Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Bồi dỡng toán 6
ễN TP TP HP V NHNG DNG TON LIấN QUAN

S phn t ca mt tp hp.Tp hp con
1.Mt tp hp cú th cú mt ,cú nhiu phn t, cú vụ s phn t,cng cú th
khụng cú phn t no.
2.Tp hp khụng cú phn t no gi l tp rng.tp rng kớ hiu l : ỉ.
3.Nu mi phn t ca tp hp A u thuc tp hp B thỡ tp hp A gi l tp
hp con ca tp hp B, kớ hiu l A B hay B A.
Nu A B v B A thỡ ta núi hai tp hp bng nhau,kớ hiu A=B.

*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a.Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.
b.Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A

c A

h A

Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử
của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp
con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao
nhiêu phần tử?
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:



Bồi dỡng toán 6
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em
đánh số trang từ 1 đến 256. Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh
hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:

Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp
đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng
bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông

3
N
4

1,2,3,4

N

N*

N

7

N*



N*

0

N*

Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng
của các phần tử thuộc tập hợp đó
a. A = 1;3;5;7;............;49
b. B = 11;22;33;44;........;99
c. C = 3;6;9;12;......... ......;99
d. D = 0;5;10;15;..............;100

Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các
phần tử thuộc tập hợp đó
a. A = 1;4;9;16;25;36;49
b. B = 1;7;13;19;25;31;37
A 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100

B 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90

Bài toán 5: Cho

a) A x N x M2; x M3; x 100





A x N x ab; a 3.b
C
xN x 11.n 3; n

N ; x 300

b) B x N x M6; x 100

B x N 20Mx c)

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A = b. B = x N / x 2 ; 2 x 100 c. C = x N / x 1 0 d. D =

x N / x 3

Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5



Bồi dỡng toán 6
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 7. Cho A = 1 ; 2 ;3
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = 1;2;3;4
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. Viết các tập con của A có một phần tử
b. Viết các tập con của A có hai phần tử
c. Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự
nhiên có ba chữ số , C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp
các số tự nhiên có ba chữ số tận cùng bằng 5 . Dùng kí hiệu và sơ đồ để
biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Bài 12 . Cho tập hợp A = 4;5;7 , hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba
chữ số khác nhau từ các phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp
con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm tập hợp con chung của hai tập hợp A và
B

Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a. A = 9;5;3;1;7
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng
Pháp. Có 25 ngời học tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học cả
hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng
đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh
thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền; 15 học sinh
thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học sinh
không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích
văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh
thích cả hai môn văn và toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp A a, b, c, d , e .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A
có hai phần tử.



Bồi dỡng toán 6
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các

trờng hợp sau.
a) A 1;3;5 ; B 1;3;7
b) A x, y
; B x, y , z
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên
chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A B; A B. Hãy viết các tập
con thực sự của tập hợp B 1; 2;3
B 3; 4;5
Bài toán 4: Cho các tập hợp A 1; 2;3; 4 ;
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A 1; 2;3; 4 .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
N * / 2 x 12
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A 1;3;6;8;9;12 và B = x
a) Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B
Tìm tập hợp D của các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A
Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9 . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm
những số:
a) Có một chữ số
b) có hai chữ số
c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho A x N x M2; x M4; x 100
; B x N x M8; x 100
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn
đầu tiên.

a) CMR: B A
b) Viết tập hợp M sao cho B M , M A . Có bao nhiêu tập hợp M
nh vậy.
xN x 7.q 3; q N ; x 150 .
Bài toán 14: Cho A
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ?
b) Tính tổng các phần tử
của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 . Tìm x; y M biết 30 x y 40
B 1;3;5
Bài toán 10: Cho
a) A 1; 2 ;
b) A x, y
; B x, y , z , t
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần
tử thuộc B.
Các phép toán trong N




Båi dìng to¸n 6
1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi
Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi.
1. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
2. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.:
a(b+ c) = ab + ac


4. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p.
5. Trong phép chia có dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia.
NÕu a .b= 0 th× a = 0 hoÆc b = 0.
II. Bµi tËp
*.D¹ng 1: C¸c bµi to¸n tÝnh nhanh




Båi dìng to¸n 6
Bµi 1: TÝnh tæng sau ®©y mét c¸ch

b) 189 + 424 +511 + 276 + 55

hîp lý nhÊt.

c) (321 +27)+ 79

a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323

d) 185 +434 + 515 + 266 + 155

+ 87

e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73

Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau:

a/ 8 . 17 . 125

f) 347 + 418 + 123 + 12

b/ 4 . 37 .25

Bµi 3: TÝnh nhanh mét c¸ch hîp lÝ:

Bµi 8: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:

a/ 997 + 86

a) 5. 125. 2. 41. 8

b/ 37. 38 +

62. 37

b) 25. 7.

10. 4

c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001

d/ 67.

99;

c) 8. 12. 125. 2

d) 4. 36. 25.

50

đ, 998. 34

c/ 43. 11

67. 101

Chó ý: Quy t¾c ®Æt thõa sè chung

Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh:

: a. b+ a.c = a. (b+ c) hoÆc a. b +

a/ 37581 – 9999

c/ 485321 – 99999

a. c + a. d = a.(b + c + d)

b/ 7345 – 1998

d/ 7593 – 1997

e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12

Bµi 5: TÝnh nhanh:

Bµi 9: TÝnh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:

a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72

d)

55. 14

b) 12.53 + 53. 172– 53. 84

Bµi 6 :TÝnh nhanh:
a) 25. 12
15.302

6. 38. 63 + 37. 38
c) 35.34 +35.38 + 65.75 +

b) 34. 11 c) 47. 101 d)
e) 125.18

g)

123. 1001

65.45

d, 39.8 +

60.2 + 21.8

Bµi 7: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng c¸ch

e, 36.28 + 36.82 + 64.69 +

hîp lÝ nhÊt:

64.41

a) 463 + 318 + 137 +

22
*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta

*Chú ý: muốn nhân một số có 2 chữ số

cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ

với 101 thì kết quả chính là 1 số có được

số đó. Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị

bằng cách viết chữ số đó 2 lần khít nhau

váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.

vd: 84 .101 =8484

vd : 34 .11 =374
=759

;

69.11

101 =6363

; 63 .

;

*Chú ý: muốn nhân một số có 3 chữ số
với 1001 thì kết quả chính là 1 số có



Bồi dỡng toán 6
c bng cỏch vit ch s ú 2 ln khớt

a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

nhau

b) B = 7 + 11 + 15 + 19 + .. .+

Ví dụ:123.1001 = 123123

203.

*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . +

đến dãy số, tập hợp

301

1:Dãy số cách đều:

+ .. . + 351.

VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ...

Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 +

+ 49

14 + .. .

Ta tính tổng S nh sau:

a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.

Bài 1:Tính tổng sau:

d) D =8 + 15 + 22 + 29

b) Tính tổng 100 số hạng đầu

a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100
S s hng c dóy l: (100-1):1+1 = 100

A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050

tiên.
Gii: lu ý: s cui = (s s hng - 1) .
khong cỏch - s u

b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100

a. vy s th 100 = (100-1) .3 5 = 292

s s hng l: (100-2):2+1 = 49

b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000

B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499

Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17

c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301

+ 22 + .. .

d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.
Bài 2: Tính các tổng:

a)Tìm số hạng tứ50 của tổng.
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu
tiên.

Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12

< x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a <
501.
Tính tổng các chữ số của a.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11,
15, 19, .. ., 283
Bài 10: Cho dãy số:



Båi dìng to¸n 6
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17,
21, .. .
H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn.
Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ
2k  1 , k �N

C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ 2k ,
k �N)
*D¹ng 3: T×m x




Bµi 1:Tìm x �N biết
a) (x –15) .15 = 0

c) 315+(125-x)= 435
b) 32 (x –10

) = 32
Bµi 2:Tìm x �N biết :
a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x
+70) =445

Bµi 3:Tìm x �N biết :
a) x –105 :21 =15
b) (x- 105) :21 =15


Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0

b/ 541 + (218 – x) = 735

c/ 96 – 3(x + 1)

= 42 d/ ( x – 47) – 115 = 0 e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;
b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999.
tính tổng các chữ số của số đó.
1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ
số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để
được tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để

được tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các
chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) 1ab + 36 = ab1 ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

4
10

2
8

(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự
nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng
4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì
được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn.
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
15

29
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
23
5
cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
3
17
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số
9
(bắt đầu từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số 27
đó 8 số liên tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho.
11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số
gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó.
12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau:
abcd + abc + ab + a = 4321 .


13.Hai ngi chi mt trũ chi ln lt bc nhng viờn bi t hai hp ra ngoi.mi ngi n lt
mỡnh bc mt s viờn bi tựy ý .ngi bc viờn bi cui cựng i vi cacr hai hp l ngi thng
cuc.bit rng hp th nht cú 190 viờn bi ,hp th hai cú 201 viờn bi.hóy tỡm thut chi m
bo ngi bc bi u tiờn l ngi thng cuc.
Bi tp củng cố
1.
Tớnh giỏ tr ca biu thc mt cỏch hp lớ:
A = 100 + 98 + 96 + .+ 2 - 97 95 - - 1 ;
B = 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 11 12 + - 299 330 + 301 + 302;
2. Tớnh nhanh
a) 53.39 +47.39 53.21 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 3.8.40; c) 5.7.77 7.60 + 49.25 15.42.
3.Tỡm x bit:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.

4. Tng ca hai s bng 78293.s ln trong hai s ú co ch s hng dn v l 5 ,ch hng chc
1,ch s trm l 2.nu ta gch b cỏc ch s ú i thỡ ta c mt s bng s nh nht .tỡm hai s
ú.
5.Mt php chia cú thng l 6 d 3 .tng ca s b chia ,s chia v s d l 195.tỡm s b chia v
s chia.
6.Tng ca hai s cú a ch s l 836.ch s hng trm ca s th nht l 5 ,ca s th hai l 3 .nu
gch b cỏc ch s 5 v 3 thỡ s c hai s cú hai ch s m s ny gp 2 ln s kia.tỡm hai s ú.
7.Mt hc sinh khi gii bi toỏn ỏng l phi chia 1 s cho 2 v cng thng tỡm c vi 3 .nhng
do nhõm ln em ú ó nhõn s ú vi 2 v sau ú ly tớch tỡm c tr i 3 .mc dự vy kt qu vn
ỳng .hi s cn phi chia cho 2 l s no?
8. Tỡm s cú ba ch s .bit rng ch s hng trm bng hiu ca ch s hng chc vi ch s
hng n v.chia ch s hng chc cho ch s hng n v thỡ c thng l 2 v d 2.tớch ca s
phi tỡm vi 7 l 1 s cú ch s tn cựng l 1.
9. Tỡm s t nhiờn a 200 .bit rng khi chia a cho s t nhiờn b thỡ c thng l 4 v d 35 .
10. Vit s A bt kỡ cú 3 ch s ,vit tip 3 ch s ú 1 ln na ta c s B cú 6 ch s.chia s B
cho 13 ta c s C. chia C cho 11 ta c s D.li chia s D cho 7.tỡm thng ca phộp chia ny.
11. Khi chia s M gm 6 ch s ging nhau cho s N gm 4 ch s ging nhau thỡ c thng l
233 v s d l 1 s r no ú .sau khi b 1 ch s ca s M v 1 ch s ca s N thỡ thng khụng
i v s d gim i 1000.tỡm 2 s M v N?
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a) 1 2 3 4 ...... n
b) 2 4 6 8 .... 2.n
c) 1 3 5 ..... (2.n 1)
d) 1 4 7 10 ...... 2005
e) 2+5+8++2006
g) 1+5+9+.+2001

