PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

Phương pháp tọa độ trong không gian
0.1

Hệ tọa độ trong không gian

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCE với A(3; 1; 2), B(1; 0; 1),
C (2; 3; 0). Tọa độ đỉnh E là
A E(4; 4; 1).

B E(0; 2; −1).

C E(1; 1; 2).

D E(1; 3; −1).

Hướng dẫn giải
Gọi tọa độ điểm E là E( x; y; z). ABCE là hình bình hành, ta có




2
=
x
−
2



x = 4



# »
#»
BA = CE ⇔ 1 = y − 3 ⇔ y = 4






 z = 1.
1 = z
Chọn đáp án A
#»
#»
#»
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho #»
a = − i + 2 j − 3 k . Tìm tọa độ của véc-tơ
#»
a.
A (2; −3; −1).

B (−3; 2; −1).

C (−1; 2; −3).

D (2; −1; −3).

Hướng dẫn giải
#»
#»
#»
a = (−1; 2; −3).
Ta có #»
a = − i + 2 j − 3 k ⇒ #»
Chọn đáp án C
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C ( x; y; 6) thẳng
hàng. Giá trị của biểu thức x + y là
A 16.

B 14.

C 18.

D 20.

Hướng dẫn giải
# »
# »
• Ta có AB = (1; 2; 1), AC = ( x − 2; y − 5; 3).
# » # »
• Ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C ( x; y; 6) thẳng
 hàng khi và chỉ khi AB, AC cùng phương. Điều
x = 5
x−2
y−5
3

nầy tương đương với
=
= ⇔
 y = 11.
1
2
1
Vậy x + y = 5 + 11 = 16.
Chọn đáp án A
#»
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba véctơ #»
a = (1; 2; −1), b = (3; −1; 0), #»
c =

(1; −5; 2). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
#»
#»
A #»
B #»
a cùng phương với b .
a , b , #»
c không đồng phẳng.
#»
#»
C #»
a , b , #»
c đồng phẳng.
D #»
a vuông góc với b .
Hướng dẫn giải

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 1


LATEX

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
#»
#»
#»
Ta có #»
a ; b = 0 ⇒ Hai véc-tơ #»
a , b không cùng phương.
#»
#»
#»
a ; b · #»
c = −1 + 5 − 14 = 0 ⇒ Ba véc tơ #»
a , b , #»
c đồng phẳng.
Chọn đáp án C
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C ( x; y; 6) thẳng
hàng. Giá trị của biểu thức x + y là
A 16.

B 14.

C 18.

D 20.

Hướng dẫn giải
# »
# »
• Ta có AB = (1; 2; 1), AC = ( x − 2; y − 5; 3).
# » # »
• Ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C ( x; y; 6) thẳng
 hàng khi và chỉ khi AB, AC cùng phương. Điều
x = 5
y−5
3
x−2
=
= ⇔
nầy tương đương với
 y = 11.
1
2
1
Vậy x + y = 5 + 11 = 16.
Chọn đáp án A
#»
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba véctơ #»
a = (1; 2; −1), b = (3; −1; 0), #»
c =

(1; −5; 2). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
#»
#»

A #»
B #»
a cùng phương với b .
a , b , #»
c không đồng phẳng.
#» #»
#»
#»
#»
C a , b , c đồng phẳng.
D a vuông góc với b .
Hướng dẫn giải
#»
#»
#»
Ta có #»
a , b = 0 ⇒ Hai véc-tơ #»
a , b không cùng phương.
#»
#»
#»
c = −1 + 5 − 14 = 0 ⇒ Ba véc-tơ #»
a , b , #»
c đồng phẳng.
a , b · #»
Chọn đáp án C
Câu 7. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(13; 2; 15) trên mặt phẳng tọa độ

(Oxy) là điểm H ( a; b; c). Tính P = 3a + 15b + c.
A P = 48.

B P = 54.

C P = 69.

D P = 84.

Hướng dẫn giải
Hình chiếu vuông góc của điểm M(13; 2; 15) trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là điểm H (13; 2; 0).
Do đó a = 13, b = 2, c = 0 ⇒ P = 3a + 15b + c = 3 · 13 + 15 · 2 + 0 = 69.
Chọn đáp án C
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 3; 5), B(2; 0; 1) và G (1; 4; 2) là trọng tâm.
Tìm tọa độ điểm C.
A C (0; 0; 9).

B C

4 7 8
; ;
.
3 3 3

C C (0; −9; 0).

D C (0; 9; 0).

Hướng dẫn giải

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 2


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX



xC = 3xG − ( x A + x B ) = 0



Do G (1; 4; 2) là tọa độ trọng tâm tam giác ABC, ta có yC = 3yG − (y A + y B ) = 9



 z = 3z − (z + z ) = 0.
C

G

B

A

Vậy C (0; 9; 0).
Chọn đáp án D
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C (−3; 5; 1).
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A D (−4; 8; −5).

B D (−4; 8; −3).

C D (−2; 8; −3).

D D (−2; 2; 5).

Hướng dẫn giải
Gọi D ( x D ; y D ; z D ).

A

Ta có ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
# »
# »
AB = DC (1),
# »
trong đó AB = (1; −3; 4),
# »
DC = (−3 − x D
; 5 − y D ; 1 − z D ). 


− 3 − xD = 1
x D = −4







Do đó từ (1) có 5 − y D = −3 ⇔ y D = 8






1−z = 4
 z = −3.
D

D

B

C

D

Vậy D (−4; 8; −3).
Chọn đáp án B
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 0; −5). Tọa độ trung điểm I của
đoạn thẳng AB là
A I (2; 1; −1).

B I (2; 2; −2).

C I (4; 2; −2).

D I (−1; 1; 4).

Hướng dẫn giải
Tọa độ trung điểm I

1+3 2+0 3−5
;
;
2
2
2

⇒ I (2; 1; −1).

Chọn đáp án A
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 3), B(2; 3; −4), C (−3; 1; 2). Tìm
tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A D (−4; −2; 9).

B D (−4; 2; 9).

C D (4; −2; 9).

D D (4; 2; −9).

Hướng dẫn giải

# »
#»
Giả sử D ( x; y; z), ta có ABCD là hình bình hành ⇔ AD = BC.

# »
#»
Ta có AD = ( x − 1; y;z − 3), BC (−5; −
2; 6).


x = −4
x − 1 = −5






# »
#»
Do đó AD = BC ⇔ y = −2
⇔ y = −2 ⇔ D (−4; −2; 9).






z = 9
z−3 = 6
Vậy tọa độ cần tìm của D là D (−4; −2; 9).
Chọn đáp án A
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 3


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 3; 4), B(2; −1; 0), C (3; 1; 2).
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
A G (2; 1; 2).

3
C G 3; ; 3 .
2

B G (6; 3; 6).

D G (2; −1; 2).

Hướng dẫn giải
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G

x A + x B + xC y A + y B + yC z A + z B + zC
;
;
3
3
3

⇒ G (2; 1; 2).

Chọn đáp án A
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 1) , B(2; −1; 3). Điểm M ( a; b; c)
là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA2 − 2MB2 lớn nhất. Tính P = a + b + c.
A P = −1.

B P = 7.

C P = 5.

D P = 2.

Hướng dẫn giải

#»
#»
#»
Gọi I là điểm thỏa mãn I A − 2 IB = 0 .
#»
#»
Giả sử I ( x;
 y; z) ⇒ I A(1 − x; 2 − y; 1 −z), IB(2 − x; −1 − y; 3 − z).


