Giao anDS11 32 33

Tiết: 32 − 33
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Biết được: định nghĩa xác suất của biến cố.
- Biết các tính chất P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = 1;0 ≤ P ( A) ≤ 1.
- Biết được công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất.
2. Kỹ năng:
- Tính được xác suất của các biến cố trong các bài toán cụ thể.
- Vận dụng công thức cộng và công thức nhân xác suất.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác.
- Thấy được toán học có ứng dụng thực tiễn.
4. Năng lực hướng tới
- Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung, luyện tập bài 1, 2. Tiết 2: Luyện tập 3, 4,5,6,7, vận dụng và tìm
tòi mở rộng.
1. Giới thiệu
Nếu gieo 1 đồng tiền thì khả năng xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu phần trăm?

Để tìm hiểu vấn đề này, chúng ta nghiên cứu các nội dung trong bài hôm nay.
2. Nội dung
2.1. Định nghĩa cổ điển của xác suất.

Định nghĩa : (SGK)
Kí hiệu P(A)
P(A) =

n( A)

n( Ω )

* Chú ý: n(A) là số phần tử của hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n( Ω ) là
số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Ví dụ: Ω = {SS, SN, NS, NN}
A = {SS} , n(A) = 1, n( Ω ) = 4


⇒ P ( A) =

n( A) 1
=
n(Ω) 4

B = {sn, ns}, n(B) = 2
⇒ P ( A) =

n( A) 2 1
= =
n(Ω) 4 2

2.2. Tính chất của xác suất.
Định lí:
a. P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = 1;

b. 0 ≤ P ( A) ≤ 1

c. P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B)

( )

* Hệ quả: P A = 1− P ( A)
Ví dụ:
Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất của các biến
cố sau:
a) A: “Nhận được quả cầu ghi số chẵn”
b) B: “Nhận được quả cầu chia hết cho 3”
c) A ∩ B
d) C: “Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 6”
Giải :
Ω = {1,2,3,4,5,...,19,20}
⇒ n( Ω ) = 20
a) A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
⇒ n(A) = 10
n ( A)

10 1
=
n ( Ω ) 20 2
b) B = {3,6,9,12,15,18} ⇒ n(B) = 6
3
⇒ P ( B) =
10
⇒ P ( A) =

=

c) A ∩ B = {6,12,18} ⇒ P ( A ∩ B ) =
d) C = A ∩ B ⇒ P ( C ) =

3
20

3
20

2.3. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.
VD7: (sgk)
Ω ={N1,N2,N3,N4,N5,N6,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
+A={S1,S2,S3,S4,S5,S6}
+ B={S6, N6}
+ C={N1,N3,N5,S1,S3,S5}
+ A ∩ B = {S6}
+ A ∩ C = {S1,S3,S5}
⇒ n ( A ) = 6, n ( B ) = 2, n ( C ) = 6,
n ( A ∩ B ) = 1, n ( A ∩ C ) = 3


1
1
1
⇒ P ( A) = , P ( B ) = , P ( C ) = ,
2
6
2

1
1
P( A ∩ B) =
= P( A).P( B ); P ( A ∩ C ) = = P ( A).P (C ).
12
4

*A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B)
3. Luyện tập:
Bài 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;
B: “Mặt % chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
c) Tính P(A), P(B).
Lời giải: Phép thử T được xét là “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”.
a) Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 36.
Do tính đối xứng của con súc sắc và tính độc lập của mỗi lần gieo suy ra các kết quả có thể có của
phép thử T là đồng khả năng.
b) A = {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)},
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}.
c) P(A) = 6/36= 1/36; P(B) =11/36.
Bài 2 . Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;
B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.
c) Tính P(A), P(B).
Lời giải: Phép thử T được xét là: “Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tâm”.

a) Đồng nhất số i với tấm bìa được đánh số i, i =¯1,6, ta có: mỗi một kết quả có thể có của phép thử
T là một tổ hợp chập 3 của 4 số 1, 2, 3, 4. Do đó không gian mẫu là:
Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C34 = 4.
Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả cso thể có của phép thử T là đồng khả năng.
b) A = {(1, 3, 4)}; B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}
c) P(A) =1/4; P(B) =2/4 =1/2
Bài 3. Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau.
Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.
Lời giải: Phép thử T được xét là: “Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày có cỡ khác nhau”.
Mỗi một kết quả có thể là một tổ hợp chập 2 của 8 chiếc giày. Do đó số các kết quả có thể có thể có
của phép thử T là n(Ω) = C28 = 8!/(2!6!)= 28.
Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng. Gọi A là biến cố:
“Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi”. Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A là một đôi
giày trong 4 đôi giày đã cho. Do đó số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là n(A) = 4. Suy ra
P(A) = 4/28= 1/7.
Bài 4. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét
phương trình x2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:
a) Phương trình có nghiệm


b) Phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình có nghiệm nguyên.
Giải: Không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Số kết quả có thế có thể có là 6 (hữu hạn); các kết
quả đồng khả năng.
Ta có bảng:
b
1
2
3