Giải; a)

(n )n
2

b)số số hạng (2n 2) : 2 + 1= n Tổng =

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A 1 2 4 8 16 .... 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của
tổng bằng 190.
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3 .... n 2004
c) Chứng minh rằng: (1 2 3 .... n) 7 không chia hết cho 10 n N


Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 .... 1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B 1.1 2.2 3.3 ... 1999.1999
c) Tính nhanh : C 1.2.3 2.3.4 ... 48.49.50.
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3;8;15; 24;35;.....
b) 3; 24;63;120;195;.....
c) 1;3;6;10;15;......
d) 2;5;10;17; 26;.....
e) 6;14; 24;36;50;.....
g) 4; 28;;70;130;....
Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;.....
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho S1 1 2; S2 3 4 5; S3 6 7 8 9; S4 10 11 12 13 14;.. . Tính S100 .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) A

41.66 34.41
3 7 11 ... 79

b) B

1 2 3 .. 200
6 8 10 .. 34

c) C

1..5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết thành một tích của hai
thừa số giống nhau :
11111111 2222
Bài 22. Tìm kết quả của phép nhân sau
{
{
a) A 33....3.99...9
2005 c. s 2005 c . s

{ {
b) B 33...3.33...3
2005 c. s 2005 c. s

Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự
nhiên liên tiếp
a. 111222

{ 123
b. 444222 c. A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2

Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 =
333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả
ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A.
b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 a b c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b,
c nói trên.
Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,
Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho S 7 10 13 ...... 100
a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính
tổng S
{ 123 là tích của hai số tự nhiên liên
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2

tiếp.
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ số 6. Hãy tính tích A.B
Các bài toán về số và chữ số

Bài1. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7
đó lên đầu thì ta đợc một số mới mà khi chia cho số cũ thì đợc thơng là 2
d 21. Tìm số đó
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào
đằng trớc số đó thì đợc một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết
thêm chữ số 7 vào sau số đó
Bài 3 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số
2 vào bên phải và một chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36
lần
Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai
chữ số ta đợc một số mới có 3 chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó
Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính
số đó, ta đợc một số mới có bốn chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số
đó
Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có
hai chữ số kém số đó 1 đơn vị thì sẽ đợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91
lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó
Bài 7 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự
ngợc lại nhân với số phải tìm thì đợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn
tổng các chữ số của nó là 27
Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số
hàng chục và hàng đơn vị của nó thì đợc thơng là 18 và d 4 . Tìm số đã
cho
Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng
2750. Nếu cả hai số đợc viết theo thứ tự ngợc lại thì tổng của hai số này
bằng 8888 . Tìm hai số đã cho
Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một
chữ số 0 vào giữa hàng nghìn và hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số
phải tìm

Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta
đợc số gồm bốn chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta
đợc số gồm bốn chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta
đợc số gồm năm chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng
trăm thì số ấy giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng
nghìn thì số ấy giảm 9 lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng
0 và nếu xoá chữ số 0 đó thì số ấy giảm 9 lần
Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào
giữa các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy


Bµi 18 . T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã võa chia hÕt cho 5
vµ chia hÕt cho 9 , hiÖu gi÷a sè ®ã víi sè viÕt theo thø tù ngîc l¹i b»ng 297