 1 − x − 2(2 − x ) = 0
x = 3




Ta có (1) ⇔ 2 − y − 2(−1 − y) = 0 ⇔ y = −4 ⇒ I (3; −4; 5).







 1 − z − 2(3 − z ) = 0
z = 5
Ta có
#» # »
IA − IM

(1)

#» # » 2
− 2 IB − I M
# » #»
#»
= − MI 2 + I A2 − 2IB2 − 2 I M I A − 2 IB

MA2 − 2MB2 =

2

= − I M2 + I A2 − 2IB2 .
Do I, B, A cố định nên biểu thức trên đạt giá trị lớn nhất ⇔ I M nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu vuông
góc của I lên mặt phẳng ( P).


x=3




Đường thẳng (δ) qua I và vuông góc với (Oxy) có phương trình y = −4



 z = 5 + t.


a=3



Phương trình mặt phẳng (Oyz) : z = 0 ⇒ 5 + t = 0 ⇒ t = −5 ⇒ M(3; −4; 0) ⇒ b = −4



 c = 0.
Vậy ta có P = a + b + c = 3 − 4 + 0 = −1.

• Cách khác: Cách đại số
Do M ∈ (Oxy) ⇒ c = 0.
Ta có
MA2 − 2MB2 = ( a − 1)2 + (b − 2)2 + (0 − 1)2 − 2 ( a − 2)2 + (b + 1)2 + (0 − 3)2

= − a2 − b2 + 6a − 8b − 22
= −( a − 3)2 − (b + 4)2 + 3 ≤ 3.
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 4


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX
Dầu bằng xảy ra ⇔


a = 3

 b = −4.
Vậy ta có a + b + c = 3 − 4 + 0 = −1.
Chọn đáp án A
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»
x = (2; 1; −3) và #»
y = (1; 0; −1).
Tìm tọa độ của véc-tơ #»
a = #»
x + 2 #»
y.
A #»
a = (4; 1; −1).

B #»
a = (3; 1; −4).

C #»
a = (0; 1; −1).

D #»

a = (4; 1; −5).

Hướng dẫn giải
Ta có #»
a = #»
x + 2 #»
y = (2 + 2; 1 + 0; −3 − 2) = (4; 1; −5).
Chọn đáp án D
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; −2) và B(3; −1; 1). Tìm tọa độ
# »
# »
điểm M sao cho AM = 3 AB.
A M (9; −5; 7).

B M(9; 5; 7).

C M(−9; 5; −7).

D M (9; −5; −5).

Hướng dẫn giải
Xét điểm M ( x; y; z). Ta có



x−0 = 3·3




y − 1 = 3 · (−2) , từ đó có M (9; −5; 7).



z+2 = 3·3

Chọn đáp án A
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −4; 3) và B(2; 2; 7). Trung điểm của đoạn thẳng
AB có tọa độ là
A (1; 3; 2).

B (2; −1; 5).

C (2; −1; −5).

D (2; 6; 4).

Hướng dẫn giải

x + xB
2+2


xI = A
=
=2


2
2



−4 + 2
y + yB
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là y I = A
=
= −1

2
2




 z = z A + z B = 3 + 7 = 5.
I
2
2
Vậy I (2; −1; 5).
Chọn đáp án B
Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2) và B(3; 1; 0). Tọa độ trung điểm I của
đoạn AB là
A I (2; 0; 1).

B I (1; 1; −1).

C I (2; 2; −2).

D I (4; 0; 2).

Hướng dẫn giải
Tọa độ trung điểm I của AB là I

1 + 3 −1 + 1 2 + 0
;
;
2
2
2

hay I (2; 0; 1).

Chọn đáp án A
Câu 18. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(−1; 2; 0), B(3; 1; 0), C (0; 2; 1) và D (1; 2; 2). Trong
đó có ba điểm thẳng hàng là
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 5


LATEX
A A, C, D.

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />B A, B, D.

C B, C, D.

D A, B, C.

Hướng dẫn giải

# »
# »
Ta có AC = (1; 0; 1) và AD = (2; 0; 2).
# »
# »
Từ đó ta được AD = (2; 0; 2) = 2 AC = (1; 0; 1) do đó 3 điểm A, C, D thẳng hàng.
Chọn đáp án A
Câu 19. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; 0; 2), B(2; 1; −3) và C (1; −1; 0). Tìm tọa độ điểm
D sao cho ABCD là hình bình hành.
A D (0; 2; −1).

B D (−2; −2; 5).

C D (−2; 2; 6).

D D (2; 2; −5).

Hướng dẫn giải

# »
# »
Gọi D ( x; y; z). Ta có AB = (3; 1; −5) và DC = 
(1 − x; −1 − y; −z).

x = −2



# »
# »

Để ABCD là hình bình hành thì AB = DC ⇔ y = −2



 z = 5.
Chọn đáp án B
#»
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho #»
a = (2; −3; 3), b = (0; 2; −1), #»
c = (3; −1; 5).
#»
Tìm tọa độ của vec-tơ #»
u = 2 #»
a + 3 b − 2 #»
c.
A (10; −2; 13).

B (−2; 2; −7).

C (−2; −2; 7).

D (−2; 2; 7).

Hướng
 dẫn giải
 2 #»
a = (4; −6; 6)




#»
#»
Ta có 3 b = (0; 6; −3) nên #»
u = 2 #»
a + 3 b − 2 #»
c = (−2; 2; −7).



 2 #»
c = (6; −2; 10)
Chọn đáp án B
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 3; 2), B(3; −1; 4). Tìm tọa độ trung điểm I
của AB.
A I (2; −4; 2).

B I (4; 2; 6).

C I (−2; −1; −3).

D I (2; 1; 3).

Hướng dẫn giải
Ta có I là trung điểm của AB nên I

1+3 3−1 2+4
;
;
. Vậy I (2; 1; 3).
2

2
2

Chọn đáp án D
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 7), B(5; 5; 1) và mặt phẳng
√
( P) : 2x − y − z + 4 = 0. Điểm M thuộc ( P) sao cho MA = MB = 35. Biết M có hoành độ
nguyên, ta có OM bằng
√
A 2 2.

√
B 2 3.

√
C 3 2.

D 4.

Hướng dẫn giải
Gọi M( x; y; z). Ta có M ∈ ( P)
: 2x − y − z + 4 =0.
(1)
 MA = MB
 x + 2y − 3z = −2
(2)
√
Lại có MA = MB = 35 ⇔
⇔
√

 MA = 35
 x2 + y2 + z2 − 6x − 2y − 14z = −24.
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

(3)
Trang 6


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX


( x; y; z) = (0; 2; 2)


Từ (1), (2), (3) suy ra 

14 20 20 .
; ;
( x; y; z) =
3 3 3
Theo giả thiết M có hoành độ nguyên nên M(0; 2; 2) thỏa mãn.
√
Khi đó OM = 2 2.
Chọn đáp án A
Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; −2) và B(−1; 3; 2). Trung điểm đoạn AB có
tọa độ là
A (1; 2; 0).

B (2; −1; −2).

D (4; −2; −4).

C (2; 4; 0).

Hướng dẫn giải
Trung điểm đoạn AB có tọa độ là

3 + (−1) 1 + 3 −2 + 2
;
;
2
2
2

= (1; 2; 0).

Chọn đáp án A
Câu 24. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(9; 11; 6) và C (5; 10; 7). Giả sử điểm
# » # »
M( a; b; c) thuộc đường thẳng AB sao cho tích vô hướng AB · MC = 45. Khi đó a + b + c bằng
A 19 .

B 32 .

C 16 .

D 24 .

