Đề thi đáp án thi học sinh giỏi toán 8

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
A. ĐỀ BÀI
Bài 1. ( 2 điểm ):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x3(x2 - 7 )2 - 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:
A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 2. ( 2 điểm ):

 1  x3

1  x2


 x :
Cho biểu thức A = 
2
3 với x khác -1 và 1.
 1 x
 1 x  x  x
a, Rút gọn biểu thức A.
2
3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x  1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004.
Tính : M =

2004a
b
c


.
ab  2004a  2004 bc  b  2004 ac  c  1

Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM.
a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông.
b) Tính diện tích của tam giác APM
c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân.
Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13.
----------------------------- HẾT ----------------------------


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------------------Bài

Đáp án
a) x (x - 7 ) - 36x = x[( x - 7x) - 36]
= x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 )
= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]

= x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
b) Theo phần a ta có :
A = n3(n2 - 7 )2 - 36n
= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A M( 2.3.5.7 )
Hay A M210.
3

1

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

2

2

3

Điểm

2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

a) Với x khác -1 và 1 thì :

2

1  x3  x  x2
(1  x)(1  x)
:
A=
1 x
(1  x)(1  x  x 2 )  x(1  x)

=

(1  x)(1  x  x 2  x)
(1  x )(1  x )
:
1 x
(1  x)(1  2 x  x 2 )

1
2
= (1  x ) :
= (1  x 2 )(1  x)
(1  x)
5 2 
5 
2
5

b) Tại x =  1 =  thì Acó giá trị là 1  ( )   1  ( )
3  
3 
3
3

25
5
34 8 272
2
10
= (1  )(1  )  . 
9
3
9 3 27
27
c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1  x 2 )(1  x)  0 (1)
Vì 1  x 2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1  x  0  x  1
KL
Thay 2004 = abc vào M ta có :

a 2bc
b
c


2
ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  1
a 2bc
b
c



ab(1  ac  c) b(c  1  ac) ac  c  1
ac
1
c



1  ac  c c  1  ac ac  c  1
ac  c  1

1
1  ac  c
M

3

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Vẽ hình đúng cho phần a
A

1

1

M

0,25

B

P

4

I

N

H
1

D

C

a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc )

0,75

=>

0,25

�
�
A1  D
1

� M
�  900 ( ∆ADM vuông tại A )
Mà D
1
1
�  900 => �
A1  M

Do đó: �
APM  900 .Hay ∆APM vuông tại P.
1

0,5

4 5
(cm)
5
2 5
AM =
(cm)
5
4
2
SAPM = (cm )
5

b) Tính được : AP =

0, 5
0,25

c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H.
Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành
=> AN // CI mà AN  DM nên CI  DM
Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1)
Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H
là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C.

5

Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12
Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước
dương của 12 từ đó có các trường hợp :
x+y+1
x-y-1

12
1

x

13
2
9
2

y

0,25

6
2
4
1

4
3
7

2
1
2

Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1)
KL.
*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a, x4  4
b,
2. Cho



x  2  x  3  x  4  x  5  24

a
b
c
a2
b2
c2


 1. Chứng minh rằng:


0
b  c c  a a b
b  c c  a a b

Câu 2: (2 điểm)
3
2
1. Tìm a,b sao cho f  x   ax  bx  10x  4 chia hết cho đa thức
g  x   x2  x  2

2. Tìm số nguyên a sao cho a 4  4 là số nguyên tố
Câu 3.( 3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ ME  AB, MF  AD.

a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.(1,5 điểm)
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011

--------------------------HẾT--------------------------

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu
1a.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

Đáp án
x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
4

4

2

Điểm
0,5

0,25
0,25


1b.

