ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Gia Định

Đà Nẵng - 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Học viên

Trần Thị Nhật Nguyên


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..............................................................................1
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài ........................................................3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................3
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................3
5. Bố cục luận văn ................................................................................3
CHƯƠNG 1. CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN ....................................5
1.1. NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 5
1.1.1. Nguyên lý cộng ..........................................................................5
1.1.2. Nguyên lý nhân ............................................................................6
1.2. TỔ HỢP 6
1.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ TỔ HỢP ..............................................9
1.4. SONG ÁNH ...........................................................................................25
1.5. PHÉP ĐỆ QUY .......................................................................................28

1.6. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ..............................................................34
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG NGUYÊN LÝ
BAO HÀM – LOẠI TRỪ, NGUYÊN LÝ FUBINI VÀ HÀM SINH .......41
2.1. NGUYÊN LÝ BAO HÀM – LOẠI TRỪ ...............................................41
2.2. PHÉP TÍNH THEO HAI CÁCH: NGUYÊN LÝ FUBINI .....................47
2.3. HÀM SINH .............................................................................................51


2.4. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ..............................................................58
KẾT LUẬN . ..................................................................................................64
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)



1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Tư duy về tổ hợp ra đời rất sớm. Ở Trung Quốc, vào thời nhà Chu
người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Nhà triết học cổ Hy Lạp
Kxenokrat, sống ở thế kỷ thứ 4 trước công nguyên đã biết cách tính số các từ
khác nhau lập từ một bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pithagore và các
học trò của ông đã phát hiện ra nhiều tính chất kỳ lạ của các số. Một kết quả
nổi tiếng của trường phái này là kết quả mà ngày nay chúng ta gọi là định lý
Pithagore.
Tuy nhiên, một thời gian dài sau đó, tổ hợp chỉ phát triển một cách
riêng lẻ, chưa hình thành được hệ thống lý luận cơ sở khoa học, phương pháp
nghiên cứu đặc thù. Và tổ hợp chỉ thực sự trở thành một ngành của toán học
rời rạc vào đầu thế kỷ 17 bằng một loạt các công trình nghiên cứu nghiêm túc

của nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, ... Mặc dầu
vậy, tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới trong quãng thời gian
hơn hai thế kỷ.
Từ khi máy tính phát triển và thịnh hành, tổ hợp đã trở thành một lĩnh
vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ. Nó là chiếc cầu nối giữa các
bài toán cần được giải quyết và công cụ tính toán là máy tính. Cụ thể là việc
giải quyết các bài toán thực tế hay các bài toán trong các lĩnh vực khoa học
thường được quy về việc giải quyết các bài toán tổ hợp nào đó.
Vì tổ hợp có liên quan tới nhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực của đời
sống và các khoa học khác nhau nên khó có thể định nghĩa nó một cách hình
thức chặt chẽ. Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu các
cấu hình tổ hợp và các cấu trúc tổ hợp. Các vấn đề của lý thuyết tổ hợp liên


2
quan tới các cấu hình tổ hợp cũng rất đa dạng. Tuy nhiên, có bốn loại bài toán
thường gặp hơn cả: bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu tổ hợp, bài
toán tồn tại.
Trong các bài toán kể trên, bài toán đếm thuộc loại bài toán quan trọng.
Đây là bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc
dạng đã cho?” Phương pháp đếm thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý
đếm và một số kết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác
định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn hay chưa giải quyết được trọn
vẹn, người ta thường đặt ra bài toán đánh giá số các cấu hình tổ hợp đó bằng
cách xác định cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng có
hiệu quả vào những công việc mang tính chất đánh giá như tính xác suất của
một sự kiện, tính độ phức tạp của một thuật toán, ... Bài toán đếm sẽ được giải
quyết tốt nếu chúng ta nắm vững các phương pháp đếm cơ bản, phương pháp
đếm dùng hàm sinh, phương pháp đếm bằng nguyên lý bao hàm và loại trừ,
phương pháp đếm dùng nguyên lý Fubini.

Ngoài ra, trong chương trình toán THPT có đưa vào một số khái niệm
và kết quả về tổ hợp liên quan đến các phương pháp đếm. Trong các kỳ thi
chọn học sinh giỏi, kỳ thi olympic trong nước và quốc tế về toán đều có ít
nhất một bài toán liên quan đến lý thuyết tổ hợp và thường là dạng bài toán
khó.
Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của việc nghiên cứu lý
thuyết tổ hợp, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Ứng dụng lý
thuyết tổ hợp trong chương trình toán THPT để tiến hành nghiên cứu. Chúng
tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người muốn tìm
hiểu về các bài toán tổ hợp nằm trong bối cảnh bài toán đếm ứng dụng cho
chương trình toán THPT.


