Giao anDS11 13 17

Tiết: 13 → 17

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Nắm được dạng, phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
- Nắm được dạng, phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
- Nắm được dạng, phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
2. Kỹ năng:
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào
việc giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào
việc giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn.
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đơn giản vào
việc giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác khoa học, chú ý tập trung trong giờ.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, nội dung 2.1, luyện tập bài 1. Tiết 2: Nội dung 2.2, luyện tập bài 2. Tiết 3:
Nội dung 2.3, luyện tập bài 3. Tiết 4: Luyện tập bài 4,5. Tiết 5: Luyện tập bài 6, vận dụng và
tìm tòi mở rộng.

1. Giới thiệu
Quan sát những phương trình dưới đây, cho biết nó thuộc dạng phương trình nào?

a)2 x − 1 = 0

b) − x 2 + 3 x − 5 = 0

c)2sin x + 2 = 0

d ) tan 2 x − 3tan x + 7 = 0

Gợi ý:
a) Phương trình bậc nhất đối với ẩn x.
b) Phương trình bậc hai đối với ẩn x.
c) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
d) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Ở cấp 2, các em đã biết cách giải phương trình dạng a và b. Những tiết tiếp theo chúng ta sẽ tìm
phương pháp giải các phương trình dạng c, d và một số phương trình lượng giác thường gặp
khác.


2. Nội dung bài học
2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
2.1.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào cách giải phương trình 2x-1=0; hãy giải phương trình 2sinx -1 = 0 ?
Gợi ý:

π

x

=
+ 2 kπ

1
6
2sin x − 1 = 0 ⇔ sinx = ⇔ 
;k ∈¢
5
π
2
x =
+ 2 kπ

6
2.1.2. Hình thành kiến thức:

a) Định nghĩa: (SGK)Phương trình có dạng : at + b = 0; a≠0 ( t là một trong các hàm số lượng
giác).
b) Cách giải : (SGK) at + b = 0 ⇔ t =

−b
a

Ví dụ:
1. Các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác?
a) 4sinx + 2 = 0.
b) 3 tanx + 1 = 0.
c) 3 tan2x + 1 = 0
d) 3 x + 1 = 0
2) Giải các phương trình sau :

a )3cosx + 7 = 0

b) cot x + 3 = 0

Gợi ý:
1. Phương trình a, b.
2.
7
a )3cosx + 7 = 0 ⇔ cos x = − ( PTVN )
3
b) cot x + 3 = 0 ⇔ cot x = −3 ⇔ x = arctan(−3) + kπ ; k ∈ ¢.

2.2.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
2.2.1. Hoạt động khởi tạo:
Dựa vào cách giải phương trình 3 x 2 + 2x − 5 = 0 ; hãy nêu cách giải phương trình
3 tan 2 x + 2 t anx −5 = 0 ?
Gợi ý:
Đặt t=tanx để đưa phương trình sau về phương trình đầu.
2.2.2. Hình thành kiến thức:
a) Định nghĩa: (SGK)
Phương trình có dạng : at 2 + bt + c = 0 ; a≠0 ( t là một trong các hàm số lượng giác).
b) Cách giải : (SGK)
B1 : Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ t và đặt điều kiện t (nếu có) .
B2 : Giải phương trình bậc hai theo t và kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm t .
B3 : Giải phương trình lượng giác theo nghiệm t nhận được.
Ví dụ:
1. Các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác?
b)2sin 2 x − sin x − 3 = 0

c)3cot 2 x − 2 3 cot x + 3 = 0
a) 4sinx + 2 = 0.
d) 3 x + 1 = 0
2
2) Giải phương trình 3 tan x + 2 t anx −5 = 0
Gợi ý:


1. Phương trình b, c.
t = 1
2. Đặt t = t anx phương trình trở thành 3 t + 2t − 5 = 0 ⇔ 
5
t=−
3

π
Với t = 1 ta có t anx = 1 ⇔ x = + kπ ; k ∈ ¢
4
5
5
Với t = 1 ta có t anx = − ⇔ x = arctan(− ) + kπ ; k ∈ ¢
3
3
2

2.3.

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
2.3.1. Hoạt động khởi tạo:
1. Nhắc lại công thức cộng sin(a + b) ?

