Bài tập chuỗi số và chuỗi đan dấu có lời giải

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi đan dấu
Dạng 1: Sử dụng các tiêu chuẩn so sánh I, tiêu chuẩn so sánh II, tiêu chuẩn
D’Alembert, tiêu chuẩn Cauchy và tiêu chuẩn tích phân để xét sự hội tụ của
chuỗi số.


Bài 03.04.1.001.B182

1

ln n
n 7 n

Lời giải:Vì ln n >2  n>7 nên

1
1
 2 và ta có chuỗi
ln n
n
n



1

n
n 7

2

là chuỗi hội tụ( có thể

sử dụng tiêu chuẩn tích phân để chứng minh chuỗi này hội tụ ).
Do vậy, chuỗi ban đầu cũng hội tụ.


Bài 03.04.2.002.B182

n e

2  n

n 1

Lời giải: Để giải bài này, ta không thể dung các tiêu chuẩn so sánh thường để giải
được, ta cần biến đổi nó theo một hàm nào đó:
Ta thấy e

 n


2





1

 0( n ) khi n   (   0 )=>  an  

n 1

n 1

n

ao
2
2

Hội tụ nếu hệ số ao  6 . Do đó, theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu hội tụ.
2n  n 2

n
n 1 3  n


Bài 03.04.3.003.B183

Lời giải: ta xét giới hạn sau:

n 
(n  1)2
1 n 
2


n
 2  (n  1)
an 1

3 n 

3   2 1
2
lim
 lim  n 1
 n
 lim 


2 
2
x  a
x 
 3  (n  1) 2  n  x   3  n  1 1  n  3
n

3n

2n 

n 1

2

n

Như vậy , theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.



2n
n 1 n  1

Bài 03.04.4.004.B184 
Lời giải: Ta xét an 

2

2n
ta đưa n về ẩn x và ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân để
n 1
2

làm, mục đích là để chứng minh rằng hàm f(x) thu được liên tục đơn điệu giảm
trên nửa trục dương:



1

2x
2x
d ( x 2  1)
d
x

lim
d

x

lim
 ln()  ln 2  
A  x 2  1
x  
x2  1
x2  1
1
1
A

A

Từ kết quả của tích phân trên, ta thấy được tích phân trên phân kì, từ đó chuỗi ứng
với tích phân đó cũng sẽ phân kì.
Chuỗi ban đầu phân kì .


Bài 03.04.5.005.B182 
n 1

1
n(n  1)

Lời giải: Gặp những hàm kiểu dạng thế này, đơn giản nhất là dựa và tính chất của
hàm và so sánh:
1
1


. Xét chuỗi
n( n  1) n  1



1
là phần dư sau số hạng của chuỗi điều hòa

n 1 n  1

nên nó phân kì.
Do vậy, chuỗi ban đầu cũng phân kì.


Bài 03.04.6.006.B183

( n !) 2

n 1 (2 n )!

Lời giải: Để làm bài này, ta có thể dùng được 2 cách giải theo 2 tiêu chuẩn
D’Alembert và Cauchy
+) Giải theo tiêu chuẩn D’Alembert, ta xét giới hạn sau:
an 1
(n  1) 2
1
 lim
 1
x  a
x  (2n  2)(2n  1)

4
n

lim

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.
+) Giải theo tiêu chuẩn Cauchy, ta xét bất đẳng thức sau:



1

n
n 1


2

n
2
2
e  
n
n
n
(
n
!)
e
n

n
2
 
 
  2  2
   n !  e   =>
1
4
e
 2
 2n 
((2n)!) n
 
 e 
2
n

2
n

2

e
Do vậy, lim an     1 .
x 
4
n

Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta cũng thu được chuỗi trên hội tụ.
(n  1) n


n n 1
n 1


Bài 03.04.7.007.B182

Lời giải: Để làm những bài chuỗi dạng này, các bạn nên đơn giản hóa biểu thức
an của nó hoặc là đem biểu thức an đi so sánh với 1 biểu thức khác.
1
1
(n  1)n 1  1 
 1
khi n  
an  n1  1   . Xét giới hạn: lim 1    => an ~
x 
e
ne
n
n n
 n
n

n



1 1  1
Mà chuỗi    có:
e n 1 n

n 1 ne

- Là chuỗi điều hòa có n chạy từ 1 đến vô cùng.
- Mọi hằng số nhân với chuỗi thì không làm thay đổi tính chất hội tụ của
chuỗi.
Do vậy, chuỗi ban đầu phân kì.



Bài 03.04.5.008.B185 Chứng minh rằng chuỗi

n2

 (n  1)
n 1

n

hội tụ nhưng chuỗi phân kì.
Lời giải: ta xét hàm an
an 

n2
1
~
an  0
(Vô cùng lớn tương đương)=> lim
x 
n


(n  1) n
n

k  1, 2,3,..., n ta có ak 

k 2
1
1


k
n
(k  1) k

thỏa mãn điều kiện cần


n

Và do vậy: Sn   ak  n.
k 1

1
 n   khi n  
n

Do đó chuỗi ban đầu phân kì .


