Tóm tắt kiến thức Hình học 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.42 MB, 92 trang )
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
HÌNH HỌC 10
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y,...
B
A
b
a
(Chú ý: AB BA )
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0
Ví dụ: MM , AA ,....
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ
không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí
hiệu là | a |,
| AB | AB BA
Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu a bằng b thì ta viết a = b .
AA BB = 0 , | 0 |= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
A
a) Tất các vectơ khác 0 ;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.
B
o
D
Các kí hiệu thường gặp
AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD
AB cùng hướng CD kí hiệu: AB CD
AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD
-1-
C
Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội
CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:
AM cùng phương a
Giải
m
Gọi là giá của a
a
Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
Ngược lại, mọi điểm M thc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
| a || b |
+ Sử dụng định nghĩa:
a b
a, b cùng hướng
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
A
B
AB DC, BC AD ,…
o
(hoặc viết ngược lại)
D
+ Nếu a b, b c a c
C
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
A
Chứng minh: EF CD
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
E
F
1
EF= BC=CD EF=CD EF CD (1)
2
EF cùng hướng CD (2)
C
B
D
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
1
EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD
2
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
M
D
C
Chứng minh: AM NC, DK NI
Giải
I
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
K
AM NC
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
B
N
A
của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
-2-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
a) AM = a ;
b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Giải
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
AM1=AM2=| a |
d
Khi đó ta có:
a) AM 1 = a
a
A
b) AM 1 = AM 2 cùng phương với a
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: AH B ' C .
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
-3-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA, MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A
P
B
R
Q
C
Bài 6:
A
B
M
N
O
D
Bài 7: a) DA, AD, BC, CB, AO, OD, DO, FE, EF
b) OC , ED, FO
-4-
C
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB ' AB
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB
+ tương tự
Bài 8: a) AB DC , OB DO
b) | OB || BO || DO || OD |
A
B
O
D
C
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
AB // CD
AB CD
AB // CD
*
AB DC
AB CD
Chứng minh chiều :
* AB = DC AB , DC cùng hướng và AB DC
* AB và DC cùng hướng AB // CD (1)
* AB CD
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
AC
2
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B
b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA, MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD: Ta có AM BA; NP DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
-5-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Từ (1)&(2) AQ AQ 0
-6-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : M Q = NP
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với M N
b/ Xác định các vectơ bằng NP
4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
5. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :
a/ I là trung điểm AB và DI = CB
b/ AI = IB = DC
6. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng M K = CP và KL = BN
a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL = 0
-7-
Timgiasuhanoi.com Trung taõm Gia sử Haứ Noọi
Đ2+3. TNG V HIU HAI VECT
Túm tt lý thuyt
1. Tng cỏc vect
nh ngha: Cho 2 vộc t a v b . Ly 1 im A tựy ý, dng AB = a , BC = b .
B
b
a
Khi ú a + b = AC
Phộp ly tng ca 2 vộct gi l phộp cng vộct . A
c
Quy tc 3 im : Cho A, B ,C tựy ý, ta cú : AB + BC = AC
Quy tc hỡnh bỡnh hnh . Nu ABCD l hỡnh bỡnh hnh thỡ AB + AD = AC
B
2. Vect i
C
A
C
D
+ Cho vect a . Vect cú cựng di v ngc hng a c gi l vect i ca vect
a +(- a )= 0
a , kớ hiu l - a
+ Mi vect u cú vect i, vớ d AB cú vect i l BA ngha l
AB = - BA
+ vect i ca 0 l 0 .
3. Hiu cỏc vect (phộp tr)
nh ngha: a - b = a +(- b )
Quy tc v hiu vec t : Vi ba im O, A, B tựy ý cho trc ta cú:
OB OA AB (hoc OA OB BA )hay AB OB OA
4. Tớnh cht : vi a, b, c bt kỡ ta cú:
+ Giao hoỏn : a b = b a
+ Kt hp
( a b ) + c = a (b + c )
+ a +0=0+a =a
+ a +( a )= a + a = 0
A
+ | a + b | | a |+| b |, du = xy ra khi a , b cựng hng.
