Bài tập hàm số mũ – lôgarit (nâng cao) có lời giải Nguyễn Đình Sỹ

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
( )
( )
( )
1
2 2
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
−
−
−
 
−
+ + +
 

= + + +
+ + −
 
 
( đáp số : D=1 )
b.
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
B
a a a a
− −
− −
 
− − +
 
= +
 
− −
 
Giải
a/
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
: 3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
x y
−
−
−
 
 

− + +
+ −
+ + +
 
 
= + + + = + =
+ + − − +
 
+
 
 
 
( ) ( )
1
3 1
3
: 1x y x y
−
−
 
= + + =
 
b/
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2

1 1
2 2
2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
2 3
a a
a a a a a a a
B a
a a
a a
a a a a a
a a
− −
− −
 
 
   
+ + −
− − + − − +
 
   
= + = + = =
 
− −
   
 
− −
   

 
 
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
0;
n n n n
n n n n
a b a b
A ab a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ −
= − ≠ ≠ ±
− +
b.
( )
1 1 1 1
1 -1
1 1 1 1
1
ax
4
a x a x
B xa
a x a x
− − − −
−
− − − −

 
− +
= − +
 ÷
+ −
 
Giải
a.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
A
a b a b b a
b a a b a b b a
a b a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ − −

+ − + −
= − = − = =
− + −
   
− + + −
 ÷  ÷
   
b/
( )
( )
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 -1
1 1 1 1
2
1 1 1 1
ax
4 4 ax 4 ax 2 ax
x a
a x a x x a x a x a x a
B xa
a x a x x a x a
− − − −
−
− − − −
+
   
− + − − + +
 
= − + = + = =

 ÷  ÷
 ÷
+ − + −
 
   
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
. 1 2 :
a b
a a b
b a
 
 
− + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
b.
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
−

−
− −
−
− +
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 1
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
( )
( )
( )
2
2
2
1 1
2
2 2
2
1 1
. 1 2 : 1 : .
b a
a b a
a a b a b
b a b b b
a b
−
   
 
− + − = − − = =

 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
−
.
b/
( )
( )
( )
( )
1 1
1 9 1 3
2 2
4 2
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
2
4 4 2 2 4 2
1 1
1 1 2
1 1
a a b b
a a b b
a a
a a b b a a b b
−
−
− −

− −
− −
− = − = + + = +
− + − −
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :
a.
( )
2 2
3 3 3
3 3
a b a b ab
 
+ + −
 ÷
 
b.
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
a b
b a
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
Giải
a/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
a b a b ab a b a a b b a b a b
 
 
+ + − = + − + = + = +
 ÷
 
 
 
b/
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
1 1
3 3
3 3
3 3
1 1 2 2 2 1 1
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3
: 2
2

a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a b
a b
   
+ +
 ÷  ÷
 
 
   
+ + + = = =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
+ + +
+
 ÷
 
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
3
2
1 1
3
2

4 4
3
3
:
a b a
A a b
b a
a b
 
   
 
 
= + +
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
   
 
 
b.
2
2
2
4
4
4
2
a

B
a
a
a
+
=
 
−
+
 ÷
 
Giải
a/
3
3 1
2
1 1 1 1 1 1
2 2
3
2
2 2
4 4 4 4 4 4
3 1
2 3 3
1 1
3
3
3
2 2
4 4

1 1
: : :
a b a a b a a a b
A a b a b a b
a b b ab
b a
a b
b a
ab a b
 
 
 
   
     
+
 
 
 
 ÷
= + + = + + = + + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
 ÷
 
 
      ÷

   
 
 
+
 
 ÷
 
 
 
( )
2 2
2 2
2 2
2
2 : 0
2
4 4
2 : 0
4 4
4
2
4
a
a
a a
B
a
a
a a
a

a
a
a
↔ ≥

+ +
= = = =

− ↔ <

 
− +
+
 ÷
 
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
1
2 2
2
2 2
1 1
2 5 2
2 2
x x x x
A x
x x x x
−
 

+ + − +
= + − −
 ÷
+ −
 
. Với
3,92x =
b.
5
3
3
5
2
2 2
10
5
2 27
3 32 2 .3
2 3
y
B y
y
−
 
 
+
 
 ÷
= + −
 

 ÷
+
 ÷
 
 
 
. Với y = 1,2
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
a/
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
2 2
2 2 3
2 2 2
2 2
2 2
4 2 5 2
1 1 4 10
2 5 2 5 2 8 2
2 2
4 5 2

x x
x x x x x
A x x x
x x x x
x x x
−
−
 
− −
 
+ + − + − +
 
= + − − = − = = −
 ÷
+ −
− −
 
 
 
Với x=
( )
2 2 2
3,92 3,92 4 0,08 2 4 0,16x x x⇒ = ⇔ − = ⇔ − =
5
3
3
1
1
5
5

2
3
3
1
1
5
2
2 2 2
10
5
2
1
1
5
5
2
2 3.
2 27
3 32 2 .3 3.2 2 3
2 3
2 3
y
y
B y y
y
y
− −
 
 
 

 
 
 ÷
+
 
 
 ÷
 ÷
 
 ÷+
 
 
 
 ÷
= + − = + − =
 
 ÷
 
 ÷
+
 ÷
 
 ÷
+
 
 
 
 
 ÷
 

 
5
5
1 2 1 2
1 1
2 2 2
5 5 5 52 2
2 2 .3 3 3.2 2 3y y y y y
−
 
   
= − + + − = =
 
 ÷  ÷
 
   
 
. Với y=1,2 suy ra
2
1,44y =
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
a.
4 1
1
2
3 3
3
3
2 2
3