1

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52

0,25
0,25

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

0,25
0,25

2. Nhân cả 2 vế của:

2

a
b
c



1
b c c  a a b

với a + b + c
rút gọn � đpcm
2
1. Ta có : g  x   x  x  2=  x  1  x  2  Vì

0,5
0,5

f  x   ax 3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức

0,25

g  x   x2  x  2

Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
� ax 3  bx 2  10x  4=  x+2  .  x-1 .q  x 

0,25

Với x=-2 � 2a-b+6=0  2 
Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2 và b=4
4
2
2
2. Ta có : a  4=  a -2a+2   a +2a+2 

0,25

Với x=1 � a+b+6=0 � b=-a-6  1

0,25
0,25

Z
a 2 -2a+2 Z ;a 2 +2a+2 Z
Vì a ή��

Có a 2 +2a+2=  a+1  1 �1 a
2

Và a 2 -2a+2=  a-1  1 �1 a
Vậy a 4  4 là số nguyên tố thì a 2 +2a+2=1 hoặc a 2 - 2a+2=1
Nếu a 2 -2a+2=1 � a  1 thử lại thấy thoả mãn

0,25

Nếu a 2 +2a+2=1 � a  1 thử lại thấy thoả mãn

0,25

2

0,25

0,25

a. Chứng minh:

3

AE  FM  DF

� AED  DFC � đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC � đpcm

0,5
0,5
1

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

� ME  MF  a không đổi

0,5


� SAEMF  ME.MF lớn nhất

0,25

� ME  MF (AEMF là h.v)

0,25
0,25

� M là trung điểm của BD.

(a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

4

0,25

� (a+ b) – ab = 1

0,25

� (a – 1).(b – 1) = 0

0,25

� a = 1 hoặc b = 1

0,25

Vì a = 1 => b

2000

=b

2001

=> b = 1; hoặc b = 0 (loại)

Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)

0,25

Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

0,25

* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

-----------------HẾT-----------------UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6

Câu 2: (2,5 điểm)

2 x
4x2
2 x
x2  3x
Cho biểu thức : A  (
 2


):(
)
2 x
x 4 2 x
2 x 2  x3
a)

Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b)

Tìm giá trị của x để A > 0?

c)

Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4.

Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0.
b) Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
   1 và    0 . Chứng minh rằng : 2  2  2  1 .
x y z
a b c
a
b

c

Câu 4: (3 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F,
G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC.
Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?
Câu 5: (1 điểm)


Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

x
y
z


yz zx xy
--------------Hết ----------------

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án

Điểm

= 3x2 – 6x – x + 2 = 3x(x – 2) – (x – 2)

0,25

= (x – 2)(3x – 1).
b) Đặt a = x2 – 2x

0.25
0.25

Thì x2 – 2x – 1 = a – 1

0.25

Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = a2 – a – 6 = (a + 2) (a – 3)

0.25

Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2)

0.25

�x �0
�
a) ĐKXĐ : �x ��2
�x �3
�

0,25

2

a) 3x – 7x + 2
Câu 1
(1.5 điểm)

(2  x)2  4 x 2  (2  x) 2 x 2 (2  x )
4 x2  8x
x(2  x)
A
.

.
(2  x)(2  x)
x( x  3)
(2  x)(2  x) x  3


Câu 2
(2.5 điểm)

2, x �3 thì A 
Vậy với x �0, x ��
b)Với x �0, x �3, x ��2 : A  0 �

4 x( x  2) x(2  x)
4 x2

(2  x)(2  x)( x  3) x  3
4x 2

.
x3
2

4x
0
x3

� x 30

0,25

0,25
0,25
0,25

� x  3(TMDKXD)

0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0.

0,25
0,5

x7  4
x  11(TMDKXD)
�
�
��

x  7  4
x  3( KTMDKXD)
�
�

c) x  7  4 � �

Với x = 11 thì A =

121
2

0,25


a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
0,25

� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
� 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)

0,25

Do : ( x  1) 2 �0;( y  3) 2 �0;( z  1) 2 �0 Nên:(*) � x = 1; y = 3;

0,25

z = -1

0,25

Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1).
Câu 3
(2.0 điểm)
a b c
ayz+bxz+cxy
 0 � ayz + bxz + cxy
b)Từ:    0 �

x

y

z

0,25

xyz

=0

0,25

x y z
x y z
   1 � (   )2  1
Ta có :
a b c
a b c
2

2
2
x
y
z
cxy  bxz  ayz
� 2  2  2 2
1
abc
a
b
c
x2 y 2 z 2
� 2  2  2  1(dpcm)
a
b
c

0,25
0,25

- Hình vẽ

A

- Chứng minh: ACD  BDC (c.g.c)

B
//
E

� và �
��
ACD  BDC
ACD  600

//
O

� OCD là các tam giác đều.