+ a b v | b | | a | | a + b |=| b || a |
+ a =b a +c =b +c
G
+ a +c =b a =b c , c =b a
+ a ( b + c )= a b c ; a ( b c )= a b + c
B
I
Ghi chỳ:
+ im I l trung im on thng AB IA IB 0
+ im G l trng tõm tam giỏc ABC GA GB GC 0
C
D
CC BI TP C BN
Bi 1: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD. Hai im M v N ln lt l trung im ca BC v AD.
a) Tỡm tng NC MC; AM CD; AD NC
b) Chng minh : AM AN AB AD
Gii:
a) + Vỡ MC AN nờn ta cú
-8-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
NC MC = NC AN = AN NC = AC
+Vì CD BA nên ta có
AM CD = AM BA = BA AM = BM
+Vì NC AM nên ta có
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
OA OD 0; OB OE 0; OC OF 0
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
a) Chứng minh rằng vectơ OA OB; OC OE đều cùng phương OD
b) Chứng minh AB và EC cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON
, N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d AB//EC
AB // EC
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm AM AN ; MN NC; MN PN ; BP CP .
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .
Giải
a) AM AN = NM
MN NC = MN MP = PN (Vì NC MP )
MN PN = MN NP = MP
BP CP = BP PC = BC
b) AM NP MP MN
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC |
B
Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 nên AC= a 3
và BD=a. Khi đó ta có :
AB AD AC | AB AD | AC a 3
A
C
BA BC CA | AB AD | CA a 3
OB DC DO DC CO | OB DC | CO
-9-
a 3
2
D
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | OA CB |; | AB DC |;| CD DA |
Giải
Ta có AC=BD= a 2 ; OA CB CO CB BO
Do đó
a 2
2
| AB DC || AB | | DC | 2a (vì AB DC )
| OA CB | BO
Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 2
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng: AB CD AD CB
(theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải
VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF
= AE BF CD ED DF FE
= AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
Ta có DC CD; CE EC nên
VT = AC DE DC CE CB = AC DE CD EC CB
= AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OA OB OC OM ON OP
Giải
VT = OA OB OC
= OM MA ON NB OP PC
= OM ON OP MA NB PC
Mà NB NM NP
MA NB PC = MA NM NP PC NA NC 0
VT= OM ON OP =VP đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
-10-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR : AB + CD + EA = CB + ED
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR : AE BF CD AF BD CE
4. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF
5. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
b/ OD + OC = BC
c/ OA + OB + OC + OD = 0
a/ DO + AO = AB
d/ M A + M C = M B + M D (với M là 1 điểm tùy ý)
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : OD + OC = AD + BC
7. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'
CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .
8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AD theo a
9. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC . Tính u
10. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB AC .
b/ Tính v .
11. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC, OD có độ dài bằng
nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
12. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB
13. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ CD + FA BA ED + BC FE = 0
b/ AD FC EB = CD EA FB
c/ AB DC FE = CF DA + EB
14. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ M A M B + M C = 0
b/ M B M C + BC = 0
c/ M B M C + M A = 0
d/ M A M B M C = 0
e/ M C + M A M B + BC = 0
15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính AD AB
b/ Dựng u = CA AB . Tính u
16. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính AB AC
b/ Tính BA BI
17. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB AC
-11-
Timgiasuhanoi.com Trung taõm Gia sử Haứ Noọi
BI TP THấM
Bi 1 : Cho A,B,C,D tỡm cỏc vộct sau:
a) v AB DC BD CA
c) n BC CD AB DB .
b) m AB CD BC DA
d) p AB BC CD DE
Bi 2: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD tõm O . t AO = a ; BO = b
Tớnh AB ; BC ; CD ; DA theo a v b
Bi 3: Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a . Tớnh BC + AB ; AB - AC theo a.
Bi 4: Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 8cm ; AD = 6cm . Tỡm tp hp im M , N tha
a) AO - AD = MO
b) AC - AD = NB
Bi 5: Cho 7 im A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chng minh rng :
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bi 6 : Cho tam giỏc OAB. Gi s OA OB OM , OA OB ON . Khi no im M nm trờn ng
phõn giỏc trong ca gúc AOB? Khi no N nm trờn ng phõn giỏc ngoi ca gúc AOB ?