3 3
8
. 1 2
2 4
a a b b
A a
a
a ab b
−
 
−
= − −
 ÷
 ÷
 
+ +
ĐS: A=0
b.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
B
a b a a b b
− − − − −
 

− −
 ÷
= +
 ÷
 ÷
− + +
 
Giải
a/
( )
1
4 1 1
1
2 2
3
3 3 3
3 3
3
2 2 2 1 1 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3 3 3
8
8
. 1 2 .
2 4 2 4 2
a a b
a a b b a
A a a
a
a ab b a a b b a b

−
 
−
−
= − − = −
 ÷
 ÷
 
+ + + + −
( ) ( )
2 2
2 2
3 3
3 3
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
8 8
0
8
2 4 2 4 8
a a b a a b
a a
a b
a a b a b a b a b b
− −
= − = − =
−
+ + − − −
b/
1 1 2 2

3 3 3 3
1 1 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2
8 2 8
6 6
2 4 2 2
4 2
a b a b
b a a b a b b a a b
B
a b a a b b b a
b a b a
− − − − −
 
 
−
 ÷
 
 ÷
− − −
 
 ÷ ÷
= + = + =
 ÷ ÷
 

 ÷
− + + −
 ÷
+ +
 
 ÷
 ÷
 
 
2
2 1 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3
2 2
3 3
3 3
1 1
3 3
4 2 2
8 8 6
6 6 8
2
b a b a a b
b a b a ab
a b ab
b a
b a
 
 
 ÷
+ + − −

 ÷
 ÷− −
 
 
= = =
 ÷
 ÷
−
 
   
 ÷
−
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
a.
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
A= 3 .5 : 2 : 16: 5 .2 .3
−
 
   
   
 
   

 
 ÷  ÷
   
    
   
 
( đáp số : A= 15/2 )
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 3
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
b.
( ) ( )
1
1
2
4 3
0,25
1
0,5 625 2 19. 3
4
B
−
− −
 
= − − + −
 ÷
 
Giải
a/

1
1
5 1
3 7 1 1
1
2
5 1
3 7 1 1
2
2 2
3 3
2 4 4 4
2
3 3
2 4 4 2
4 2
3 5 2 .5 2 3 3 5 15
A= 3 .5 : 2 : 16: 5 .2 .3
2 2 2
−
 
 
   
   
 
 
 ÷
= = =
   
 

 ÷  ÷
 ÷
 ÷
   
 
   
 ÷ 
   
 
 
b/
( ) ( )
( )
( )
1 3
1 4 2.
1
2 2
4 3
0,25 4
4
3
1 1 3 1 8 19
0,5 625 2 19. 3 5 19 16 5 10
4 2 2 27 27
3
B
− − −
−
− −

     
= − − + − = − − + = − − − =
 ÷  ÷  ÷
     
−
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
a.
1 1
1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
−
 
 
− −
 
= − −
 ÷
 
 
+ +
 
 

b.
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
B ab
a b
 
  
− +
 ÷
 ÷ ÷
  
 ÷
= −
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Giải
a/
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 4 4

2 4 4 2 4 4 4 4
1
: : .
a b a b a b a b a b a a b
A a b a b
a a b a b a b
a a b a a b a b
 
   
   
− − − − − − +
   
= − − = − − = =
 ÷  ÷
   
     
   
+ + +
+ + −
 
 
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2

b a b b
a
a a b
 
−
 ÷
= =
 ÷
 ÷
−
 
b/
( )
( )
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a b a b a b a b
B ab a b
a b a b
a b
   
      
− + − − − − −
 ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷  ÷
      

 ÷  ÷
= − = = = −
 ÷  ÷
 
− −
 ÷  ÷
−
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau :
( )
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
ax
x a x a
C
x a
x a
   
− −
   
= +
   
−

−
   
   
(đáp số C=1)
. b. Chứng minh :
(
)
3
3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 4
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
a/
( )
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
3 3 1 1 1 1
1 1
1
2 2 2 2 2 2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2

2 2 2 2
ax
x a x x a a
x a x a x a
C x a
x a
x a x a
x a x a
   
  
− + +
       
 ÷ ÷
− − −
  
       
= + = +
       
−
  
− −
− +
   
   
   
 ÷ ÷
   
  
   
2

1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
x a
x a
 
+
 ÷
 
= =
 
+
 ÷
 
b. Chứng minh :
(
)
3
3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b+ + + = +
(
)
(
)
3 3 3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2
2 2 3 3a a b b a b a b a a b b a b a a b a b b⇔ + + + + + + = + + +
3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 8 4 4 8 8 4 6 6 4 8

2 2 2a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b⇔ + + = + ⇔ + + = + +
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
3 3
847 847
6 6
27 27
+ + −
( đáp số : =3 )
b. Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
8
48
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
3 2
= − + +
+
Giải
a/ Đặt y=
3
3 3
3
3
847 847 847 847 847
6 6 12 3 6 6 12 3 36
27 27 27 27 27

y y y
 
  
 ÷
+ + − ⇒ = + + + = + − =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
 ÷
  
 
( )
( )
3 2
3
125
12 3 12 5 5 12 0 3 3 4 0 3
27
y y y y y y y y+ = + ⇔ − − = ⇔ − + + = ⇒ =
b/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8
4 4 48 8
4 4 4
1 3 2 3 2 3 2 3 2 ; 3 2 3 2 3 2VP⇔ = + − + + ⇔ − + +
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 1 VT⇔ − + = − = =
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5
3
. 2 2 2a A =

. b.
( )
11
16
: 0B a a a a a a= >
c.
( )
2
4
3
0C x x x= >
d.
( )
5
3
0
b a
D ab
a b
= >
Giải
1 1
1 1 1
5 5
3 1 3
1 3 1
3 3 5
5
3
2 5 102 2 2

. 2 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2a A
 
   
 
     
 
   
= = = = = =
 
 ÷  ÷  ÷
   
     
 
   
   
 
 
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 5
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
b/
1
1 1
2
1
151 1
2 2
11 11 11 7 11
3 3 1

2
162 2
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11
16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
+
+
 
   
 
 
   
 
   
= = = = = =
 
 ÷
 ÷  ÷
   
     
 
   
   

 
 
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
a.
2 1
2
1
.a
a
−
 
 ÷
 
b.
2 4
4
. :a a a
π π
c.
( )
3
3
a
d.
3
2. 1,3 3 2
. :a a a
Giải
a.