Bài 03.04.4.009.B184

1

 n ln
n2

p

n

Lời giải: Đây là dạng tôeng quát không của 1 bài toán chuỗi nào cụ thể, ta có thể
thay đổi p bất kì để tạo ra các bài toán khác nhau. Như vậy, để giải được bài này
thì ta cần xét các khoảng của p sao cho để chuỗi hội tụ hoặc phân kì.
Ta đặt: f ( x) 

1
, p  2, x  2 . Hàm f(x) thỏa mãn mọi điều kiện của dấu hiệu
x ln p n

tích phân.


Xét


2

dx

x ln p x




2



d (ln x)
dt
= p
p
ln x
t
ln 2

hội tụ khi p>1và phân kì khi 0

Nên từ đó, chuỗi hội tụ khi p>1 và phân kì khi 0



Bài 03.04.3.010.T004



(n  1)Sin(2n )
n 7  2n 3  3

n 1

Lời giải: Xét hàm U n 

(n  1)Sin(2n )
n 7  2n 3  3

. Do hàm Sin(2n ) là hàm tuần hoàn nên giá

trị của nó biến thiên  1,1 .
Un 

(n  1)Sin(2n )
n 7  2n3  3



( n  1)
n 7  2n3  3



( n  1)
n

7
2

. Mà



n 1

n 1

7
2



n

là chuỗi hội tụ theo tiêu

chuẩn tích phân.
Nên chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối.

 ln 1 


Bài 03.04.7.011.T006

n  2  n 1

n2



Lời giải: Xét








3


ln
1

n

2

n

1
ln 1 
=



n  2  n 1 
n2

n2

Vn 

Xét giới hạn:

1
n  2  n 1

3


ln 1 

U
n  2  n  1  VCB
lim n  lim 
 30
n  V
n 
1
n
n  2  n 1

 2 Chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì.


Mà chuỗi


n2

1
Là chuỗi hội tụ do ta so sánh với chuỗi
n  2  n 1



2
n2

1
x

là chuỗi

hội tụ nên chuỗi trên cũng hội tụ theo.
Như vậy, theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi trên hội tụ.




 n Sin

Bài 03.04.7.012.T006

2

2 n

n 1

Lời giải: Dựa vào tính chất của chuỗi, ta sử dụng VCB: Sin 2


2 n

~

n 

2
4n

n 2  2

 0 nên chuỗi phân kì. Vậy chuỗi ban đầu cũng phân kì.

2
n 1 4n


Mà





 n  2n  3 



 Sin 

Bài 03.04.7.013.T006

n 1

Lời giải: Ta thấy an 

n 1

3

7

n 1
3

n 7  2n 3  3

Nên theo VCB: Sin a n ~ a n 

n 1
3

n

7

3

~

n 1
3

n7

 1 Khi n   thì an  0


. Mà chuỗi


n 1

n 1
3

n7

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn

tích phân nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ.


Bài 03.04.7.014.T006


n 1

n  Cos n
n5  1

Lời giải: Do hàm Cosn là 1 hàm biến thiên liên tục từ  1,1 khi n   nên ta sử
dụng dấu trị tuyệt đối


n  Cos n

n 1



n 1
5

n

5



. Mà chuỗi



n 1
n5

n 1

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên

chuỗi hội tụ. Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.


Bài 03.04.7.015.T006



n  Sin n

n 1

n3  1

Lời giải: Do hàm Sinn là 1 hàm biến thiên liên tục từ  1,1 khi n   nên ta sử
dụng dấu trị tuyệt đối
n  Sin n
n 1
3



n 1
n

3



. Mà chuỗi



n 1
n3

n 1

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên

chuỗi hội tụ. Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối.
1
Bài 03.04.7.016.T006   2
n 1 n 


1
n


 1



1

1
n

Lời giải: n     0  2 n  1 . Ta cần chứng minh hàm trên là hàm dương thì
mới sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ được.
n  no sao cho 2

Ta chọn hàm Vn 



Mà chuỗi

V
n 1

n

1
n

1
n

=1. Còn lại thì với n  no thì luôn cho ta 2  1  0

1
n n

. Xét giới hạn lim
n 

1
2
n 


1
1 2
 1



n
1
2t  1
  lim 2

lim
 ln 2  0
1
n 
t 0
1
2
t
1
 
 
n n
n
1

n

hội tụ nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ.


