Giao anDS11 53 57

Ngày soạn:4/2/2018

Tiết: 53 − 57
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
• Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm.
• Định lí về giới hạn hữu hạn. Định nghĩa giới hạn một bên.
• Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
• Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
2. Kĩ năng:
• Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực.
• Tìm giới hạn một bên.
3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó
4. Năng lực hướng tới
• Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung 1.1, 1.2. Tiết 2: Nội dung 1.3, 2.. Luyện tập 1. Tiết 3: Nội dung
3., luyện tập bài 2. Tiết 4: Luyện tập bài 3, 4. Tiết 5: vận dụng và tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu: Những tiết trước chúng ta đã tìm hiểu là bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, bây
giờ chúng ta đi tìm hiểu các vấn đề liên quan đến GIỚI HẠN HÀM SỐ.
2. Nội dung
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm.
1.1. Định nghĩa:

Định nghĩa 1:
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) ∈ K \ { x0 } : lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L

x → x0

Ví dụ 1:
Giả sử (xn) là dãy số bất kì thoả mãn xn ≠ −2; xn → −2 khi n → +∞ . Ta có:
lim f ( xn )

xn2 − 4
= lim
= lim ( xn − 2 ) = −4
xn + 2

x2 − 4
= −4
Vậy, lim
x →−2 x + 2
C = C ; lim x = x0
Nhận xét: xlim
→x
x→ x
1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn
0

Định lí 1: (Sgk)

0

Ví dụ 2: lim
x →3
=

x2 + 1
2 x

lim x.lim x + lim1
x →3

x →3

x →3

lim 2. lim x
x →3

=

lim ( x 2 + 1)
x →3

lim 2 x

)

3.3 + 1

5

x →3

=

x →3

(

=

2. 3

=

lim x 2 + lim1
x →3

x →3

lim 2.lim x
x →3

=

x →3

3

Ví dụ 3: Ta có:
lim

x →1

( x − 1) ( x + 2 )
x2 + x − 2
= lim
= lim ( x + 2 ) = 3
x →1
x →1
x −1
x −1

x 2 − lim 1 9 − 1
( x2 − 1) xlim
x 2 − 1 xlim
→ −3
→ −3
x→ − 3
=
=
=
= −4
Ví dụ 4: xlim
→ −3 x + 1
lim ( x + 1)
lim x + lim 1 − 3 + 1
x→ − 3

x→ − 3

x→ − 3

1.3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2:
f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , x0 < xn < b : xn → x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
•
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b). xlim
→x
+
0

f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , a < xn < x0 : xn → x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0). xlim
→x

•

f ( x ) = L ⇔ lim f ( x ) = lim f ( x ) = L
Định lí: xlim
→x
x→ x
x→ x
+
0

0

−
0

−

0

Ví dụ 1: Ta có:

lim− f ( x ) = lim− ( x 2 − 3 ) = −2

x →1

x →1

x →1

x →1

lim+ f ( x ) = lim+ ( 5 x + 2 ) = 7

f ( x ) ≠ lim f ( x ) ⇒ ∃ lim f ( x )
Ta thấy: xlim
x →1
→1
x →1
2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3:
•
Cho hàm số y = f(x) xác định trên ( a; +∞ ) . Ta nói y= f(x) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu
+

−

f ( x) = L .

với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞ ta có f ( xn ) = L . Kí hiệu: xlim
→+∞

•

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ( −∞; a ) . Ta nói y= f(x) có giới hạn là L khi x → −∞ nếu

f ( x) = L .
với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → −∞ ta có f ( xn ) = L . Kí hiệu: xlim
→−∞
Chú ý:

•

C
= 0 ( C = const , k ∈ N ∗ )
x →±∞
x →±∞ x k
Định lí 1 trang 125 vẫn còn đúng khi x → ±∞
lim C = C ; lim

•
Ví dụ 3:

2
3x − 2 x
x =3
lim
= lim
x →+∞ x 2 + 1

x →+∞
1
1+ 2
x
2

3−

3. Giới hạn vô cực của hàm số
3.1. Giới hạn vô cực:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( a; +∞ )


lim f ( x) = + ∞ ⇔ ∀ ( xn ) , xn > a : lim xn = + ∞ ⇒ lim f ( xn ) = + ∞

•

x→ + ∞

n→ + ∞

n→ + ∞

•

x→ + ∞

n→ + ∞

n→ + ∞

lim f ( x) = − ∞ ⇔ ∀ ( xn ) , xn > a : lim xn = + ∞ ⇒ lim f ( xn ) = − ∞

f ( x) = +∞ ⇔ lim (− f ( x)) = −∞
Nhận xét: xlim
→+∞
x →+∞
3.2. Một vài giới hạn đặc biệt:
lim x k = +∞, k ∈ N ∗
•
x →+∞
lim x k = −∞, k = 2n + 1

•

x →−∞

•

x →−∞

lim x k = +∞, k = 2n

3.3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực.
a) Giới hạn của tích f ( x).g ( x)
lim f ( x)

lim g ( x )

x → x0

lim f ( x).g ( x )

x → x0

x → x0

+∞
−∞
+∞
−∞

L>0
L<0

+∞
−∞
−∞
+∞

b) Giới hạn của thương

f ( x)
g ( x)

lim f ( x)

Dấu g(x)

x → x0

L

lim g ( x )

x → x0

±∞

L>0
0
L<0

lim

x → x0

Tuỳ ý
+
+
-

f ( x)
g ( x)