X

D

1
BC
2

0,25
G
0,25
C

0,25
0,25
0,25

1
- Chứng minh tương tự: EG  BC

2

0,25

- Xét AOD có: AE = EO và DF = FO (gt)

� EF là đường trung bình của AOD � EF 
- Suy ra EF = EG = FG nên EFG đều

1
1
AD  BC
2
2

 x+y+z=



 a b c
a  bc
a b c
x=
;y=
;z=
2
2
2

P=

 a b c a  b c a b  c


=
2a
2b
2c

1
b c
a c
a b
( 1    1    1   )
2
a a
b b
c c

0,25

=

X

� BFC vuông tại F
Câu 4
(3.0 điểm) - Xét BFC vuông tại F có:

Câu 5

Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c
(1.0 điểm)

0, 5

F

-Trong OCD cân tại C có CF là trung tuyến

BG = GC � FG 

=

0, 5

a bc
2

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25


1
b a
c a
b c

3
( 3  (  )  (  )  (  )) 
2
a b
a c
c b
2
3
Min P = Khi và chỉ khi a = b = c  x = y = z
2

=

Tổng

10,0

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y)
b) x2 – 12x + 35
c) x3 + 2x2 + 2x + 1
Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính
a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)

� x2
6
1 ��
10  x 2 �


:
x

2

b) � 3
��
�
x2 �
�x  4 x 6  3x x  2 ��
c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2
Bài 3:( 2,0 điểm)
a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng:
A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
2
4
8
1006
b) Tính B =  2  1  2  1  2  1  2  1 K  2  1  1
c) Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a
b
c



a) Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M =
ab+a+1 bc  b  1 ac  c  1
a 2013  b 2013  c 2013
3
3
3
b) Cho a +b +c �0 và a + b + c = 3abc. Tính N =
2013
 a  b  c
Bài 5: (3,0 điểm)
� = 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên
Cho hình thang ABCD có �
A D
AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vuông góc với DP
d) Chứng minh S ABCD  6S ABC
------------------H ẾT-----------------------


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài
Bài 1
(1,5 đ)

Bài 2
(1,5 đ)

Bài 3
(2,0 đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Đáp án

a) = (x – 3y)(x – 3y – 3)
b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5)
= (x – 5)(x – 7)
c) = x3 + 1 + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1)
= (x + 1)(x2 – x + 3)
a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng
Kết quả (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1
� x2
6
1 ��
10  x 2 �
�: �x  2 
� 2


�
�x  x  4  3  2  x  x  2 ��
x2 �
�
�

2
b)  x  2  x  2   x  2 : ( x  2)( x  2)  10  x
( x  2)( x  2)
x2
6
x2
1
1

.


( x  2)( x  2) 6
x 2 2 x
2
2
c) = (1- 3x + 3x + 4) = 5 = 25
a) Đặt x = a2 +a +1 � a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a �N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là �1 và chính A, nó còn có
thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số
b) B   2  1  2  1  2 2  1  2 4  1  28  1 K  21006  1  1

Điểm
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,1
0,2
0,2
0,5
0,25
0,25
0,75

  22  1  2 2  1  2 4  1  28  1 K  21006  1  1
  24  1  2 4  1  28  1 K  21006  1  1





 K   21006   1  1  22012
2

2

Bài 4
(2,0 đ)

c) Vì đa thức x – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng
r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b

