Đề thi học sinh giỏi toán 8

Đề thi học sinh giỏi
Môn toán lớp 9 - Năm học: 2009 -

phòng GD-đt bố trạch
Đề giới thiệu

2010
số báo danh

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời
gian giao đề)
Ngời ra đề: Mai Văn Phú.

Đề ra:
Bài 1( 1,0 điểm): Cho bốn số nguyên dơng a, b, c và d thỏa
mản a2 + b2 = c2 + d2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.
Bài 2(1,0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số:
2
A = n 3 . n 2 7 36.n chia hết cho 420
Bài 3(2,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a + b +
c + d biết rằng :
a, b, c, d thỏa mản :

13 2ac 2bd 3b 2 3c 2
2
2 ad a 2 d 2

Bài 4(2,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các
cạnh là các số nguyên dơng và hai lần số đo diện tích bằng ba
lần số đo chu vi.

Bài 5 (4 điểm): Cho M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ
về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BC.
b/ Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba
điểm D, H, F thẳng hàng.
c/ Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn luôn đi qua một
điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố
định.

*Các tài liệu tham khảo:
Tuyển tập toán chọn lọc THCS
Tuyển tập đề thi toán THCS
Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán
Các bài toán hay đại số 8, hình học 8
Tuyển các bộ đề chuyên, chọn, HSG


phòng GD-đt bố trạch
Đề giới thiệu

Hớng dẫn chấm thi hsg
Môn toán lớp 9 - Năm học: 2009 -

2010
Bài/
Tổng
điểm

Bài1
(1

điểm)
:
Bài 2
(1
điểm)
:

Tóm tắt nội dung

Điểm
Chi
tiết
0,25
0,25

Với mọi số nguyên n thì n2 - n = n(n - 1) là số chẵn.
Do đó a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) là số chẵn.
Vì a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (a2 +
b2) là số chẵn.
0,25
Vậy a + b + c + d là số chẵn.
0,25
+

Vì a, b, c, d Z nên a + b + c + d là hợp số
Biến đổi A về dạng: A= (n - 3).(n - 2).(n - 1).n.(n + 1). 0,50
(n + 2).(n + 3)
Ta biết rằng tích của n số nguyên liên tiếp luôn tìm đ- 0,25
ợc một số chia hết cho n. Vì thế A luôn chia hết cho 5,
cho 6, cho 7.

0,25
Các số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia
hết cho (5.6.7) = 420.
0,25
d 2 3 2
13 2ac 2bd 3b 2 3c 2
2
2
2 Vì 2 ad a d (a ) d 2 >
2
2
2
4
2 ad a d

Bài 3
(2
điểm)
:

0 với mọi a và d.

2
2
Từ 13 2ac 2bd 2 3b 2 3c 2 , ta có:

2 ad a d
a b c d 2 a b 2 b c 2 c d 2 9

Vì a b 2 0; b c 2 0 ; c d 2 0

Do đó: a b c d 2 9 nên a b c d 3
Vậy max(a + b + c + d) = 3 khi a = b = c = d =

3
4

0,75
0,25
0,25
0,25


min(a + b + c + d) = -3 khi a = b = c = d = -

3
4

0,25

Gọi x, y, z lần lợt là số đo các cạnh góc vuông và 0,25
cạnh huyền của tam giác.
Theo bài ra ta có hệ phơng trình
0,75
x 2 y 2 z 2
1

xy 3 x y z

Bài 4
(2điể

m)

2

Rút z từ (2) ta có: 3z = xy - 3x - 3y,
Khi đó: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2
và từ (1) ta có: 9z2 = 9x2 + 9y2
Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2
Biến đổi phơng trình này, cuối cùng đợc:
0,5
(x - 6)(y - 6) = 18
Do x, y nguyên dơng nên
(x - 6) -5; (y - 6) -5
Xét các trờng hợp xảy ra ta có các cạnh của
0,5
tam giác vuông thoả mãn đề bài là (7; 24; 25),
(18; 15; 17) và (9; 12; 15)


D
Bài 5
(4
H
điểm)
:
F

C

Vẻ

hình,
đúng
rỏ: 0,5

I
E
O

O

OO
A

0,25
0,5
M 0,25

I

B
a/( 1điểm) Xét tam giác CAB có: CM AB,
BE AC (vì BE MF, MF//AC)
suy ra AE BC.

0,25
0,25
0,25

b/(1điểm) Gọi O là giao điểm của AC và DM. Vì AHC
AC

DM
OH
GócMHD = 90 0
= 90 (Câua), nên OH=
2
2
0

(1)
Chứng

minh

tơng

tự

góc

MHF

=

0,25

90 0 0,5

(2)
Từ (1) và (2) suy ra: H, D, F thẳng hàng.

0,5

c/ (1,5 điểm) Gọi I là giao điểm của DF và AC. Tam
0,5
giác DMF có DO= MO,
OI// MF nên I là trung điểm của DF.
Kẻ I I AB thì I là trung điểm của AB và
I I =

AD BF AM MB AB


2
2
2

Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đờng trung trực
của AB và cách AB một khoảng bằng
Lu ý :
điểm tối đa.
-

-

-

AB
.
2

Nếu học sinh giải theo cách khác và đúng thì vẫn cho

Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm
bài hình.
Học sinh làm sai đề so với đề thì không chấm điểm bài đó.