LTDh chuyen de Hinhgiaitichphang

Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :
• x
'
Ox : trục hoành
• y
'
Oy : trục tung
• O : gốc toạ độ
•
1 2
,e e
ur uur
: véc tơ đơn vò (
1 2 1 2
1 và e e e e= = ⊥
ur uur ur uur
)
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng
Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Đònh nghóa 1: Cho
( )M mp Oxy∈
. Khi đó véc tơ
OM
uuuur
được biểu diển một cách duy nhất theo

1 2
,e e
ur uur
bởi hệ thức có dạng :
1 2
với x,yOM xe ye= + ∈
uuuur ur uur
¡
.
Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )

/
1 2
( ; )
đ n
M x y OM xe ye⇔ = +
uuuur ur uur
• Ý nghóa hình học :


và y=OQx OP=
2. Đònh nghóa 2: Cho
( )a mp Oxy∈
r
. Khi đó véc tơ
a
r
được biểu diển một cách duy nhất theo

1 2
,e e
ur uur
bởi hệ thức có dạng :
1 1 2 2 1 2
với a ,aa a e a e= + ∈
r ur uur
¡
.
Cặp số (a
1
;a
2
) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ
a
r
.
Ký hiệu:
1 2
( ; )a a a=
r



/
1 2 1 1 2 2
=(a ;a )
đ n
a a a e a e⇔ = +

r r ur uur
• Ý nghóa hình học :

1 1 1 2 2 2
và a =Aa A B B=
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
91
x
y
1
e

2
e

O
'x
'y
'x
x
y
1
e

2
e

O
'y
M

Q
P
x
y
O
'x
'y
M
Q
P
x
y
x
y
1
e

2
e

O
'x
'y
P
a
r
x
y
O
'x

'y
1
A
1
B
2
A
2
B
A
B
K
H
Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4)
III. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
 Đònh lý 1: Nếu
B
( ; ) và B(x ; )
A A B
A x y y
thì

( ; )
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
 Đònh lý 2: Nếu
1 2 1 2
( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r

thì
*
1 1
2 2
a

b
a b
a b
=

= ⇔

=

r r
*
1 1 2 2
( ; )a b a b a b+ = + +
r r
*
1 1 2 2
( ; )a b a b a b− = − −
r r
*
1 2
. ( ; )k a ka ka=
r

( )k ∈ ¡

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD
là hình bình hành.
Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2). Tìm điểm M thoả mãn
022
=+−
CBMBMA
IV. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường
thẳng song song .
• Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ :
 Đònh lý 3 : Cho hai véc tơ
và với 0a b b ≠
r r r r


cùng phương !k sao cho .a b a k b⇔ ∃ ∈ =
r r r r
¡
Nếu
0a ≠
r r
thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
k > 0 khi
a
r
cùng hướng
b
r

k < 0 khi
a
r
ngược hướng
b
r

a
k
b
=
r
r
 Đònh lý 4 :
, , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔
uuur uuur

(Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )
 Đònh lý 5: Cho hai véc tơ
1 2 1 2
( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
ta có :
92
A
B
C
a

b

r
2 5
a b , b - a
5 2
= − =
v v
v v
);(
AA
yxA
);(
BB
yxB
a

b

a

b

a

b

b


1 2 2 1
cùng phương a . . 0a b b a b⇔ − =

r r
(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ

BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: Cho
1
(0; 1); (2;3); ( ;0)
2
A B C−
. Chứng minh A, B, C thẳng hàng
Bài 2: Cho A(1;1),
)
4
31
;23(
+
−
B
,
)
4
31
;32(
−
−−
C
. Chứng minh A, B, C thẳng hàng
V. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:

. . .cos( , )a b a b a b=
r r r r r r

2
2
a a=
r r

. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
 Đònh lý 6: Cho hai véc tơ
1 2 1 2
( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
ta có :

1 1 2 2
.a b a b a b= +
r r
(Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ)
 Đònh lý 7: Cho hai véc tơ
1 2
( ; ) a a a=
r
ta có :

2 2
1 2
a a a= +
r

(Công thức tính độ dài véc tơ )
 Đònh lý 8: Nếu
B
( ; ) và B(x ; )
A A B
A x y y
thì

2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
(Công thức tính khoảng cách 2 điểm)
 Đònh lý 9: Cho hai véc tơ
1 2 1 2
( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
ta có :

1 1 2 2
a 0a b b a b⊥ ⇔ + =
r r
(Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ)
 Đònh lý 10: Cho hai véc tơ
1 2 1 2
( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
r r
ta có

+
= =
+ +
rr
r r
r r
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
.
a b a bab
a b
a b
a a b b
(Công thức tính góc của 2 véc tơ)

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
93
: VD
);(
);(
21
21
bbb
aaa
=
=



)4;2(
)2;1(
=
=
b
a


a

ϕ
a

b

b

a

O
B
A
);(
AA
yxA
);(
BB
yxB
Bài 1: Chứng minh rằng tam giác với các đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) là tam giác vuông

Bài 2: Cho
)7;342(),336;8(),3;2(
++
CBA
. Tính góc BAC.
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Đònh nghóa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k
≠
1 ) nếu như :
.MA k MB=
uuur uuur

