(Luận văn thạc sĩ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỒN KIÊN TRUNG

BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT
LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN, 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỒN KIÊN TRUNG

BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT LOẠI II

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TSKH. NGUYỄN XN TẤN

Thái Ngun - Năm 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Lời cam đoan
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu trong
luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình
nào khác.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Tác giả
Đồn Kiên Trung

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn
Xn Tấn. Trước tiên, Tơi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Nguyễn Xn Tấn,
người đã đặt bài tốn và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên

cứu của tơi. Đồng thời tơi cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa
Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun,
đã tạo mọi điều kiện cho tơi để tơi có thể hồn thành bản luận văn này. Tơi
cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Cao học Tốn k20, đã chia sẻ
động viên và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và làm luận văn.
Tơi cũng vơ cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình,
đặc biệt là người vợ đã cảm thơng chia sẻ cùng tơi trong hai năm qua để
tơi có thể học tập và hồn thành luận văn này.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn nên bản luận văn sẽ khó
tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của
các thầy cơ và bạn bè, tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Tác giả
Đồn Kiên Trung

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

MỤC LỤC

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Nón và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5

Điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại hai

18

2.1

Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Các bài tốn liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1

Bao hàm thức tựa biến phân . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2

Một số bài tốn tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . .

29

KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

42

iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Lý thuyết cân bằng được hình thành từ những ý tưởng trong kinh tế,

lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ
20. Sau đó có rất nhiều cơng trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của các nghành khoa học kỹ thuật cũng như thực
tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi
dựa trên các khái niệm và kết quả tốn học, Koopmam (1947) đã đưa ra lý
thuyết lưu thơng hàng hóa. Lý thuyết cân bằng là bộ phận quan trọng của
lý thuyết tối ưu. Sau những cơng trình của H.W.Kuhn và A.W.Tucker về
các điều kiện cần và đủ cho một véc tơ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm
hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực sự là một nghành tốn học độc lập và có nhiều
ứng dụng trong thực tế. Các bài tốn cơ bản trong lý thuyết tối ưu véc tơ
bao gồm: Bài tốn tối ưu, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn bù, bài tốn
bất đẳng thức biến phân, bài tốn điểm n ngựa,...
Trong kinh tế, bài tốn điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các cơng
trình của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà tốn học sử dụng để
xây dựng những mơ hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) trong
[6] và Browder-Minty (1978) trong [4] đã phát biểu và chứng minh sự tồn
tại nghiệm của bài tốn điểm cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động.
Năm 1991, Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài tốn cân bằng một cách tổng
qt và tìm cách liên kết bài tốn của Ky Fan và Browder-Minty với nhau
thành dạng chung cho cả hai. Bài tốn được phát biểu ngắn gọn là: Tìm

x¯ ∈ D sao cho f (¯
x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D, trong đó D là tập cho trước của
khơng gian, f : D × D → R là hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ 0. Đây là
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

dạng suy rộng trực tiếp của các bài tốn trong lý thuyết tối ưu vơ hướng.
Ban đầu người ta nghiên cứu những bài tốn liên quan đến ánh xạ đơn
trị từ khơng gian hữu hạn chiều này sang khơng gian hữu hạn chiều khác
mà thứ tự được đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang khơng
gian có số chiều vơ hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được
xây dựng và phát triển do u cầu phát triển của bản thân tốn học và các
lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh
xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách
chứng minh các kết quả tương tự như các kết quả đã biết từ đơn trị. Chính
vì vậy mà bài tốn điểm cân bằng trong những năm gần đây được nhiều
nhà nghiên cứu tốn học đặc biệt quan tâm. Với lí do trên tơi chọn đề tài:"
Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II "
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả của bài
tốn cân bằng tổng qt loại II .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích đa trị, một số tính chất
của ánh xạ đa trị và các phép tốn .
Trình bày bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại hai và các vấn đề liên
quan đến chúng trong lý thuyết tối ưu đa trị.
4. Bố cục của luận văn
Ngồi phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
trình bày gồm 2 chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm về ánh xạ đa trị, tính liên tục theo
nón, lồi theo nón và một số định lý điểm bất động làm kiến thức cơ sở cho

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

chương 2.
Chương 2 trình bày bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II. Định lý 2.1.1
và 2.1.2 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn. Các hệ quả 2.2.1,
2.2.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài tốn bao hàm thức tựa biến phân lý
tưởng loại II. Sử dụng định lý 2.1.1 và 2.1.2 và tính chất của ánh xạ giả
đơn điệu, giả đơn điệu mạnh ta chứng minh được các bài tốn tựa cân bằng
yếu, tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu véc tơ đơn trị có nghiệm, điều này
thể hiện trong các hệ quả 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11.