Hướng dẫn giải

# »
# »
Do M thuộc đường thẳng AB nên AM = k AB với k là số thực.
Theo giả thiết

# »
# »
# » # »
AB = (10; 10; 5), AC = (6; 9; 6) ⇒ AB · AC = 180, AB2 = 225.

# » # »
# » # » # »
# » # »
# »
3
Ta có AB · MC = AB( AC − AM ) = AB · AC − k AB2 = 180 − 225k = 45, suy ra k = .
5
# »
Do đó AM = (6; 6; 3) ⇒ M(5; 7; 4). Vậy a + b + c = 16.
Chọn đáp án C
Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và D (1; −1; 1),
tọa độ điểm C là
A (2; 0; 2).

B (2; 2; 2).

C (2; −2; 2).

D (0; −2; 0).

Hướng dẫn giải

#»
# »
Gọi C ( x; y; z), ta có BC = ( x − 2; y − 1; z − 2) và AD = (0; −1; 0).
Vì ABCD là hình bình hành nên




x−2 = 0
x=2






#»
# »
BC = AD ⇔ y − 1 = −1 ⇔ y = 0






z−2 = 0
 z = 2.

Vậy C (2; 0; 2).

C

D

B

A

Chọn đáp án A
#»
Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho #»
a = (2; 1; 3), b = (4; −3; 5) và #»
c = (−2; 4; 6). Tọa độ của
#» #»
#»
#»
vectơ u = a + 2 b − c là
A (10; 9; 6).

B (12; −9; 7).

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

C (10; −9; 6).

D (12; −9; 6).
Trang 7

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

Hướng dẫn giải
#»
Ta có #»
a = (2; 1; 3), 2 b = (8; −6; 10), #»
c = (−2; 4; 6).
#»
⇒ #»
u = #»
a + 2 b − #»
c = (12; −9; 7).
Chọn đáp án B
Câu 27. Trong không gian Oxyz cho điểm A(4; −2; 1) và véc-tơ #»
v = (1; 1; −2). Tìm tọa độ điểm A
là ảnh của A qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và
phép tịnh tiến theo #»
v.
A A (5; 1; 1).

B A (5; 3; −1).

C A (5; −1; −3).

D A (5; 3; −3).

Hướng dẫn giải
Gọi A ( a; b; c) là điểm cần tìm, P là điểm đối xứng với A qua trục Ox. Khi đó P(4; 2; −1) và





a=5
a−4 = 1






# »
PA = #»
v ⇔ b−2 = 1 ⇔ b = 3






 c = −3.
 c + 1 = −2
Vậy A’(5;3;-3) là điểm cần tìm.
Chọn đáp án D
#»
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 véc-tơ #»
a = (−1; 10), b = (1; 1; 0), #»
c =

(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
√
√
#»
A | #»
B #»
C | #»
a | = 2.
c ⊥ b.
c | = 3.

#»
D #»
a ⊥ b.

Hướng dẫn giải
#»
#»
#»
c = 1 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1 = 2 = 0.
c ⊥ b sai vì b · #»
Chọn đáp án B
Câu 29. Cho #»
u = (−1; 1; 0), #»
v = (0; −1; 0), góc giữa hai vectơ #»
u và #»
v là
A 120◦ .

B 45◦ .

C 135◦ .

D 60◦ .

Hướng dẫn giải
Ta có cos( #»
u , #»
v) =

#»
−1
u · #»
v
=√ .
#»
#»
|u| · |v|
2
Suy ra ( #»
u , #»
v ) = 135◦ .
Chọn đáp án C

#»
Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»
a = (−3; 4; 0), b = (5; 0; 12). Tính
#»
cô-sin góc giữa hai véc-tơ #»
a và b .

3
5
3
5
A
.
B − .
C − .
D .
13
13
6
6
Hướng dẫn giải
Ta có

#»
cos #»
a, b =

#»
a·
a|·
| #»

#»
b
#» =
b

−3 · 5 + 4 · 0 + 0 · 12
3
=− .
√
13
(−3)2 + 42 + 02 · 52 + 02 + 122

Chọn đáp án B
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 8


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; −1), B(1; 4; 3). Độ dài đoạn thẳng AB là
√
√
√
A 2 13.
B
6.
C 3.
D 2 3.
Hướng dẫn giải
Độ dài đoạn thẳng AB là AB =

(1 − 1)2 + (4 + 2)2 + (3 + 1)2 =

√

√
52 = 2 13.

Chọn đáp án A
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #»
u = (3; 0; 1) và #»
v = (2; 1; 0). Tích vô
hướng #»
u · #»
v bằng
A 8.

B 6.

D −6.

C 0.

Hướng dẫn giải
Ta có #»
u · #»
v = 6 + 0 + 0 = 6.
Chọn đáp án B
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C (0; −3; 0). Tính bán kính
mặt cầu
√ ngoại tiếp tứ diện OABC là
√
14

A
B
.
14.
4
Hướng dẫn giải

√
C

14
.
3

√
D

Phương trình mặt cầu đi qua gốc O có dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = 0.

14
.
2

(∗)

Do mặt cầu đi qua các điểm A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C (0; −3; 0) nên thay lần lượt tọa độ các điểm vào
phương trình (∗)ta có hệ

1



a=


1
−
2a
=
0


√


2


√
14
.
4 + 4c = 0 ⇔ c = −1 . Suy ra bán kính mặt cầu là R = a2 + b2 + c2 =


2




 9 − 6b = 0


3

b =
2
Chọn đáp án D
Câu 34. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; −4)
và diện tích của mặt cầu đó bằng 36π.
A ( x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = 9.

B ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2 = 9.

C ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = 3.

D ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = 9.

Hướng dẫn giải
Ta có diện tích của mặt cầu là S = 36π ⇔ 4πR2 = 36π ⇔ R = 3.
Vậy phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; −4) bán kính R = 3 là

(S) : ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = 9.
Chọn đáp án D
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu
đường kính AB có phương trình là
A ( x + 1)2 + ( y − 3)2 + ( z − 3)2 =

√

45.

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

B ( x − 1)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 45.
Trang 9


LATEX

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
C ( x − 1)2 + ( y − 3)2 + ( z + 3)2 =

√

45.

D ( x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.

Hướng dẫn giải

√
Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I (−1; 3; 3) của AB và bán kính R = I A = 3 5.
Phương trình của mặt cầu cần tìm là

( x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45.
Chọn đáp án D
Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : ( x + 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 2. Xác định tọa
độ tâm I của mặt cầu (S).
A I (−3; 1; −1).

B I (3; 1; −1).

C I (−3; −1; 1).

D I (3; −1; 1).

Hướng dẫn giải
Mặt cầu ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm I ( a; b; c).
Do đó mặt cầu đã cho có tâm I (−3; −1; 1).
Chọn đáp án C
Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −2; 3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên
trục Ox. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu tâm I bán kính I M?
√
A ( x − 1)2 + y2 + z2 = 13.
B ( x − 1)2 + y2 + z2 = 13.
C ( x + 1)2 + y2 + z2 = 13.

D ( x + 1)2 + y2 + z2 = 17.

Hướng dẫn giải
Do I là hình chiếu của M(1; −2; 3) trên Ox nên I (1; 0; 0).
Vậy mặt cầu tâm I bán kính I M =

(1 − 1)2 + (−2 − 0)2 + (3 − 0)2 =

√

13 có phương trình là

( x − 1)2 + y2 + z2 = 13.
Chọn đáp án B
Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; −2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox

√
tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 3.
A ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16.

B ( x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 20.

C ( x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25.

D ( x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 9.

