Bài tập toán hình 9

Tiết 3:

LUYỆN TẬP
(Chứng minh tứ giác nội tiếp)

I. Nhắc lại lý thuyết:
- Cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
- Nhắc lại tính chất đường kính và dây cung.
Bài tập 1. Tìm các góc trên hình vẽ sau:

Bài tập 2.
Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA (A (O)) và cát tuyến SBC.
Chứng minh rằng: SA2 = SB.SC

 SAB và  SCA có : ….

Bài tập 2. Cho điểm S nằm ngoài đường tròn (O; 5cm). Qua S kẻ tiếp tuyến SA
(A là tiếp điểm) và cát tuyến SBC. Gọi D là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: S, A, O, D cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh: SA2 = SB.SC
c) Tính SA biết OD = 3 cm và BS = 12cm.

1


C
D
B
O
S

A

a) Ta có

(T/c tiếp tuyến và bán kính)
�  900 (T/c đường kính và dây cung)
ODS

�  OAS
�  1800
Do đó ODS
Vậy SAOD là tứ giác nội tiếp
b) Xét  SAB và  SCA có
S$ là góc chung
�  SCA
�
(cùng chăn cung AB)
SAB
 SCA (g-g)
Do đó  SAB
�

SA SB
� SA2 = SB.SC

SC SA

c) Tính DB
BC
SC

SA2
SA
Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB > AC, đường cao AH. Trên nữa
mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nữa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E,
vẽ nữa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a) chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
A
E
F
30
B

H

4cm

�
a) Ta có : � B�  EFA

C

�
�  90
  EHA
 BEH

0

( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

��
AEH  900 ( kề bù với góc BEH)
Tương tự: � �
AFH  900

Tứ giác AEHF có:

�
�  900
A �
AEH  AFH

Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b)  AHB vuông có HE  AB
2


� AH2 = AE.AB

tiếp

Tương tự AH2 = AF.AC
Do đó AE.AB = AF.AC
�
� )
c) Ta có B�  EHA
(cùng phụ với EHB
�  EFA

�
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn ngoại
EHA
�  EFA
�
�B



hình chữ nhật AEHF)
�
 EHA



� Tứ giác BEFC nội tiếp vì có góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối

diện
Bài tập 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kì thuộc cung
AC. Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường
thẳng AB, AC, BC. Chứng minh rằng:
a) A, H, M, I cùng thuộc một đường tròn.
b) M, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.
H, I, K thẳng hàng.
Bài toán 6: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE cắt nhau tại
H. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
1/ Chứng minh bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
2/ Chứng minh ED =

1

BC
2

3/ Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
4/ Tính độ dài DE, biết DH = 2cm, AH = 6cm

c)
Giải

�  900 (vì AD là đường cao)
1/ Ta có: ADB
�  900 (vì BE là đường cao)
AEB
Như vậy D và E cùng nhìn AB dưới một góc bằng 900
� D và E nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy: bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB
2/ Do  ABC cân tại A có AD là đường cao ( gt)
� AD cũng là đường trung tuyến
� D là trung điểm của BC
3


Xét tam giác BEC vuông tại E (do BE là đường cao  ABC) có ED là trung tuyến ứng
với cạnh huyền BC
Do đó ED =

1
BC
2

�1  E
�1 (1)
3/ Xét  AOE cân tại O (do OA = OE = R) � A
1
�1  E
�3 (2)
BC) � B
2
�1  B
�1 (3) (cùng phụ với ACB
� )
Mà A
�1  E
�3 � E
�1  E
�2  E
�3  E
�2
Từ (1), (2) và (3) suy ra E
�  OED
�  900 � DE  OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm E.
Hay AEH
Xét  BDE cân tại D (vì ED = BD =

4/ Theo giả thiết AH = 6cm � OE  OH 

6
 3 (cm); DH = 2cm
2

� OD = OH + DH = 3 + 2 = 5(cm).
Xét  OED vuông tại E có DE2  OD2  OE2  52  32  16
Vậy DE = 4cm

V. Hướng dẫn học ở nhà:
- Ôn lại kiến thức đã học hôm nay.
- Ôn lại tất cả các định lí về góc với đường tròn, cách chứng minh tiếp tuyến
đường tròn.

4