de thi hoc sinh gioi toan 8 -05-06

đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 8
Năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x
4
- 6x
2
- 7x - 6
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x
4
+ y
4
+ z
4
Biết x + y + z = 2
Bài 3. Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn:

1yxv
ba
yx
b
y
a
x
22
2244
=+
+
+

=+
Chứng minh:
( )
10031003
2006
1003
2006
ba
2
b
y
a
x
+
=+
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh bất đẳng thức:

c
1
b
1
a
1
cab
ac
bac
cb
abc
ba
222

++
+
+
+
+
+
+
+
+
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng
thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN =
2
1
AB. Đờng
thẳng MC cắt NA tại E, đờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC tại F
a) Chứng minh AF = AM.
b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM
Hớng dẫn chấm ôlim pic
Môn toán lớp 8
năm học 2005-2006
Bài 1 . (4 điểm)
Phân tích thành nhân tử: x
4
- 6x
2
- 7x - 6
Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có 2 thừa số là (x + 2)(x - 3)
(2đ)
chia f(x) cho (x + 2)(x - 3)

Vì x
2
+ x + 1 = x
2
+
2
1
2
x +
4
3
4
1
+
> 0) (1đ)
Bài 2. (4 điểm)
Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x
4
+ y
4
+ z
4
Biết x + y + x = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta có:

4
)zyx(
++

[ ]
22
)zyx( ++


[ ]
22
)zyx(3
++




2222
)zyx(9
++

)zyx(27
444
++
(2đ)
=>
)zyx(2716
444
++
=>
27
16
zyx
444

++
(1đ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của
27
16
lzyx
444
++
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
2
(1đ)
Bài 3. (4 điểm)
Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn:

1yxv
ba
yx
b
y
a
x
22
2244
=+
+
+
=+
Chứng minh:
( )

10031003
2006
1003
2006
ba
2
b
y
a
x
+
=+
Từ giả thiết =>

ba
)yx(
b
y
a
x
22244
+
+
=+
<=> (bx
4
+ ay
4
)(a + b) =ab(x
2

+ y
2
)
2
(1đ)
<=> b
2
x
4
+a
2
y
4
- 2abx
2
y
2
= 0 <=> (bx
2
- ay
2
)
2
= 0 (1đ)
<=> bx
2
- ay
2
= 0 <=>
ba

1
ba
yx
b
y
a
x
2222
+
=
+
+
==
(1đ)
<=>
10031003
2006
1003
2006
)ba(
1
b
y
a
x
+
==
<=>
10031003
2006

1003
2006
)ba(
2
b
y
a
x
+
=+
(Điều phải cm)
(1đ)

Bài 4. (4 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:

c
1
b
1
a
1
cab
ac
bac
cb
abc
ba
222
++

+
+
+
+
+
+
+
+
Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B

c
1
cab
ac
b
1
bac
cb
a
1
abc
ba
222

+
+
+
+
+
+

+
+
(0.5đ)
=
)cab(c
cabacc
)bac(b
bacbcb
)abc(a
abcaba
2
22
2
22
2
22
+
+
+
+
+
+
+
+
(0.5đ)
=
)cab(c
)bc(a
)bac(b
)ab(c

)abc(a
)ca(b
222
+

+
+

+
+

. (0.5đ)
Do a, b, c bình đẳng nên giả sử
cba

, khi đó b(a - c)

0, c(b - a)

0,
a(c - b)

0 (0.5đ)
a
3


b
3

c
3
=>abc + a
3


abc + b
3


abc + c
3
=>
)bac(b
)ca(b
)abc(a
)ca(b
22
+


+


(0.5đ)
=>A - B


)cab(c

)bc(a
)bac(b
)ab(c
)bac(b
)ca(b
222
+

+
+

+
+

=
)cab(c
abac
)bac(b
acab
22
+

+
+

(0.5đ)
=
)cab(c
)cb(a
)bac(b

)cb(a
22
+


+

(0.5đ)
Mà
)cab(c
1
)bac(b
1
22
+

+
nên A - B

0 (ĐPCM) (0.5đ)
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao
cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng
thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN =
2
1
AB. Đờng
thẳng MC cắt NA tại E, đờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC tại F
c) Chứng minh AF = AM.
d) Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM

a) Đờng thẳng EC cắt đờng thẳng BN tại K. (2đ)
Ta có: AC

AB (gt), KB

AB (gt) =>FC//KB

)1(
NK2
AB
AF
NK
AC
2
AB
AF
NK
AC
NB
AF
EN
AE
NK
AC
EN
AE
NB
AF
2
=⇒=⇒=⇒








=
=

2
1
2
AB
KN
AB
2
1
NBKN
AC
2
1
MB
AM
BK
AC
=
+
⇒=
+

⇒==


)2(AB
2
3
KNABKN2AB4
2
1
ABKN2
AB2
=⇒+=⇒=
+
⇒
Tõ (1) vµ (2) =>
AMAF
3
AB
AB3
AB
AF
2
=⇒==
(§PCM)
b)Tõ chøng minh trªn suy ra:
∆
AFB =
∆
AMC => ∠ ABF = ∠ACM
mµ ∠ABF + ∠AFB = 1v => ∠ACM + ∠AFB = 1v => ∠FEC = 1v =>EH =

FH
2
FC
=
mµ
BMEHBM
3
AC2
3
AC
3
AC
AHFAFH
=⇒==+=+=
(§PCM) (2®)
A
F
K
N
E
C
B
M