Bài 03.04.7.017.T006

 Sin(

n  1  n  1)

n2



Lời giải:


2
2
1

 VCB
Sin(
n

1

n


1)
Sin
~
=



~
n  1  n  1 n n
n2
 n 1  n 1 
n2



Mà chuỗi


n2

1
phân kì nên chuỗi ban đầu phân kì.
n


 1n 
Bài 03.04.7.018.T006  n  e  1
n2 



 1n 
Lời giải: Xét U n  n  e  1 ,chọn hàm Vn  n


 1n 
1
n  e  1


t
n
Un
  lim e  1  lim e  1 L lim et  1  0
Xét giới hạn: lim
 lim 
n  V
n 
n 
t 0
t 0
1
t
n
n
n

 2 chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì


Mà chuỗi



n là chuỗi phân kì .Vậy chuỗi ban đầu cũng phân kì.

n2



Bài 03.04.7.019.T006

ln n



4

n 1

n5



Lời giải: Ta xét tích phân



ln x
4

1




1

4 ln x
dx = 4
x
x5

ln x
4




1



+
1

x5

dx đặt

u  ln x
1
dv 
dx
4
x5
5

1
dx
x

4
v 4
x
du 

1 

4 ln x
x4
lim

0

4
d
x
=
5


4
x 
5
x
1 1
x4
4

4

= lim
x 

16 16

 16
4
x 41

 Tích phân trên hội tụ => Chuỗi đã cho cũng hội tự theo tiêu chuẩn tích
phân

Bài 03.04.7.020.T006



ln(n  1)

n 1

4 5



n

Lời giải: tương tự như bài trên , ta cũng xét tích phân




1

ln( x  1)
4

x5

dx


Đặt

u  ln( x  1)
1
dv 
dx
4
x5

1
dx
x 1


4
v 4
x

Xét tích phân A2 

du 





4

1

dx

x ( x  1)




1





ln( x  1)
4

1

x

5

dx
, mà
x4 x

dx =



4 ln( x  1)
4
x







4 

1

1

4

dx
x ( x  1)

dx
là tích phân hội tụnên tích phân
4
x

x
1

còn lại cũng hội tụ.
Từ đó, chuỗi ban đầu hội tụ.


Bài 03.04.7.021.T006

n 1

Lời giải: Do n   



 n ln 1  arctan

2 n3

2



 

2 n3 

 0 hay arctan 2


2 n3

~

2


2  2

ln
1


~ 3

3 
4n3
 4n  4n

2
Mà chuỗi  3 là chuỗi hội tụ.Vậy chuỗi ban đầu cũng hội tụ.
n 1 4 n




Bài 03.04.7.022.T006

1

 n  1  ln n
n 1

Lời giải: ta thấy n  1  ln n  n  1 n  
1
1
. Mà chuỗi


n  1  ln n n  1



1

 n 1

là chuỗi phân kì ( có mẫu lớn hơn chuỗi điều

n 1

hòa 1 đơn vị ).
Vậy chuỗi ban đầu phân kì.


1
1
n 1
arcsin  ln n
n

Bài 03.04.7.023.T006 

Lời giải:
Xét hàm U n 

VCB
1
1
1
~
(do n   thì  0 nên ta áp dụng được VCB
n  1

1
n
arcsin  ln n
 ln n
n
n


Ta có:
n   ì

1
1
1
. Mà chuỗi
 ln n  1  n 

1
n
1

n
 ln n
n



1

 n 1

là chuỗi phân kì. Nên

n 1

chuỗi ban đầu cũng phân kì.

1 
 1
 Sin 
n
n
n 1


Bài 03.04.7.084.T006

 

Xét hàm U n 

Lời giải:

Xét giới hạn

1
1
1
 Sin
. Chọn hàm Vn 

n
n
n n

1
1
 Sin
Un
t  Sin t
t3 1
n
n
lim
 lim
 lim
 lim 3   0
n  V
n 
t 0
t 0 6t
1
t3
6
n
n n

 2 chuỗi có cùng 1 tính chất hội tụ hoặc phân kì


Mà chuỗi

n
n 1

1
n

là chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi ban đầu

cũng hội tụ.


n !2n
Bài 03.04.4.024.T008  n
n 1 n
an1
(n  1)!2n1 n n
(n  1)n !2n.2.n
2
2
 lim
. n  lim
 lim
 1
Lời giải: Xét giới hạn: lim
n
n
n
n  a
n  ( n  1) n 1

n

n

n !2
(n  1) (n  1).n !.2
 1 e
n
1  
 n
n

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này hội tụ.

32 n 1
Bài 03.04.4.025.T008  n
n 1 4 ln( n  1)


Lời giải: Xét giới hạn lim
n 

an 1
32 n 3.4n.ln( n  1)
32 ln( n 1) 3 2
 lim 2 n 1 n 1
 lim
 1
an n 3 .4 .ln( n  2) n 4ln( n  2) 4

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này phân kì.




7 n (n !) 2
Bài 03.04.4.026.T008  2 n
n
n 1
Lời giải: Xét giới hạn: lim
n 

an 1
7 n 1 ((n  1)!)2 n2 n
7
7
 lim
 lim 2  2  1
2
n

2
n
2
n  e
an n (n  1) .7 .(n !)
e

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuôi hội tụ.