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong thực tế, nhiều bài tốn liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của
tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm
số, về tốn tử hay về ánh xạ khơng còn phù hợp. Do đó việc mở rộng ánh
xạ đa trị là tất yếu để phù hợp với nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh
từ tự nhiên cuộc sống. Vì vậy mà mơn giải tích đa trị đã được hình thành
và trở thành cơng cụ đắc lực để nghiên cứu các bài tốn liên quan đến ánh

xạ đa trị. Chúng ta sẽ dành chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ
bản về mơn giải tích đa trị này. Các kiến thức đó rất quan trọng trong việc
nghiên cứu các bài tốn ở chương sau.

1.1

Nón và các khái niệm liên quan

Trong khơng gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với
nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này khơng có được
trong các khơng gian tơ pơ tuyến tính khác. Muốn mở rộng bài tốn nhận
giá trị thực sang bài tốn nhận giá trị véc tơ và đa trị người ta đưa vào
các khái niệm mới, đồng thời có thể xây dựng các khái niệm tương tự của
số thực, số phức trong khơng gian tơ pơ tuyến tính. Một phương pháp hữu
hiệu để xây dựng các khái niệm đó là đưa nón vào khơng gian tơ pơ tuyến
tính mà chúng ta sẽ nghiên cứu ngay sau đây.
Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là khơng gian tuyến tính và C là tập con trong

Y . C được gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nếu Y là khơng gian tơ pơ
tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu clC, intC, convC là bao đóng, phần
trong và bao lồi của nón C, l(C) = C ∩ (−C). khi nghiên cứu các bài tốn

liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau:
i). Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng.
ii). Nón C gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0.
Với nón C cho trước, ta định nghĩa quan hệ như sau: x, y ∈ Y, x

Cy
nếu x − y ∈ C . Nếu khơng có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản x y .
Ký hiệu x
y nếu x − y ∈ C \ l(C) và x y nếu x − y ∈ intC . Ta thấy
quan hệ trên là một quan hệ thứ tự từng phần nếu C là nón lồi nhọn.
Sau đây là một số ví dụ về nón.
Ví dụ 1.1.2. i). Tập {0} và Y là nón trong khơng gian Y . Ta gọi chúng
là các nón tầm thường.
n
ii). Cho Rn là khơng gian Euclid n chiều, tập C = R+
= {x = (x1 , x2 , ..., xn )

∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n} là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón
Orthant dương trong Rn . Nếu lấy C = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn |
x1 ≥ 0} thì C là nón lồi, đóng nhưng khơng nhọn. Vì l(C) = {x =
(0, x2 , ..., xn ) ∈ Rn } = {0}.
iii). Cho Lp [0, 1], 0 < p < 1 là khơng gian các hàm trên đoạn [0,1 ].
1

(| x |)p dµ < ∞, µ là độ đo Lesberge}.

Lp [0, 1] = {x,
0

Tơ pơ trên khơng gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các

tập có dạng
1

1

(| x |)p dµ) p <

{x ∈ Lp [0, 1]/(
0

1
}.
n

Tập C = {x ∈ Lp [0, 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0, 1]}. C là nón lồi đóng.
Định nghĩa 1.1.3. Cho C là nón trong khơng gian tuyến tính Y . B ⊆ Y
được gọi là tập sinh của nón C , ký hiệu C = coneB, nếu C = {tb | b ∈

B, t ≥ 0}. Trong trường hợp B khơng chứa điểm gốc và với mọi c ∈ C, c = 0
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

đều tồn tại duy nhất b ∈ B, c = tb, thì B được gọi là cơ sở của nón C . Hơn
nữa nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập con C = cone(convB) gọi là nón
đa diện.
Khi ta có một nón trên khơng gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng trên

đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ thứ tự đó ta có thể định nghĩa được
các điểm hữu hiệu của tập hợp như sau:
Định nghĩa 1.1.4. Cho Y là khơng gian tơpơ tuyến tính với thứ tự được
sinh bởi nón lồi C và A là tập con của Y . Ta nói rằng
i). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu

y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối
với nón C được kí hiệu là IM in(A | C).
ii). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với
nón C , nếu khơng tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C). Tập các điểm hữu
hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là P M in(A | C) hoặc
đơn giản là M in(A | C).
iii). Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (Khi intC = ∅ và C = Y ) của A đối
với nón C , nếu x ∈ M in(A | ({0} ∪ intC)). Tức là x là điểm hữu hiệu
Pareto đối với nón C0 = {0} ∪ intC . Tập các điểm hữu hiệu yếu của A
đối với nón C kí hiệu là W M in(A | C) hoặc W M inA.
iv). Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu
tồn tại nón lồi C khác tồn khơng gian và chứa C \ l(C) trong phần
trong của nó để x ∈ P M in(A/C).
Tập các điểm Hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là

P rM in(A | C).
Từ định nghĩa trên ta ln có IM inA ⊂ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA.