2. Áp dụng vào chứng minh công thức asinx + bcosx = a2 + b2 sin( x + α ) với cosα =
sinα =

b

a
a2 + b2

và

(1).

a + b2
2

Gợi ý:
1. sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa.
2
2
2. asinx + bcosx  =   a + b (

với cosα =

a
a2 + b2

a
a +b

và sinα =

2

2

b

a2 + b2

sinx +

b
a +b
2

2

cosx  ) = a 2 + b 2 sin( x + α );

.

2.3.2. Hình thành kiến thức:
a) Định nghĩa: (SGK)
Phương trình có dạng : asinx + bcosx = c(2).
b) Cách giải : (SGK)
Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc b = 0, a ≠ 0 phương trình (2) có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 ta áp dụng công thức (1)
Ví dụ: Giải phương trình sin x + 3cos x = 1
Gợi ý:
Áp dụng công thức (1) ta có sin x + 3cos x = 1+

( 3)

2

sin( x + α ) = 2 sin( x + α )

π
1
π

3
, cos α = . Từ đó ta lấy α = ta có sin x + 3cos x =2 sin x + ÷ .
3
2
3

2
π

x
=
−
+ k2π

π 1
π
π



6
( k∈ ¢ )
Khi đó : sin x + 3cos x = 1 ⇔ sin x + ÷ = ⇔ sin x + ÷ = sin ⇔ 
3 2
3
6


 x = π + k2π

2

với sin α =

3. Luyện tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:


π
a )2sin( x + ) − 1 = 0
2
c) cot(x+200 ) − 1 = 0

b) 3 t an2x + 1 = 0
d ) cot 2 x − cot x = 0

Gợi ý:
π
 π π


x + = + 2 kπ
x = − + 2 kπ


π
π
1
2 6
3
a )2sin( x + ) − 1 = 0 ⇔ sin( x + ) = ⇔ 
⇔
;k ∈ ¢
π
5
π
π
2
2
2
x + =

+ 2kπ
x = + 2 kπ


2
6
3
1
π

π
π
b) 3 t an2x + 1 = 0 ⇔ tan 2x = −
⇔ 2x = − + kπ ⇔ x = − + k ;k ∈ ¢
6
12
2
3
0
0
0
0
0
c) cot(x+20 ) − 1 = 0 ⇔ cot(x+20 ) = 1 ⇔ x + 20 =45 +k180 ⇔ x=250 +k1800 ;k ∈ ¢

π

x = + kπ

cot
x
=
0
cot
x
=
0


2

⇔
⇔
; k ∈ ¢.
d ) cot 2 x − cot x = 0 ⇔ cot x(cotx −1) = 0 ⇔ 
cot x − 1 = 0
cot x=1
 x = π + kπ

4
x
2 x
Bài 2: Giải phương trình cos + 2cos − (1 + 2) = 0
2
2

Gợi ý:
t = 1

x
2

2
Đặt t = cos ( −1 ≤ t ≤ 1) ta có: t + 2t − (1 + 2) = 0 ⇔ 

t = 1 + 2 (loai)

x
2

x

= 2kπ ⇔ x = 4kπ
2
Bài 3: Giải phương trình cos x − 3 sin x = 2

Với t = 1 ta có cos = 1 ⇔
Gợi ý:

π
π
π

− x = + k2π
x = − + k2π


4
12
1
3
2⇔ 6
⇔
; k∈ ¢.

cos x − 3 sin x = 2 ⇔ cos x −
sin x =
2
2
2
 π − x = 3π + k2π
 x = − 7π + k2π

 6

4
12

Bài 4: Giải phương trình:
a. 2 s in3x − 1 = 0 ;
b. sin 2 x − sin x = 0 ;

c. 2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 .

Gợi ý:
a.

π 2
π


x = + kπ
3x = + 2kπ


1
12 3
4
2 s in3x − 1 = 0 ⇔ s in3x =
⇔
⇔
; k ∈ ¢¢.
2

 x = π + 2 kπ
3x = 3π + 2kπ

4
4 3


 x = kπ
sin x = 0
⇔
( k∈ ¢ )
b. sin x − sin x = 0 ⇔ sin x( sin x − 1) = 0 ⇔ 
 x = π + k2π
sin
x
=
1


2
2


x

x
cos = 1
 x = k4π

 2 = k2π

x
2
2 x
⇔
⇔
( k∈ ¢ )
c. 2 cos − 3cos + 1 = 0 ⇔ 
 x = ± 2π + k4π
x
1
x
π
2
2
cos =
 = ± + k2π

3

 2
2 2
3

Bài 5: Giải phương trình:
a. 3 tan 3x − 1 = 0
b. cos x − 3 sin x = 2 ;

c. 3sin 3 x − 4 cos 3x = 5 .