( )
2 1
2 1
2 2 1 2 1 2
1
.a a a a a a
a
−
−
− −
 
= = =
 ÷
 
. b/
1
1
2
2 4
4
2
. :
a
a a a a a a
a
π π π
π
= = =
c/
( )

3
3 3. 3 3
a a a= =
d/
2. 1,3
3
2. 1,3 3 2 1,3
2
.
. :
a a
a a a a
a
= =
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
( )
2 2 2 3
2
2 3
1
a b
a b
−
+
−
b.
( ) ( )
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3

1a a a a
a a
− + +
−
(đáp số :
3
1a +
)
c.
5 7
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
a b
a a b b
−
+ +
(đáp số :
5 7
3 3
a b−
) d.
( )
1
2
4a b ab
π
π π
π
 
+ −

 ÷
 
(đáp số :
a b
π π
−
Giải
a/
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 3
2 3
2 3 2 3
2
1 1
a b a b
a b a b a b a
a b
a b
a b a b
− +
− + + −
+ = + = =
−
−

− −
b/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
4 3 3
3 3 3 2 3
1 1 1 1
1
1 1
a a a a a a a a a
a
a a
a a a a
− + + − + + +
= = +
−
− + +
c/
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
5 7
5 7
3 3
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
a b

a b
a a b b a a b b
  
− + +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
  
= = −
+ + + +
d/
( ) ( )
1
2 2
2 2
4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
π
π π π π π π π π π π π π
π
 
+ − = + + − = − = −
 ÷
 
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
• Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
• Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy
thừa dạng bất đẳng thức .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 6

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
3 5
30 20∨
b.
3
4
5 7∨
c.
3
17 28∨
d.
5
4
13 23∨
e.
3 2
1 1
3 3
   
∨
 ÷  ÷
   
f.
5 7
4 4∨
Giải
a/

3 5
30 20∨
. Ta có
15 155 5
3
3 5
15 153 3
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10

= =

⇒ >

= =


b/
3
4
5 7∨
. Ta có :
3
12
4 12
3
4
4

12
3
12
5 5 125
7 5
7 7 2401

= =

⇒ >

= =


c/
3
17 28∨
. Ta có :
6 3
6
3
6 2
3 6
17 17 4913
17 28
28 28 784

= =

⇒ >


= =


d/
5
4
13 23∨
. Ta có :
20 5
20
4
5
4
20 4
5 20
13 13 371.293
13 23
23 23 279.841

= =

⇒ >

= =


e/
3 2
1 1

3 3
   
∨
 ÷  ÷
   
. Vì
3 2
1 1
3 2
3 3
   
> ⇒ <
 ÷  ÷
   
f/
5 7 5 7
4 4 ; 7 5 4 4∨ > ⇒ <
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
1,7 0,8
2 2∨
b.
1,7 0,8
1 1
2 2
   
∨
 ÷  ÷
   
c.

1,2 2
3 3
2 2
   
∨
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
d.
5
2
5
1
7
−
 
∨
 ÷
 
e.
2,5
12
1
2
2
−
 
∨
 ÷
 

f.
5 1
6 3
0,7 0,7∨
Giải
a/
1,7 0,8 1,7 0,8
2 2 ; :1,7 0,8 2 2vi∨ > ⇒ >
. b/
1,7 0,8 1,7 0,8
1,7 0,8
1 1 1 1
; :
1
2 2 2 2
0 1
2
do
>


       
∨ ⇒ <

 ÷  ÷  ÷  ÷
< <
       


c/

1,2 2 1,2 2
1,2 2
3 3 3 3
; :
3
2 2 2 2
0 1
2
do

<
       

∨ ⇒ >
 ÷  ÷  ÷  ÷

 ÷  ÷  ÷  ÷
< <
       


d/
5 5
0
2 2
5
0
5 5 5
2
1; : 1

7 7 7
5
0 1
7
do
− −

− <


     
∨ ⇒ > =

 ÷  ÷  ÷
     

< <


;
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 7
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
e/
( )
( )
( )
2
2,5

2,5 6,25
12 12
12 6,251
2 ; : 2 2 2
2
2 1
do
− −
− −

− < −

 
∨ ⇒ < =

 ÷
>
 


f/
2
2
5 5 4 1
5 1 5 1
6 36 36 3
6 3 6 3
0,7 0,7 ; : 0,7 0,7
0 0,7 1
do

 
   
= > =
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 


∨ ⇒ <


< <

Bài 3. Chứng minh :
20
30
2 3 2+ >
Giải
Ta có :
20 20
20
30
30
30
2 1 1
2 3 2
3 1 1


> =

⇒ + >

> =


Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a.
3
x x
y
− +
=
b.
( )
2
sin
0,5
x
y =
Giải
a/
3
x x
y
− +
=
.
Đặt