1.2

Ánh xạ đa trị

Cho X là một tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2X là tập gồm các tập con của X .

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ F từ tập X vào 2Y được gọi là ánh xạ đa trị
từ X vào Y . Ký hiệu F : X → 2Y . (Đơi khi người ta sử dụng ký hiệu

F : X ⇒ Y , để thống nhất các ký hiệu cho tồn bộ luận văn này ta sử dụng
ký hiệu đã trình bày trước).
Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y , khơng loại trừ khả
năng đối với một số phần tử x nào đó F (x) là tập rỗng. Nếu với x ∈ X, F (x)
gồm một phần tử của Y ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , thay cho
ký hiệu F : X → 2Y ta sử dụng ký hiệu quen thuộc là F : X → Y .
Miền định nghĩa, đồ thị và ảnh của F được định nghĩa lần lượt như sau:

domF = {x ∈ D | F (x) = ∅};
Gr(F ) = {(x, y) ∈ D × Y | y ∈ F (x)};
rgeF = {y ∈ Y | ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.
Ví dụ 1.2.2. Cho a, b là các số thực, F : R → 2R được xác định bởi

(a, b), nếu x = 0;
F (x) =
{a}, nếu x = 0.
Khi đó F là ánh xạ đa trị.
Cho F : X → 2Y , ánh xạ đa trị F −1 : Y → 2X xác định bởi

F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)},

được gọi là ánh xạ ngược của F. Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ
đa trị ln tồn tại ánh xạ ngược. Nếu tập F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}
mở, thì F được gọi là có nghịch ảnh mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị ta cũng có phép tốn sau đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.2.3. Cho X, Y, Z, W, là các tập hợp bất kỳ. F1 , F2 : X →

2Y , F : X → 2Y , G : Y → 2Y là các ánh xạ đa trị.
a). Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F1 , F2 và ánh xạ bù của F là ánh xạ
đa trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi:

(F1 ∪ F2 )(x) = F1 (x) ∪ F2 (x);
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

(F1 ∩ F2 )(x) = F1 (x) ∩ F2 (x);
F c (x) = Y \ F (x).
Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ G ◦ F : X → 2Z cho bởi cơng thức:

G ◦ F (x) = ∪x∈X G(F (x)).
Tích decarde của F : X → Y và G : W → Z là ánh xạ đa trị G × F :

X × W → 2Y ×Z cho bởi cơng thức:
(G × F )(x, y) = G(x) × F (y).
b). Khi Y là khơng gian tơpơ tuyến tính. Tổng đại số của hai ánh xạ F1 , F2
và phép nhân của một số với ánh xạ F1 là các ánh xạ đa trị từ X vào

Y được xác định bởi:
(F1 + F2 )(x, y) = F1 (x) + F2 (x);
(λF1 )(x) = λF1 (x).
Trường hợp Y là khơng gian tơpơ tuyến tính ta có các phép tốn sau:
Định nghĩa 1.2.4. Cho F : X → 2Y , ký hiệu F¯ , F ◦ là các ánh xạ bao
đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi

F¯ (x) = F (x), (F ◦ )(x) = (F (x))◦ .
Nếu X, Y là các khơng gian tơpơ tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi
đóng của F là

(coF )(x) = coF (x), (coF
¯ )(x) = coF
¯ (x).
1.3

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trong phần này ta trình bày khái niệm về nửa liên tục trên, nửa liên tục
dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết ta nhắc lại khái niệm
liên tục của ánh xạ đơn trị. Cho F : X → Y là ánh xạ đơn trị từ X vào Y .
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x
¯ ∈ X nếu với mỗi tập mở V chứa f (¯
x)
tồn tại lân cận mở U của x
¯ sao cho f (x) ∈ V, với mọi x ∈ U .
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X . Dễ thấy f
liên tục trên X nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y, f −1 (V ) = {x ∈ X, f (x) ∈ V }
mở trong X .
Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập
mở V bất kỳ và điểm x có thể xảy ra hai trường hợp, hoặc f (x) ⊆ V ,
hoặcf (x) ∩ V = ∅. Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục
sang cho ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hồn
tồn khác nhau: Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Ta
nhắc lại định nghĩa của Berge.
Định nghĩa 1.3.1. ([2]). Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ khơng gian
tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y .
a). F được gọi là nửa liên tục trên tại x
¯ ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ Y
thỏa mãn F (¯
x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈

U.
b). F được gọi là nửa liên tục dưới tại x
¯ ∈ domF nếu với mọi V mở,

F (¯
x)∩V = ∅, đều tồn tại tập mở U ⊃ x¯ sao cho F (x)∩V = ∅, ∀x ∈ U .
c). F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục
tại mọi điểm x ∈ X .
Ví dụ 1.3.2. Cho ánh xạ




{1}, nếu x > 1;


f = [−2, 2], nếu x = 1;



{1}, nếu x < 1.
Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 1. Gọi V là tập mở bất kỳ trong R.
Giả sử f (1) = [−2, 2] ⊆ V . Lấy U = (1 − , 1 + ), khi đó U là lân cận của

x = 1 và với mọi x ∈ U ta suy ra được f (x) ⊆ [−2, 2] ⊆ V . Vậy f là nửa
liên tục trên. Tuy nhiên f khơng phải là ánh xạ nửa liên tục dưới tại x = 1.
Thật vậy, ta lấy V = (− , ) thỏa mãn (− , ) ∩ [−2, 2] = ∅. Với mọi lân
cận U của x = 1 ta thấy với mọi x ∈ U nếu x > 1 thì f (x) = {1} ∩ V = ∅.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Định nghĩa 1.3.3. Cho X, Y là các khơng gian tơpơ, F : X → 2Y là ánh
xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu GrF là tập đóng trong X × Y .
Nếu F (X) là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact.
Từ định nghĩa trên ta thấy F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kỳ
dãy {xα }, {yα }, xα → x, yα → y, yα ∈ F (xα ) thì y ∈ F (x). Nếu F (x) là tập
đóng với mọi x ∈ X , thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.

Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.3.4. ([16]). Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa
liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F là ánh
xạ đóng và Y compact, thì F là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.3.5. a). Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. F là nửa liên tục
dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ dãy

xβ ∈ D, xβ → x tồn tại dãy {yβ }β∈Λ , yβ ∈ F (xβ ) sao cho yβ → y trong
đó Λ là tập các chỉ số.
b). Nếu ánh xạ F có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ coF cũng có nghịch ảnh mở.
Chứng minh. Ta xem chứng minh a) trong [16]. Sau đây ta chứng minh
b). Giả sử y ∈ D và x ∈ (coF )−1 (y) thì y ∈ co(F (x)), y =

n
i=1 αi yi

với

n
i=1 αi

0 ≤ αi ≤ 1,
= 1, yi ∈ F (x). Khi đó x ∈ F −1 (yi ) với mọi i = 1, ..., n.
Vì F −1 (yi ), i = 1, ..., n là tập mở, ta suy ra tồn tại lân cận U (x) của x sao
cho U (x) ⊆ F −1 (yi ) với mọi i = 1, .., n. Điều này dẫn đến yi ∈ F (z) với
z ∈ U (x) và mọi i = 1, ..., n. Do đó y = ni=1 αi yi ∈ (coF )(z) với z ∈ U (x)
do đó U (x) ⊆ (coF )−1 (y). Vậy (coF )−1 (y) là tập mở.✷
Mệnh đề 1.3.6. ([12]). Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa
liên tục dưới.

Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.6 khơng đúng
Ví dụ 1.3.7. Cho F : R → 2R xác định bởi F (x) = (−∞, −x]. Ta có

F −1 (y) = {x|y ∈ (−∞, −x]} = {x|y ≤ −x} = (−∞, −y]
khơng là tập mở.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Gọi V là tập mở bất kỳ trong R, khi đó ∪y∈V F −1 (y) = {x|F (x)∩V = ∅}.
Đặt b = inf {v|v ∈ V }. Ta sẽ chứng minh (−∞, −b) ⊂ ∪y∈V F −1 (y).
Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ (−∞, −b) dẫn đến b < −x. Theo cách xác định
của b, ta suy ra tồn tại những điểm y ∈ V sao cho b < y ≤ −x. Vì vậy x ∈

(−∞, −y] ⊆ ∪y∈V F −1 (y). Từ kết luận này ta có (−∞, −b) ⊆ ∪y∈V F −1 (y)
hay ∪y∈V F −1 (y) là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ta nhắc lại, hàm vơ hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên (hoặc dưới)

x¯ sao cho f (x) ≤ f (¯
x)+
(hoặc f (x) ≥ f (¯
x) − ). Khái niệm này có thể mở rộng cho trường hợp ánh
xạ đa trị trong khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương với nón C .
Cho X, Y là hai khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, D, K là tập
con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào
Y . Ta có định nghĩa sau (xem trong [15]).
tại x