Bµi 1. TÝnh nhanh
a. 417 + 235 + 583 + 765
5 +8 +11 +14 + ......+ 38 +
41
b. 4 . 7 . 16 . 25
13 . 8 . 250
c. ( 1999 + 313) – 1999
( 1435 + 213) – 13
d. 2023 - ( 34 + 1560)
1972 – ( 368 + 972)

e. 364 – ( 364 – 111)
249 – ( 75 – 51)
Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng
sau
a. 1+2+3+4+5+....+n
e. 2+5+11+....+47+65
b. 1+3+5+7+....+ ( 2n –
1) g. 3+12+48+...
+3072+12288
c.2+4+6+8+.....+2n h.
2+5+7+12+.....+81+131
d. 1+6+11+16+....
+46+51
i. 4951+53-55+57-59+6163+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36
499.12 601.42 199.41
b. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch
nh©n thõa sè nµy, chia thõa
sè kia cho cïng mét sè
66.50 72.125 38.5
15.16.125
c. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch
nh©n c¶ sè bÞ chia vµ sè
chia víi cïng mét sè kh¸c
kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 :
5 81000 : 125
d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p
dông tÝnh chÊt ( a  b ) : c =
a:c  b:c

169 : 13 660 : 15 119 : 7
204 : 12
Bµi 4 . T×m x
a. (158 - x) :7 = 20
b. 2x – 138 = 23 . 32
c. 231 - (x – 6 ) =1339 :13

d. 10 + 2x = 45 : 43
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
(2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)3 ]5 = 150
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 +
62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 :
(315 - 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60):
130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5
+ 30
b.  ( x  32)  17 . 2 = 42
c.( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 –
40

d.  61  (53  x) .17 = 1785
e. x – 4867 = ( 175 . 2050 .
70 ) : 25 + 23
15.x  364
= 17
x
x  350
92.4 – 27 =
+ 315
x

f. 697 :
g.

Bµi 5. TÝnh nhanh
168.168  168.58
(456.11  912).37
110
13.74
864.48  432.96
45.16  17
b.
864.48.432
28  45.15
7256.4375  725
c.
3650  4375.7255
(315  372).3  (372  315).7
26.13  74.14
1978.1979  1980.21  1958

d.
1980.1979  1978.1979
27.45  27.55
2  4  6  ...  14  16  18
26.108  26.12
1.e.
127 .
32  28  24  20  16  12  8  4

a.

36 + 64. 127 – 27. 100
12 : {390 : [500 – (125 + 35 .
7)]}


2.57 : 55 - 7 . 70
2.125.18 + 36.252 +
4.223.9
3. 50 + 51 + 52 +...+ 99 +
100
B=
2
2
2
2
2
1 . 6 . 3 + 3 + 7 + 20
4.24:{300 : [375 – (150 +
15. 5]}

1449 :
{[216 + 184 : 8).9]}
5.56 : 53 + 3 . 32
2195.1952 - 952. 427 1952. 1768
6.20 + 22 + 24 +....96 +
98
H
0
1
2
3
0
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 . 31 .
32.33
7.35 + 38 + 41 +... + 92 +
95
A=
46 – ( 16 + 71.4) : 15  – 2
8.B = 24 . 5 –  131 – ( 13 –
4 )2 
222 + 224
+ 226 + . . . . + 444
9.33 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
(5346 – 2808) : 54 + 51
10. 187 . (38 + 62) – 87 .
(62 + 38)
23 .
16 - 23 . 14
11. 25.{32 : [12 – 4 + 4.
(16 : 8)]}

25.
{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}


L thõa víi sè mò tù nhiªn
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1. Đònh nghóa: a n  a.a……….a
n thừa số
1
0
2. Quy ước: a = a ;
a = 1 ( a � 0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:
a m .a n  a m  n
a m : a n γ�
amn

( n � N*)

(m, n �N *)
(m, n N *, m n, a

0)

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( a m )n = am.n
6. Lũy thừa tầng: a m  a ( m )
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự
nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương

. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
a) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên
bao nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai
lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi
mới so sánh.
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a
=b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)
Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c <
b.c
(với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.

n

n


a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =

k.
c)
a)
c)
a)
b)

b) 925.274.813
410.230
d) 643.48.164
2550.1255
5 x.5 x.5 x
b) x1.x 2 .....x 2006
d) x 2 .x5 .x8 .....x 2003
x.x 4 .x 7 .....x100
38 : 36 ; ; 197 :193 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813
106 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 324 ;
183 : 93 ; 1253 : 254
a) 166 : 42 b) 278 : 94 c) 1255 : 253 d) 414.528
e) 12n : 22 n
g) 644.165 : 420

b, a . a . a + b . b . b . b =

c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f,
414 . 528 = (g, 12n: 22n = h. 84. 165b.
540 . 1252 . . 6253
i. 274 . 8110 d. 103 . 1005 . 10004
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức.
a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 2 . 32 c,
3

e.