Hướng dẫn giải
Do A, B ∈ Ox nên A( a, 0, 0) và B(b, 0, 0), a < b.
Theo giả thiết ta có hệ phương trình

√
a = 1− 3




√
√

 AB = 2 3
 (b − a)2 = 12
a = 2−b
 b = 1+ 3
⇔
⇔
⇔

a = b (loại) ⇔
√

 I A = IB
 ( a − 1)2 = ( b − 1)2

 (1 − b )2 = 3


 a = 1+ 3



.
a = 2−b
 b = 1 − √3


(b − a)2 = 12




"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 10


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

Suy ra A 1 −

√

3; 0; 0 và B 1 +

Bán kính mặt cầu I A =

√
− 3

√
2

3; 0; 0 .

+ (−2)2 + 32 = 4.

Vậy phương trình mặt cầu là ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16.
Chọn đáp án A
Câu 39. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; 0) và B(1; −2; 2). Phương trình mặt cầu
đường kính AB là
A x2 + y2 + (z − 1)2 = 6.

B x2 + y2 + (z − 2)2 = 9.

C x2 + y2 + (z + 1)2 = 6.

D ( x − 2)2 + (y + 4)2 + (z − 2)2 = 24.

Hướng dẫn giải
I (0; 0; 1) là trung điểm AB cũng là tâm của
√ mặt cầu.
√
24
.
AB = 22 + (−4)2 + 22 = 24 ⇒ R =
2
Vậy phương trình mặt cầu là x2 + y2 + (z − 1)2 = 6.
Chọn đáp án A
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 8x + 2y + 1 = 0. Tìm
tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).
A I (−4; 1; 0), R = 2.

B I (−4; 1; 0), R = 4.

C I (4; −1; 0), R = 2.

D I (4; −1; 0), R = 4.

Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) có tâm I (4; −1; 0) và bán kính R =

42 + (−1)2 + 02 − 1 = 4.

Chọn đáp án D
Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −3) và B(1; 2; 5). Phương trình của mặt cầu
đường kính AB là
A ( x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 16.

B ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 16.

C ( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 4.

D ( x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 4.

Hướng dẫn giải
Mặt cầu có tâm I (1; 2; 1) là trung điểm AB và bán kính R =

AB
= 4, nên có phương trình là
2

( x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 16.
Chọn đáp án B
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M (2; 1; 4), N (5; 0; 0), P (1; −3; 1). Gọi
I ( a; b; c) là tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) đồng thời đi qua các điểm M, N, P. Tìm c biết
a + b + c < 5.
A 3.

B 1.

C 2.

D 4.

Hướng dẫn giải
Gọi I ( a; b; c) là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz), đồng thời đi qua các điểm M, N, P,

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 11


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX


IM = IN



suy ra I M = IP



 d ( I, (Oyz)) = I N.
• IM = IN ⇔
• I M = IP ⇔

(2 − a )2 + (1 − b )2 + (4 − c )2 =
(2 − a )2 + (1 − b )2 + (4 − c )2 =

(5 − a)2 + b2 + c2 ⇔ 3a − b − 4c = 2.
(1 − a)2 + (b + 3)2 + (1 − c)2 ⇔ a + 4b +

3c = 5.
• d ( I, (Oyz)) = I N ⇔ | a| =

(5 − a)2 + b2 + c2 ⇔ −10a + b2 + c2 = −25.

Khi đó ta được hệ phương trình








c=4
c
=
2
b
=
1
−
c
3a
−
b
−
4c
=
2













⇔ b = −1 hoặc b = −3
⇔ a = 1+c
a + 4b + 3c = 5












 a = 5.
a = 3
 c2 − 6c + 8 = 0
 − 10a + b2 + c2 = −25

Vì a + b + c < 5 nên ta chọn



c=2




b = −1



 a = 3.

Chọn đáp án C
Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của
một mặt cầu?
A x2 + y2 + z2 − 2x + 4z − 1 = 0.

B x2 + z2 + 3x − 2y + 4z − 1 = 0.

C x2 + y2 + z2 + 2xy − 4y + 4z − 1 = 0.

D x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z + 8 = 0.

Hướng dẫn giải
Một mặt cầu luôn có phương trình đưa được về dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Ngược
lại, phương trình có dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu
khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 − d > 0.
Phương trình x2 + z2 + 3x − 2y + 4z − 1 = 0 và x2 + y2 + z2 + 2xy − 4y + 4z − 1 = 0 không thể là
phương trình của một mặt cầu vì nó không đưa được về dạng như trên.

Phương trình x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z + 8 = 0 có dạng như trên nhưng lại có a2 + b2 + c2 − d =

−3 < 0 nên cũng không thể là phương trình của một mặt cầu.
Phương trình x2 + y2 + z2 − 2x + 4z − 1 = 0 có a2 + b2 + c2 − d = 6 > 0 nên nó là phương trình của
một mặt cầu.
Chọn đáp án A
Câu 44. Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1. Trên hai tia Ox, Oy lần lượt
lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện O.ABC?
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 12


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

√

6
A
.
4
Hướng dẫn giải

B

√

√

6.

C

6
.
3

√
D

6
.
2

Đặt OA = a; OB = b với a, b > 0.
Từ giả thiết ta có a + b = 1.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (OA, OB, OC đôi một vuông góc) là
√
√
OA2 + OB2 + OC2
a2 + b2 + 1
=
R =
2
2
1
1
=
a2 + (1 − a )2 + 1 =

2a2 − 2a + 2.
2
2
Lại có
3
1 2 3
a−
+ ≥
2
4
4
√ √
√
√
3
2
3
6
⇒R≥
·
=
.
⇒
a2 − a + 1 ≥
2
2
2
4
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = .

2
√
6
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
.
4
Chọn đáp án A
#»
#» #»
# »
Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho OA = i + j − 3 k , B(2; 2; 1). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục
a2 − a + 1 =

tung sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
A M (0; −3; 0).

B M(0; −2; 0).

3
C M 0; ; 0 .
2

D M (0; −4; 0).

Hướng dẫn giải
#»
#» #»
# »
Do OA = i + j − 3 k ⇒ A(1; 1; −3) và M thuộc trục tung ⇒ M(0; m; 0).
Ta có: MA2 + MB2 = 1 + (m − 1)2 + 9 + 4 + (2 − m)2 + 1 = 2m2 − 6m + 20 = 2 m −

3
2

2

+

31
31
≥ .
2
2

3
Dấu “= ” xảy ra tại m = .
2
3
Vậy M 0; ; 0 .
2
Chọn đáp án C
Câu 46. Trong không gian Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3) và C (0; 1; −2). Gọi M( a; b; c) là điểm
# » # »
# » # »
# » # »
thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = MA · MB + 2 · MB · MC + 3 · MC · MA đạt giá trị
nhỏ nhất. Khi đó T = 12a + 12b + c có giá trị là
A T = 3.

B T = −3.

C T = 1.

D T = −1.

Hướng dẫn giải
Với I là điểm bất kỳ, ta có
# »# »
# »# »
# »# »
MA MB + 2 MB MC + 3 MC MA
#» # »
#» # »
#» # »
#» # »
#» # »
= I A − I M IB − I M + 2 IB − I M IC − I M + 3 IC − I M
# »#»
# »# » # » # »
#»
#»# »
#»
= I A IB + 2 IB IC + 3 IC I A − I M 4 I A + 3 IB + 5 IC + 6I M2 .
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

#» # »
IA − IM

Trang 13

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

#»
#»
#»
#»
Chọn I ( x; y; z) sao cho 4 I A + 3 IB + 5 IC = 0 .