22 n 1
Bài 03.04.4.027.T008  n
n 1 5 ln( n  1)


Lời giải: Xét giới hạn lim
n 

an 1
22 n 5.5n ln( n  1)
22
 lim n 1

1
an n 5 .ln( n  2).2 2 n 1 5

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi hội tụ.


n !3n
Bài 03.04.4.028.T008  n
n 1 n
an 1
(n  1)!3n 1.n n 3
 lim
 1
Lời giải: Xét giới hạn lim
n  a
n  ( n  1) n 1 n !.3n
e

n

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi hội tụ.

3n 2  2n  1
Bài 03.04.4.029.T008  n
n 1 2 (3n  2)


Lời giải:Đặt U n 

3n 2  2n  1
3n
, Chọn hàm Vn  n
n
2 (3n  2)
2

3n 2  2n  1
n
VCL
U
Xét giới hạn: lim n  lim 2 (3n  2)  1  0
n  V
n 
3n
n
2n

Mặt khác: lim

n 

 2 chuỗi có cùng tính chất

bn 1
3(n  1).2n 1
 lim n 1
  1  chuỗi
bn n 2 .3n
2



3n

2
n 1

n

là chuỗi hội tự theo tiêu

chuẩn D’Alembert , vậy nên theo tính chất bắc cầu thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ.


(2n  1)!!
nn
n 1


Bài 03.04.4.030.T008



Lời giải: Xét giới hạn:
an 1
(2n  3)!!.n n
(2n  3)(2n  1)!!.n n
2
2
lim
 lim
 lim
 lim
 1
n
n  a
n  ( n  1) n 1.(2 n  1)!!
n  ( n  1) n ( n  1)(2 n  1)!!
n 
e
 1
n
1  
 n

Theo tiêu chuẩn D’Almbert thì chuỗi ban đầu hội tụ.


(2n)!!

Bài 03.04.4.031.T008  n
n 1 n
Lời giải: Xét giới hạn:
an 1
(2n  2)!!.n n
2(n  1).(2n)!!.n n
2
 lim

lim
 1
n

1
n
n  a
n  ( n  1)
(2n)!! n (n  1) (n  1).(2n)!! e
n

lim

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

n ! n
Bài 03.04.4.032.T008  n
n 1 n


Lời giải: Xét giới hạn:

an 1
( n  1)! n 1.n n


lim
 lim
 lim
 1
n
n

1
n
n  a
n  ( n  1)
n 
.n !.
e
1

n
1



n


Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.
2



Bài 03.04.4.085.T009

n n .5n

 2 (n  1)
n 1

n

n2

Lời giải: Xét giới hạn:
n n .5
5
1
5
 lim

1
n
n
n  2( n  1)
n  2
2e
1

1  

n


lim n an  lim
n 


Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ.

n2
Bài 03.04.4.033.T009  

n 1  n  3 


n ( n  4)

Lời giải: Xét giới hạn:

 n2
lim n an  lim 

n
n n  3



n4

e

 n 2 
lim ( n  4)ln 

n
 n 3 

e

 1  VCB
 ( n  4)
lim ( n  4)ln 1
lim

n
 n 3 
n n 3

e

 e1  1

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

 n3
Bài 03.04.4.034.T009  

n 1  n  2 


n ( n  4)

Lời giải: Xét giới hạn:

 n3
lim n an  lim 

n
n n  2



n4

e

 n 3 
lim ( n  4)ln 

 n2 

n

e

 1  VCB
lim ( n  4)ln 1

 n2 

n

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu phân kì.
2



Bài 03.04.4.035.T009

n n .5n

 3 (n  1)
n 1

n

n2

Lời giải: Xét giới hạn:
n n .5
5
1
5
lim an  lim
 lim

1
n
n
n 

n  3( n  1)
n  3
3e
1

1  
n

n

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

e

n4
n n  2
lim

 e 1


 2n 2  n  1 
Bài 03.04.4.036.T009   3n 2  sin n 
n 1 



3 n  ln n

Lời giải: Xét giới hạn:

 2n 2  n  1 
lim an  lim 

2
n 
n 
 3n  sin n 

3

ln n
n

n

e

2
 3 n  ln n   2 n  n 1 
lim 

 ln 
n 
n
  3 n 2  sin n 

e

 3 n  ln n   2  L
lim 

 ln  
n
 3

 1
 3   2 
lim  n  ln  
n  1   3 





 2 n  ln n   3  L
lim 
 ln  
n
  4

 1
 2 n   3 
lim 
 ln  
n  1   4 





n 

e

3

8
2
  
1
27
3

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

 3n 2  n  1 
Bài 03.04.4.037.T009   4n 2  cos n 
n 1 



2 n  ln n

Lời giải: Xét giới hạn:
 3n 2  n  1 
lim an  lim 

2
n 
n 
 4n  cos n 

n

ln n
2
n

 2 n  ln n   3 n  n 1 
lim 

 ln 
n
  4 n 2  cos n 
2

e

n 

e

n 

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

1
ln
 

n


Bài 03.04.4.086.T010
2
n 1 ( n  2)