2

72 x 54
108
4

10

g.

3

10

.11 3 .5
9

4

3 .2

10

h.

2

46.34.95
212.14.125
453.204.182
213 25
d,
e,
g,
612
3536
1805
210 22

10

.13 2 .65
8

2 .104

y. ( 1253 . 75 1755 : 5 ) : 20012002

k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16)
Bài 4. Cho A = 5. 415. 99 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276 Tính A : B

C = 2181.729 + 243.81.27 D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729 Tính C :
D
a) (217 17 2 ).(915 315 ).(2 4 42 )
b) (71997 71995 ) : (71994.7)
c) (12 23 34 45 ).(13 23 33 43 ).(38 812 )

d) (28 83 ) : (25.23 ) a)

210.13 210.65
2 8.104

b) (1 + 2 ++ 100)(12 + 22 + + 102)(65 . 111 13 . 15 . 37)
310.11 310.5
210.13 210.65
B

b)
39.24
28.104
723.542
46.34.95
D
E

e)
1084
612
11.322.37 915
453.204.182
H

i) I
(2.314 ) 2
1805

a) A

c) C
f) F

213 25
210 22

49.36 64 4
164.100

g) G

d)
212.14.125
h)
355.6

Bài tập 5: Tìm x N biết
a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1
c, (2x + 1)3 = 125
d, (x 5)4 = (x - 5)6
d/
x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x
-15)3
Bài 1: Tìm các số mũ n sao

cho luỹ thừa 3n thảo mãn điều
kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết

a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n =
243 49.7n = 2401
b. 9 < 3n < 81 25 5n 125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết
rằng :
a. 2x . 4 = 128
b. x15 = x
c. ( 2x + 1 )3 = 125
d. ( x 5 )4 = ( x 5 )6
e. x2006 = x2


Bài 4 : Tìm x N biết
a) 3x.3 243
b) x 20 x
c) 2 x.162 1024
d) 64.4 x 168
Bài 5 Tìm x N biết
g) 2 x 15 17
h) (7 x 11)3 25.52 200
i) 3x 25 26.22 2.30
l) 49.7 x 2041
m) 64.4 x 45
n) 3x 243
p) 34.3n 37
Bài 6: Tìm n N biết:

a) 9 3n 81

b)

Bài 8: Tìm n N * biết
a) 32 2n 128

b) 2.16 2n 4

d) (22 : 4).2n 4

e)

1 4 n
.3 .3 37
9
1
h) .27 n 3n
9
k) 27.3n 243

1 n
.2 4.2n 9.25
2
i) 64.4n 45
Bài 9: Tìm x N biết
a) 16 x 128
x x 1 x 2
18
{ :2

b) 5 .5 .5 100...0

g)

n

25 5 125

a) 50 < 2n < 100

a) ( x 1)3 125
b) 2 x 2 2 x 96
c) (2 x 1)3 343
3
d) 720 : 41 (2 x 5) 2 .5
a) 2x . 7 = 224
b) (3x + 5)2
= 289
c) x. (x2)3 = x5 d) 32x+1 . 11 = 2673

b) 50<7n <

2500
Bài 7 Tìm x biết

18c / s 0

chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
hoặc cùng số mũ.

+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn
hơn sẽ lớn hơn.
Nếu m>n thì am>an
(a>1).
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ
lớn hơn.
Nếu a>b thì an>bn ( n>0).
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc
cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.
(aVí dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm
cách đa 3210 và 1615 về luỹ thừa cùng cơ số 2.
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?