A

M

B

•

•

•

 Đònh lý 11 : Nếu
B
( ; ) , B(x ; )
A A B
A x y y
và

.MA k MB=
uuur uuur
( k
≠
1 ) thì


.
1
.
1
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
−

=


−

−


=

−

Đặc biệt : M là trung điểm của AB
⇔

2
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+

=



+

=


VII. Một số điều kiện xác đònh điểm trong tam giác :








++
=
++
=
⇔=++⇔
3
3
0.1
CBA
G
CBA
yyy
y
xxx
GCGB
G
x
GA ABC giác tam tâm trọng là G
2.
. 0
H là trực tâm tam giác ABC
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC

 
⊥ =
 
⇔ ⇔
 
⊥ =
 
 
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
3.
'
'
'
là chân đường cao kẻ từ A
cùng phương
AA BC
A
BA BC

⊥

⇔



uuur
uuur
uuur
uuur

4.
IA=IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
IA=IC

⇔


5.
∆ ⇔ = −
uuur uuur
D là chân đường phân giác trong của góc A của ABC .
AB
DB DC
AC
6.
∆ ⇔ =
uuuur uuuur
' ' '
D là chân đường phân giác ngoài của góc A của ABC .
AB
D B D C
AC
7.
J là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
AB
JA JD
BD
∆ ⇔ = −
uur uuur

94
G
A
B
C
H
A
B
C
A'
B
A
C
I
A
B
C
B
A
C
D
J
B
A
C
D
VIII. Một số kiến thức cơ bản thường sử dụng khác:
1. Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh :
 Đònh lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt
1 2 1 2

( ; ) và ( ; )AB a a AC b b= =
uuur uuur
ta có :

1 2 2 1
1
.
2
ABC
S a b a b
∆
= −

2. Các bất đẳng thức véc tơ cơ bản :
 Đònh lý 13: Với hai véc tơ
,u v
r r
bất kỳ ta luôn có :

u v u v+ ≤ +
r r r r

. .u v u v≤
r r r r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,u v
r r
là hai véc tơ cùng phương cùng chiều hoặc là có một trong
hai véc tơ là véc tơ không .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm diện tích tam giác có các đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2)

Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3;1), B(1;-3)
1. Tìm C biết C trên Oy
2. Tìm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy
Bài 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1)
1. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng G, H, I thẳng hàng và
GIGH 2
−=
3. Vẽ đường cao AA
'
của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm A
'
Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4).
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh
( 1; 2), (5;7), (4; 3)A B C− −
Bài 6: Cho ba điểm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0)
1. Vẽ phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Tìm toạ độ D và E
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 7: Cho hai điểm A(0;2),
)1;3(
−−
B
. Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp
của tam giác OAB (TS A 2004)
Bài 8: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với
0
≠
m
. Tìm toạ độ trọng tâm G

của tam giác ABC theo m. Xác đònh m để tam giác GAB vuông tại G. (TS D 2004).
-------------------Hết-------------------
95
A
B
C
u

v

vu

+
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các đònh nghóa về VTCP và PVT của đường thẳng:
a
r
là VTCP của đường thẳng (
∆
)
đn
⇔
0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a

≠



∆


r r
r
n
r
là VTPT của đường thẳng (
∆
)
đn
⇔
0
n có giá vuông góc với ( )
n

≠


∆


r r
r
* Chú ý:
• Nếu đường thẳng (
∆
) có VTCP
1 2
( ; )a a a=

r
thì có VTPT là
2 1
( ; )n a a= −
r
• Nếu đường thẳng (
∆
) có VTPT
( ; )n A B=
r
thì có VTCP là
( ; )a B A= −
r
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Cho đường thẳng
( )∆
đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của
( )∆
II. Phương trình đường thẳng :
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :
a. Đònh lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (
∆
) qua M
0
(x
0
;y
0
) và nhận
1 2

( ; )a a a=
r
làm
VTCP sẽ có :
 Phương trình tham số là :
0 1
0 2
.
( ) : ( )
.
x x t a
t
y y t a
= +

∆ ∈

= +

¡

 Phương trình chính tắc là :
0 0
1 2
( ) :
x x y y
a a
− −
∆ =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B
Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập
96
)(
∆
n

);(
000
yxM
);( yxM
1 2
a (a ;a )
=
v
x
y
O
a

a

)(
∆
a

n

)(
∆

phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có VTPT
( ; )n A B=
r
là:


0 0
( ) : ( ) ( ) 0A x x B y y∆ − + − =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC biết
( 1; 2), (5;7), (4; 3)A B C− −
1. Viết phương trình các đường cao của tam giác
2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác
Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).
a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC .
b) Tính diện tích tam giác ABK.
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Đònh lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (
∆
) có dạng :

Ax + By + C = 0 với

2 2
0A B+ ≠
Chú ý:
Từ phương trình (
∆
):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của (
∆
) là
( ; )n A B=
r
2. VTCP của (
∆
) là
( ; ) hay a ( ; )a B A B A= − = −
r r
3.
0 0 0 0 0
( ; ) ( ) 0M x y Ax By C∈ ∆ ⇔ + + =

