Giao anDS11 63 65

Tiết: 63,64,65
I. MỤC TIÊU

Ngày soạn: 16/3/2018
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM

Giúp học sinh:
1. Về kiến thức:
- Nắm được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
- Hiểu được đạo hàm của hàm số tại 1 điểm là 1 số xác định
- Hiểu được mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm số và sự tồn tại của đạo hàm.
- Nắm vững ý nghĩa hình học của đạo hàm
2. Về kỹ năng:
- Biết cách tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa.
3. Về tư duy và thái độ:
- Khả năng vận dụng kiến thức, biết liên hệ với các kiến thức đã học.
- Có thái độ nghiêm túc trong học tập.
- Hứng thú trong tiếp thu kiến thức mới, tích cực phát biểu đóng góp ý kiến trong tiết học.
4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học; giải quyết vấn đề, tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
- Giáo án, SGK, đồ dùng dạy học
2. Học sinh
- SGK, đồ dùng học tập.
III. PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP, KỸ THUẬT DẠY HỌC
Thuyết trình, nêu và giải quyết vấn đề. Hoạt động nhóm.
IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
Tiết 1: Giới thiệu, Nội dung I.1, I.2, luyện tập bài 1, 2. Tiết 2: Nội dung còn lại, luyện tập bài
3. Tiết 3: Luyện tập còn lại, vận dụng và tìm tòi mở rộng.
1. Giới thiệu:
Một trong những nền tảng cơ bản nhất của vật lý là nó xét xem một đối tượng vật chất hoạt động

như thế nào, sự phản ứng lại với ngoại lực tác động lên nó hoặc nội lực, mà cụ thể thì có ba đại
lượng cơ bản nhất mô tả điều này đó là vận tốc, vị trí (chúng ta thường gọi là quãng đường) và gia
tốc của vật tại thời gian xác định nào đó.
Chúng ta sẽ không thể nào có công thức tính vận tốc, gia tốc hay biểu diễn mối quan hệ giữa ba đại
lượng trên mà không kế thừa thành tựu từ toán học mà chính xác đó là đạo hàm.
Về lý thuyết cơ bản, đạo hàm xét xem sự thay đổi của một đại lượng sẽ ảnh hưởng như thế nào đối
với đại lượng liên quan. Một số ví dụ trong vật lý có thể áp dụng kiến thức đạo hàm như:



Trong nhiệt động lực học, sử dụng đạo hàm để tính tốc độ thay đổi của nhiệt độ.
Trong động lực học, sử dụng đạo hàm để tính vận tốc, gia tốc của vật.


Vậy, cụ thể ĐẠO HÀM trong toán học được định nghĩa như thế nào, và ứng dụng của nó với thực
tiễn như thế nào, chúng ta cùng tìm hiểu bài học hôm nay.
2. Nội dung
I. Đạo hàm tại một điểm:
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm:
a. Bài toán tìm vận tốc tức thời : (SGK)
v(to)= lim
t  to

S (t ) - S(t o )
t - to

b. Bài toán tìm cường độ tức thời
I(to) = lim
t  to

Q (t ) - Q(t o )
t - to

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
Định nghĩa:
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (a,b) và x0 � a, b  .Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim

x � x0

f  x   f  x0 
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y  f  x  tai điểm x0 và KH là
x  x0

f '  x0  hoặc ( y '  x0  ) tức là:

f '  x0   lim

x � x0

f  x   f  x0 
x  x0

Đặt x  x  x0 ; y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  . Như vậy y '  x0   lim
x �0

y
x

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng đinh nghĩa, ta làm theo các bước
sau:
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0 , tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ).
Bước 2: Lập tỷ số
Bước 3: Tìm lim
x �0

y
x

y
x

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số:
Định lí 1: Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó lien tục tại điểm đó.
* Chú ý


a) Nếu hàm số y  f  x  gián đoạn x0 thì nó khơng có đạo hàm tại điểm đó.
b) Mơt hàm số liên tục tại 1 điểm có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.
VD: Hàm số