Lời giải: Xét tích phân suy rộng A= 
1

1
ln  
 x  dx
( x  2) 2

1
1
1
u  ln  
ln    
du  dx
x
1
x
 
x
dx

Đặt
 A=     
x( x  2) 1
x

(
x

2)
1
1
1
dv 
dx
v
x2
( x  2) 2

e

2

9
3
  
1
 4  16


A=
1
ln  




1
1 1
1 
x
 x2
 2 3
lim    0  
dx     
d
x

ln
 lim ln 1     3




x  x ( x  2)
x 
x( x  2)
2 1  x x2
 x 1
 x 1
1

 Tích phân ta xét hội tụ nên theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi cùng hội tụ theo.


ln n
Bài 03.04.4.038.T010  2

n  2 3n


Lời giải: Xét tích phân suy rộng A= 
2

ln x
dx
3x 2

1
dx
x


1
dv  2 dx
1
v
3x
3x

u  ln x

Đặt

 ln x
A
3x 2

du 











2

2

1
 ln x ln 2 1
dx  lim


2
x

3x
3x 2
12 3x




2



ln 2 1

2 6

Theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi trên hội tụ.



Bài 03.04.4.039.T010

ln(n  1)

 (n  3)
n2

2


Lời giải: Xét tích phân suy rộng A= 
2

u  ln(x+1)

Đặt

A

dv 

 0




1

1
dx
x 1
1
v
x3
du 


1
dx
2
( x  3)

 ln( x  1)
x3

ln( x  1)
dx

(n  3) 2






1



1
 ln( x  1) ln 2 1  x  3 
dx  lim

 ln 

x 
( x  1)( x  3)
x3
4
2  x  1  1

ln 2
 ln 2
 x3 1
 lim ln 
 ln 2 

4 x  x  1  2

4


Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi hội tụ.


n
Bài 03.04.2.040.ĐC001 
2
n 1 10n  1
Lời giải: Xét U n 

n
1
, chọn Vn 
. Xét giới hạn:
2
10n  1
10n

n
2
Un
lim
 lim 10n  1  1  0  2 chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì như
n  V
x 
1
n
10n



nhau. Mà chuỗi

V
n 1

n

là chuỗi điều hòa nhân với 1 hằng số nên phân kì.

Từ đó chuỗi ban đầu cũng phân kì theo TCSS II.


Bài 03.04.2.041.ĐC001
Lời giải: Xét U n 


n2

n
(n  1)(n  2)

n
n
1

 V1n
Với n  2 
(n  1)(n  2)

(n  1)( n  2)
( n  1)( n  2)

1
(n  1)(n  2)
1
V
Xét V2 n  . Ta có giới hạn lim 1n  lim
 1  0  2 chuỗi có cùng tính
n  V
n 
1
n
2n
n

chất hội tụ hoặc phân kì.


Mà chuỗi


1
1

là
chuỗi
điều
hòa
nên

nó
phân
kì
cũng phân kì (


(n  1)(n  2)
n2
n2 n

theo TCSS II)
Vậy theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu đã cho cũng là chuỗi phân kì.

 1 n 

Bài 03.04.2.042.ĐC001   2
n2  n  1 


2


 1 n 
1
Lời giải: Xét U n   2  Với n  2  Xét hàm Vn  2 . Ta có giới hạn sau:
n
 n 1 
2

 1 n 

 2 
U
n 1 
lim n  lim 
 1  0  2 chuỗi cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì.
n  V
n 
1
n
n2
2



Mà

1

n
n2

2

là chuỗi hội tụ - ta dễ dàng tính được nó qua tiêu chuẩn tích phân.

Vậy chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II

1.3.5...(2n  1)
22 n (n  1)!
n2





Bài 03.04.2.043.ĐC001
Lời giải: Xét U n 

1.3.5...(2n  1)
. Ta có giới hạn:
22 n (n  1)!

U n 1
1.3.5...(2n  1).22 n (n  1)!
2n  1 1
lim
 lim 2 n  2
 lim
 1
n  U
n  2
n  4n
n
!.1.3.5...(2
n

1)
2
n

Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ.





Bài 03.04.2.044.ĐC001

n 3

1
n ln n ln  ln n  



Lời giải: Xét tích phân



1

 x ln x ln  ln x 


3



2

2

dx 


3

d ln  ln x  

1

2
ln  ln x 
ln  ln x  

Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi trên hội tụ.


Bài 03.04.4.045.ĐC002



a

  Cos n 

n3

n 1

a


Lời giải: Đặt U n   Cos 
n


n3

Xét giới hạn sau:




3



1
ln(ln 3)


a

lim n U n  lim  Cos 
n 
n 
n


n2

.Khi n   

n2


a 
lim
1

e
2 
Ta được n 
2
n


2

1
a VCB
a2
 0  Cos ~ 1  2
n
n
2n

 a2 
lim n2 ln 1 2  VCB
n
 2n 

e

lim n2 .

a2
2 n2

n

e

 a2
2

1

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi trên hội tụ.