(1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2)
với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3)
Từ (2) và (3) � b = 0 và a = - 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: – 4x
c
b
a) Thay abc = 1 vào
, nhân cả tử và mẫu của
với a ta có:
ac  c  1
bc  b  1
a
ab
c
M


ab+a+1 a  bc  b  1 ac  c  abc


a
ab
1
ab+a+1



1
ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1

0,25
0,25
0,25

0,5
0,5


B) a3 + b3 + c3 = 3abc
� a 3  b 3  c 3  3abc  0
� a 3  b 3  3ab (a  b )  c 3  3ab (a  b )  3abc  0
�  a  b   c 3  3ab (a  b  c )  0
3

� (a  b  c)(a 2  2ab  b 2  ac  bc  c 2 )  3ab(a  b  c)  0
� (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc)  0
� a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c �0)
� 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
� (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 �0  a, b; (b – c)2 �0  b,c; (c – a)2 �0  a, c.
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 �0  a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0  a, b,c
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
�a = b = c
Mà a +b +c �0 � a = b = c �0 (*)
a 2013  a 2013  a 2013
3a 2013
3a 2013
1




Thay (*) vào N ta có: N 
2013
2013
2013
27a
9
 a  a  a
 3a 

0,25

0,25

0,25
0,25

Hình vẽ

Bài 5
(3,0đ)

a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
0
lại có �
A =90 nên ABMD là hình vuông.
+/  BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
1

BM = DC �  BMD vuông tại B
2
� = 450 �  BMD vuông cân tại B
lại có BDM
b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
� tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP
� AQ  DP
Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) � S ABC  S AMC
1
1
2
mà SAMC  AD.MC  AD
2
4
1
3
2
2
2
Lại có S ABCD  S ABMD  S BCM  AD  AD  AD
2
2
2
3
AD
S ABCD
 2
 6 � S ABCD  6 S ABC
1

S ABC
2
AD
4
Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8
Thời gian: 120’

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


I. Đề bài:
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 - (a+b) xy + aby2
b) a2- b2 – 2a + 1
c) a3 – 19a + 30
Bài tập 2:
a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3
b) cho a + b + c = 2012

Chứng minh rằng :

a 3  b 3  c 3  3abc
= 2012
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc

Bài tập3:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến
x2
x2
8
4

 2
):
2x  4 2x  4 x  2 x  2
2013
2013
2013


Q=
1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx

P= (

b) Cho

Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME  AB; MF 

AD.Chứng minh
a) CF = DE; CF  DE
b) CM = FE ; CM  FE
c) CM,BF,DE đồng qui.


III.Đáp án:
Bài tập
Đáp án
2
2
Bài 1
a) = x – a xy – bxy – aby
(2,5điểm)
= x(x-by) – ay( x-by)
= ( x- ay)(x – by)
b) = (a2 – 2a + 1) – b2
= ( a – 1)2 – b2
= ( a -1- b)( a – 1 + b)
c)= a3-4a -15a -30
= a(a2-4)-(15a-30)
= a(a-2)(a+2)-15(a-2)
= (a-2) (a2-2a-15)
= (a-2)( a2+3a-5a-15a)
= (a-2)(a+3)(a-5)
Bài 2
a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d)
(1,5điểm)
= (x3-9x2+27x-27)(x+d)
= x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d

cân bằng hệ số ta có
d-9=0 � d=9
-27d = c � c=-243
27d-27=b � b=216
27-9d=a � a=-54
Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho
(x-3)3
b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
� a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
= (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
2
2
= (a+b+c)(a +b +c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)
Vậy
a 3  b3  c 3  3abc
(a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc )
=
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc

điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
025đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,25đ

= a+b+c = 2013
Bài 3
(2điểm)

( x  2) 2  ( x  2) 2  16 4
8 x  16
4
:

:
2( x  2)( x  2)
x  2 2( x  2)( x  2) x  2
a) P=
4
4

:
1
x2 x2
2013
2013

2013


b) Q =
1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx
z
xz
1


= 2013(
)
2
z  xz  xyz xz  xyz  z xy 1  z  xz
z
xz
1


= 2013(
) = 2013
z  xz  1 xz  1  z 1  z  xz

0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ


Bài 4

(4 điểm)