4
5
6
∆ = b2 – 8
-7
-4
1
8
17
28
2
2
a) Phương trình x + bx + 2 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = b – 8 ≥ 0 (*). Vì vậy nếu A là biến cố:
“Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm”
thì A = {3, 4, 5, 6}, n(A) = 4 và
P(A) = 4/6= 2/3.
b) Biến cố B: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x2 + bx + 2 = 0 vô nghiệm” là biến cố A,
do đó theo qui tắc cộng xác suất ta có
P(B) = 1 – P(A) = 1/3.
c) Nếu C là biến cố: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm
nguyên” thì C = {3}, vì vậy
P(C) = 1/6.
Bài 5. Từ cỗ bài tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:
a) Cả bốn con đều là át;
b) Được ít nhất một con át;
c) Được hai con át và hai con K.
Lời giải: Phép thử T được xét là: “Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con bài, rút ngẫu nhiên 4 con bài”.
Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập 4 của 52 con bài. Do đó số các kết quả có thể có của phép
thử T là n(Ω) = C452 =52! / (4!48!) = 270725.
Vì rút ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có là đồng khả năng.

a) Gọi biến cố A: “Rút được bốn con át”. Ta có, số kết quả có thể có thuận lợi cho A là n(A) = 1.
Suy ra P(A) = 1/270725 ≈ 0,0000037.
b) Gọi biến cố B: “Rút được ít nhất một con át”. Ta có ¯B= “Rút được 4 con bài đều không là át”.
Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho ¯B là một tổ hợp chập 4 của 48 con bài không phải là át. Suy ra số
các kết quả có thể có thuận lợi cho ¯B là C448 = 48! / (4!44!)= 194580. Suy ra P(¯B) =
194580/270725≈ 0,7187.
Qua trên ta có P(B) = 1 – P(¯B) = 1- 0,7187 ≈ 0,2813.
c) Gọi C là biến cố: “Rút được hai con át và hai con K”.
Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho C là một tổ hợp gồm 2 con át và 2 con K. Vận dụng quy tắc
nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho C là
n(C) = C24 C24 = 6 . 6 = 36.
Suy ra P(C) =36/270725≈ 0,000133.
Bài 6. Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện
nhau. Tính xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
b) Nữ ngồi đối diện nhau.
Lời giải: a) Có 6 cách sắp xếp 2 nam, 2 nữ (Không phân biệt hai nam với nhau, hai nữ với nhau).
Có 4 cách sắp xếp nam nữ ngồi đối diện với nhau. Xác suất để nam, nữ ngồi đối diện nhau là:
P(A) = 4/6 = 2/3
b) Xã suất để nữ ngồi đối diện nhau (hai nam cũng đối diện nhau) là:
P(B) = 1 – P(A) = 1-2/3 = 1/3


Bài 7. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trằng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4
quả trằng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trằng”;
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.
a) Xét xem A và B có độc lập không.
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Đáp án: Phép thử T được xét là: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu”.
Mỗi một kết quả có thể có của phép thư T gồm hai thành phần là: 1 quả cầu của hộp thứ nhất và 1
quả cầu của hộp thứ 2.
Có 10 cách để lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và có 10 cách để lấy 1 quả cầu ở hộp thứ 2. Từ đó,
vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử T
là 10 . 10 = 100. Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = 100.
Vì lấy ngầu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng.
Xét biến cố A: “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng”.
Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A gồm 2 thành phần là: 1 quả cầu trắng ở hợp thứ nhất và 1
quả cầu (nào đó) ở hộp thứ 2. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi
cho A là: n(A) = 6 . 10 = 60.
Suy ra P(A) = 60/100 = 0,6.
Xét biến cố B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng”.
Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho B là:
n(B) = 10 . 4 = 40.
Từ đó suy ra P(B) = 40/100 = 0,4.
a) Ta có A . B là biến cố: “Lấy được 1 cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 cầu trắng ở hộp thứ hai”. Vận
dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A . B là:
6 . 4 =24. Suy ra:
P(A . B) = 24/100= 0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B).
Như vậy, ta có P(A . B) = P(A) . P(B). Suy ra A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
b) Gọi C là biến cố: “Lấy được hai quả cầu cùng màu”. Ta có
C = A . B + ¯A.¯B.
Trong đó ¯A = “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen” và P( ¯A) = 0,4.
¯B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen” và P( ¯B) = 0,6.
Và ta có A . B và ¯A. ¯B là hai biến cố xung khắc với nhau.
A và B độc lập với nhau, nên ¯A và ¯B cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
P(C) = P(A . B + ¯A. ¯B) = P(A . B) + P( ¯A . ¯B) = P(A) . P(B) + P( ¯A) . P( ¯B)
= 0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48.