 1n 
Bài 03.04.4.046.ĐC002  n  e  1
n 1 



2

2

 1n 
Lời giải: Đặt U n  n  e  1 .



2

1 VCB
 1n

1
1
1 
n
Khi n     0  e ~  n  e  1 ~ n   1  1  n
n
n
n 




Mà

 1  n 
n 1

 n)    0 ( điều cận cần và đủ để chuỗi
là chuỗi phân kì do lim(1
n 

phân kì )
Vậy nên chuỗi ban đầu phân kì ( cách làm tương đương với cách sử dụng tiêu
chuẩn so sánh II , ta chọn hàm dựa vào các tính chất VCB, VCL- tương đương)



Bài 03.04.4.087.ĐC002
Lời giải: Đặt U n 

1

 n (ln n) ( ,   0)
n 3

1
. Ta xét các trường hợp sau đây:
n (ln n )

1
1
  Vn . Mà chuỗi

n (ln n)
n
phân kì    1 thì chuỗi phân kì.
 0    1 ,   0 ta có:

   1,   0 U n 





1

n

là chuôi điều hòa nên

n 3

1
ta đem so sánh với tích phân suy rộng
n(ln n) 





3

1
dx 
x(ln x) 




3

d (ln x) (ln x)1 

(ln x) 
1 




3

 Sự hội tụ, phân kì phụ thuộc vào hằng số  .

 Tích phân hội tụ khi 1    0    1  Chuỗi hội tụ.
 Tích phân phân kì khi 1    0  0    1  Chuỗi phân kì.

1
1

.Mà chuỗi
n (ln n)  n




ta thấy n (ln n)  n 

  1 ,   1



1

 n

hội tụ

n 3

nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ theo.



n 1  n 1

n 1

3
4

Bài 03.04.2.047.ĐC001 

Lời giải: Xét U n 

n 1  n 1
n

1

Xét hàm Vn 

n

Un
 lim

n  V
n 
n

n

4

lim

Mặt khác


n 1

n



n 1  n 1
1

1

n
cũng hội tụ theo.

2



2

n


3
4

3
4



n 1  n 1



với n  1

. Từ đó ta xét giới hạn sau:

5
4

3

n

5

4

5



2
1

2
 lim 2n .n
VCL n 
1

4

n

5

3

4

1 0

4

là chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II, chuỗi ban đầu



Bài 03.04.2.048.ĐC001


n2

1  1 n 
ln 

n  n 1 


1  1 n  1 
2 
ln 
ln 1 


n  n 1 
n  n 1 

Lời giải:Xét U n 
Xét hàm Vn 

2

.Ta tìm giới hạn sau:

n n

1 
2 
1
2
ln 1 
.

U
n 1 
n 1
lim n  lim n 
 lim n
 lim
n  V
n 
VCB n 
VCL n 
2
2
n
n n
n n


Mà chuỗi

n
n2

2
n n 1 0
.
2
n n

1
là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên theo tiêu chuẩn

n

so sánh II, chuỗi ban đầu cũng hội tụ.


Bài 03.04.2.049.ĐC001
Lời giải: Xét U n 

1

 ln n
n2

1
1
1
. n  2 thì n  ln n . Do đó hiển nhiên: 
n ln n
ln n



1
Mà chuỗi  là chuỗi điều hòa nên nó phân kì.Do đó theo tiêu chuẩn so sánh I
n2 n
thì chuỗi ban đầu cũng phân kì.


Bài 03.04.2.050.ĐC001
Lời giải: Xét U n 

ln n
n
n2



ln n
. n  2 thì n 
n

ln n ln n


(1) .Ta xét chuỗi
n
n


phân sau đây: A 


2

n .Do đó hiển nhiên:

1
1

n
n



ln n
. Dựa vào tiêu chuẩn tích phân, ta xét tích
n2 n



b
 ln 2 x  b
 ln 2 b ln 2 2 
ln x
dx  lim  ln xd(lnx)  lim 

   lim

   .
b 
b 

b 
x
2 
 2 2
 2
2

Do đó, tích phân trên phân kì thì chuỗi ứng với tích phân đó cũng phân kì.


Theo tính chất bắc cầu và dựa vào tiêu chuẩn so sánh I cho ý (1)  Chuỗi ban
đầu là chuỗi phân kì.

 n2  n 
1
 tan 2
Bài 03.04.2.051.ĐC001  ln  2
n
n2
 n n 


1
 n2  n 
1
V

tan
.Chọn
hàm


n
2 .Xét giới hạn:
2
2

n
n

n
n



Lời giải: Đặt U n  ln 

 n2  n 
1
1  n n 
ln  2
ln 1  2
 tan 2

n n 
n
n2 
n n 
Un
n2  n n


lim
 lim
 lim
 lim 2
0
n  V
n 
VCB n 
VCB n 
1
1
n

n
n
n3
n3

Như vậy, n  no để Vn  U n .Mà



V
n2

n

là chuỗi hội tụ  Chuỗi ban đầu cũng

hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II.