A

F

N

I

D

G

E

0,5 đ

B

M

C

a) AEMF là hình chữ nhật � AF=EM
�
 EBM cân tại E vì EBM
= 450 � EB =EM
� AF= EB mà AB = AD � AE=FD
�

�  ADE =  DCF (c,g,c) � FC=DE và �
AED = CFD
0
0
� +�
mà �
AED + �
ADE =90 � CFD
ADE =90
� =900 � CF  DE
� FID

�
� = MCG
b)  MEF =  GMC(c.g.c) � CM = FE và EFM
� = FCD
� (so le trong)
ta lại có MFC
� + FCM
� + MCG
� =900 � EFM
� + FCM
� =900
� + MFC
mà FCD
� =900 � CM  FE
� CNF

c)Xét  EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao
thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui.

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1 (3,0 điểm):
x2  x  2
x 2  5x  6
a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.
b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
1) Cho biểu thức: A 

2) Giải phương trình:

x  3 x  1

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức B = a4 + b4 + c4
b) Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1
Câui3 (1,0 điểm)
Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức:
P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 là bình phương của 1 số nguyên.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. Gọi N là trung điểm của AM, BN cắt
cạnh AC tại E, CN cắt cạnh AB tại F. Tính diện tích tứ giác AFNE theo S.
Câu 5 (3,0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD lần lượt tại E,
K, G. Chứng minh:


a) AE 2  EK .EG
1
1
1


b)
AE AK AG
c) Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
............................... HẾT.................................


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Yêu cầu nội dung

Ý

Câu

1a

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Điểm

a- ĐKXĐ:
x 2  5 x  6 0   x  2  x  3 0  x  2; x  3
x  x  2  x  1 x  2  x  1


x 2  5 x  6  x  2  x  3 x  3

0,25 đ

2

A

0,75 đ

x 1
4
1 
x 3

x 3
4
Để A nguyên thì
nguyên hay x+3  Ư(4)
x 3
Suy ra:
x+3
-4
-2
-1
1
2
4
x
-7
-5
-4
-2
-1
1
Vì ĐKXĐ: x -2
Vậy x nhận các giá trị: -7;-5;-4;-1;1
A

Câu1
3,0đ
1b

0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25đ

2
* Xét khoảng x 0 phương trình đã cho trở thành:
x  3  x  1 (1)
Với x 3 pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm

0,25đ

Với 0 x  3 pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng đang xét

0,25đ

* Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành: x  3  x  1 (2)
Với  3  x  0 pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm

0,25đ

Với x   3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc khoảng
đang xét)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =  1 
Câu2
2đ

a





2

Ta có: 14 2  a 2  b 2  c 2
 196 a 4  b 4  c 4  2a 2 b 2  2a 2 c 2  2c 2 b 2
 a 4 b 4 c 4 196  2 a 2 c 2  a 2 b 2  b 2 c 2





Lại có: a+ b+ c = 0   a  b  c  2 0
 a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 0  ab  ac  bc  7
  ab  ac  bc  49
 a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  2ab 2 c  2bc 2 a  2ca 2 b 49
 a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2  2abc(a  b  c) 49
2

0,25 đ

0,25 đ
0,5đ


Do đó :  a 2 b 2  a 2 c 2  b 2 c 2 49
 B = a4+ b4+ c4 = 196-2.49 = 98



b

 

0,25 đ



n 5  1 n3  1  n 2 n3  1  n 2  1 n 3  1
  n  1 n  1  n  1 n 2  n  1
 n  1 n 2  n  1 (vì n  1 0 )

0,5 đ

Nếu n=1 thì được 0 chia hết cho 1
Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n2-n+1 nên (n-1) không thể
chia hết cho n2-n+1
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1

0,5 đ





P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1
= (a 2 5a  4)(a 2  5a  6)  1
Đặt a 2 5a  4  x ta có:
P = x( x+ 2)+1= x 2 + 2x + 1= (x + 1) 2 . Thay a
2

2
5a  4  x ta được P = ( a 5a  5) 2 Vì a là số nguyên
nên ( a 2 5a  5) 2 là số nguyên, do đó
p =( a 2 5a  5) 2 là bình phương của một số nguyên.
Suy ra điều phải chứng minh.