− 12x = 2
4(1 − x ) + 3(−2 − x ) + 5(0 − x ) = 0






⇒ 4(−1 − y) + 3(0 − y) + 5(1 − y) = 0 ⇔
− 12y = −1






 − 12z = −7.

 4(2 − z) + 3(3 − z) + 5(−2 − z) = 0
1 1 7
Suy ra I − ; ;
.
6 12 12
# »#»
# »# »
#»
#»# »
# » #»
#»
Khi đó, I A IB + 2 IB IC + 3 IC I A là hằng số và I M 4 I A + 3 IB + 5 IC = 0 nên Smin ⇔ I M nhỏ nhất
1 1
⇔ M là hình chiếu của I trên (Oxy) ⇒ M − ; ; 0 .
6 12
1
(−1)
+ 12 ·
+ 0 = −1.
Vậy T = 12 ·
6
12
Chọn đáp án D
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(−1; 1; 6), B(−3; −2; −4),
C (1; 2; −1), D (2; −2; 0). Điểm M( a; b; c) thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi
nhỏ nhất. Tính a + b + c.
A 1.

B 2.

C 3.

D 0.

Hướng dẫn giải

# »
# »
Điểm
thẳng CD nên ∃k ∈ R sao cho CM = k · CD.
 M thuộc đường


a = 1+k
a−1 = k






⇔ b − 2 = −4k ⇔ b = 2 − 4k ⇒ M(1 + k; 2 − 4k; −1 + k).






c+1 = k
 c = −1 + k

Gọi P là chu vi của tam giác ABM thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Ta có
AM + BM =

(2 + k)2 + (1 − 4k)2 + (k − 7)2 +

=

18k2 − 18k + 54 +

=

18 k −

1
2

2

+

99
+
2

(4 + k)2 + (4 − 4k)2 + (3 + k)2

18k2 − 18k + 41
18 k −

1
2

2

+

73
≥
2

99
+
2

73
.
2

1
Suy ra AM + BM nhỏ nhất khi k = .
2
3
1
Nên M
; 0; − . Vậy a + b + c = 1.
2
2
Chọn đáp án A

0.2

Phương trình mặt phẳng

#»
Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ #»
a = (m; 1; 0), b = (2; m − 1; 1), #»
c = (1; m + 1; 1).
#»
Tìm m để ba vectơ #»
a , b , #»
c đồng phẳng.
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 14


LATEX

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
3
A m= .
B m = −2.
2
Hướng dẫn giải
#»
Ta có: #»
a , b = (1; −m; m2 − m − 2).

1
C m=− .
2

D m = −1.

#»
#»
1
a , b · #»
c = 0 ⇔ −2m − 1 = 0 ⇔ m = − .
Để #»
a , b , #»
c đồng phẳng thì #»
2
Chọn đáp án C
Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Độ
dài chiều
√
√
√ cao DH của tứ diện bằng
14
3 14
3 14
.
.
.
A
B
C

14
7
14
Hướng dẫn giải
# »
# »
Ta có AB = (1; −1; 2), AC = (2; 0; 1)
# » # »
⇒ AB, AC = (−1; 3; 2).
# » # »
Mặt phẳng ( ABC ) nhận AB, AC = (−1; 3; 2) làm véc-tơ pháp tuyến

√
4 14
.
D
7
D

và đi qua A(1; 2; 1) có phương trình:

−1( x − 1) + 3(y − 2) + 2(z − 1) = 0 ⇔ − x + 3y + 2z − 7 = 0

C

A
H

Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng khoảng cách từ D đến mặt
phẳng ( ABC ).

B

√

Ta có: DH = d( D, ( ABC )) =

3 14
| − 1 + 3 + 2 − 7|
√
=
.
14
1+9+4

Chọn đáp án B
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C (2; 1; 1).
Diện tích
√ của tam giác ABC bằng
√
√
11
7
6
A
B
C
.
.
.

2
2
2
Hướng dẫn giải
# »
# »
# » # »
Ta có AB = (−1; 0; 1) và AC = (1; 1; 1) ⇒ AB; AC = (−1; 3; −1) ⇒
√
1 # » # »
11
AB; AC =
.
Diện tích tam giác ABC là S =
2
2
Chọn đáp án A

√
D

5
.
2

# » # »
AB; AC

=

√

11.

Câu 51. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C (2; 1; 1). Diện tích của tam giác
ABC là√

√
√
6
5
10
A
.
B
.
C
.
2
2
2
Hướng dẫn giải
# »
# »
Ta có AB = (−1; 0; 1) và AC = (1; 1; 1).
√
1 # » # »
1
6
Suy ra S ABC = |[ AB, AC ]| = |(−1; 2; −1)| =

.
2
2
2
Chọn đáp án A

√
D

15
.
2

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2x − 4y + 6z − 1 = 0. Mặt phẳng

( P) có một véc-tơ pháp tuyến là
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 15


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX
A #»
n = (1; −2; 3).

B #»
n = (2; 4; 6).

C #»

n = (1; 2; 3).

D #»
n = (−1; 2; 3).

Hướng dẫn giải
1
v cũng
Mặt phẳng ( P) nhận #»
v = (2; −4; 6) làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó véc-tơ #»
n = (1; −2; 3) = #»
2
là một véc-tơ pháp tuyến của ( P).
Chọn đáp án A
Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) có phương trình 2x + 3y − 4z + 7 =
0. Tìm tọa độ véc-tơ pháp tuyến của ( P).
A #»
n = (−2; 3; −4).
B #»
n = (−2; −3; −4).

C #»
n = (2; 3; −4).

D #»
n = (2; −3; −4).

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng ( P) : 2x + 3y − 4z + 7 = 0 sẽ có một véc-tơ pháp tuyến #»
n = (2; 3; −4).

Chọn đáp án C
Câu 54. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −1; 2) và mặt phẳng ( P) : 2x −
y + z + 1 = 0. Mặt phẳng ( Q) đi qua điểm A và song song với ( P). Phương trình mặt phẳng ( Q)
là
A ( Q) : 2x − y + z − 5 = 0.

B ( Q) : 2x − y + z = 0.

C ( Q) : x + y + z − 2 = 0.

D ( Q) : 2x + y − z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải
Do ( Q)

( P) nên véc-tơ pháp tuyến #»
n P của ( P) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của ( Q).

Do đó ( Q) : 2( x − 1) − (y + 1) + (z − 2) = 0 ⇔ 2x − y + z − 5 = 0.
Chọn đáp án A
Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −1), B(2; 1; 0) mặt phẳng ( P) : 2x +
y − 3z + 1 = 0. Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với ( P). Phương trình mặt phẳng ( Q)
là
A 2x + 5y + 3z − 9 = 0.

B 2x + y − 3z − 7 = 0.

C 2x + y − z − 5 = 0.

D x − 2y − z − 6 = 0.

Hướng dẫn giải

# »
Mặt phẳng ( Q) chứa AB và vuông góc với ( P) nên có cặp véc-tơ chỉ phương là AB = (1; −1; 1) và
# »
#»
n = (2; 1; −3). Suy ra #»
n = AB, #»
n = (2; 5; 3).
P

Q

P

Mặt phẳng ( Q) đi qua điểm A(1; 2; −1) nên ta có phương trình mặt phẳng ( Q) là
2( x − 1) + 5(y − 2) + 3(z + 1) = 0 ⇔ 2x + 5y + 3 − 9 = 0.
Chọn đáp án A
Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) chứa điểm H (1; 2; 2) và cắt Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng ( P)
là
A x + 2y − 2z − 9 = 0.
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

B 2x + y + z − 6 = 0.
Trang 16


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />

LATEX
C 2x + y + z − 2 = 0.