( )
2
1 1 1
0 0 ' 2 1 0 axy=y
2 2 4
t x y x x t t t y t t m
 
= ≥ ⇒ = − + = − + ≥ ↔ = − + = → = ⇔ =
 ÷
 
Do vậy :
1
4 4
4
3 3 3 3
x x
y GTLNy
− +
= ≤ = ↔ =
b/
( )
2
sin
0,5
x
y =
. Vì :
2 2
2 sin 1 sin
1 1

0 sin 1 0 0,5 0,5 0,5
2 2
x x
x y GTLNy≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ = ≤ ↔ =
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
a.
2 2
x x
y = +
b.
1 3
2 2
x x
y
− −
= +
c.
2 2
sin os
5 5
x c x
y = +
e.
2
1
x
x
y e
+
=

Giải
a/
2
2 2 2 0
2 2
x x
x x
GTNNy
y x x x
−
−
=

= + ≥ ⇔ → = − ↔ =

⇔ =

b/
1 3
1 3 1 3 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4 min 4 2
1 3
x x
x x x x
y y x
x x
− −
− − − + −


=
= + ≥ = = ⇔ = ⇔ ⇔ =

↔ − = −

c/
2 2
2 2 2 2
sin os
sin os sin os
2 2
5 5
5 5 2 5 2 min 2 os2x=0 x=
4 2
sin os
x c x
x c x x c x
y y c k
x c x
π π
+

=

= + ≥ = ⇔ = ⇔ ↔ → +

=


e/

{
2
1
1 2
2
1
x
x
x x
y e e e e x
+
= ≥ = = ⇔ =
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a.
1
4
4
y x y x= ∨ =
b.
5 5
y x y x
−
= ∨ =
c.
1
2
2
y x y x= ∨ =
( Học sinh tự vẽ đồ thị )

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 8
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2 2
2
x x
y
−
−
=
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2 2 1
2 2 1 2 2 1
1 1
2 2 2 2 2
2 2

x x
x x x x
x x
x x x x
x x
− − − −

>
 
> >

 
> ⇒ ⇔ ⇔
  
   
< < − > −
  
 ÷  ÷
 
   

( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2
x x x x
x x
y x y x

− −
>

− −

⇒ > ⇔

>


. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a.
3
x
y
π
 
=
 ÷
 
b.
2
x
y
e
 
=
 ÷
 

c.
3
3 2
x
y
 
=
 ÷
+
 
d.
1
3
3 2
x
x
y
−
 
=
 ÷
−
 
Giải
a/
3
x
y
π
 

=
 ÷
 
. Do
1
3 3
x
y
π π
 
> ⇒ =
 ÷
 
. Là một hàm số đồng biến
b/
2
x
y
e
 
=
 ÷
 
. Do
2 2
0 1
x
y
e e
 

< < ⇒ =
 ÷
 
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
3 2
x
y
 
=
 ÷
+
 
. Do
( )
3 3
3 3 2 1
3 2 3 2
x
y
 
= − < ⇒ =
 ÷
+ +
 
là một hàm số nghịch biến
d/
( )
1 1 3 2

3
3
3 2
3 3 2
x
x
x
x
y
−
 
 
+
 
 ÷
= = =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
−
− 
 
 
là một hàm số đồng biến (
3 2 3+ >
)
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a.
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b.
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 
+
=
 ÷
+
 
c.
2

3
log
1
x
y
x
−
=
+
f.
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
 
+
=
 ÷
+
 
d.
2
1 2
2
1
log log 6

1
x
y x x
x
−
= − − −
+
e.
( )
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
g.
1
log
2 3
x
y
x
−
=
−
Giải
a/

1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
. Điều kiện :
1
2
1
1
log 0
1 2
1
1 0 0 1
1
1
1 1
1
1
1 1 1 1
0
0
1
1

x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x x
x
x
−

−

≥
− −
≤
 


− ≤ ≤ → ≥ −
+
   
+
⇔ ⇔ ⇔
+ +
   
−

−
   
< − ∨ > < − ∨ >
>
>
 


+

+

Vậy D=
( )
1;+∞
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 9
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
b/
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 

+
=
 ÷
+
 
. Điều kiện :
2
2
1 5
2
3
2 2
5
2
2
1
2
log log 0
0
3
3
1
1
1 5 14
3
0 log 1 0
3 3
1
0 5
3

1
3
0 5
3
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x

 
+

− −
≥

 ÷
≥

+
 
+



+

≥


+ − −

 
+
≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤
  
+ +
+
  
< ≤
> −
  
+
+

< ≤
 
+



( ) ( )
3 1 2

3; 2 2;7
3 2 7
x x
x
x x
− < < − ∨ >

⇔ ⇒ ∈ − − ∪

−∞ < < − ∨ − < <

Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
 
+
 ÷
 
b.
2 5
4
1

log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
c.
7 7
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
−
−
 
+
 ÷
 
d.
6 9
log 5 log 36
1 lg2
36 10 3
−
+ −
Giải
a/

( )
3
9
3
9
125 7 5 7
1 1
1 1
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
4 2
4 2
81 25 .49 3 5 7
 
−
−
 ÷
 
 
 
+ = +
 ÷
 
 
 
=
5
3 7

1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19
4
−
 
 
+ = + =
 ÷
 ÷
 
 
b/
( )
2 5
4
2 5
4
1
log 3 3log 5
2 1 log 5
log 3 6log 5
1 log 5
6
2
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+

+
+
+
+ = + = + =
c/
( )
7 7
5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
−
−
− −
 