¯ nếu với bất kỳ > 0 đều tồn tại lân cận U

Định nghĩa 1.3.8. 1). F là C − liên tục trên(hoặc C − liên tục dưới) tại

x0 ∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U
của x0 sao cho:
F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C;
hoặc F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF ;
2). F là C − liên tục tại x0 nếu F vừa là C − liên tục trên vừa là C −
liên tục dưới tại x0 . F là C − liên tục trên, C − liên tục dưới, hoặc

C − liên tục trên D nếu nó là C − liên tục trên, C − liên tục dưới, hoặc
C − liên tục tại mọi x thuộc D.
3). Trường hợp C = {0}, ta nói F liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói

{0}-liên tục trên ({0} -liên tục dưới).
Trong các kết quả của các chương sau ta chỉ sử dụng khái niệm C -liên
tục trên (dưới) với C là một ánh xạ nón.
Định nghĩa 1.3.9. ([15]). Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y là
ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một nón).

F gọi là C − liên tục trên (hoặc C − liên tục dưới) tại (¯
y , x¯, z¯) ∈ domF
nếu với bất kỳ lân cận V của O trong Y đều tồn tại lân cận U của (¯
y , x¯, z¯)
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

sao cho:

F (y, x, z) ⊆ F (¯
y , x¯, z¯) + V + C(¯
y , x¯),
(F (¯
y , x¯, z¯) ⊆ F (y, x, z)+V −C(¯
y , x¯), tương ứng), với mọi (y, x, z) ∈ U ∩domF.
Các khái niệm C − liên tục tại một điểm hay trên miền D cũng được định
nghĩa tương tự như trường hợp C là nón hằng.
Nhận xét. Nếu F là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C -liên tục trên và

C -liên tục dưới là một và lúc đó F được gọi là C -liên tục.
Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C -liên tục trên
(dưới).
Mệnh đề 1.3.10. ([15]). Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y là
các ánh xạ đa trị.
1). Nếu C là nửa liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, F là

C -liên tục trên tại (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF với F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 )
đóng, thì với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) +
C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ).
Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) →

(y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ )+C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 )+
C(y0 , x0 ), thì F là C -liên tục trên tại (y0 , x0 , z0 ).
2). Nếu F là ánh xạ compact và C − liên tục dưới tại (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF ,
thì với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 )+C(y0 , x0 ),

tồn tại dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ), sao cho có dãy con {tβγ }, tβγ −t0 →

c ∈ C(y0 , x0 ), (tβγ → t0 + c ∈ t0 + C(y0 , x0 )).
Ngược lại, nếu F (y0 , x0 , z0 ) là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy (yβ , xβ , zβ )

→ (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ), tồn tại dãy {tβ }, tβ ∈
F (yβ , xβ , zβ ) , sao cho có dãy con {tβγ }, tβγ − t0 → c ∈ C(y0 , x0 ) thì F
là C -liên tục dưới tại (y0 , x0 , z0 ).
Cho F, C : D → 2Y là các ánh xạ đa trị, trong đó C là ánh xạ nón. Sau
đây ta trình bày khái niệm C -hemi liên tục trên (dưới) và khái niệm hemi
liên tục trên (dưới) trong [5].

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Định nghĩa 1.3.11. i). F được gọi là C − hemi liên tục trên nếu với mọi

x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅ với mọi
α ∈ (0, 1) kéo theo F (y) ∩ C(y) = ∅.
ii). F được gọi là C − hemi liên tục dưới nếu với mọi x, y ∈ D thỏa mãn

F (αx + (1 − α)y) −intC(αx + (1 − α)y) với mọi α ∈ (0, 1) kéo theo
F (y) −intC(y).
iii). F được gọi là hemi liên tục trên (dưới), nếu với mọi x, y ∈ D, ánh xạ

f : [0, 1] → 2Y định nghĩa bởi f (α) = F (αx + (1 − α)y) là nửa liên tục

trên (tương ứng, nửa liên tục dưới).
Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là C -hemi liên tục
trên và được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Mệnh đề 1.3.12. Cho F và C là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác
rỗng. Nếu với bất kỳ x ∈ D, hoặc F (x), hoặc C(x) là tập compact, thì F là

C -hemi liên tục trên.
Chứng minh. Với x, y ∈ D cố định, định nghĩa các ánh xạ f, c : [0, 1] →

2Y bởi f (α) = F (αx + (1 − α)y) và c(α) = C(αx + (1 − α)y), α ∈ [0, 1].
Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0.
Với V là lân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U của 0 trong đoạn
[0,1 ] sao cho:
F ((αx + (1 − α)y) ⊆ F (y) + V ;
C(αx + (1 − α)y) ⊆ C(y) + V, với mọi α ∈ U.
Do đó, nếu F ((αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅ với mọi α ∈ (0, 1), thì