(3n  1)!
n 2 8n
n 1


Bài 03.04.2.052.ĐC001
Lời giải: Đặt U n 



(3n  1)!
.Xét giới hạn sau:
n 2 8n

U n1
(3n  4)!n2 8n
(3n  1)!(3n  2)(3n  3)(3n  4) 27n3
lim
 lim
 lim

 1n  1
n  U
n  ( n  1) 2 8n 1 (3n  1)! VCL n 
(3
n

1)!.8
8

n
Chuỗi này phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert.


Bài 03.04.2.053.ĐC001

1

  n  ln
n 1

1 n 

n 

1
1
 1 n  1
 n 
V



ln
Lời giải: Xét U n   ln 
.
Xét
hàm
n




n2
n
 n  n
 1 n 


1
1
1 
 n 

1
1
 ln 
 ln 1 



Un
n
n

1
n
n

1


  lim

  lim n n  1
 lim
Xét giới hạn sau: lim
n  V
n 
n 
VCB n 
1
1
1
n
n2
n2
n2

1
n(n  1)
 lim
 lim
n 
1 VCL n
n2


Mà

1

n
n 1

2

1
n2  1  0
.Do đó 2 chuỗi cùng tính chất hội tụ hay phân kì.
1
n2

hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ.

1  1 n 
Bài 03.04.2.054.ĐC001  2 

n 1 n  n 


n

1  1 n 
1
Lời giải: Xét hàm U n  2 
 . n  1 xét Vn  2 .Ta tính giới hạn sau:
n
n  n 
n

n

1 1 
  1
Un
n2  n 
lim
 lim
 e  0 . Do đó 2 chuỗi được biểu diễn bởi 2 hàm có cùng
n  V
n 
1
n
n2


tính chất hội tụ hoặc phân kì. Mà

1

n
n 1

2

là chuỗi hội tụ. Theo tiêu chuẩn so sánh II

thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ theo.


1  1

Bài 03.04.3.055.ĐC001  n 1  
n
n 1 5 

n2

n2

Lời giải: Đặt U n 

n
1
 1
1
1  1
lim n ln 1 
1 1
5
 n
5
1

n
lim
U

lim
1



e

e
0


.Xét
n


n 
n  5
VCB
5n  n 
 n
n

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.

 n 1 
Bài 03.04.3.088.ĐC001  

n 1  n  1 


( n 1) n


 n 1 
Lời giải: Xét U n  


 n 1 

 n 1 
lim U n  lim 

n 
n  n  1



( n 1)

n

( n 1) n

. Ta xét giới hạn sau:

2 

 lim 1 

n 
 n 1 

( n 1)

e

2 

lim ( n 1)ln 1

 n 1 

n

e

lim

n

2( n 1)
( n 1)

VCB

 e2  1

VCL

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.


Bài 03.04.3.056.ĐC001


n 1

 n 
n

 4n  3 

 n 
Lời giải: Đặt U n  n 

 4n  3 

2n

2n

.Ta xét giới hạn sau:

2

1
ln n
1
1 nlim
1
 n 
 2 n
2n
lim U n  lim n 

lim n  e

  1 .Như vậy, theo tiêu

n 
n 
16
16
 4n  3  VCL 16 n
chuẩn Cauchy thì chuỗi trên hội tụ.
n

2n



3n (n !) 2
Bài 03.04.3.057.ĐC001 
n 1 (2 n)!
3n (n !)2
Lời giải: Đặt U n 
.Ta xét giới hạn sau:
(2n)!
3n 1  (n  1)! (2n)!
U n 1
3(n  1) 2
3n 2 3
lim
 lim
 lim
 lim
 1.

2
n  U
n 
 2n  2 !.3n  n ! n (2n  2)(2n  1) VCL n 4n 2 4
n
2

Như vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.

n2  5
Bài 03.04.3.058.ĐC001  n
2
n 1


n2
n2  5
Lời giải: Đặt U n  n . Xét hàm Vn  n .Ta có giới hạn:
2
2


n2  5
n
U
lim n  lim 2 2  1  0 (1)  2 chuỗi được biểu diễn bởi 2 hàm sẽ có
n  V
n 
n
n

2n
cùng tính chất hội tụ hay phân kì như nhau. Mà ta lại có:

Vn 1
(n  1) 2 .2n 1
lim
 lim n 1 2   1 . Nên theo tiêu chuẩn D’Alembert thì cuỗi này
n  V
n 
2 n
2
n
hội tụ, kết hợp với (1) thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II.


Bài 03.04.3.059.ĐC002


n 1

ln

1
n

n2

Lời giải: Bằng trực quan, ta có thể thấy , chuỗi này chưa thể xác định dương hay
âm được để sử dụng cái tiêu chuẩn, do vậy ta cần chứng minh xem chuỗi này
dương hay âm.