 
+ = + = + = +
 ÷
 ÷
 
 
4,5=22,5
d/
6 9 6

log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
−
+ − = + = + =

II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9 9 9
log 15 log 18 log 10A = + −
b.
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c.
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = −
d.
( )
1 3 2
4

log log 4.log 3D =
Giải
a/
3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A = + − = = = =
b/
2 4
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = −
 ÷
 
c/
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C = − = + = =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218

Trang 10
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d/
( ) ( ) ( )
1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D = = − = − = − = −
Bài 2. Hãy tính
a.
2 2
log 2sin log os
12 12
A c
π π
 
= +
 ÷
 
b.
( ) ( )
3
3 3 3 3
4 4
log 7 3 log 49 21 9B = − + + +
c.
10 10

log tan 4 log cot 4+
d. D
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x= = − +
Giải
a/
2 2 2 2 2
1
log 2sin log os log 2sin . os log sin log 1
12 12 12 12 6 2
A c c
π π π π π
     
= + = = = = −
 ÷  ÷
 
     
b/
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4
log 7 3 log 49 21 9 log 7 3 49 21 9 log 7 3 1B
 
= − + + + = − + + = − =
 

c/ C=
( )
10 10
log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0+ = = =
d/
4 5
3 2 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2
1 1 6.3 3
log log 216 2log 10 4log 3 log 6 log 10 log 3 log
3 3 10 50
x x= − + = − + = ⇒ =
Bài 3. Hãy tính :
a.
( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =
b. Chứng minh :
•
( )
ax
log log
log
1 log

a a
a
b x
bx
x
+
=
+
•
( )
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
Giải
a/
2 3 4 2011
1 1 1 1
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
log log log log
x x x x
A

x x x x
= + + + + = + + + =

log 2011!
x
=
. Nếu x=2011! Thì A=
( )
2011!
log 2011! 1=
b/ Chứng minh :
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
Vế trái :
( )
ax
log log log
log
log ax 1 log

a a a
a a
bx b x
bx VP dpcm
x
+
= = = ⇒
+
Chứng minh :
( )
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
VT=
( )
( )
2
1
log log log 1 2 3 log
2log
k

x x x x
a
k k
a a a k a VP
x
+
+ + = + + + + = =
Bài 4. Tính :
a.
3
5
log
a
A a a a=
b.
2
3
5
log
a
B a a a a=
c.
5 3
3 2
1
4
log
a
a a a
a a

d.
0 0 0 0
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan89+ + + +
e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 11
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Giải
a/
1 1
3
3
5
2 5
1 1 37
log log 3
2 5 10
a a
A a a a a
+ +
 
= = = + + =
 ÷
 
b/
1
3

1
1 1
1 2
3
2
3
2 5
5
3
27 3
log log 1 1
10
10
a a
B a a a a a
 
+ + +
 ÷
 
 
 
 ÷
= = = + = +
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
c/
3 2

1
5 3
3 2
5 3
1
1 1
4
2 4
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
 
 
 ÷
= − = − − = −
 ÷
 ÷
 
 ÷
 

d/
0 0 0 0 0 0 0 0 0

log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan89 log tan1 tan89 .tan 2 .tan 87 tan 45 0
 
+ + + + = =
 
( vì :
0 0 0 0 0 0
tan89 cot1 tan1 tan89 tan1 cot1 1= ⇒ = =
; Tương tự suy ra kết quả
e/
3 4 5 15 16 16 15 5 4 3 16
1
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
A = = = = −
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠
, thì :
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
b. Nếu 0<N
1≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo
thứ tự đó ) là :
( )
log log log

, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−
c. Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
( )
2log .log
log 0 , , , , , 1
log log
a c
b
a c
x z
y x y z a b c
x z
= < ≠
+
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn :
2 2
7a b ab+ =

. Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Giải
a/ Từ giả thiết :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 log log
a a
a c b c b c b c b c b= − = − + ⇒ = − + +
1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac=
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
1 1 1 1
2log log log
log log log log

N N N
b a c b
b a c
N N N N
⇔ = + ⇔ − = −
log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c/ Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì
log log 2log
x z y
a c b+ =
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
a c
b
a c b a c

x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+
d/ Nếu :
( )
2
2
2 2
7 9
3
a b
a b ab a b ab ab
+
 
+ = ⇒ + = ⇔ =
 ÷
 
. Lấy lê be 2 vế ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 12
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
ln ln
2ln ln ln ln
3 3 2
a b a b a b
a b
+ + +

   
= + ⇔ =
 ÷  ÷
   
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1. Tính
a.
6
log 16A =
. Biết :
12
log 27 x=
b.
125
log 30B =
. Biết :
log3 ;log 2a b= =
c.
3
log 135C =
. Biết:
2 2
log 5 ;log 3a b= =
d.
6
log 35D =
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
e. Tính :

49
log 32
. Biết :
2
log 14 a=
Giải
a/
6
log 16A =
. Từ :
3
12 3 3
3 3
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x
x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+

(*)
Do đó :
4
3 3
6
3 3

log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A = = =
+
. Thay từ (*) vào ta có : A=
( )
( )
2 3 .2
12 4
3 3
x x
x
x x x
−
−
=
+ +
c/ Từ :
3
2
3 3 3
2
log 5 3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+

= = = + = + = + =
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b= = ⇒ = = = → =
(*)
Suy ra :
( )
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
3 1
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b a
b a b
D
b b
+
+
+ +
= = = = = =
+ + + +
e/ Ta có :
2 2 2

log 14 1 log 7 log 7 1a a a= ⇔ + = ⇒ = −

Vậy :
( )
5
2
49
2
2 2
log 2 5 5
log 32
log 7 2log 7 2 1a
= = =
−
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a.
( ) ( )
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a= + + − −
b.
( )
( )
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2

x
x
B x x x x
+
= + +
c.
( )
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p= + + −
Giải
a/
( ) ( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
 