Mệnh đề (3) được hiểu là :
Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng quát của nó là
5 2 3 0x y− + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =

Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác
ABC vuông ở C.
Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) và đường thẳng d:x+y+4=0.
a) Tìm trên d điểm C cách đều hai điểm A, B.
b) Với C tìm được . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành .Tính diện tích hình bình hành.
97
);(
000
yxM
);( yxM
n (A;B)
=
v
x
y
O
);(
000
yxM
);( BAn
=

x
y
O
);( ABa
−=

);( ABa
−=


3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
;y
A
) và B(x
B
;y
B
) :

( ):
A A
B A B A
x x y y
AB
x x y y
− −
=
− −

( ):
A
AB x x=

( ):
A
AB y y=
BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Viết phương trình ba cạnh của tam giác
b. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có hệ số góc k:
Đònh nghóa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng
∆
. Gọi
( , )Ox
α
= ∆
thì
k tg
α
=
được gọi là hệ số góc
củường thẳng
∆

Đònh lý 1: Phương trình đường thẳng
∆
qua
0 0 0
( ; )M x y
có hệ số góc k là :

0 0
y-y = k(x -x )
(1)

Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M
0
và vuông góc
Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M
0
và vuông góc Ox là
x = x
0
Chú ý 2: Nếu đường thẳng
∆
có phương trình
y ax b= +
thì hệ số góc của đường thẳng là
k a=
Đònh lý 2: Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng
1 2
,∆ ∆
ta có :
•
1 2 1 2
// k k∆ ∆ ⇔ =

•
1 2 1 2
k . 1k∆ ⊥ ∆ ⇔ = −
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng
3 4 0x y− + =
c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước:

98
x
y
O
α
);( yxM
x
y
O
);(
AA
yxA
);(
BB
yxB );(
AA
yxA
);(
BB
yxB
A
x

B
x
A
y
B
y
x
y
);(
AA
yxA );(
BB
yxB
A
y
B
y
x
y
);( yxM
x
y
O
0
x
0
y
i.
1 1
Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0∆ ∆

ii.
1 2
Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0∆ ⊥ ∆
Chú y ù:
1 2
;m m
được xác đònh bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên
1 2
;∆ ∆
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc
( ) : 2 3 4 0x y∆ − + =
III. Vò trí tương đối của hai đường thẳng :

Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ): 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
Vò trí tương đối của
1 2
( ) và ( )∆ ∆
phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :

1 1 1
2 2 2
0
0
A x B y C
A x B y C
+ + =


+ + =

hay
1 1 1
2 2 2
(1)
A x B y C
A x B y C
+ = −


+ = −

Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của
1 2
( ) và ( )∆ ∆
Đònh lý 1:

1 2
1 2
1 2

. Hệ (1) vô nghiệm ( )//( )
. Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( )
. Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i
ii
iii
⇔ ∆ ∆
⇔ ∆ ∆
⇔ ∆ ≡ ∆

Đònh lý 2: Nếu
2 2 2
; ;A B C
khác 0 thì
99
1
∆
x
y
O
2
∆
21
//
∆∆
1
∆
x
y
O

2
∆
21

∆∆
cắt
1
∆
x
y
O
2
∆
21

∆≡∆
0:
21
=+−∆
mAyBx
x
y
O
0
x
1
M
0:
1
=++∆

CByAx
0:
11
=++∆
mByAx
x
y
O
0
x
0:
1
=++∆
CByAx
1
M

∆ ∆ ⇔ ≠
∆ ∆ ⇔ = ≠
∆ ≡ ∆ ⇔ = =
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
A

. ( ) cắt ( )
A
A
. ( ) // ( )
A
A
. ( ) ( )
A
B
i
B
B C
ii
B C
B C
iii
B C
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là
( ) :8 3 17 0
( ) : 3 5 13 0
( ) : 5 2 1 0
AB x y
AC x y
BC x y
− + =
− − =
+ − =
Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C
Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng

các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ
B và C.
Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vò trí tương đối của hai đường thẳng sau:

1
2
: 1 0
: 2 0
d mx y m
d x my
+ − − =
+ − =
IV. Góc giữa hai đường thẳng
Đònh lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1 1 1
2 2 2 2
( ): 0
( ) : 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
Gọi
ϕ
(
0 0
0 90
ϕ
≤ ≤
) là góc giữa

1 2
( ) và ( )∆ ∆
ta có :

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
ϕ
+
=
+ +
Hệ quả:

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A 0A B B∆ ⊥ ∆ ⇔ + =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng : x+2y+3=0
một góc bằng 45
0
Bài 2: Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương
trình 7x-y+8=0.
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Đònh lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
( ) : 0Ax By C∆ + + =
và điểm
0 0 0

( ; )M x y
Khoảng cách từ M
0
đến đường thẳng
( )∆
được tính bởi công thức:

0 0
0
2 2
( ; )
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
100
1
∆
x
y
O
2
∆
ϕ
x
y
O
)(

∆
0
M
H