(F (y)+V )∩(C(y)+V ) = ∅. Điều này dẫn đến F (y)∩(C(y)+2V ) = ∅. Giả
sử F (y) là tập compact ta sẽ chứng minh F (y) ∩ C(y) = ∅. Thật vậy, giả sử
Vβ là lân cận bất kỳ của gốc trong Y , lấy aβ ∈ F (y) ∩ (C(y) + 2Vβ ),aβ =
bβ +vβ , trong đó bβ ∈ C(y) và vβ ∈ Vβ . Ta có thể chọn Vβ sao cho ∩Vβ = {0},
giả sử vβ hội tụ đến 0 khi β hội tụ đến 0. Từ aβ ∈ F (y) và F (y) là tập
compact, khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết rằng aβ hội tụ đến
a ∈ F (y) khi β hội tụ đến 0. Vì vậy bβ cũng hội tụ đến a. Mặt khác, C(y)
đóng nên a ∈ C(y). Ta suy ra a ∈ F (y) ∩ C(y) hay F (y) ∩ C(y) = ∅. Nếu
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

C(y) compact, chứng minh tương tự ta cũng có F (y) ∩ C(y) = ∅. Vậy F là
C -hemi liên tục trên.
1.4

Tính lồi của ánh xạ đa trị

Trong mục này chúng ta trình bày tính lồi, lõm, giống như tựa lồi của
ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong
trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm
tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau. Trước hết ta nhắc lại khái
niệm hàm lồi của hàm véc tơ.
Cho X, Y là hai khơng gian tơpơ tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C là
nón lồi trong Y . Hàm véc tơ f : D → Y được gọi là C -lồi trên D nếu với
mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] ta ln có

f (αx1 + (1 − α)x2 ) ∈ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) − C.
f được gọi là C -lõm trên D nếu −f là C -lồi trên D. Trong trường hợp
Y = R, C = R+ , định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theo
định nghĩa thơng thường.
Định nghĩa 1.4.1. Cho ánh xạ F : D → 2Y , C là nón lồi trong Y .
i). F được gọi là C -lồi trên (hoặc C -lồi dưới) nếu:

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C,
hoặc F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C,
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
ii). F được gọi là C -lõm trên (hoặc C -lõm dưới) nếu:

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C,

hoặc F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C,
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
Chú ý.

14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

i). Nếu C = {0} thì tính {0}-lồi trên và {0}-lõm trên của F đồng nhất với
nhau và F được gọi là dưới tuyến tính.
ii). Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì tính C -lồi trên và C -lồi dưới
(hoặc C -lõm trên, C -lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C -lồi (hoặc

C -lõm).
Trong thực tế khơng phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là lồi hoặc
lõm. Ngồi các khái niệm trên người ta còn sử dụng các khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.4.2. Cho F là ánh xạ đa trị từ D ⊂ X vào 2Y , Y là khơng
gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương với nón C .
i). F được gọi là C -giống như tựa lồi trên trên D nếu với bất kỳ x1 , x2 ∈

D, α ∈ [0, 1], hoặc
F (x1 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C,
hoặc F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C.
ii). F được gọi là C -giống như tựa lồi dưới trên D nếu với bất kỳ x1 , x2 ∈

D, α ∈ [0, 1], hoặc
F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x1 ) − C,

hoặc F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C.
Các khái niệm C -lồi trên (dưới) hay C -giống như tựa lồi trên(dưới) là
dạng tổng qt của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị được
giới thiệu. có những ví dụ chỉ ra rằng, ánh xạ đa trị C -lồi trên (dưới) khơng
phải là ánh xạ C -giống như tựa lồi trên (dưới) và hiển nhiên có chiều ngược
lại ngay cả trường hợp đơn trị.

1.5

Điểm bất động của ánh xạ đa trị

Năm 1992, Browder đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh
xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình K ⊆ Rn vào chính nó có điểm bất động.
Sau đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

lồi compact khác rỗng trong Rn . Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ
đa trị với ánh xạ nửa liên tục trên. Đến năm 1967, Ky Fan [6] đã chứng
minh định lý điểm bất động với K nằm trong khơng gian tuyến tính lồi địa
phương.
Năm 1929, in [7] ba nhà tốn học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz
đã chứng minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là bổ đề KKM,
bằng phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được ngun lý điểm
bất động Browder. Năm 1961, Ky Fan [6] đã mở rộng bổ đề KKM cổ điển
trong khơng gian véc tơ tơpơ hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị.