+
= + + − − = − − =
 ÷
 
2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log

1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
           
+ + +
− − = − − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
+ +
           
log 1
1
1 log
log log
a
b
a a
b
a
b b
+
= − = =
b/
( )
( )
( ) ( ) ( )
2

2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x
x
B x x x x x x x x
+
= + + = + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3log log 8 log 9 log 3log 1x x x x x+ + + = + +
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 13
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
c/
( )
( )
2
2
log 1
log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a

a
a p a ap a a a
a a
p
p
C p a p p p p p
p p
+
 
= + + − = − =
 ÷
+
 
( )
( )
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
a a
a a
p
p
p p
p p
+

 
= =
 ÷
+
 
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
a a
b c= = −
:
a.
3 2
x a b c=
b.
4
3
3
a b
x
c
=
c.
2 2
4
4
3

a bc
x
ab c
=
Giải
a/ Ta có :
( )
3 2 3
1
log log 3 2log log 3 2.3 1 8 2
2
a a a a
x a b c b c= = + + = + − = =
b/Ta có :
( )
4
3
3
1 1 2 28
log log 4 log 3log 4 2 6 10
3 3 3 3
a a a a
a b
x c c
c
 
= = + − = + − + = − =
 ÷
 ÷
 

c/ Ta có :
2 2
4
4
3
1 1 1 3 1 161
log log 2 log 2log 4log log 2 4 12 1
4 3 2 4 3 12
a a a a a a
a bc
x b c b c
ab c
 
= = + + − − − = + − − − + =
 ÷
 ÷
 
Bài 4. Chứng minh
a.
( ) ( )
1
log 3 log 2 log log
2
a b a b− − = +
với :
2 2
3 0; 9 10a b a b ab> > + =
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
•

2 2
log log
a a
b c
c b
=
;
log .log .log 1
a b c
b c a =
• Trong ba số :
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết :
( )
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab> > + = ⇔ − + = ⇔ − =
Ta lấy log 2 vế :
( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log 2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b− = + + ⇔ − − = +

b/ Chứng minh :
2 2
log log
a a
b c
c b
=
.
* Thật vậy :
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
−
   
= = − ⇒ = − =
 ÷  ÷
   
*
log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a= ⇔ = =
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a

c a b b c a
b c a c a b
 
= =
 ÷
 
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 14
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
• Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
• Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
• Ví dụ 1: so sánh hai số :
3 4
1
log 4 log
3
∨
. Ta có :
3 3 4 4 3 4
1 1
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
3 3
> = < = ⇒ >

• Ví dụ 2. So sánh :
6 6
log 1,1 log 0,99
3 7∨
. Ta có :
6 6 6 6 6 6
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7> = < = ⇒ >
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a.
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
b.
5 3
3 4
3 2
log log
4 5
∨
c.
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
d.
3 2
log 2 log 3∨

e.
2 3
log 3 log 11∨
f.
2 1
2
2log 5 log 9
2 8
+
∨
g.
2 4
5
log 3 log
11
4 18
+
∨
h.
3 1
9
8
log 2 log
9
9 5
+
∨
k.
6
6

1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
 
∨
 ÷
 
Giải
a/
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
. Ta có :
0,4 0,4
0,2 0,4
0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2
0,3 1 log 0,3 log 1 0

> → < =

⇒ >

< → > =



b/
5 3
3 4
3 2
log log
4 5
∨
. Ta có :
5 5
3 3
3 5
4 3
3 3
4 4
5 3 3
1 0 1 log log 1 0
3 4 4
2 3
log log
3 2 2
5 4
0 1,0 1 log log 1 0
4 5 5

> → < < ↔ < =


⇒ >



< < < < ↔ > =


c/
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
. Ta có :
5 5
5
5
log 3 log 1
0
5 5
1
log
5 5
log 1
0
2
5 5
log 3 log 1 2 2 2 1
1
log 3 log
1

2
log log 1 3 3 3 1
2

> ⇒ > = =

⇒ >

< ⇒ < = =


d/
3 2
log 2 log 3∨
. Ta có :
3 3 3 3
2 3
2 2 2 2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2
log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
< < ⇒ < <

⇒ >

< < → < <

e/
2 3
log 3 log 11∨

. Ta có :
2
3 2
3 3
1 log 3 2
log 11 log 3
log 11 log 9 2
< <

⇒ >

> =

f/
2 1
2
2log 5 log 9
2 8
+
∨
. Ta có :
2 1
2
2
25
2log 5 log 9
log
9
2 1 2 2 2
2

25 25
2log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
9 9
+
+ = − = ⇒ = =
Nhưng :
2 1
2
2
2log 5 log 9
2
25 25 625 648
8 2 8
9 9 81 81
+
= = < = ⇒ <
g/
2 4
5
log 3 log
11
4 18
+
∨
. Ta có :
2
2 2
2 4 2 2
9 11
5

5 1 5
log
log 9 log
log 3 log 2log 3 log
5
11
11 2 11
9 11 81.11
4 2 2 2
5
5
−
+ −
= = = = =
Nhưng :
2 4
5
log 3 log
11
81.11 891 90
18 4 18
5 5 5
+
= > = ⇒ >
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 15
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
h/
3 1

9
8
log 2 log
9
9 5
+
∨
. Ta có :
3 1
3
3 3
3 9
9
8
2.3
8
8
log 2 log
log
log 2 log
2log 2 log
9
8
9
9
6 36 40
9 3 3 3 5
8 8
8
 