Câu3
1,0 đ

0,25 đ

0,5 đ
0,25 đ

A
E

F
N

K

Câu4
1đ

B

C

M

Vẽ MK//CF
 BK  KF  FA
S AKM 4 S AFN ; S BKM 2 S AFN

Câu5
3đ

0,25 đ
0,25 đ

S
S
 S AFN 
2
12
S
S
  S AFNE 
12
6

 S ABM 6S AFN mà S ABM 

0,25 đ

Tương tự có: S ANE

0,25 đ

A

B
E
K
G

D

C

Do BK//AD, nên

EK BE

(1)
AE ED

Do AB//DG, nên

AE BE

(2)
EG ED

0,5 đ
0,25 đ


EK AE


 AE 2  EK .EG
AE EG
AE DE
AE DE



Ta có:
(3)
EK EB
AK DB
Từ (1)(2) 

Tương tự:

AE BE

(4)
AG BD

0,25đ
0,25 đ

0,5 đ

Công từng vế của (3) và (4) ta có:
AE AE DE BE BD
1
1

1




1 hay


AE AK AG
AK AG DB BD BD
BK
a
KC CG


Đặt AB=a; AD=b thì:
và
KC CG
b
DG
Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta được:
BK
a

 BK .DG ab có giá trị không đổi
b
DG

0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ

…………………HẾT…………………
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 2  7 x  6
b) a(x2 +1) – x(a2 + 1)
c) x – 1 + xn + 3- xn
Bài 2: (3,0 Điểm)
1. Cho đa thức f(x) = 2x3 – 3ax2 +2x + b
Xác định a và b để f(x) chia hết cho x – 1 và x + 2
2. So sánh A và B biết:
2
2
4
8
16
A 5 32  1 và B (5  4.5  1)(5  1)(5  1)(5  1)(5  1)
3. Cho a, b, c là các số thỏa mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
a
b

c
A


1  a  ab 1  b  bc 1  c  ac

Bài 3: (1,5 Điểm) Thực hiện phép tính:
2 xy
x  y  2x
y
.


2
2x  2 y  x  y y  x
x  y


a) 

2

1  5 x 2  15 x
 2

. 2
b) 
2
 x  2 x  3x  2 x  5 x  2

Bài 4: (2,5 Điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của BA lấy một điểm E, trên tia đối của CB lấy một
điểm F sao cho AE = CF.
1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân.
2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD, gọi I là trung
điểm của EF


Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của
đa giác bằng 5040 . Hỏi đa giác có mấy cạnh
--------------- HẾT ---------------


UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

Đáp án
a/=x + 6x + x +6 = (x + 6)( x + 1)
b/=ax2 + a – a2x – x
=ax(x – a) – (x – a)
= (x – a)(ax - 1)
c/ = (x – 1) + (x3 – 1)(xn)
= (x – 1) 1  ( x 2  x  1) x n 
= (x – 1)(1 + xn + xn+2 + xn+1)

1/ Để f(x) chia hết cho 2 đa thức x – 1 và x + 2 ta có
f(x) = (x – 1)(x + 2). Q(x)
+ Với x = 1 => 2 – 3a + 2 + b = 0 => b = 3a (1)
+ Với x = 2 => -1b -12a – 4 + b = 0 => b = 12a + 20 (2)
2

1

+ Kết hợp (1) và (2) ta có a =
2

 20
 20
;b=
9
3

2/ ta có A = (516 – 1)(516 + 1) = …
= 24(52 +1)(54 +1)(58 + 1)(516 + 1)
Do 24 > 6 => A > B
3/ Thay abc = 1 vào biểu thức A ta có

0,5đ

a
b
bc


abc  a  ab 1  b  bc b  bc  abc

1
b
bc


1
=
bc  b  1 bc  b  1 bc  b  1
 2 xy
x  y  2x
y
.
a /  2


2
2x  2 y  x  y y  x
x  y

0,5đ

2 xy.2   x  y  2 x
y

2
2
xy y x
2x  y
2



0,25đ



0,5đ

2 x x  y 
 y
x y



1
2
2 x  y   x  y  x  y x  y
2

3

 2
1  5 x( x  3)
. 2
b / 

 x  2 x( x  3)  2 x  5 x  2
2 x( x  3)  ( x  2) 5 x( x  3)

.