D x + 2y + 2z − 9 = 0.

Hướng dẫn giải
Ta có BC ⊥ OA (do BC ⊂ (Oyz) và A ∈ Ox), BC ⊥ AH (do H là trực tâm tam giác ABC)

⇒ BC ⊥ (OAH ) ⇒ BC ⊥ OH, chứng minh tương tự ta cũng có AC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( ABC ).
# »
Do vậy ( P) qua điểm H (1; 2; 2) và nhận OH = (1; 2; 2) làm véc-tơ pháp tuyến. Ta được
( P) : ( x − 1) + 2(y − 2) + 2(z − 2) = 0 ⇒ x + 2y + 2z − 9 = 0.
Chọn đáp án D
Câu 57. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; 0; 7), C (0; 3; 0). Phương trình mặt
phẳng ( ABC ) là
x
y z
A
+ + = 1.
−2 7 3
y z
x
+ + = 1.
C
−2 3 7
Hướng dẫn giải

x
y z
+ + = 0.

−2 3 7
y z
x
+ + + 1 = 0.
D
−2 3 7
B

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn ( ABC ) :

x
y z
+ + = 1.
−2 3 7

Chọn đáp án C
Câu 58. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oyz) có phương trình
A x = 0.

B z = 0.

C x + y + z = 0.

D y = 0.

Hướng dẫn giải

#»
Mặt phẳng (Oyz) đi qua O(0; 0; 0) và có véc-tơ pháp tuyến i (1; 0; 0) ⇒ phương trình của mặt phẳng
là x = 0.

Chọn đáp án A
Câu 59. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm G (1; 2; 3). Gọi ( P) : px + qy + rz + 1 = 0 ( p, q, r ∈ R)
là mặt phẳng qua G và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Tính T = p + q + r.
11
A T=− .
18
Hướng dẫn giải

B T=

11
.
18

C T = 18.

D T = −18.

Giả sử A( a, 0, 0), B(0, b, 0), C (0, 0, c), ta có phương trình đoạn chắn của ( P) là

Tọa độ trọng tâm G

a b c
; ;
3 3 3

x y z
+ + = 1.
a

b c


a=3



= (1; 2; 3) ⇒ b = 6



 c = 9.

x y z
1
1
1
+ + = 1 ⇒ p = − ,q = − ,r = − .
3 6 9
3
6
9
11
Vậy ta có p + q + r = −
18
Chọn đáp án A
Phương trình của ( P) :

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 17


LATEX

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; −1; 0), C (0; 0; −3). Viết
phương trình mặt phẳng ( ABC ).
A −3x + 6y − 2z + 6 = 0.

B −3x − 6y + 2z + 6 = 0.

C −3x + 6y + 2z + 6 = 0.

D −3x − 6y + 2z − 6 = 0.

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng ( ABC ) có phương trình đoạn chắn là
y
z
x
+
+
= 1 ⇔ −3x + 6y + 2z + 6 = 0.
2 −1 −3
Cách khác:
# » # »
- Tìm vec-tơ pháp tuyến #»
n = AB, AC .
- Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) khi biết một vec-tơ pháp tuyến và đi qua một điểm.

Chọn đáp án C
Câu 61. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( P) qua M (1; 2; 3) và nhận #»
n = (1; 1; −1) làm véc-tơ
pháp tuyến có phương trình là
A x + 2y + 3z = 0.

B x + y + z = 0.

C x + y − z = 0.

D x + y + z − 6 = 0.

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng ( P) có phương trình là ( x − 1) + (y − 2) − (z − 3) = 0 ⇔ x + y − z = 0.
Chọn đáp án C
Câu 62. Trong không gian Oxyz, gọi ( P) là mặt phẳng qua M(2; 1; 9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần
lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC đều. Điểm có tọa độ nào dưới đây thuộc ( P)?
A (−1; 5; 8).

B (3; 2; −7).

C (1; −7; −6).

D (5; 5; 5).

Hướng dẫn giải
Tam giác ABC đều, chứng minh được OA = OB = OC = a > 0. Do A, B, C lần lượt thuộc tia
Ox, Oy, Oz nên A( a; 0; 0), B(0; a; 0), C (0; 0; a). Theo phương trình mặt phẳng chắn, phương trình ( P)
có dạng
x y z

+ + = 1 ⇔ x + y + z − a = 0.
a
a a
Vì M ∈ ( P), suy ra 2 + 1 + 9 − a = 0 ⇔ a = 12. Do đó ( P) : x + y + z − 12 = 0. Điểm có tọa độ

(−1; 5; 8) thuộc ( P).
Chọn đáp án A
Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc
của điểm M(1; 2; 3) lên các trục tọa độ thì phương trình mặt phẳng ( ABC ) là
1 2 3
x y z
1 2 3
x y z
A + + = 1.
B
C
D + + = 0.
+ + = 1.
+ + = 0.
x y z
1 2 3
x y z
1 2 3
Hướng dẫn giải

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 18

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX



A(1; 0; 0)



x y z
Ta có B(0; 2; 0) ⇒ ( ABC ) : + + = 1.

1 2 3


 C (0; 0; 3)
Chọn đáp án B
Câu 64. Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A(2; −3; 1)
lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng ( MNP) là
x y z
A + + = 1.
B 3x − 2y + 6z = 6.
2 3 1
x y z
C
D 3x − 2y + 6z − 12 = 0.
− + = 0.
2 3 1
Hướng
 dẫn giải



M(2; −3; 0)

# »

 MN

= (0; 3; 1)
⇒ #»
n ( MNP) = (3; −2; 6).
Ta có N (2; 0; 1) ⇒ # »



MP = (−2; 0; 1)

 P(0; −3; 1)
Ta được ( MNP) : 3x − 2y + 6z − 12 = 0.
Chọn đáp án D
Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (3; −1; 4) đồng thời
vuông góc với giá của véc-tơ #»
a = (1; −1; 2) có phương trình là
A x − y + 2z + 12 = 0.

B x − y + 2z − 12 = 0.

C 3x − y + 4z − 12 = 0.

D 3x − y + 4z + 12 = 0.

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (3; −1; 4) và có một véc-tơ pháp tuyến #»
a = (1; −1; 2) nên phương
trình là
1 ( x − 3) − 1(y + 1) + 2 (z − 4) = 0 ⇔ x − y + 2z − 12 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 66. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : x − 3y + 2z − 1 = 0, ( Q) : x − z + 2 = 0.
Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng ( P), ( Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ
bằng 3. Phương trình của (α) là
A x + y + z − 3 = 0.

B x + y + z + 3 = 0.

C −2x + z + 6 = 0.

D −2x + z − 6 = 0.

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng ( P) có một véc-tơ pháp tuyến là #»
n P = (1; −3; 2).
Mặt phẳng ( Q) có một véc-tơ pháp tuyến là #»
n = (1; 0; −1).
Q

Vì mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng ( P) và ( Q) nên (α) có một véc-tơ pháp tuyến là
#»
n α = #»
n P , #»
n Q = 3(1; 1; 1).

Mà mặt phẳng (α) đi qua A(3; 0; 0), nên suy ra phương trình là (α) : x + y + z − 3 = 0.
Chọn đáp án A
Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; −4) và B(−1; 2; 2). Viết phương
trình mặt phẳng trung trực (α) của đoạn thẳng AB.
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 19


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

A (α) : 4x + 2y + 12z + 7 = 0.

B (α) : 4x − 2y + 12z + 17 = 0.