2300

a) 2711 và 818.
b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124
d) 32n và 23n (n
N* )
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.

c) Đa về cùng số mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n
23
22
13
16
Bài 2: a) 5 và 6.5
b) 7.2 và 2 c) 2115 và 275.498
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5 22.
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2 13.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: a) 19920 và 200315.
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300
b) 339 và 1121.
d, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215
Hớng dẫn :
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260.
<3.214 = 3.47
540.
=> 85 < 3 . 47
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24.
53)15 = 260.545
e, 202303 và 303202
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào
lớn hơn?
Ta so sánh 2023 và 3032
72 45-7244và 72 44-7243.

2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 =>
Hớng dẫn:
7245-7244=7245(723032 < 2023
1)=7245.71.
3032 = 33. 1012 = 9.1012
44
44
44
72 -72 =72 (721)=7244.71.
vậy 303202 < 2002303
Bài 5: 27 và 72
f, 321 và 231
Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49
Vì 128 > 49 nên 27 > 72
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2
Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và
. 810
a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
Vì 310 > 39nên 95 > 273
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
c, 3500 và 7300

3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231

3500 = 35.100 = (35)100 = 243100

111979

7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
Bài 7: So sách các cặp số sau:

g, 111979 < 111980 = (113)660 =
1331660
371320 = (372)660 = 1369660
Vì 1369660 > 1331660 => 371320 >


a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315
và B = (35)3 = 315
b/ A = 2
A=2

300

300

Vậy A = B

và B = 3200

= 33.100 = 8100

và B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714

Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên
3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100
b) 333444 và 444333
c) 1340 và 2161
d) 5300 và 3453
Bài 2: So sánh các số sau
a) 5217 và 11972
b) 2100 và 10249
c) 912 và 277
d) 12580 và 25118
e) 540 và 62010
f) 2711 và 818
Bài 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124
b) 6255 và 1257
c) 32 n và 23n (n N * )
d) 523 và 6.522
Bài 4: So sánh các số sau
a) 7.213 và 216
b) 2115 và 275.498
c) 19920 và 200315
d) 339 và 1121
Bài 5: So sánh các số sau
a) 7245 7244 và 7244 7243
b) 2500 và 5200

c) 3111 và 1714
d) 324680 và 237020
e) 21050 và 5450
g) 52 n và 25n ;(n N )
Bài 6: So sánh các số sau
a) 3500 và 7300
b) 85 và 3.47
c) 9920 và 999910
d) 202303 và 303202
e) 321 và 231
g) 111979 và 371320
h) 1010 và 48.505
i) 199010 19909 và 199110
Bài 7: So sánh các số sau
a) 10750 và 7375
b) 291 và 535
c) 544 và 2112

Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
100
Muốn biết 2 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so
sánh 2100 với 1030
và 1031.
* So sánh 2100 với 1030
Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10


1030 = (103)10 = 100010
V× 102410 > 100010

nªn 2100 > 1030 (*)
* So s¸nh 2100 víi 1031
Ta cã: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Tõ (*),( **) ta cã:
1031
< 2100 < 1031
Sè cã 31 ch÷ sè nhá nhÊt
Sè cã 32 ch÷ sè nhá nhÊt
100
Nªn 2
cã 31 ch÷ sè trong c¸ch viÕt ë hÖ thËp ph©n.
Bµi 10: So s¸nh A vµ B biÕt.
19 30  5
19 31  5
a) A = 31
;
B = 32
19  5
19  5
18
20
2 3
2 3
b) 20

;
B = 22
2 3
2 3
2
9
1  5  5  ...  5
1  3  3 2  ...  3 9
c) A =
;
B =
1  5  5 2  ...  5 8
1  3  3 2  ...  3 8