3

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài:
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp học sinh THPT hiểu được bản chất
các khái niệm và ý tưởng về lý thuyết tổ hợp, một lĩnh vực quan trọng của
toán học. Mục tiêu này được thực hiện bằng cách tập làm quen cho học sinh
với các ví dụ điển hình minh họa những sự kiện toán học trung tâm và bằng
cách trau dồi học sinh với một số bài toán chọn lọc cẩn thận. Điều cốt yếu là
giúp học sinh tạo được cầu nối giữa các bài tập về tổ hợp ở trường THPT và
các khái niệm - bài toán trừu tượng, phức tạp và tinh vi hơn.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết tổ hợp. Phạm vi nghiên
cứu của đề tài là các phép đếm thông dụng và ứng dụng vào chương trình toán
THPT.

4. Phương pháp nghiên cứu:

1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến các phương pháp đếm, vấn đề quan trọng trong lý thuyết tổ
hợp.
2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết
quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về
các ứng dụng của lý thuyết xác suất và thống kê.

5. Bố cục luận văn:
I. Phần mục lục
II. Phần mở đầu
1. Giới thiệu về lịch sử, tính thời sự của vấn đề và sự liên quan đến các
lĩnh vực khác.


4
2. Giới thiệu nội dung nghiên cứu của luận văn.
III. Phần nội dung
Chương 1: Các phương pháp đếm cơ bản
1.1. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân
1.2. Tổ hợp
1.3. Các tính chất của hệ số tổ hợp
1.4. Song ánh
1.5. Phép đệ quy
1.6. Các bài toán ứng dụng.
Chương 2: Các phương pháp đếm dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ,
nguyên lý Fubini và hàm sinh
2.1. Nguyên lý bao hàm - loại trừ
2.2. Phép tính theo hai cách: nguyên lý Fubini
2.3. Hàm sinh
2.4. Các bài toán ứng dụng.

IV. Phần kết luận : Tổng kết các kết quả đã đạt được, nêu một số vấn đề chưa
giải quyết được và hướng phát triển tiếp theo của đề tài.


5
CHƯƠNG 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CƠ BẢN

1.1. NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN
Tính là một trong những kỹ năng cơ bản nhất. Chúng ta bắt đầu đếm trên
các ngón tay của mình khi đang học trong trường mẫu giáo hoặc thậm chí
sớm hơn, nhưng làm thế nào để tính một cách nhanh chóng, chính xác, và có
hệ thống là một khóa học suốt đời .
1.1.1. Nguyên lý cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động T 1, T2, ..., Tk.
Các hành động này có thể làm tương ứng bằng n1, n2, ..., nk cách và giả sử
không có hành động nào có thể làm đồng thời, khi đó công việc đó có n 1 + n2
+ ...+ nk cách thực hiện.
Nguyên lý cộng còn được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như
sau: Nếu A1, A2,..., Ak là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là Ai ∩ Aj = Ø
thì
,
ở đây |Ai| là số các phần tử của tập Ai.
Ví dụ 1.1.1. Giả sử cần chọn hoặc một học sinh nam hoặc một học sinh
nữ tham gia cuộc họp. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn nếu có 37 học sinh
nam và 63 học sinh nữ?
Giải:
Gọi cách chọn thứ nhất là chọn một học sinh nam từ tập 37 học sinh nam,
ta có 37 cách.

6
Gọi cách chọn thứ hai là chọn một học sinh nữ từ tập 63 học sinh nữ, ta có
63 cách.
Vì tập học sinh nam và tập học sinh nữ là rời nhau nên theo nguyên lý
cộng, ta có số cách chọn nhân sự là 37 + 63 = 100 cách.