1
x( x  2)( x  3)
( x  2)( x  )
2
2
2 x  5x  2
5 x( x  3)
5

. 2

x( x  2)( x  3) 2 x  5 x  2 x  2
E

4

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ

A=



Điểm
0,5đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,5đ

I

B

C

F

O

-Vẽ hình đảm bảo

A

D

0,25đ


a/ Chứng minh  DEF vuông cân
 ADF =  CDF (c.g.c) => DE = DF (1)

AE//DC => ADE = D1 ( so le trong)
Mà ADE = D2 (do  ADE =  CDF)
=> ADE + AED = D1 + D2
Hay EDF = 900(2).
Từ (1) và (2) suy ra  DEF vuông cân.
b/ O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của EF.
-

Ta có ID =

1
1
EF; IB = EF( Tính chất trung tuyến ứng
2
2

với cạnh huyền trong tam giác vuông)
=> ID = IB, Vậy 3 điểm O, C, I cùng thuộc đường trung trực
của BD nên ba điểm này thẳng hàng.
- Gọi đa giác cần tìm có n cạnh
- Tổng số đo các góc của tam giác đó là ( n – 2).1800
=> số đo một góc trong của tam giác đó là:
5

-

0,5đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ

(n  2).180 0
n

Do tổng số đo các góc ngoài của một tam giác là 3600 nên
ta có 3600 +

(n  2).180 0
= 5040 => n = 10
n

- Vậy đa giác cần tìm là thập giác đều.
--------------- HẾT ---------------

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4  2011 x 2  2010 x  2011
b) Tìm các số nguyên x; y sao cho: 3 x 3  xy 3 .
c) Tìm các hằng số a và b sao cho x 3  ax  b chia cho x  1 dư 7;
chia cho x  2 dư 4.
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:

2
2
2
A= x  y  5  2 x  4 y   ( x  y  1)  2 xy với x 2 2011 ; y 16 503
b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất:
B

x 2  2 x  2011
với x>0
x2

Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
a)

20113  113
2011  11

3
3
2011  2000
2011  2000

b) Nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4m 2  m 5n 2  n thì :
m-n và 5m  5n  1 đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)


Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD).
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh

1
1
2


.
AB CD MN

2
2
c) Biết S AOB a ; S COD b . Tính S ABCD ?

d) Nếu Dˆ  Cˆ  90 0 . Chứng minh BD > AC.
-----------HẾT-------------


UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8

Đáp án

Điểm

0,5
0,25
0,25

a/ x 4  2011x 2  2010 x  2011 = x 4  x 3  x 2  2010( x 2  x  1)  ( x 3  1)
=  x 2  x  1 x 2  x  2011
b/ 3x 3  xy 3  x 3 x 2  y  3 . Do x; y là các số nguyên nên ta có:
�x  3
 x 1
�x  3

��
(thỏa mãn) hoặc � 2
(thỏa mãn)
3 x  y  1 �y  26
 y 0
 3 x  y 3
�
 x  1
�x  3
 x  1
�x  3
 
��
TH2:  2
(thỏa mãn) hoặc � 2
(thỏa mãn)
 y  6
 3 x  y  3
�3x  y  1 �y  28

 x 1

TH1: 
1

2

0,25
0,5

c/ Vì x 3  ax  b chia cho x  1 dư 7 nên ta có: x 3  ax  b =  x  1.Q( x)  7

0,25

do đó với x  1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
Vì x 3  ax  b chia cho x  2 dư 4 nên ta có: x 3  ax  b =  x  2 .P( x)  4