Bi 7 : Cho ng giỏc u ABCDE tõm O Chng minh :
OA OB OC OD OE O
Bi 8 : Cho tam giỏc ABC . Gi A la im i xng ca B qua A, B l im i xng vi C qua B, C l
im i xng ca A qua C. vi mt im O bt k, ta cú:
OA OB OC OA' OB' OC '
Bi 9: Cho l giỏc u ABCDEF cú tõm l O . CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tựy ý )
Bi 10: Cho tam giỏc ABC ni tip trong ng trũn tõm O , trc tõm H , v ng kớnh AD
a) Chng minh rng HB + HC = HD
b) Gi H l i xng ca H qua O .Chng minh rng HA + HB + HC = HH '
Bi 11: Tỡm tớnh cht tam giỏc ABC, bit rng : CA + CB = CA - CB
-12-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+ c cùng phương a
+ c cùng hướng a khi k>0
+ c ngược hướng a khi k<0
+ | c |=| k a |=|k|.| a |
Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0
2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h , khi đó
+ k( a + b )= k a +k b
+ (k+h) a = k a +h b
+ k(h a )= (kh) a
+ 1. a = a ; (1) a = a
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
MA MB 2MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:
MA MB MC 3MG
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
a , b ; a cùng phương b ≠ 0 0≠k
: a =k b
( a , b ; b cùng phương a ≠ 0 0≠k : b =k a )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,
n sao cho: x = m a +n b .
A
Nếu G là trọng tâm
AG=
AG=2GI
G
B
1
2
AI; GI= AI
3
3
C
I
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k a
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
1) Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM 3a; ON 4a
Giải
a
N
O
M
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a .
-13-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a
1
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các
5
đẳng thức sau:
a) AM k AB;
b) MA kMB;
c) MA k AB
Giải
A
M
B
| AM | AM 1
1
, vì AM AB k=
AB 5
5
| AB |
1
1
b) k=
c) k=
5
4
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b
Giải
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b
c) Tương tự
a) AM k AB | k |
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE; v AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE, DC theo
hai vectơ u, v .
A
1
1
1
1
AD ( AE AF ) u v)
2
2
2
2
2
2
2
AG AD u v
3
3
3
DE FA AF 0.u (1)v
Giải Ta có AI
C
DC FE AE AF u v
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ u AB, v AC .
Giải
Ta có AM AB BM AB
2
BC
3
mà BC AC AB
2
1
2
AM AB ( AC AB) u v
3
3
3
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC 0≠k
: AB k AC
+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
3
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
-14-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Giải
1
2 BI BA BM BA BC
2
Ta có
4 BI 2 BA BC (1)
Ta có
1
BK BA AK BA AC
3
1
2
1
BA ( BC BA) BA BC
3
3
3
3BK 2 BA BC
(2)
4
Từ (1)&(2) 3BK 4 BI BK BI B, I, K thẳng hàng.
3
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Chứng minh MN//AC
Giải
BC MA AB NA 3 AC 0
hay AC MN 3 AC 0 MN 2 AC
MN / / AC . Theo giả thiết BC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M không thuộc AC MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD
Giải
M
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
B
A
2MN AM BM ND NC
C
N
D
2MN
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3AC .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
VT= AC 2 AC 3 AC VP (đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG ' AA ' BB ' CC ' .
Giải
VP AA ' BB ' CC '
AG GG ' G ' A ' BG GG ' G ' B ' CG GG ' G ' C '
3GG ' AG BG CG G ' A ' G ' B ' G ' C '
3GG ' (GA GB GC ) G ' A ' G ' B ' G ' C '
3GG '
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+ AB 0 A B
+ Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a
-15-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
+ AB AC B C ; AD BD A B
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
Giải
A
AG 2GD A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
G
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2IB 0 .
HD
A
B
C
DI
B
I
IA 2IB 0 IA 2IB IA 2IB
1
3
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
Giải
Ta có GA GB 2GI , trong đó I là trung điểm AB
Tương tự GC GD 2GK , K là trung điểm CD
GA GB GC GD 2GI 2GK
B
C
I
K
hay GI GK 0
G là trung điểm IK
A
D
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AM + BN + CP = 0
b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 M C
a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM
b/ CMR : M A + M B + M C = 3 M G
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR : M A + M B + M C + M D = 4 M O (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR : M A + M B+ M C+ M D = M E + M F + M G + M H
c/ CMR : AB AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
-16-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB
c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN =
1
NC .