+
−
−
 ÷
 
= = = = = < =
k/
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
 
∨
 ÷
 
.
Ta có :
6
6
6
6 6 6
1
log 2 log 5
1

2
log
log 2 log 5 log 10
3
10
3
1 1 1
6 6 6 18
6 10 1000
−
− − −
 
= = = = = <
 ÷
 
Bài 2. Hãy so sánh :
a.
2 5
log 10 log 30∨
b.
3 7
log 5 log 4∨
c.
3
1
2ln 8 lne
e
∨ −
Giải
a/

2 5
log 10 log 30∨
. Ta có :
2 2
2 5
5 5
log 10 log 8 3
log 10 log 30
log 30 log 36 3
> =

⇒ >

< =

b/
3 7
log 5 log 4∨
. Ta có :
3 3
3 7
7 7
log 5 log 3 1
log 5 log 4
log 4 log 7 1
> =

⇒ >

< =


c/
3
1
2ln 8 lne
e
∨ −
. Ta có :
3
3
2ln 2.3 6
1
8 ln 2ln
1
8 ln 8 1 9
e
e
e
e

= =

⇒ − >

− = + =


Bài 3. Hãy chứng minh :
a.
1 3

2
1
log 3 log 2
2
+ < −
b.
5 5
log 7 log 4
4 7=
c.
3 7
log 7 log 3 2+ >
d.
2 2
log 5 log 3
3 5=
e.
1
log3 log19 log 2
2
+ ∨ −
f.
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
Giải
a/
1 3

2
1
log 3 log 2
2
+ < −
. Ta có :
( )
1 3
2
3
3
1 1 1
log 3 log 2 *
1
1
2
log
log
2
2
= ⇒ + ≥
Nhưng :
3 3 3
3 3
1 1 1 1 1
log 0 log 2 log 2
1 1
2 2 2
log log
2 2

< ⇒ − − > ⇔ + < −
b/
5 5
log 7 log 4
4 7=
. Ta có :
( )
5
5 7 5 7 5
log 7
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7= = =
. Vậy 2 số này bằng nhau
c/
3 7
log 7 log 3 2+ >
. Ta có :
3 3 7 3
3
1
log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
> ⇒ + = + >
d/
2 2
log 5 log 3
3 5=
. Ta có :
( )
2

5 2 52 2
log 5
log 3 log 5.log 3log 5 log 3
3 5 5 5= = =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 16
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
e/
1
log3 log19 log 2
2
+ ∨ −
. Ta có :
1
log3 log 10 log3 log3 10 log 900
2
19 361
log19 log 2 log log
2 4

+ = + = =




− = =


361 1

log 900 log log3 log19 log 2
4 2
⇒ > ⇔ + > −
f/
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
+ + +
≥ ⇒ ≥ =
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
3 3
6 5
log log
5 6
∨
b.
1 1
3 3
log 9 log 17∨
c.
1 1
2 2
log loge

π
∨
d.
2 2
5 3
log log
2 2
∨
Giải
a/Ta có :
3 3
3 3
3 3
6 5
log log 0
6 5
5 5
log log
5 6
5 6
log log 0
6 6

> =


⇒ >


< =



. Hoặc :
3 3
6 5
6 5
log log
5 6
5 6
3 1

>

⇒ >


>

b/
1 1
3 3
log 9 log 17∨
. Ta có :
1 1
3 3
1
0 1
log 9 log 17
3
9 17


< <

⇒ >


<

c/
1 1
2 2
log loge
π
∨
. Ta có :
1 1
2 2
1
0 1
log log
2
e
e
π
π

< <

⇒ >



<

HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
( )
2
2 2
x
y x x e= − +
b.
( )
2
sinx-cosx
x
y e=
c.
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
d.

( )
2
ln 1y x= +
e.
ln x
y
x
=
f.
( )
1 ln lny x x= +
Giải
a/
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 ' 2 2 2 2
x x x x
y x x e y x e x x e x e= − + ⇒ = − + − + =
b/
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
sinx-cosx ' cosx+sinx 2 sinx-cosx 3sin osx
x x x x
y e y e e x c e= ⇒ = + = −
c/
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2

4
'
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
e e e e e e e e
e e
y y
e e
e e e e
− − − −
−
−
− −
+ + − − −
−
= ⇒ = =
+
+ +
d/
( )
2
2
2
ln 1 '
1
x
y x y
x

= + ⇒ =
+
e/
2 2
ln 1 1 1 ln
' . ln
x x
y y x x
x x x x
−
 
= ⇒ = − =
 ÷
 
f/
( )
ln 1 ln 1 2ln
1 ln ln '
x x x
y x x y
x x x
+ +
= + ⇒ = + =
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 17
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
(

)
2 2
ln 1y x x= +
b.
( )
2
2
log 1x x− +
c.
3 2
lny x=
d.
2
4
log
4
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
e.
2
3
9
log

5
x
y
x
 
−
=
 ÷
+
 
f.
1
log
2
x
y
x
 
−
=
 ÷
 ÷
 
Giải
a/
(
)
(
)
( )

(
)
( )
2 3
2 2 2 2
2 2
ln 1 ' 2 .ln 1 2 .ln 1
2 1 2 1
x x x
y x x y x x x x
x x
= + ⇒ = + + = + +
+ +
b/
( )
( )
2
2
2
2 1
log 1 '
1 ln 2
x
y x x y
x x
−
= − + ⇒ =
− +
c/
( ) ( )