0,25

do đó với x  2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4.
a/ Ta có: x 2  y 2  5  2 x  4 y  x  1 2   y  2 2 0 với mọi x; y nên ta có:

0,25
0,25

A= x 2  y 2  5  2 x  4 y   x  y  1 2  2 xy

0,25

=
x 2  y 2  5  2 x  4 y  x 2  y 2  1  2 xy  2 x  2 y  2 xy 4 x  2 y  4 2(2 x  y )  4

2

3

Thay x 2 2011 ; y 16 503  2 4 

503





0,25

2011
 2 2012  4 4
2 2012 vào A ta có: A= 2. 2.2

0,25

x 2  2 x  2011 2011 x 2  2.x.2011  2011 2
=
x2
2011 x 2
2
2
2010 x 2   x  2011

2010  ( x  2011
2010
=
.



2
2
2011
2011
2011x
2011 x
Dấu “=” xảy ra khi x 2011 .
2010
Vậy GTNN của B là
đạt được khi x 2011 .
2011

b/ B=

a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c.
Xét vế phải đẳng thức ta có:

0,25
0,25




20113  113
a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2


20113  2000 3 a 3  c 3  a  c  a 2  ac  c 2




0,25

Thay a=b+c vào a 2  ab  b 2  b  c  2   b  c b  b 2 b 2  bc  c 2

0,25

a 2  ac  c 2  b  c    b  c  c  c 2 b 2  bc  c 2
2

0,25





  m  n m   m  n 5m  5n  1 m

0,25

2
2

2
2
Nên a  ab  b a  ac  c .

Vậy:

2011 3  11 3
a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2
a b
2011  11




3
3
3
3
2
2
a  c 2011  2000
 a  c  a  ac  c
2011  2000
a c

b/Ta có 4m 2  m 5n 2  n  5 m 2  n 2

2

Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)  (5m+5n+1)+5m-5n  d  10m+1  d

2
Mặt khác từ (*) ta có: m  d2  m d. Mà 10m+1 d nên 1 d  d=1

2

(*) 0,5
0,25


Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
B hình vẽ
A
A
a/ Ta có

0,25
0,25
0,5

B

OA OB

Do MN//DC
AC BD

N

M

OM ON
 OM=ON. O

DC DC
OM AM
OM DM


b/ Do MN//AB và CD 
và
. Do đó:
CD
AD
AB
AD

0,5



OM OM AM  MD


1
DC AB D
AD
(1)
ON ON

1 (2)

Tương tự:
DC AB
MN MN

2
Từ (1);(2) 
DC AB
1
1
2



DC AB MN

C

D

H

E

0,25

K

C

0,25

0,25
0,25

c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 0,25

4

cạnh đáy tương ứng. Do vậy :
Nhưng

S AOB OB
S AOD OA


và
S AOD OD
S COD OC

S
S
OB OA
 AOB  AOD  S 2 AOD S AOB .S COD a 2 .b 2 nên S AOD ab .

S AOD S COD
OD OC

0,5

2
Tương tự S BOC ab .Vậy S ABCD  a  b 

0,25

d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

0,25

Do Dˆ  Cˆ  90 0 nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có AEˆ D  BCˆ D Cˆ  Dˆ  AD  AE .
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC  DH>KC  DK > CH.

0,25

Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :

0,25

2
2
DB 2  BK 2  DK 2  AH 2  CH 2  AC 2 (Do AH  BK ) � BD  AC

HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa
UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TO ÁN 8

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :


a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (2,0 điểm)
Cho biểu thức :

2 x
4 x2
2 x
x 2  3x
A(
 2

):(
)
2 x
x 4 2 x
2 x 2  x3
d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
e) Tìm giá trị của x để A > 0?
f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

a b c
x y z
x2 y 2 z 2



0



1
Cho
và
. Chứng minh rằng : 2  2  2  1 .
x y z
a b c
a
b
c

Câu 4. (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD.
a. Chứng minh: DE  CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

---------Hết-------

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TO ÁN 8

§¸p ¸n
Bài 1 a/ 3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
b/ a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).
2

2

Điểm

0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25