C (α) : 4x + 2y − 12z − 17 = 0.

D (α) : 4x − 2y − 12z − 17 = 0.

Hướng dẫn giải
5
Gọi I là trung điểm của AB thì I 0; ; −1 . Mặt phẳng trung trực (α) của đoạn thẳng AB chứa
2
# »
điểm I và nhận BA = (2; 1; −6) là véc-tơ pháp tuyến có phương trình là
2( x − 0) + 1 y −

5
2

− 6(z + 1) = 0 ⇔ 4x + 2y − 12z − 17 = 0.

Chọn đáp án C
Câu 68. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; 4; 0),
C (0; 0; −2) là
A 4x − 3y + 6z + 12 = 0.

B 4x + 3y + 6z + 12 = 0.

C 4x + 3y − 6z + 12 = 0.

D 4x − 3y + 6z − 12 = 0.

Hướng dẫn giải
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC ) là
y
z
x
+ +
= 1 ⇔ 4x − 3y + 6z = −12 ⇔ 4x − 3y + 6z + 12 = 0.
−3 4 −2
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là 4x − 3y + 6z + 12 = 0.
Chọn đáp án A
Câu 69. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(2; 3; −1). Phương trình mặt phẳng qua
A và vuông góc với AB là
A 2x + y − z − 3 = 0.

B x + y − z + 3 = 0.

C x + y − z − 3 = 0.

D x − y − z − 3 = 0.

Hướng dẫn giải
# »
Ta có AB = (1; 1; −1) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB là
1( x − 1) + 1(y − 2) − 1(z − 0) = 0 ⇔ x + y − z − 3 = 0.
Chọn đáp án C
Câu 70. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 0; 1) và
vuông góc với mặt phẳng ( P) : x − y − 1 = 0 là
A x + y − 3z − 1 = 0.

B 2x + 2y − 5z − 2 = 0.

C x − 2y − 6z + 2 = 0.

D x + y − z − 1 = 0.

Hướng dẫn giải
Mạt phẳng ( P) có một véc-tơ pháp tuyến là #»
n P = (1; −1; 0).
# »
#
»
Ta có AB = (2; −1; 1) và [ #»
n , AB] = (−1; −1; 1).
P

Gọi ( Q) là mặt phẳng cần tìm, một véc-tơ pháp tuyến của ( Q) là #»
n Q = (1; 1; −1).
Vậy phương trình mặt phẳng ( Q) là 1 · ( x − 0) + 1 · (y − 1) − 1 · (z − 0) = 0 ⇔ x + y − z − 1 = 0.
Chọn đáp án D
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 20


LATEX

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
Câu 71. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; −1; 0), C (0; 0; 2). Phương trình mặt
phẳng ( ABC ) là
A 2x − y + z = 0.

B x+

y
− z = 1.
2

C x − 2y + z = 0.

D x−y+

z
= 1.
2

Hướng dẫn giải
# »
# »
Ta có AB = (−1; −1; 0), AC = (−1; 0; 2). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là #»
n =
# » # »
[ AB, AC ] = (−2; 2; −1). Do đó phương trình mặt phẳng ( P) là

−2( x − 1) + 2y − z = 0 ⇔ x − y +

z
= 1.
2

Chọn đáp án D
Câu 72. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm G (2; 1; 1). Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua
điểm G và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. Phương
trình mặt phẳng ( P) là
A x + 2y + 2z − 12 = 0.

B x + 2y + 2z + 6 = 0.

C 2x + y + z − 6 = 0.

D 2x + 4y + 4z − 12 = 0.

Hướng dẫn giải
Gọi A( a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) lần lượt là giao điểm của ( P) với trục Ox, Oy, Oz.
x y z
Khi đó phương trình mặt phẳng ( P) có dạng + + = 1.

a
b c
Do G (2; 1; 1) là trọng tâm ABC nên






x A + x B + xC = 3xG
a=6






⇔ b=3
y A + y B + yC = 3yG








z + z + z = 3z .
c = 3.
B

A
C
G
Vậy ( P) : 2x + 4y + 4z − 12 = 0.
Chọn đáp án D
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; −2) và hai mặt phẳng (α) : x + y −
2z − 4 = 0, ( β) : 2x − y + 3z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua M và vuông góc với
giao tuyến của (α) và ( β)?
A x − 7y + 3z + 11 = 0.

B x − 7y − 3z − 1 = 0.

C x − y + 3z + 5 = 0.

D x + y − 3z − 9 = 0.

Hướng dẫn giải
#»
Ta có #»
a = (1; 1; −2) và b = (2; −1; 3) lần lượt là vtpt của (α) và ( β).
#»
a , b = (1; −7; −3).
Suy ra #»
#»
( P) vuông góc với giao tuyến của (α) và ( β) nên #»
a , b = (1; −7; −3) là vtpt của ( P).
Vậy ( P) : x − 7y − 3z − 1 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; −1; 0), B(3; 1; −1). Điểm M thuộc
trục Oy và cách đều hai điểm A, B có tọa độ là

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 21


LATEX

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
9
A M 0; − ; 0 .
4
Hướng dẫn giải

9
B M 0; ; 0 .
2

Ta có trung điểm I của AB có tọa độ là I 1; 0; −

9
C M 0; − ; 0 .
2
1
2

9
D M 0; ; 0 .
4

# »

và AB = (4; 2; −1).

Phương trình mặt trung trực của đoạn AB là 4( x − 1) + 2(y − 0) − 1 z +

1
2

= 0 ⇔ 4x + 2y − z −

9
= 0.
2

9
Khi đó M là giao điểm của Oy và mặt trung trực AB, do vậy tọa độ M cần tìm là M 0; ; 0 .
4
Chọn đáp án D
Câu 75. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(3; 4; 1), C (2; 3; −3). Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp(Oxz). Độ dài đoạn GM ngắn nhất bằng
A 2.

B 1.

C 3.

D 4.

Hướng dẫn giải
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G (2; 3; 1).
Giả sử M ( a; 0; c) ∈ (Oxz). Gọi H là hình chiếu của G trên mp(Oxz) ⇒ H (2; 0; 1).

Ta có GM ≥ GH = d( G; (Oxz)) = 3 và GM = GH ⇔ M ≡ H, khi đó M(2; 0; 1).
Vây độ dài đoạn GM ngắn nhất bằng 3.
Chọn đáp án C
Câu 76. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, điểm M( a; b; c) thuộc mặt phẳng ( P) : x + y +
z − 6 = 0 và cách đều các điểm A(1; 6; 0), B(−2; 2; −1), C (5; −1; 3). Tổng a + b + c bằng
B −6.

A 6.

C 0.

D 5.

Hướng dẫn giải
Vì M ∈ ( P) nên a + b + c = 6. (1)
# »
# »
# »
Ta có AM = ( a − 1; b − 6; c)
, BM = ( a + 2; b − 2; c + 1), CM = ( a − 5; b + 1; c − 3).
 AM2 = BM2
Vì M cách đều A, B, C nên
 AM2 = CM2

⇔

⇔


 ( a − 1)2 + ( b − 6)2 + c2 = ( a + 2)2 + ( b − 2)2 + ( c + 1)2

 ( a − 1)2 + ( b − 6)2 + c2 = ( a − 5)2 + ( b + 1)2 + ( c − 3)2

 3a + 4b + c = 14
 4a + 7b − 3c = 1.



 a = −23


Kết hợp với (1) suy ra b = 18



 c = 11.
Tổng a + b + c = −23 + 18 + 11 = 6.
Chọn đáp án A
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 22


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

Câu 77. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − 3y + 1 = 0. Mặt phẳng ( P)
đi qua điểm nào sau đây?
B (1; −3; 1).