2
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : AK =
1
1
AB + AC
6
4
b/ CMR : KD =
1
1
AB + AC
3
4
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
1
a/ AM = AB + AC
8
3
1
3
b/ M I = AB + AC
8
6
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích AD theo AB và AF
b) Tinh
1
1
AB BC theo a
2
2
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính AI , AJ theo AB, AC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho M B= 3 M C; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0
a/ Tính PM , PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
-17-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
a/ MA MB .
b/ MA MB MC O
d/ C
e/
-18-
c/
| C
| C
Timgiasuhanoi.com Trung taõm Gia sử Haứ Noọi
Đ4 TRC TA V H TRC TA
1.Trc ta
Trc ta (trc, trc s) l ng thng trờn ú xỏc nh im O v mt vect i cú di bng
1. Ký hiu trc (O; i ) hoc xOx
i
O
x'
x
I
O gi l gc ta ; i vect n v ca trc ta .
Ta ca vect v ca im trờn trc
+ Cho im M nm trờn trc (O; i ). Khi ú cú duy nht mt s m sao cho OM mi . S m gi l
ta ca m i vi trc (O; i ) (nú cng l ta ca OM ).
+ Cho vect u trờn trc (O; i ). Khi ú cú duy nht s x sao cho u xi . S x gi l ta ca
vect u i vi trc (O; i ).
di i s ca vect trờn trc
Cho A,B nm trờn trc (O; i ). Khi ú cú duy nht s a sao cho AB = a i . Ta gi s a l di
i s ca AB i vi trc ó cho.
Kớ hiu: a= AB . Nh vy AB = AB i
*Nhn xột:
+ Nu AB i thỡ AB = AB
+ Nu AB i thỡ AB = AB
+ Nu hai im A v B trờn trc (O; i ) cú ta ln lt l a v b thỡ
AB = ba
Tớnh cht:
+ AB CD AB CD
+ AB BC AC (h thc Sal)
2. H trc ta
y
j
O
i
x
H trc ta
H trc ta vuụng gúc gm 2 trc ta Ox v Oy vuụng gúc nhau. Vect n v trờn Ox l
i , vect n v trờn Oy l j . Ký hiu Oxy hoc (O; i ; j ).
+ im O gi l gc ta ; trc Ox gi l trc honh, trc Oy gi l trc tung.
+ Khi mt mt phng ó cho mt h trc ta , ta gi mt phng ú l mt phng ta .
Ta ca vect i vi h trc ta
i vi h trc (O; i ; j ), nu a =x i +y j thỡ cp s (x;y) l to ca a .
Ký hiu a = (x ; y) hoc a (x ; y)
Nhn xột: (hai vect bng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x;y)
a =b
x x'
y y'
Mt s tớnh cht: Cho a = (x ; y), b = (x;y). Khi ú:
1) a b = (x x; y y)
2) k a =(kx ; ky) vi k
3) m a + n b =(mx+nx ; my+ny)
-19-
Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội
4) a // b 0 có số k thỏa a =k b
x
y
x kx '
xy ' yx ' 0
y ky '
x' y'
Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
y
cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
M(x;y)
M2
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hồnh độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
M1
O
x
+ M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
x= OM1 ; y= OM 2
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có :
MN = (xM – xN ; yM – yN)
Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
xP =
xM xN
y yN
; yP = M
2
2
Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) được tính theo cơng thức:
xG =
1) | u | =
xA xB xC
y yB yC
; yG = A
3
3
x 2 y 2 với u = (x;y)
2) | AB | = ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai điểm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì
M(xM ; yM) có toạ độ là:
x kxB
y kyB
;
(nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
xM A
yM A
1 k
1 k
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
xC x A yC y A
AC / / AB xC x A yC y A ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng khi
xB x A y B y A
xB x A
yB y A
-20-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ a dưới dạng a xi y j
a) a =(1;1)
b) a =(5;0)
2) Xác định tọa độ vectơ u , biết:
a) u =3 i 4 j
b) u =2 i +
1
j
3
c) a =(0;2)
d) a =(0;0)
c) u = 3 i
d) u = j
3) Xác định tọa độ của vectơ c , biết:
a) c = a +3 b ; với a (2;1), b (3;4). Tính độ dài của c
b) c =2 a 5 b ; với a (1;2), b (2;3)
Đáp án: a) c =(11;11), | c |=11 2
b) c =(8;19)
4) Cho a =(2;4); b =(-3;1); c =(5;-2). Tìm vectơ:
a) m 2 a 3 b 5 c
Đáp án: a) m = (30;21)
5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)
b) n 24 a 14 c .
b) n =(118;68)
a) Xác định tọa độ các vectơ AB, BA .