1.1.2. Nguyên lý nhân
Giả sử một nhiệm vụ nào đó được tách ra thành k việc T 1, T2, ..., Tk.
Nếu việc Ti có thể làm bằng ni cách sau khi các việc T1, T2, ..., Ti-1 đã được
làm (1 ≤ i ≤ k) thì có n1.n2...nk cách thực hiện nhiệm vụ đã cho.
Quy tắc nhân còn được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp như sau:
Nếu A1, A2, ..., Ak là các tập hữu hạn bất kỳ và nếu là tích Descartees của các
tập đó thì

Ví dụ 1.1.2. Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7?
Giải:
Một xâu nhị phân có độ dài 7 gồm 7 bit, mỗi bit có hai cách chọn (hoặc
giá trị 0 hoặc giá trị 1). Theo quy tắc nhân ta có: 2.2.2.2.2.2.2 = 128 xâu bit nhị
phân có độ dài 7.

1.2.

TỔ HỢP
Chúng ta thường gặp một số bài toán yêu cầu phải đếm số tổ hợp, tức là

đếm số tập hợp các đối tượng không được sắp xếp thứ tự.
Định lý 1.2.1. Cho n và k là những số nguyên, với n ≥ k. Số tổ hợp của
việc mỗi một lần lấy k phần tử từ n phần tử là

Ký hiệu: nCk hoặc C(n; k) hay


7
Chứng minh:
Có cách chọn k đối tượng có thứ tự.
Có k! cách để sắp xếp k phần tử được chọn, có nghĩa là, có k! cách để
chọn tổ hợp của k phần tử giống nhau. Vì vậy mỗi tổ hợp được tính k! lần
trong nPk.
Do đó có tổ hợp.

□

Trong một số tình huống, thứ tự của các phần tử bằng cách nào đó được
xác định trước, thì thứ tự của các đối tượng được chọn không còn quan trọng.
Ví dụ 1.2.1. Lớp học toán của thầy An có 5 học sinh nam và 9 học sinh
nữ. Vào cuối năm, thầy An muốn chụp ảnh cả lớp. Thầy muốn tất cả học sinh
đứng trong một hàng, học sinh nam đứng theo thứ tự giảm dần theo chiều cao
của họ (giả định rằng họ có chiều cao khác nhau) từ trái sang phải và học sinh
nữ cũng đứng theo thứ tự tăng dần theo chiều cao của họ (giả định rằng họ
có chiều cao khác nhau) từ trái sang phải. Có bao nhiêu cách để có thể thực
hiện công việc này? (Học sinh nam không cần phải đứng cùng nhau, và các
học sinh nữ cũng không cần phải đứng cùng nhau.)
Giải:
Xét 14 khoảng trống trong một hàng
s1, s2, ..., s14
Nếu si1, si2, ..., si5 được chọn cho vị trí của các nam sinh, thì học sinh
nam được đứng ở những vị trí này theo chiều cao của họ. Các cô gái sau đó
cũng có một cách duy nhất để đứng ở vị trí của mình. Do đó câu trả lời là

□


8
Hệ quả 1.2.2. Cho là những số nguyên, với . Số tổ hợp của việc một
lần lấy phần tử từ n phần tử, theo thứ tự là

với km + 1 = n – (k1 + k2 + ... + km)
Chứng minh:
Từ định lý 1.2.1 có cách để lấy k1 phần tử, có n – k1 cách để lấy các
phần tử còn lại.
Sử dụng định lý 1.2.1 một lần nữa, có cách để lấy k2 phần tử.
Tương tự như vậy, chúng ta kết luận rằng số tổ hợp của việc một lần lấy
phần tử từ n phần tử, theo thứ tự là
□

Ví dụ 1.2.2. Khoa toán tổ chức một cuộc họp. Sau khi 23 thành viên
đàm thoại, họ quyết định chia ra thành 8 nhóm, trong đó 5 nhóm có 3 thành
viên và 2 nhóm 4 thành viên để tiếp tục thảo luận. Hỏi có bao nhiêu cách để
chia được?
Giải: Ta có

cách chia nhóm.

Từ đó mỗi nhóm thảo luận trên một đề tài, tuyệt đối không được sắp
xếp thứ tự nhóm có cùng số lượng. Khi đó câu trả lời là:
□
1.3.

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ TỔ HỢP

Chúng ta bắt đầu làm quen với hệ số tổ hợp (hay là hệ số nhị thức).


9
Cho n là số nguyên dương. Nếu chúng ta sử dụng hai biến số đa thức
(x+y)n như

với 0 ≤ k ≤ n, ak là hệ số tổ hợp.
1
1
1
1
1
1

2
3

4
5

....

1

3
6

10
...

1
1
4
10

...

1
5

...

1
...