� x2 n�
u x �0
y = f(x) = �
liên tục tại x = 0 nhưng khơng có đạo hàm tại điểm đó.
u x <0
� x n�
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu tồn tại, f '  x0  là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại

điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )). . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 )) là
y  y0  f '( x0 )(x  x0 ); y 0  f ( x0 ).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
v(t)=s′(t) là vận tốc tức thời của chuyển động s=s(t) tại thời điểm t.
II. Đạo hàm trên một khoảng (SGK)
3. Luyện tập:
Bài 2: Cho hàm số y  x . Tính y’(1) bằng định nghĩa.
Bài 1: Cho hàm số: y = x2.
a) Tính y’(2) bằng định nghĩa.
b) Tính y’(xo) với xo bất kỳ.
Giải:
a) - y  f  2  x   f  2 
  2  x   4
2

 x  4  x 

-

y
 4  x
x

- lim
x �0

y
 lim  4  x   4
x x �0

y '  2  =-4

b) Tương tự, y’(xo)= 2xo
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
điểm có hoành độ

x0  2

Hướng dẫn:
Ta có:

x2  4
f ' 2  lim
 lim x  2  4
x�2 x  2
x�2

f  x  x2

tại


f  2  22  4
Phương trình tiếp tuyến là:

y  4  f ' 2  x  2

� y  4  4 x  2
� y  4x  8 4

� y  4x  4

Bài 4: Cho đường cong ( C ) là đồ thò của hàm số y = x 3. Viết phương
trình của đường cong đó:
a) Tại điểm M0( - 1; - 1 )
b) Tại điểm có hoành độ x0 = 2.
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Hướng dẫn
a) f’( - 1 ) = 3, x0 = - 1, y0 = - 1 nên:
y = 3( x + 1 ) - 1 hay y = 3x + 2
b) x0 = 2  f’(2) = 12 và y0 = f( x0) = 8 nên:
y = 12( x - 2 ) + 8 hay y = 12x - 16.
c) Theo gt: f’(x) = 3 hay 3x2 = 3 cho x0 =  1 và suy ra y0 =  1
Với x0 = - 1, y0 = - 1: y = 3x + 2.
Với x0 = 1, y0 = 1: y = x
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = x3 có đồ thò là đường cong (C). Viết
phương trình của tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
M0(-1;-1).
Giải
Đường thẳng d đi qua điểm M0 có hệ số góc k có phương trình dạng y
= k( x + 1 ) - 1.
Ta cần tìm k: Theo ý nghóa hình học của đạo hàm, ta có: k = f’( x 0) với
x0 là hoành độ của tiếp điểm. Do đó cần xác đònh x 0, từ đó suy ra
k.
2
�
�k  3x0
 x3o  3x30  3x20  1 hay:
�3
x0  k  x0  1  1

�
2
2x30  3x20  1 0   x0  1 2x0  x0  1  0



cho: x0 = - 1; x0 =



1
2

- Với x0 = - 1 cho y0 = - 1, f’( x0) = - 1 và ta được tiếp tuyến y = 3x + 2
- Với x0 =

1
1
1
3
3
1
cho y0 = , f’(
)=
và ta được tiếp tuyến y = x 2
8
2
4
4
4

4. Vận dụng, tìm tòi mở rộng


Tìm hiểu các ứng dụng của đạo hàm trong toán học, vật lý học,…. và trong thực tiễn?
V.

HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC

Tiết 1:
HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
Xem lý thuyết phần tiếp theo.
Tiết 2:
HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
Xem trước bài tập trong SGK để chuẩn bị cho tiết sau làm bài tập
Tiết 3:
HS về nhà xem lại lý thuyết và các ví dụ.
Xem trước bài QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM chuẩn bị cho tiết sau.