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho BM (3;0) .
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA (1;1) .
Đáp án:
a) AB (2;2), BA (2; 2)
b) M(4;3)
c) N(2;0)
6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng,
j và AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung
điển N của BC và trung điểm M của CD.
Đáp án:
A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)
5 5
5
5
I ( ; ), N ( ;5), M (5; )
2 2
2
2
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD 600 . Chọn
hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ AB, BC, CD, AC.
Đáp án: Kẻ BHAD, ta có
BH=3 AB=2 3 (vì HAB vuông và BAD 600 )
AH= 3 . Do đó;A(0;0), B( 3 ;3), C(4+ 3 ;0), D=(4;0)
AB ( 3;3), BC (4;0), CD ( 3; 3), AC (4 3;3)
8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và
AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Đáp án: D(3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ của AB .Tính AB.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.
Đáp án: a) AB =(12;5)
b) I(7;11/2)
c)
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3).
-21-
Timgiasuhanoi.com Trung taõm Gia sử Haứ Noọi
a) Tỡm ta trng tõm G.
b) Tớnh chu vi tam giỏc ABC.
ỏp ỏn: a)
b)
12) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G, M l trung im BC. Vi A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tớnh ta cỏc
vộc t AG, GM , AM . Tớnh chu vi tam giỏc ABC.
ỏp ỏn: AG
, GM
, AM
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xỏc nh ta ba im E,F bit rng:
b) AF 2BF 4CF 0 .
a) CE 3 AB 4 AC
ỏp ỏn:
14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xaực ủũnh t ủeồ AB = CD .
ỏp ỏn: t=1
15) Cho bit cỏc vộct sau cựng phng hay khụng cựng phng
b) a =( 2 = -1) v b = (-2; 2 ).
a) a = (1;2) v b = (3;6)
c) a = (-1;4) v b = (3;7)
d) a = (-1;-3) v b =(1;2).
16) Tỡm x cỏc cp vộct sau cựng phng
a) a =(2;3), b =(4;x)
c) m =(2;3), n =(1;x)
ỏp ỏn:
b) u =(0;5), v =(x;7)
d) a =( t+1;2) b =(3;4-t).
a) x= 6
c) x= 3
b) x= 0
d) t=1; t=2
17) Biu din vộct c theo hai vộct a v b
a) c = (4;7) ; a = (2;1)
b) c = (1;3) ; a = (1;1)
; b = (-3;4)
; b = (2;3)
c) c = (0;5) ; a = (4;3)
; b = (2;1).
c ma nb
1
1
HD: Tỡm cỏc s m, n sao cho c = m a + n b gii h 1
c
m
a
nb
2
2
2
ỏp ỏn:
a) c = a +2 b
b) c =
3
4
a b
5
5
c) c = a 2 b
18) Cho bn im A(1;1), B(2;1), C(4;3) v D(16;3). Hóy biu din AD theo AB, AC .
ỏp ỏn: AD =3 AB +4 AC
19) Cho ba im A(1;1), B(1;3), C(2;0). Chng minh 3 im A, B, C thng hng.
HD: AB 2 AC
20) Cho A(3;4), B(2;5). Tỡm x im C(7;x) thuc ng thng AB.
ỏp ỏn: A, B, C thng hng AC / / AB x=14
21) Cho bn im A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chng minh ng thng AB//CD.
ỏp ỏn: ta cú CD 2 AB AB v CD song song hoc trựng nhau
2 6
1 2
AC khụng cựng phng AB C khụng thuc AB CD//AB
Ta AC (2;6), AB (1; 2)
22) Cho tam giỏc ABC cú A(1;1), B(5;3) nh C trờn Oy v trng tõm G trờn Ox. Tỡm ta nh C.