Gợi ý:

a. x =

π
π
+k
18
3

π
π
π

− x = + k2π
x = − + k2π


4
12
1
3
2 ⇔ 6
⇔

b. cos x − 3 sin x = 2 ⇔ cos x −
sin x =
2
2
2
 π − x = 3π + k2π
 x = − 7π + k2π

 6

4
12
α π
2π
3
4
b. x = + + k (với cosα = ,sinα = )
3 6
3
5
5

Bài 6: Giải phương trình
a. 2sin x + 2 cos x − 2 = 0 ;

b. 2sin 2 x + sin x cos x − 3cos 2 x = 0

Gợi ý:
a ) 2sin x + 2 cos x − 2 = 0 ⇔ 2sin x + 2cos x = 2

⇔

π
 π π

x + = + k2π
x = − + k2π



1
π 1

4 6
12
sin x +
cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ 
⇔
; k ∈ ¢.
2
4 2
π
5
π
7
π
2
2

 x+ =
x=
+ k2π
+ k2π


4 6
12

1

1

b) Ta thấy cosx = 0 không thoã mãn phương trình (vì VT = 2 , VP = 0). Chia hai vế của phương
trình cho cos2x, ta được 2tan2 x + tan x − 3 = 0
π

 tan x = 1
 x = + kπ
4

( k∈ ¢ )
 x = arctan − 3  + kπ
 2÷



π
 3
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ ; x = arctan − ÷+ kπ ;( k ∈ ¢ ) .
4
 2
⇔
⇔
 tan x = − 3

2

4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 1: Giải phương trình 3sin 3x − 3 cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x

Gợi ý:
3
3sin 3x − 3 cos9 x = 1 + 4sin 3 3 x ⇔ (3sin 3 x − 4sin 3 x) − 3 cos9 x = 1


π
2π

x
=
+
k

π
π
18
9
⇔
⇔
sin(9
x
−
)
=
sin

⇔ sin 9 x − 3 cos9 x = 1
3
6
 x = 7π + k 2π


54
9
Bài 2: Giải phương trình tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2(2cos x −
Gợi ý:
Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

(1) ⇔

1
) = 0 (1)
cos x

π
+ kπ
2

sin x
2
− sin 2 x − cos 2 x + 4cos x −
=0
cos x
cos x

⇔ sin x − 2sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2(2cos 2 x − 1) = 0
⇔ sin x(1 − 2cos 2 x) − cos 2 x cos x + 2cos 2 x = 0
⇔ − sin x cos 2 x − cos 2 x cos x + 2cos 2 x = 0
cos 2 x = 0

π

π
⇔ cos 2 x(sin x + cos x − 2) = 0 ⇔ 
⇔ x = + k ; k ∈ ¢.
4
2
sin x + cos x = 2(vn)
Bài 3: Giải phương trình 8sin x =

3
1
(1)
+
cos x sin x

Gợi ý:
Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

π
2

(1) ⇔ 8sin 2 x cos x = 3 sin x + cos x ⇔ 4(1 − cos 2 x)cos x = 3 sin x + cos x

⇔ −4cos 2 x cos x = 3 sin x − 3cos x ⇔ −2(cos3 x + cos x) = 3 sin x − 3cos x

π

x
=
+ kπ


π
6
1
3
; k ∈ ¢.
⇔ cos3x = cos x −
sin x ⇔ cos3 x = cos( x + ) ⇔ 
π
π
3
2
2
x = − + k

12
2
V.
Tiết 1:

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC


- HS về nhà xem lại các kiến thức đã học.
-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Cách giải phương trình bậc hai đối với ẩn x?
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Tiết 2:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Công thức cộng?.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Tiết 3:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Bài tập trong SGK.
2. Máy tính bỏ túi
Tiết 4:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Máy tính bỏ túi.

2. Bài tập trong SGK.
Tiết 5:

-

HS về nhà xem lại các kiến thức, các bài tập đã làm.

-

Chuẩn bị trước nội dung sau:
1. Xem lại kiến thức toàn chương, tiết sau ôn tập chương.