c) Gọi D là biến cố: “Lấy được hai quả cầu khác màu”. Ta có
D = ¯C
⇒ P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0,48 = 0,52.
3. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
3.1. Định nghĩa thống kê về xác suất
a) Định nghĩa tần suất: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong
đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. Nêu ký hiệu phép thử là n, số lần xuất
hiện biến cố A là k, tần suất xuất hiện biến cố A là


Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết
xác suất.
Thí dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh viên người ta phát hiện ra 5 sinh viên giỏi. Nếu gọi A là
biến cố “xuất hiện sinh viên giỏi” thì tần suất xuất hiện sinh viên giỏi trong số 40 SV được khảo sát
là:
Thí dụ 2: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung
đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng dưới đây:
Người tiến hành thử

Số lần tung
(n)

Số lần được mặt sấp (k)

Tần suất f(A)

Thùy Nhiên
Nhất Tâm

5268

14400

2671
7021

0,50702

Thiên Hương

20045

10033

0,50052

0,50146

Từ kết quả các lần thử trên ta thấy khi số phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấp tiến dần đến
0,5 là xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu. Vậy tần suất tiến dần đến xác suất khi số phép
thử tăng dần đến vô hạn.(Vấn đề này sẽ được tìm hiểu kỹ hơn khi học về luật số lớn).
Từ đó ta có định nghĩa thống kê về xác suất :
b) Định nghĩa xác suất
Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố tiến dần đến một số xác định được gọi là
xác suất của biến cố đó. Hay nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng
lên vô hạn:

Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn là nó không đòi hỏi những điều kiện áp dụng như
đối với những định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận
về xác suất xảy ra của một biến cố.
Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số phép thử đủ lớn ta

có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất:

3.2. Định nghĩa xác suất theo hình học:


Khi số phép thử n(Ω) là vô hạn, ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất. Trong
nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học như sau:
a. Định nghĩa: Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là một mền con của D.
Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định bởi công thức:

Trong đó sd(A), sd(D) là số đo của miền A, D (có thể là độ dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào
miền xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều theo từng bài toán cụ thể).
Ta xem xét định nghĩa thông qua một ví dụ điển hình – “Bài toán gặp gỡ”
Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20 giờ.
Hai người đến chổ hẹn độc lập với nhau và qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người đến sau
10 phút, nếu không gặp thì sẽ đi. Tính xác suất để hai người có thể gặp nhau?
Giải:
Gọi A là biến cố hai người gặp nhau.
Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn: 0 ≤ x ≤ 60.
Gọi y là số phút lúc người thứ hai đến điểm hẹn: 0 ≤ y ≤ 60.
Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành và số phút y theo trục tung.
Như vậy số phút lúc đến của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x, y) nằm trong
hình vuông có cạnh là 60 (ta lấy phút làmđơn vị). Đó chính là miền D.
D = {(x,y): 0 ≤x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}

Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x, y của mỗi người
phải thỏa mãn điều kiện:


hay

Như vậy các điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp nhau là các điểm nằm trong phần A có gạch chéo
nằm giữa hai đường thẳng y = x – 10 và y = x + 10 (như hình vẽ).
Theo công thức xác suất hình học:

Từ định nghĩa xác suất hình học, ta thấy rằng một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy
ra. Chẳng hạn, xác suất để một viên đạn rơi trúng một điểm M trên một miền D bằng không (vì
diện tích S(A) bằng diện tích điểm M, bằng 0), nhưng biến cố đó vẫn có thể xảy ra.
V.
HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC
Tiết 1:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem lại các bài tập để chuẩn bị tiết sau làm bài tập.
Tiết 2:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các bài tập.
- Chuẩn bị MTBT cho tiết sau thực hành MTBT.