Chúng ta có thể chứng minh định lý sau
Định lý 1.3.1: Cho n là số nguyên dương. Khi đó

Quy ước:
Định lý này giải thích tại sao số được gọi là hệ số tổ hợp.
Hệ số tổ hợp cũng là những số hạng trong tam giác Pascal. Chính xác
hơn cho n ≥ 0

là hàng thứ n của tam giác.
Ví dụ 1.3.1. Bảng số xe gồm 8 chữ số, nó được gọi là chẵn nếu số các
số 0 trong nó là chẵn. Có bao nhiêu bảng số xe như vậy?


10

Giải:
Cho 0 ≤ k ≤ 4, nếu có 2k các số 0 trong đó, thì có 8 – 2k chữ số khác 0,
có 9 cách chọn.
Có cách để chọn 2k vị trí của những số 0, và bảng số có 2k số 0.
Do đó câu trả lời là:
Từ định lý 1.3.1
Và
Vậy có bảng số thỏa điều kiện

□

Định lý 1.3.2. Cho n và k là số nguyên dương với n ≥ k, ta có các tính
chất của hệ số tổ hợp sau:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Chứng minh:

chia hết cho n nếu n là số nguyên tố và


11

Tính chất (1) và (2) có thể dễ dàng có được bằng cách sử dụng hệ
thức . Chúng ta dùng lý luận tổ hợp để chứng minh nó.
(1) Chú ý rằng một tổ hợp của k phần tử giữ lại tương đương với tổ hợp
n – k phần tử lấy đi, có nghĩa là . Tính chất này có được từ tính đối xứng của
việc khai triển (x+y)n tương ứng với x và y.
(2) Tính chất này có được từ định nghĩa tam giác Pascal. Một chú ý là
vế bên trái biểu diển số đường mà trong đó chúng ta có thể lấy tổ hợp của
k+1 phần tử từ n phần tử cho trước. Cũng có thể tính chúng theo cách sau.
Cho một phần tử riêng biệt một cái tên riêng, gọi là "Fat". Chúng ta phân loại
tất cả (k+1) phần tử của tổ hợp thành 2 nhóm. Nhóm (A) chứa những phần tử
có "Fat", nhóm (B) chứa những phần tử không có "Fat". Khi đó không khó để
thấy rằng có tổ hợp của (A) và tổ hợp của (B). Do đó, kết quả
phải là như nhau
(3) Nếu n chẵn,
Nếu n lẻ,
Cho hoặc k + 1 ≤ n – k – 1. Do đó

Từ (1) ta có:
nếu n lẻ và n = 2m +1 và

nếu n chẵn và n = 2m.
(4)
(5)


12
(6) Chú ý rằng . Kết quả này có được bằng cách sử dụng tính chất (2)
nhiều lần.
(7) Kết quả này có được từ việc sử dụng (1) trong mỗi thành phần của
(6).

(8) Đặt x = y = 1 trong khai triển của (x + y)n cho kết quả cần chứng
minh. Đây cũng là định lý 1.3.3. Cho , có tập con k phần tử của S={1,2,...,n}.
Tổng từ k = 0 đến k = n cho ta tổng số tập con của S (bao gồm cả Ø và chính
S).
(9) Đặt x = 1 và y = –1 trong khai triển của (x + y)n cho kết quả cần
chứng minh.
(10) Từ (4) và (8) ta có:
(11) Lưu ý rằng là một số nguyên. Cũng lưu ý rằng n chia cho n!, tử số

của . Nếu n là số nguyên tố, n là nguyên tố cùng nhau tới k!(n - k)!. Do đó
chia hết cho n.
Hệ số tổ hợp có một ý nghĩa tổ hợp nếu n và k là các số nguyên
với . Trong định lý 1.3.1, ta mở rộng định nghĩa tới k = 0. Và quy ước . Nếu
0 ≤ n < k hay k <0 ≤ n, ta không thể lấy k phần tử từ n phần tử, vì vậy quy
ước .