2 1
3 2
3 3
3
2 1 2
ln ' ln ' ln
3
3 ln
y x y x x
x
x x
−
 
= ⇒ = = =
 
 
d/
( )
( )
2
2
2
4 1 16 4 16
log ' :
4 ln 2 4
4 ln 2
4
x x
y y
x x

x
x
 
− −
 
= ⇒ = =
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
−
 
+
 
e/
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
3
2
2
2 5 9
9 1 9 10 9
log ' :
5 ln3 5
5 9 ln3
5

x x x
x x x x
y y
x x
x x
x
 
+ − +
 
− − + +
= ⇒ = =
 
 ÷
+ +
+ −
+
 
 
 
f/
( ) ( )
( )
1 1
1 1 1
log ' :
ln10
2 16 2
8 ln10 1
x x
x x

y y
x x x x
x x
 
+ +
 
− −
 
= ⇒ = =
 ÷
 ÷
 
−
 
 
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a.
( ) ( )
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
b.
( )
0

ln 3 1
lim
sin 2
x
x
x
→
+
c.
( )
0
ln 4 1
lim
x
x
x
→
+
d.
5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
+
→
−

e.
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
→
−
+ −
f.
( )
3
0
ln 1
lim
2
x
x
x
→
+
Giải
a/
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1
lim lim lim 3 2 1

3 2
3 2
x x x
x x x x
x
x x
→ → →
+ − + + +
= − = − =
b/
( )
( )
0 0
ln 3 1
3
ln 3 1
3
3
lim lim
sin 2
sin 2 2
2
2
x x
x
x
x
x
x
x

x
x
→ →
+
+
= =
, c/
( ) ( )
0 0
ln 4 1 ln 4 1
lim lim 4 4
4
x x
x x
x x
→ →
+ +
= =
d/
( )
( )
5
5 3 3 3
3
0
0
1
5
lim lim 5
2 2. 5 2

x
x
x
x
e
e e e
e
x x
+
→
→
−
−
= =
, e/
( )
0 0
1 1
lim lim 1 1 1.2 2
1 1
x x
x x
e e
x
x
x
→ →
− −
= + + = =
+ −

Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a.
( )
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
→
+
b.
2 3
0
lim
5
x x
x
e e
x
→
−
c.
3
0
1
lim
x
x

e
x
→
−
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 18
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d.
1
lim
x
x
xe x
→+∞
 
−
 ÷
 
e.
0
sin 3
lim
x
x
x
→
f.
2
0

1 os5
lim
x
c x
x
→
−
Giải
a/
( )
( )
0 0
ln 2 1
2
ln 2 1
2
lim lim 2
tan
tan
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
→ →
+

+
= =
b/
( )
2 3 2 3
0 0 0
1 1 2 3 1
lim lim lim3
5
5 5 3 5 5 5
.2
2
x x x x
x x x
e e e e
x x
x
→ → →
− − −
= − = − = −
c/
3 3
0 0
1 1
lim lim3 3
3
x x
x x
e e
x x

→ →
− −
= =
d/
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1
1
x
x x
x x x
e
xe x x e
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
 ÷
   
−
− = − = =
 ÷
 ÷  ÷
   
 ÷
 
e/
0 0
sin 3 sin 3
lim lim3 3

3
x x
x x
x x
→ →
= =
f/
2
2
2
0 0
5
2sin
1 os5 25
2
lim lim
2
4 5
25 2
x x
x
c x
x
x
→ →
−
= =
 
 ÷
 

Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a.
2
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
→
−
b.
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
 
−
 ÷
 
c.
( )
3
lim 2 sin
x

x
x
→+∞
+
d.
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
π
π
→
 
 ÷
−
 ÷
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 
Giải
a/
( )

2
2 2 2
0 0 0
2sin 2 sin
osx os3 4cos .sin
lim lim lim 4
sin sin sin
x x x
x x
c c x x x
x x x
→ → →
− −
−
= = =
b/
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
 
−
 ÷
 
.
Đặt :

1 1 1 1 ost
t anx= tan cot
2 2 osx 2 sin sint
cos
2
c
t x x t t t
c t
t
π π π
π
−
 
= − ⇒ = ⇔ − − − = − =
 ÷
 
 
−
 ÷
 

2
2sin
2
tan
t
2
2sin os
2 2
t

t
t
c
= =
. Khi
0
2
tan
1 2
2
; 0 lim t anx lim
2 os
2
t
x
t
x t
t
c x t
π
π
→
→
 
→ → ⇒ − = = ∞
 ÷
 
c/
( )
3

lim 2 sin
x
x
x
→+∞
+
. Đặt :
( )
( ) ( )
0
; 0
1 3
lim 2 sin lim 6 3 3
3 1
2 2 3 6 3
x t
x t
t x t
x t t
x x
x t
→+∞ →
→ +∞ →


= ⇒ ⇒ + = + =

 
+ = + = +
 ÷


 

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 19
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
π
π
→
 
 ÷
−
 ÷
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 

. Đặt :
( )
; ; 0
4 4
2 2cos
2 1 ost+sint
2 2cos
4
4
sin sint
sin
4
x t x t
x t
t
c
x
t
x
π π
π
π
π

= + → →



 
− = ⇒

− +

 ÷
−
−
 

= =

 
−
 ÷

 

Do đó :
( )
2
t t t
2sin 2sin os sin os
2 1 ost+sint
2 2 2 2 2
2 2 2 tan 2
t t
sint 2
2sin os os
2 2 2
t t
c c
c

t
t
c c
+ +
−
= = = +
Vậy :
4
2 2cos
lim lim 2 tan 2 2
2
sin
4
t o
x
x t
x
π
π
→
→
 
 ÷
−
 
 ÷
= + =
 ÷
 
 ÷

 
−
 ÷
 ÷
 
 
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 20