1;5)

Câu 8.

Đáp án C.
Ta có
Tvr ( A) = A′

Tvr ( B) = B′

Câu 9.

.

⇒ A′B′ = AB = 5

Đáp án A.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
Ta tìm được

r uuur
G ( −1;3) ⇒ u = AG = ( −4;3)

.
uuur uuuu
r
T ( G ) = G′ ⇒ AG = GG′ ⇒ G′ ( −5;6)
uuur
AG

Câu 10.

Đáp án A.
Ảnh của có dạng
∆
x + 5y + c = 0 ( ∆′ )
Chọn

A( 1;0) ∈ ∆ : Tvr ( A) = A′ ( x; y) ∈ ∆′ ⇒ A′ ( 5;2)

⇒ ∆′ : x + 5y − 15 = 0
Câu 11.

Câu 12.

∆′ :5+ 10 + c = 0 ⇒ c = −15

.

Đáp án D.
Điểm
biến thành
M ( x; y) ∈ ∆
M ( x′; y′ ) ∈ ∆′

∆′ : 2x + y − 11= 0

thế vào

 x′ = x − 4
⇒
 y′ = y + 2

thay

x′, y′

vào

.

Đáp án C.
Chọn
A( 1; −1) ∈ ∆
Thử đáp án C

⇒ T ( A) = A′ ⇒ A′ ( 1;0) ∈ ∆′

(thỏa mãn)

r
v

Câu 13.

Đáp án B.
Đường tròn
Ta có

Câu 14.

I ( 2;1)

, bán kính

R= 2

I ′ = Tvr ( I ) ⇒ I ′ ( 3;4) ⇒ ( C′ ) : ( x − 3) + ( y − 4) = 4
2

Đáp án C.
Đường tròn
Ta có

( C)

có tâm

( C)

có tâm

I ( 4;0)

, bán kính

2

.

R= 4

Tvr ( I ) = I ′ ( 7; −1)

Vậy đường tròn ảnh là

( C′) : ( x − 7) + ( y + 1)
2

2

= 16

www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
Câu 15.

Đáp án B.
Sử dụng quỹ tích điểm

Thay vào
Câu 16.

:

Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ∈ ( C′ )

Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ )

Đáp án A.
Ta có
 x ′ = x .cosα − y .sinα + a
1
1
1

 y1′ = x1.sinα − y1.cosα + b

(
)

x2′ − x1′

) (
2

+ y2′ − y1′

=

(

=

( x − x ) +( y −y )

x2′ − x1′

với mọi điểm

M ( x; y) ∈ ( E )

 x = x′ − 2
⇒
 y = y′ − 2

ta được đáp án A.

( E)

⇒ M ′N′ =

 x′ = x + 1  x = x′ − 1
⇒
⇒
 y′ = y − 2  y = y′ + 2

ta được đáp án B.

( C)

Đáp án A.
Sử dụng quỹ tích điểm :

Thay vào
Câu 17.

M ( x; y) ∈ ( C )

2

)

(

)

 x ′ = x .cosα − y .sinα + a
2
2
2

 y2′ = x2.sinα − y2.cosα + b
2

)

(

2

(

2

cos2 α + y2′ − y1′ sin2 α + x2′ − x1′ sin2 α + y2′ − y1′

)

2

cos2 α

.

Câu 18.

2

2

1

2

1

2

⇒ d=

( x −x ) +( y −y )
2

2

1

2

2

1

Đáp án C.
Ta có
g( x) = f ( x − a) + b

( x − a) − ( x − a) + 1+ b
x2
⇔
=
x+ 1
x− a−1
2
x + ( −2a + b− 1) x + a2 − ab+ a − b + 1
x2
⇔
=
x+ 1
x− a−1
2

 a = −2
⇒
⇒ a.b = 6
 b = −3
Câu 19.

Đáp án C.
Đường thẳng

d

.

có vectơ pháp tuyến là r
ur
n = ( 2; −3) ⇒ w = ( 2m; −3m)

www.thuvienhoclieu.com

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com
, với

Twur ( M ) = M ′ ( 2m;1− 3m)
T ( d) = d′ ⇒ d′

có dạng

ur
w

Vì

d′

qua

M∈d

2x − 3y + β = 0

.
M ⇒ 4m− 3+ 9m+ β = 0 ⇔ β = 3− 13m

⇒ d′ :2x − 3y + 3− 13m= 0

Để
d1 ≡ d′ ⇒ 3− 13m= −5 ⇔ m=
Câu 20.

Câu 21.

8
8
r  16 24 
⇒ w =  ;− ÷⇒ a + b = −
13
13
 13 13 

Đáp án C.
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của

.

r
Tvr ( M ) = M ′  x′ = x + a a = 2
⇒
⇒
v
= ( 2; −3)


 y′ = y + b b = −3

.

Đáp án D.
Tvr ( A) = C ⇒ C ( 2;11)

Tvr ( B) = D ⇒ D ( 0;1)

uuu
r
uuur
uuur
AB = ( −2; −10) , CD = ( −2; −10) , BC = ( 3;15)
thẳng hàng.
uuur
uuur
uuur uuu
r uuur
⇒

A
,
B
,
C
,
D
AD = ( −1; −5) ⇒ BC = −3AD, AB = CD
Câu 22.

Đáp án B.
Cách 1 : Thử các tọa độ

MN ⊥ d

M, N

ta được kết quả

AM + MN + NB

nhỏ nhất với

M ∈ d, N ∈ Ox

.

Cách 2 :
A

d1

A1

H

M

d2 K
N
B

Gọi
Gọi

H ∈ d1, K ∈ d2

T

sao cho

HK ⊥ d1

.

là phép tịnh tiến theo vectơ uuur
HK

www.thuvienhoclieu.com

Trang 25

và