□
Ví dụ 1.3.2. Tính

Giải:
Từ định lý 1.3.2 (4), cho 0 ≤ k≤ 11,
hay
Do đó tổng cần tính là:


13
từ định lý 1.3.3 (8)

□

Ví dụ 1.3.3. Cho là dãy được định nghĩa bởi F0 = F1 = 1 và . Chứng
minh

Dãy được gọi là dãy Fibonacci và Fn là số Fibonacci thứ n.
Giải:
Cho n ≥ 0,
Dễ dàng kiểm tra được và
Nó đủ để chứng tỏ fn+2 = fn+1+fn với n ≥ 0
Bởi dãy sẽ được xác định đầy đủ bằng quan hệ đệ quy và f1, f2 là những
giá trị đầu tiên. Từ định lý 1.3.2 (2) có

Ví dụ 1.3.4. (TST 2000, Kvant) Cho n là số nguyên dương, chứng minh
□
Giải:
Cho
Ta thấy rằng
Như vậy đủ để kiểm tra S1 = 1.
Và
Hay
Vậy


14

Trong bài toán này, ta xây dựng được định lý đảo của định lý 1.3.2(2)

Ví dụ 1.3.5: (Vandermonde) Cho m, n và k là những số nguyên; với .
Chứng minh:

Giải:

Cho rằng có m phòng ngủ nam và n phòng ngủ nữ tại PEA. Chúng ta
muốn chọn k phòng một cách ngẫu nhiên để kiểm tra nguy cơ cháy nổ của
phòng. Tất nhiên có cách chọn.
Mặt khác, những cách chọn này có thể phân loại k + 1 kiểu. Cho , kiểu
thứ i gồm i phòng nam và k – i phòng nữ. Do đó có cách của kiểu thứ i. Tổng
các số này từ 0 → k cho đồng nhất thức muốn chứng minh.
□
Phép xấp xỉ ở trên là một trong những phương pháp hấp dẫn nhất trong
toán tổ hợp: mô hình tổ hợp. Đếm mô hình theo hai hướng sẽ tìm được đồng
nhất thức muốn có. Tập hợp những giá trị đặc biệt cho m, n, k trong đồng nhất
thức Vandermonde cho ta nhiều kết quả. Ví dụ: m = nk = k cho

Trong một vài trường hợp, phép tính gần đúng hữu hiệu là xem như
một hàm của k. Điều này không chỉ đơn giản hóa rất nhiều tính toán đệ quy
nhưng nó cũng cho phép chúng ta áp dụng lý thuyết của các đa thức và hàm.
Định lý E. Lucas 1878 và E. Kummer 1852 sau thường được dùng
trong lý thuyết số. Cho n số nguyên dương và p là số nguyên tố, cho là phép
biểu diễn của n qua cơ số p, tức là


15

trong đó 0≤ n0, n1,...,nm ≤ p – 1 và nm ≠ 0.
Định lý 1.3.3. (Lucas) Cho p là một nguyên tố, và n nguyên dương với .
i là một số nguyên dương, . Ngoài ra viết , trong đó thì
(mod p)
Quy ước, và nếu nj < ij bởi quy tắc trước đó.
Để chứng minh định lý này, chúng ta cần một số thuật ngữ mới. Cho p
là một nguyên tố, f(x) và g(x) là hai đa thức với hệ số nguyên. Chúng ta nói
rằng f(x) là đồng dư với g(x) mod p, và viết f(x) ≡ g(x) (mod p) nếu tất cả các

hệ số của f(x) – g(x) được chia hết cho p. (Lưu ý rằng các đồng dư của đa
thức là khác nhau từ đồng dư của các giá trị của đa thức. Ví dụ, x(x + 1) ≠ 0
(mod 2) mặc dù x(x + 1) chia hết cho 2 với tất cả các số nguyên x. Các tính
chất sau đây có thể dễ dàng được xác nhận:
(1) f(x) ≡ f(x) (mod p);
(2) f(x) ≡ g(x) (mod p) g(x) ≡ f(x) (mod p);
(3)
(4)
Nói cách khác, mối quan hệ đồng dư giữa các đa thức là phản xạ, đối
xứng, và bắc cầu (vì vậy nó là một quan hệ tương đương), và được bảo toàn
theo các phép toán cộng, trừ, và nhân.
Chứng minh:
Theo định lý 1.3.2 (8), các hệ số tổ hợp , trong đó 1 ≤ k ≤ p–1 chia hết
cho p.
Do đó, (1 + x)p ≡ 1 + xp (mod p)


16
và

(mod p), …

Vì vậy với số nguyên r bất kỳ, (mod p) bằng phương pháp quy nạp. Ta
xét (1 + x)n.
Ta có:

Hệ số xi trong mở rộng (1 + x)n là .
Mặt khác vì i = i0 + i1p + ...+ impm, hệ số xi là hệ số của
tương đương với
Do đó:

(mod p)