Năm 1968, Browder [4] đã chứng minh kết quả của Ky Fan theo một dạng
khác đó là định lý điểm bất động và ngày nay người ta thường gọi định lý
đó là định lý điểm bất động Fan-Browder.
Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các định lý Ky Fan,
Fan-Browder, bổ đề KKM và chúng được xem như là cơng cụ hữu hiệu để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài tốn tối ưu. Trong phần này
chỉ giới thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong khơng gian tơpơ
tuyến tính lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở chương
sau.
Định lý 1.5.1. ([4], Browder, 1968) Cho X là một khơng gian véc tơ tơpơ,

K ⊂ X là một tập con lồi, khác rỗng, compact. F : K → 2K là ánh xạ đa
trị thỏa mãn các điều kiện:
a). Với mọi x ∈ K, F (x) là tập lồi;
b). Với mọi y ∈ K, F −1 (y) là tập mở trong K .
Thì tồn tại điểm x
¯ ∈ K sao cho x¯ ∈ F (¯
x).
Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan-Browder.
Định lý 1.5.2. Cho X là một khơng gian véc tơ tơpơ, K ⊂ X là một tập
con lồi, khác rỗng, compact. F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các
điều kiện:
a). Với mọi x ∈ K, x ∈
/ F (x) và F (x) là tập lồi;
b). Với mọi y ∈ K, F −1 (y) là tập mở trong K .
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Khi đó tồn tại điểm x
¯ ∈ K sao cho F (¯
x) = ∅.
Một ánh xạ F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM (xem [7]) nếu với bất
kỳ tập {t1 , ..., tn } ⊂ D, ln có co{t1 , ..., tn } ⊆ ∪nj=1 H(tj ). Ngồi khái niệm
trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này vào một tập
khác. Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau:
Định nghĩa 1.5.3. Cho X, Z là các khơng gian tơpơ, D ⊆ X, K ⊆ Z, F :

K × D × D → 2X , Q : D × D → 2K là các ánh xạ đa trị. F được gọi là
Q-KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t1 , ..., tn } ⊂ D và x ∈ co{t1 , ..., tn },
tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho 0 ∈ F (y, x, tj ) với mọi y ∈ Q(x, tj ).
Định nghĩa 1.5.4. Cho X, Y, Z là các khơng gian tơpơ, D ⊆ X, K ⊆

Z, E ⊆ W . F : K × D × E → 2X , Q : D × E → 2K là các ánh xạ đa trị. F
được gọi là Q-KKM suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t1 , ..., tn } ⊂ E
tồn tại tập hữu hạn {x1 , ..., xn } ⊆ D sao cho với bất kỳ x ∈ co{xi1 , ..., xik },
tồn tại tij ∈ {ti1 , ..., tin } thỏa mãn 0 ∈ F (y, x, tij ) với mọi y ∈ Q(x, tij ).
Định lý 1.5.5. ([5], Bổ đề Fan-KKM) Giả sử D là một tập con lồi khác
rỗng trong khơng gian véc tơ tơpơ X , F : D → 2X là ánh xạ KKM. Nếu với
mỗi x ∈ D, F (x) là tập đóng, đồng thời có ít nhất một điểm x ∈ D sao cho

F (x ) là tập compact thì ∩x∈D F (x) = ∅.

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 2

Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại
hai
Xét bài tốn tối ưu về kinh tế sau: Tập đồn kinh tế chun sản xuất
hàng tiêu dùng hoạt động theo mơ hình cơng ty mẹ, cơng ty con. Xét cơng
ty con A có tập phương án sản xuất D. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ D,
cơng ty con A có tập chỉ đạo là S1 (x), cơng ty mẹ có tập chỉ đạo S2 (x).
Mục tiêu sản xuất được biểu diễn qua ánh xạ F . Trong q trình sản xuất
cơng ty con phải chịu các loại thuế Q. Mục đích của A là tìm một phương
án sản xuất x
¯ của chỉ đạo S1 (¯
x) phù hợp với các tiêu chí của lãnh đạo cơng
ty mẹ S2 (¯
x) sao cho sau khi trừ các loại thuế Q sản xuất vẫn có lãi và ln
ổn định. Tức là đạt được mục tiêu đề ra. Bài tốn này thường gặp rất nhiều
trong thực tế, ta có thể biểu diễn qua mơ hình tốn học như sau:
Cho X, Y và Z là các khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương Hausdorff,