Bµi gi¶i:
30

90
19.(19  5)
19  5
19 31  95
Nªn
19A
=
=
= 1 + 31
31
31
31
19  5

19  5
19  5
19  5
31
31
32
90
19.(19  5)
19  5
19  95
B = 32
nªn 19B =
=
= 1 + 32
32
32
19  5
19  5
19  5
19  5
90
90
V× 31
> 32
19  5
19  5
90
90
Suy ra 1 + 31
> 1 + 32

Hay 19A > 19B Nªn A > B
19  5
19  5
9
2 2 .(218  3)
2 18  3
2 20  12
b) A = 20
nªn 22 . A =
=
= 1 - 20
20
22
2 3
2 3
2 3
2 3
2
20
20
22
9
2 .(2  3)
2 3
2  12
B = 22
nªn 22.B =
= 22
= 1- 22
22

2 3
2 3
2 3
2 3
9
9
9
9
V× 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22
Hay 22 A < 22 B
2 3
2 3
2 3
2 3

A=

30

Nªn A < B
c) Ta cã:
1  (5  5 2  ...  5 9 ) 1  5(1  5  5 2  ...  5 8 )
1  5  5 2  ...  5 9
1



 5  5 (1)
A=
=
2
8
1  5  5  ...  5
1  5  5 2  ...  5 8
1  5  5 2  ...  5 8
1  5  5 2  ...  5 8


Tơng tự B =
A=

1
3 4 (2)
1 3 3 ... 3 8

1
2

1 5 5 ... 5

Từ (1) và (2) Ta có

2

8

+5>5>4>

1
+ 3 =B
1 3 3 .... 3 8
2

Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
Viết A + 1 dới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x N biết
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
Bài giải:
3
3
3
3
a) 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2
2

99 1
1 = ( x - 2)2

2

502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn
3
7 = x2 - y2
Ta thấy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biết.
A =
111....1
- 777 ...7
2 x chữ số 1
x chữ số 7

là số chính phơng
Bài giải:

+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nếu x > 1

nên A > B

Ta có A = 111...1 - 777...7 = ......34 2
2x chữ số 1
x chữ số 7 mà ...34 4
Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2. 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35x + 9 5 vì ( 35x 5 ; 9 5 )
Mà 2. 5y 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y)
Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
2
100
A = 1 + 2 + 2 + ...+ 2
=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101

=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) (1 +2 + 22+ ...+2100)
Vậy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 22 ; 2 22 23 ; 2 22 23 24
b) Chứng minh rằng: A 2 22 23 ..... 22004 chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 34 35 36 37
b) Chứng minh rằng: B 1 3 32 .... 399 M40
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) S1 5 52 53 ... 52004 M6;31;156
b) S2 2 22 23 .... 2100 M31
c) s3 165 215 M33
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a) A 20 21 22 .... 22006
b) B 1 3 32 .... 3100


c) C 4 4 2 43 .... 4 n
d) D 1 5 52 .... 52000
Bài 6 Cho A 1 2 22 23 .... 2200 . Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho B 3 32 33 ..... 32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho C 4 22 23 .... 22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) 55 54 53 M7
b) 76 75 7 4 M11
c) 109 108 107 M222
e) 106 57 M59

g) 3n 2 2n 2 3n 2n M10n N *
h) 817 279 913 M45
i) 810 89 88 M55
k) 109 108 107 M555
Bài 10 Tính nhanh
a. S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
b. S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
c. S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:
2
4
6
200
a) A = 1 + 5 + 5 + 5 + ...+ 5
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1
Vậy A = ( 5202 -1) : 24
b) Tơng tự B =

7 304 1
7 3 1

Bài 3: Tính
1
1
1
1

+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5

A=

Bài giải:
1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
1
1
1

7A = 1 + + 2 + ... + 99
7
7
7
1
1

=> 7A - A = 1 - 100
A = 1 100 : 6
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5
4
4
4
5B = -4 +
+ 3 +...+ 201
5
5
5
4
B+5B = -4 + 200

5
4

B = 4 200 : 6
5


A=

Bài 3: Tính