□

Định lý 1.3.4. (Kummer) Cho n và i là các số nguyên dương với i ≤ n
và cho p là một số nguyên tố. Khi đó pt chia hết cho khi và chỉ khi t bé hơn
hoặc bằng số thực trong phép cộng (n – i) + i trong cơ số p.
Cho một số nguyên dương m và p nguyên tố, ta viết nếu chia hết cho
m và không chia. Khi đó tm là số nguyên lớn nhất nên chia hết hết cho m. Định
lý 1.3.4 được dựa trên hai bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.5. Cho n là một số nguyên và p là số nguyên tố, nếu
thì
Chứng minh:
Trước hết chúng ta chú ý rằng tổng này là một tổng hữu hạn, bởi vì m,
n < pm và . Cho m là số nguyên bé nhất sao cho n < pm
Đủ để chứng tỏ rằng


17
Cho i nguyên dương, xác định ti sao cho . Vì p là nguyên tố, ta có
hay

t = tn! = t1 + t2 + ... + tn

Mặt khác, bao gồm tất cả các bội số của pk, tức là nhỏ hơn hay bằng n
cụ thể.
Do đó (với a và p nguyên tố cùng nhau) được tính ti lần trong tổng.
,
cụ thể là trong số hạng .

Do đó, đối với mỗi 1 ≤ i ≤ n,

Và

t1 + t2 + ... + tn

Vì vậy
Thật vậy, xét ma trận M = (xi,j) với m hàng, n cột, trong đó m là số
nguyên nhỏ nhất sao hơn pm > n. Ta định nghĩa
nếu pi chia cho j
nếu pi không chia cho j
Khi đó số của những số 1 ở cột thứ j của ma trận M là tj , có nghĩa là
tổng cột của M là t1, t2, ..., tn.
Do đó tổng của tất cả các bảng số của M là t.
Mặt khác, những số 1 ở hàng thứ i là bội số của pi.
Vì vậy, tổng các số ở hàng thứ i là .
Do đó tổng của bảng số ma trận M là .
Cho nên

□

Bổ đề 1.3.6. Cho p là số nguyên tố, n là số nguyên dương với . Nếu p t||
n! thì


18

Chứng minh:
Từ Bổ đề 1.3.5 đủ để thấy rằng

Vì
Ta có

Cộng vào bên trái của phương trình ở trên cho t. Cộng vế phải của các
phương trình trên theo cột, ta được

□

Ví dụ 1.3.6. Cho p là số nguyên tố, tập là phép biểu diễn của n qua cơ
số p. Khi đó
(1) Có (nm+1)(nm-1 + 1)…(n0 + 1) số trong số , không chia được cho p.
(2) p chia khi và chỉ khi n = pk với k nguyên dương.
(3) p không chia được cho khi và chỉ khi n = s.pk – 1 với k nguyên
dương và s nguyên (1 ≤ s ≤ p – 1)
Giải:
Theo định lý 1.3.3 ta có


19
(1) Bằng hệ thức đồng dư (**), (mod p) khi và chỉ khi ij > nj với 0 ≤ j
≤ m.
Do đó, không chia được bởi p cho i = i0 + i1p + …+ impm với và 0 ≤ j
≤ m.
(2) Nếu n = pk với k nguyên dương, thì (với k số 0), cho , viết , trong đó
im = 0 và 0 ≤ i0, i1,…,im-1 ≤ p – 1. Khi đó ij dương với .
Vì vậy,
Từ định lý 1.3.3, (mod p)
Nếu n ≠ pk (k nguyên dương) và nm > 1 thì đặt ta có và (mod p)
Nếu n ≠ pk (k nguyên dương) và nm = 1 thì nj > 0 với . Đặt được (mod
p)

(3) Nếu n = s.pk – 1 (k nguyên dương) thì (với k số p–1).
Cho 0 ≤ i ≤ n, viết i = i0 + i1p + ...+ impm, trong đó và
Vì p nguyên tố, p không chia tử số hoặc của hoặc , tức p không chia
hoặc hoặc
Theo định lý 1.3.3, p không chia cho với 1≤ i ≤ n
Nếu n không thể viết trong dạng s.pk – 1, thì nj < p – 1 với 0 ≤ j ≤ m–1.
Đặt (j – 1 số 0), có (mod p) theo định lý 1.3.3
Định lý sau là tổng quát hóa của định lý 1.3.1
Định lý 1.3.7. Cho m và n là nguyên dương. Khi đó:

1.4.

SONG ÁNH