0

+∞
−∞
−∞

+∞


Ví dụ : Tìm giới hạn
2 

÷ = −∞
x2 

2x − 3
2x − 3
= −∞; lim−
= +∞
b) lim+
x →1 x − 1
x →1 x − 1
3 5
2− + 2
2 x 2 − 3x + 5
x x = +∞
= lim
c) xlim
→+∞
x
→+∞
2
1
2+ x
+
2

x
x
x 3 1 −
( x3 − 2 x ) = xlim
a) xlim
→−∞
→−∞

3. Luyện tập:
Bài 1: Tìm giới hạn
x+ 3− 3

= lim
a) lim
x→ 6
x→ 6
x− 6
( x − 6)

x− 6

(

x+ 3+ 3

)

= lim
x→ 6

1

1
x+ 3+ 3 6
=

6
2x − 6
x = −2
= lim
b) xlim
→+∞ 4 − x
x →+∞ 4
−1
x
2−

−2 x + x − 1
= lim
x →+∞
3+ x
2

c) xlim
→+∞

1 1
−
x x 2 = −∞
3 1

+
x2 x

−2 +

Bài 2: Tìm giới hạn
a) lim
x →2

3x − 5

( x − 2)

2

= +∞




1 1 1
+ − ÷ = +∞
x 2 x3 x4 
3 5

− 2 x3 + 3 x 2 − 5 ) = lim x3  − 2 + − 3 ÷ = +∞
(
c) xlim
→ −∞
x → −∞

x x 

x4 1 −
( x4 − x 2 + x − 1) = xlim
b) xlim
→ +∞
→ +∞



x 2 − 2 x + 5 = lim x 2  1 − + 2 ÷ = lim x 1 − + 2
d) xlim
→ −∞
x → −∞
x x
 x x  x→ − ∞
2

5

2 5
+
= +∞
x →−∞
x →−∞
x x2
1
x 1+ 2 + x
2
e)

x +1 + x
x
lim
= lim
x →+∞
x
→+∞
5 − 2x
5 − 2x
1
1+ 2 +1
x
= lim
= −1
x →+∞
5
−2
x
2x − 7
= +∞
f) lim
−
x →1
x −1
= lim ( − x ) lim 1 −

2

5

g) xlim
→1
+

2x − 7
= −∞
x −1

Bài 3: Tính các giới hạn
1 / lim(2 x + 3)
x→2

4 / lim

x → −3

2 / lim (2 x 3 − 3x + 4)

x 2 + 4x + 1
3 / lim 2
x →1 x − x + 1

5 / lim ( x + 2 + 3 x )

6 / lim

x → −2

1 − x + 2x

x +1

x → −1

x →5

x 2 − 25
x+2

Bài 4: Tính các giới hạn
2 / lim
x →0

x2 + x − 6
x →2
x2 − 4
x 3 − 3x + 2
4 / lim 3
x →1 x − x 2 − x + 1

1 / lim

4x

x +1 − x2 + x +1
x

3 / lim

9+ x −3

x →0

3 + 2x − x + 2
x → −1
3x + 3
3
4x − 2
8 / lim
x→2
x−2
5 / lim

3x − 2 − 4 x 2 − x − 2
x →1
x 2 − 3x + 2
x− x+2
9 / lim
x →2
4x + 1 − 3
6 / lim

4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng:
Bài 1. Tính các giới hạn
8 x + 11 − x + 7
x →2
x 2 − 3x + 2
3
1+ x − 1− x
2 / lim

x →0
x
x +1 − 3 x + 5
3 / lim
x →3
x−3

4 x3 + 3x − 7
7 / lim 2
x →∞ x − 3 x + 5

2 x 2 + 3x + 1
x →∞ 3 x 2 − x + 5
( x − 2)(2 x + 1)(1 − 4 x)
5 / lim
x →∞
(3 x + 4)3

3

1 / lim

4 / lim

8 / lim

x →∞

x 2 + 3x − 8
x →∞ x 4 − 6 x + 1

x 2 + 2x + 3 + 1 + 4x

2 / lim

4x 2 + 1 + 2 − x

3

x3 − x + 1

4x2 + 1
9 / lim
x →∞ 3 x − 1
2 x2 + 3
10 / lim 3
x →∞ x − 2 x + 1

6 / lim

Bài 2: Tính các giới hạn 1 / lim
x →∞

x2 + 2x + 3

x →∞

9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1
x −1

Bài 3: Tính các giới hạn
1 / lim (3 x 3 + x 2 − x)

5 / lim ( x + 3 3 x 2 − x 3 )

2 / lim (2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3 )

6 / lim ( x − x 2 + 1)

3 / lim ( x + x − x)

7 / lim ( x 2 − x + 1 − x 2 + x + 1)

3 
 1
4 / lim
−

x →1 1 − x
1 − x3 


1
1


8 / lim 2
+ 2

x→2 x − 3x + 2

x − 5x + 6 


x → +∞
x →∞

2

x ←∞

V.
Tiết 1:

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC

x →∞

x → +∞
x → −∞


- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem trước nội dung 1.3 để chuẩn bị cho tiết sau.
Tiết 2:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Xem trước nội dung 3. để chuẩn bị cho tiết sau.
- Làm bài tập 1 phần luyện tập.
Tiết 3:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Chuẩn bị bài tập cho tiết sau.

- Làm bài tập 1,2 phần luyện tập.
Tiết 4:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
- Chuẩn bị bài tập cho tiết sau.
- Làm bài tập 3,4 phần luyện tập
Tiết 5:
- HS về nhà xem lại lý thuyết và các bài tập.
- Hoàn thành các bài tập trong phần vận dụng
- Xem trước nội dung bài HÀM SỐ LIÊN TỤC để chuẩn bị cho tiết sau.