A (3; 1; 1).

C (−1; 0; 0).

D (1; 0; 0).

Hướng dẫn giải
Xét mặt phẳng ( P) : x − 3y + 1 = 0.
Các điểm (3; 1; 1), (1; −3; 1), (1; 0; 0) có tọa độ không thỏa mãn phương trình mặt phẳng ( P) do đó
các điểm này không thuộc mặt phẳng.
Điểm (−1; 0; 0) thỏa mãn phương trình của ( P) nên điểm này thuộc ( P).
Vậy ( P) đi qua (−1; 0; 0).
Chọn đáp án C
Câu 78. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm đối xứng của M (1; 2; 3) qua mặt phẳng

(Oyz) là
B (−1; −2; −3).

A (0; 2; 3).

C (−1; 2; 3).

D (1; 2; −3).

Hướng dẫn giải
Ta có điểm M (−1; 2; 3) là điểm đối xứng của M(1; 2; 3) qua mặt phẳng (Oyz).
Chọn đáp án C
Câu 79. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P) : 2x + my − z + 1 = 0 và

( Q) : x + 3y + (2m + 3)z − 2 = 0. Giá trị của m để ( P) ⊥ ( Q) là
A m = −1.

B m = 1.

C m = 0.

D m = 2.

Hướng dẫn giải

( P) có véc-tơ pháp tuyến là #»
n 1 = (2; m; −1), ( Q) có véc-tơ pháp tuyến là #»
n 2 = (1; 3; 2m + 3).
#»
#»
( P) ⊥ ( Q) ⇔ n · n = 0 ⇔ 2 · 1 + m · 3 + (−1) · (2m + 3) = 0 ⇔ m = 1.
1

2

Chọn đáp án B
Câu 80. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm H (2; 1; 2), điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa
độ O xuống mặt phẳng ( P), số đo góc giữa mặt phẳng ( P) và mặt phẳng ( Q) : x + y − 11 = 0 là
A 90◦ .

B 30◦ .

C 60◦ .

D 45◦ .

Hướng dẫn giải
Vì điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng ( P) nên ta chọn
# »
OH = #»
n ( P) = (2; 1; 2).
Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng
2( x − 2) + (y − 1) + 2(z − 2) = 0 ⇔ 2x + y + 2z − 9 = 0.
Do đó, góc giữa 2 mặt phẳng ( P), ( Q) tính như sau
cos(( P), ( Q)) =

#»
n ( P) · #»
n ( Q)
#»
n ( P) · #»
n ( Q)

√
3
2
|2 · 1 + 1 · 1 + 2 · 0|
√ √
=
= √ =
.
2
9· 2
3 2

Do đó số đo góc giữa mặt phẳng ( P) và mặt phẳng ( Q) bằng 45◦ .

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 23


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX
Chọn đáp án D

Câu 81. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c
là những số dương thay đổi thỏa mãn a2 + 4b2 + 16c2 = 49. Tính tổng S = a2 + b2 + c2 khi khoảng
cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) đạt giá trị lớn nhất.
51
49
49
A S= .
B S= .
C S= .
5
4
5
Hướng dẫn giải

D S=

51
.
4

Dựng OH ⊥ ( ABC ); ( H ∈ ( ABC )) vì OABC là tứ diện vuông

z

nên ta có
1
1
1
1
1
1
1
22
1
=
+
+
=
+
+
=
+
+
OH 2
OA2
OB2
OC2
a2
b2
c2
a2
4b2

42
.
16c2
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz
1
1
22
42
(1 + 2 + 4)2
= 2+ 2+
≥ 2
= 1 ⇒ OH ≤ 1.
OH 2
a
4b
16c2
a + 4b2 + 16c2
Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) đạt giá trị lớn nhất

A

H
C

O

là 1 khi

y

B
x

1
2
4
1+2+4
1
= 2 =
= 2
=
2
2
2
2
7
a
4b
16c
a + 4b + 16c



a2 = 7




7
49

⇔ b2 = ⇒ S = .
2

4



7

 c2 =
4
Chọn đáp án B

Câu 82. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình hai mặt phẳng ( P) : 2x − y − 2z +
1 = 0 và ( Q) : 2x − y − 2z + 6 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P) và ( Q) bằng
5
4
3
A .
B .
C 2.
D .
3
3
5
Hướng dẫn giải
|2 · 0 − 1 − 2 · 0 + 6|
5
Lấy M(0; 1; 0) ∈ ( P) ⇒ d(( P); ( Q)) = d( M; ( Q)) =
= .

3
22 + (−1)2 + (−2)2
Chọn đáp án A
Câu 83. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) : x2 + y2 + (z − 1)2 = 4 đến
mặt phẳng ( P) : 2x + 2y − z + 3 = 0 bằng
2
2
B .
A .
9
3
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết I (0; 0; 1) nên khoảng cách d( I,( P)) =

C

3
.
2

D 2.

|2 · 0 + 2 · 0 − 1 + 3|
2
= .
2
2
2
3
2 + 2 + (−1)

Chọn đáp án B
Câu 84. Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi ba đỉnh A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của
điểm M(1; −2; −2) lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 24


PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP />
LATEX

( ABC )√bằng
√
√
6
2 3
6
A
.
B
.
C
.
3
3
6
Hướng
 dẫn giải


A(1; 0; 0)



Ta có B(0; −2; 0) . Vì O.ABC là tam diện vuông tại O nên ta có



 C (0; 0; −2)

√
D

3
.
2

√
1
1
1
1
3
6
=
+
+
= ⇒ d(O, ( ABC )) =
.
2

2
2
2
2
3
d (O, ( ABC ))
OA
OB
OC
Chọn đáp án A
Câu 85. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt
x−2
y−1
z
cầu ( x − 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 6 đồng thời song song với hai đường thẳng d1 :
=
=
,
3
−1
−1
y+2
z−2
x
=
.
d2 : =
1  1
−1


x + y + 2z − 3 = 0
x − y + 2z − 3 = 0
A 
B 
x + y + 2z + 9 = 0.
x − y + 2z + 9 = 0.
D x − y + 2z + 9 = 0.

C x + y + 2z + 9 = 0.
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là mp( P).
√
Mặt cầu có tâm I (1; 0; −2) và có bán kính R = 6.

Vì mặt phẳng cần tìm song song với d1 , d2 nên véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng
của hai véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng d , d . Vậy #»
n = (2; 2; 4) nên phương trình mặt phẳng
1

2

( P) có dạng x + y + 2z + D = 0.


Vì ( P) tiếp xúc với mặt cầu nên d( I, ( P)) = R ⇔

D=9
|1 + 0 − 4 + D | √
√
= 6⇔

1+1+4
D = −3.

Chọn đáp án B
Câu 86. Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C (0; 0; 6), D (2; 4; 6). Gọi ( P) là mặt phẳng
song song với mặt phẳng ( ABC ), ( P) cách đều D và mặt phẳng ( ABC ). Phương trình của ( P) là
A 6x + 3y + 2z − 24 = 0.

B 6x + 3y + 2z − 12 = 0.

C 6x + 3y + 2z = 0.

D 6x + 3y + 2z − 36 = 0.

Hướng dẫn giải
x y z
+ + = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z − 12 = 0.
2 4 6
Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( ABC ) nên phương trình có dạng 6x + 3y + 2z + d = 0,

Phương trình mặt phẳng ( ABC ) :
d = −12.

"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates

Trang 25