D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Giả sử S : D × K → 2D , T :
D × K → 2K ; P1 : D → 2D , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2Z và F :
K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng. Bài tốn: Tìm
(¯
x, y¯) ∈ D × K sao cho
x¯ ∈ S(¯
x, y¯); y¯ ∈ T (¯
x, y¯),

và

0 ∈ F (¯
y , x¯, x¯, t) với mọi t ∈ S(¯
x, y¯),
được gọi là bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại I, ký hiệu (GQEP )I .
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Bài tốn: Tìm x
¯ ∈ D sao cho

x¯ ∈ P1 (¯
x),
0 ∈ F (y, x¯, t), với mọi t ∈ P2 (¯
x), y ∈ Q(¯
x, t),
được gọi là bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II, ký hiệu bởi (GQEP )II .
Trong đó, S, T, P1 , P2 và Q là các ánh xạ ràng buộc, F là ánh xạ mục tiêu,
nó có thể là đẳng thức, bất đẳng thức đối với ánh xạ đơn trị hoặc hợp hay
giao của các ánh xạ đa trị, hoặc là một quan hệ trong khơng gian nao đó.
Trong chương này ta chỉ xét bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II.
Bài tốn này bao gồm các bài tốn quen biết trong lý thuyết tối ưu sau.
1). Bài tốn tựa cân bằng. Giả sử D, K, Pi , i = 1, 2, Q xác định như trên.
Cho R+ là tập các số thực khơng âm, hàm thực Φ : K × D × D → R
thỏa mãn Φ(y, x, x) = 0 với mọi y ∈ K, x ∈ D.

Bài tốn: Tìm x
¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1 (¯
x) và

φ(y, x¯, t) ≥ 0 với mọi t ∈ P2 (¯
x), và y ∈ Q(¯
x, t),
đã được nghiên cứu bởi rất nhiều tác giả, xem trong [3],[5], [10], [13] và
nó cũng mở rộng bài tốn cân bằng đã biết của Blum và Oettli trong
[3] . Nếu định nghĩa ánh xạ F bởi F (y, x, t) = φ(y, x, t) − R+ , thì bài
tốn được đưa về: tìm x
¯ ∈ D sao cho

x¯ ∈ P1 (¯
x),
0 ∈ F (y, x¯, t) với mọi t ∈ P2 (¯
x) và y ∈ Q(¯
x, t).
2). Bất đẳng thức tựa biến phân Minty. Cho

., . : X × Z → R
là hàm song tuyến tính liên tục. Bài tốn: tìm x
¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1 (¯
x)
và

x) và y ∈ Q(¯
x, t),
y, t − x¯ ≥ 0 với mọi t ∈ P2 (¯
đã được nghiên cứu nhiều trong [6], [14], [17] . Định nghĩa ánh xạ F bởi

F (y, x, t) = y, t − x − R+ , thì nó được đưa về(GQEP )II .
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

3). Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại hai. Giả sử D, K, Y, Pi , i =

1, 2 và Q xác định như trên. Gọi C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón G và H
là các ánh xạ đa trị xác định trên K × D × D với giá trị trên Y . Bài
tốn sau đã được nghiên cứu nhiều trong [5], [10], [13], [18] và nhiều bài
báo khác: Tìm x
¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1 (¯
x) và
G(y, x¯, t) ⊆ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯), với mọi t ∈ P2 (¯
x) và y ∈ Q(¯
x, t).
Định nghĩa các ánh xạ M : K × D → 2X ; F : K × D × D → 2X bởi

M (y, x) = {t ∈ D \ G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K × D;
F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D.
Khi đó bài tốn trên được đưa về (GQEP )II .

4). Tựa quan hệ biến phân tổng qt loại 2. Giả sử D, K, Pi , i = 1, 2, Q xác định như t
là quan hệ ba ngơi giữa y ∈ K, x ∈ D, t ∈ D. Bài tốn: tìm x
¯ ∈ D sao
cho x

¯ ∈ P1 (¯
x) và quan hệ R(y, x¯, t) xảy ra với mọi t ∈ P2 (¯
x) và y ∈

Q(¯
x, t), đã nghiên cứu trong [12]
Nếu ta định nghĩa các ánh xạ M : K × D → 2X ; F : K × D × D →

2X như sau
M (y, x) = {t ∈ D \ quan hệ R(y, x, t) xảy ra };
F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D;
thì bài tốn trên được đưa về (GQEP )II .

2.1

Định lý tồn tại nghiệm

Mục này tập trung nghiên cứu các điều kiện cho các ánh xạ P1 , P2 , Q và F
để bài tốn (GQEP )II có nghiệm . Ta có:
Định lý 2.1.1. Các điều kiện sau đủ cho bài tốn (GQEP )II có nghiệm:
i). D là tập con khác rỗng, lồi, compact;
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>