ỏp ỏn: C(0;4)
23) Cho A(2;1), B(4;5). Tỡm ta trung im I ca on AB v ta dim C sao cho t giỏc OABC
l hỡnh bỡnh hnh, O l gc ta .
ỏp ỏn: I(1;3), C(2;6)
24) Cho ba im A(0;4), B(5;6), C(3;2)
-22-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
HD:
a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC
b) G(1;4)
25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là trung điểm BC, i OC ,
j OA .
a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a 3
a
a
), B( ;0), C ( ;0)
2
2
2
a a 3
)
b) E ( ;
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G.
4 4
26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là tâm của lục giác đều, i OD ,
Đáp án:
a) A(0;
j EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6.
Đáp án: A(6;0), D(6;0)
27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a) AD – 2 BD + 3 CD = 0
b) AD – 2 AB = 2 BD + BC
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
29) Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và c =(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b + c
b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c
c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a + n b
30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
BÀI TẬP THÊM
1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của AB .
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 M A + 5 M B = 0
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1
2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho M A + M B M C = 0
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB = NC
3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB
-23-
Timgiasuhanoi.com Trung taõm Gia sử Haứ Noọi
4/ Trờn trc x'Ox cho 4 im A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
1
1
2
a/ CMR :
+
=
AC AD
AB
b/ Gi I l trung im AB. CMR : IC. ID IA
2
c/ Gi J l trung im CD. CMR : AC. AD AB. AJ
TA TRấN MT PHNG
1
5/ Vit ta ca cỏc vect sau : a = i 3 j , b =
i + j ;
2
3
c = i +
j ; d = 3 i ; e = 4 j .
2
6/ Vit di dng u = x i + y j , bit rng :
u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tỡm ta v di ca cỏc vect :
1
a/ u = 3 a 2 b
b/ v = 2 a + b
c/ w = 4 a
b
2
8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tỡm ta ca cỏc vect AB , AC , BC
b/ Tỡm ta trung im I ca AB
c/ Tỡm ta im M sao cho : CM = 2 AB 3 AC
d/ Tỡm ta im N sao cho : AN + 2 BN 4 CN = 0
9/ Trong mp Oxy cho ABC cú A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC cõn. Tớnh chu vi ABC.
b/ Tỡm ta im D sao cho t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
c/ Tỡm ta trng tõm G ca ABC.
10/ Trong mp Oxy cho ABC cú A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vuụng. Tớnh din tớch ABC.
b/ Gi D(3; 1). CMR : 3 im B, C, D thng hng.
c/ Tỡm ta im D t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
11/ Trong mp Oxy cho ABC cú A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C khụng thng hng.
b/ Tỡm ta trng tõm G ca ABC.
c/ Tỡm ta tõm I ca ng trũn ngoi tip ABC v tớnh bỏn kớnh ng trũn ú.
12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hóy tỡm trờn trc honh cỏc im M sao cho ABM vuụng ti
M.
13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hóy tỡm trờn trc honh 1 im C sao cho ABC cõn ti C.
b/ Tớnh din tớch ABC.
c/ Tỡm ta im D t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C khụng thng hng.
b/ Tỡm ta trng tõm G ca ABC.
c/ CMR : ABC vuụng cõn.
d/ Tớnh din tớch ABC.
BI TP ễN TP CHNG I
Bi 1:Bi tp SGK trang 35, 36, 37, 38 sỏch nõng cao
-24-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a) AB AC AB AC
b) Vectơ AB AC vuông góc với vectơ AB CA
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a) AC BC DC
b) DB m DC DA
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
AA' k BC , BB' k CA . Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng
minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ v MA MB 2MC không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho CD v
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng
của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :
HA HD 2 HO
HA HB HC 2 HO
OA OB OC OH
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OH 3OG . Từ đó kết luận gì về 3 điểm
G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a) BB' C ' C DD' 0
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM
1/ Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2 IA + IB + IC = 0
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 OA + OB + OC = 4 OI
2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
a/ CMR : 2 AI = 2 AO + AB
b/ CMR : 3 DG = DA + DB + DC
3/ Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC = 3 BN . Tính AN theo AB và AC
4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
1
a/ CMR : AI = ( AD + 2 AB )
2
-25-