1
n

ln

1
n

Nhận xét: ta thấy n  1   1  ln  0 . Do vậy chắc chắn

n

1
n 0
và đây sẽ là
2

chuỗi âm.
Ta có tính chất: nếu ta nhân một số hằng số bất kì vào 1 chuỗi thì tính chất của
chuỗi sẽ không đổi.- Dựa vào tính chất đó, ta nhân chuỗi với (-1).Chuỗi trở thành:

1
1
ln  
  ln

n
n 



2
n
n2
n 1
n 1
Lúc

này


A


1

theo

1


ln n
2
n 1 n



tiêu

chuẩn

tích

phân

ta

xét

tích

b
b
b
  ln x b

ln x
ln x
1
  ln x 1 
dx  lim  2 dx  lim 
  1

  1 x 2 dx   lim
b 
b 
b 
x2
x
x1
 x

1
 x 1

Do đó , tích phân trên hội tụ nên chuỗi ứng với tích phân đó cũng hội tụ.
Vậy chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân.

phân:




en n !
Bài 03.04.3.089.ĐC002  n
n 1 n
en n !
Lời giải: Đặt U n  n .Có chứa dấu ‘’ !’’ là dấu hiệu của việc sử dụng tiêu
n
chuẩn D’Alembert. Ta xét giới hạn sau:
U n 1
en 1 (n  1)!.n n
1
 n 
lim
 lim
 lim e 
 lim e
 1 . Do vậy theo tiêu

n
n


1
n
n  U
n  ( n  1)
n 
.e .n ! n  n  1 
 1
n
1  
 n
n

chuẩn D’Alembert thông thường thì đến đây ta chưa có kết luận gì .
e n 1 (n  1)! e.e n ( n  1) n !
e.e n n !
en n !


Ta để ý : U n 1 
và U n  n có mẫu hơn
(n  1) n 1
(n  1) n ( n  1) ( n  1) n
n

kém nhau 1 đơn vị số nên khi khai mẫu thì kết quả của chúng chênh nhau không
đáng kể, nhưng với U n 1 thì có số e  2.1783 không phải là con số nhỏ hơn 1 nên nó
góp phần làm cho U n 1 tiến tới vô cùng nhanh hơn U n . Do vậy U n 1  U n và theo
tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này phân kì.


7 n ( n !) 2
Bài 03.04.3.060.ĐC001 
n2n
n 1
Lời giải: Đặt U n 

7 n (n !)2
.Ta xét giới hạn sau:
n2n

7 n 1  (n  1)! n 2 n
U n 1
7(n  1) 2 n 2 n
7n 2 n
7
lim
 lim

lim

lim

1
2
n  U
n 
n  ( n  1) 2 n ( n  1) 2
n  ( n  1) 2 n
e2

(n  1) 2 n  2 .7 n  n !
n
2

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ.


Bài 03.04.3.061.ĐC002

 Sin  (2 
n 1

3) n 

Lời giải: Đặt U n  Sin  (2  3)n  .Ta xét khai triển nhị thức Niu Ton sau:


n

n

n

(2  3) n  (2  3) n   Cnk 2n k ( 3) k   Cnk 2n k (  3) k   Cnk 2n k ( 3) k  (  3) k 
k 0
k 0
k 0

=0 nếu k lẻ hoặc = m  N nếu k chẵn.
 U n  Sin  m   (2  3) n   Sin m Cos  (2  3) n   Cos m Sin  (2  3) n 







.
 0  (1) m Sin 
 (1) m 1 Sin 
n 
n 
 (2  3) 
 (2  3) 

Ta có: U n  (1)

m 1


 n


Sin 
~
 Vn
n  VCB
(2  3) n
 (2  3) 

1

 1 ( ta coi như
2 3

p 



. Mà chuỗi

V
n 1

n

có

 là 1 hằng số nên không ảnh hưởng đến tính hội tụ


hay phân kì của chuỗi ), do vậy chuỗi

V
n 1

n

hội tụ và chuỗi ban đầu cũng hội tụ

theo và hội tụ tuyệt đối.


Bài 03.04.4.062.ĐC002

2

n n 2n

 (n  1)
n 1

n2

2

Lời giải: Đặt U n 

n n 2n
(n  1)n

2

. Ta xét giới hạn sau đây:

2n n
1
2
lim U n  lim
 2 lim
  1 . Do vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy thì
n

n 
n  ( n  1) n
n 
e
1

1  
n

n

chuỗi trên hội tụ.

1.3.5...(2n  1)
3n n !
n 1


Bài 03.04.4.063.ĐC002
Lời giải: Đặt U n 



1.3.5...(2n  1)
. Ta xét giới hạn sau đây:
3n n !

U n 1
1.3.5...(2n  1)
3n n !

2n(2n  1)
 lim n 1

 lim
  1 .
n  U
n 
n  3( n  1)
3
(
n

1)!
1.3.5...(2
n

1)
n

lim