tỷ lệ vàng và hình học ứng dụng trong mỹ thuật và đời sống

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT
TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA CÔNG NGHỆ MAY VÀ THỜI TRANG
BỘ MÔN TOÁN

BÀI THU HOẠCH

TỶ LỆ VÀNG VÀ HÌNH HỌC ỨNG DỤNG
TRONG MỸ THUẬT VÀ ĐỜI SỐNG
Giáo viên hướng dẫn : Ngô
Nhóm 3

Hữu Tâm


MỤC LỤC
Contents
LỜI MỞ ĐẦU.....................................................................................................................4
I.

TỶ LỆ VÀNG TRÊN CƠ THỂ NGƯỜI.......................................................................5
1.

KÍCH THƯỚC CƠ THỂ CỦA CON NGƯỜI........................................................5

2.

CÁCH NHẬN BIẾT MỘT KHUÔN MẶT ĐẸP..........................................................9

II.

HÌNH CHỮ NHẬT VÀNG.........................................................................................16
1.

KHÁI NIỆM.........................................................................................................16

2.

DỰNG HÌNH:......................................................................................................16

3.

ỨNG DỤNG:.......................................................................................................17

III. NGÔI SAO VÀNG ( LÁ CỜ VIỆT NAM)....................................................................20
IV. HÌNH ELIP VÀNG.......................................................................................................21
1.

ĐẶC ĐIỂM HÌNH HỌC.......................................................................................22

2.

ỨNG DỤNG........................................................................................................24

V. ĐƯỜNG XOẮN ỐC VÀNG..........................................................................................26
VI. HÌNH HỌC PHÂN DẠNG (FRACTAL GEOMETRY)..................................................29
1.

SỰ RA ĐỜI VÀ KHÁI NIỆM VỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG................................29

2.

KHÁI NIỆM VỀ HÌNH HỌC FRACTAL...............................................................30

3.

MỘT SỐ FRACTAL TRONG TỰ NHIÊN............................................................31

4.

MỘT SỐ QUY TẮC VẼ TRONG HÌNH HỌC FRACTAL....................................34

5.

ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC FRACTAL...........................................................35

VII. HÌNH HỌC ĐỒNG DẠNG (SIMILAR GEOMETRY)..................................................45
1.

KHÁI NIỆM.........................................................................................................45

2.

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC.........................................45

3.

ỨNG DỤNG CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG.......................................................46

VIII. TAM GIÁC VÀ TAM GIÁC VÀNG.............................................................................47
1.

KHÁI NIỆM..........................................................................................................47

2.

ỨNG DỤNG.........................................................................................................50

IX. TỈ LỆ VÀNG TRONG THIẾT KẾ SẢN PHẨM............................................................54
1.

Vai trò của tỉ lệ trong thiết kế..............................................................................54

2.

Ứng dụng của tỉ lệ vàng trong thiết kế sản phẩm..............................................55
2


a)

Tỉ lệ vàng trong hội họa...................................................................................55

b)

Tỉ lệ vàng trong thiết kế nội thất......................................................................57

c)

Tỉ lệ vàng trong các công trình kiến trúc.........................................................59

d)

Thiết kế logo sử dụng tỉ lệ vàng......................................................................61

e)

Thiết lập bố cục (layout) theo hình xoắn ốc....................................................63

f)

Tỉ lệ vàng trong thiết kế thời trang..................................................................66

X. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN......................................................................................67

3


LỜI MỞ ĐẦU
Tỷ lệ vàng (Golden Ratio) được xem là chuẩn mực cho mọi thiết kế hoàn hảo nhất, từ
đến Panthenon, Hy Lạp cho tới hình dáng vỏ ốc Anh Vũ. Tuy nhiên, không phải ai cũng
hiểu rõ được tại sao tỷ lệ này lại xuất hiện "một cách tự nhiên" trên khắp thế giới đến
vậy.
Như chúng ta đã biết, tỷ lệ kích thước là tỷ số của hai kích thước hình học (ngoài tỷ lệ
về kích thước còn có các tỷ lệ khác như tỷ lệ màu sắc, ánh sáng...). Trong phần nguyên
lý thiết kế, tỷ lệ là một yếu tố quan trọng tạo nên tổng thể của một công trình kiến trúc
đẹp, một không gian nội thất hài hòa hay một sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng
tạo. Khi xét đến tỷ lệ vàng, điều dường như bắt buộc đối với mọi nhà thiết kế đó là phải
hiểu rõ bản chất cũng như cách vận dụng tỷ lệ này nếu muốn có được một sản phẩm
tuyệt vời nhất.
Vậy tỉ lệ vàng là gì?

Trong toán học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có "tỷ lệ vàng" nếu tỷ số giữa
tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với
đại lượng nhỏ hơn. Tỷ lệ vàng thường được chỉ định bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ
cái Hy Lạp.

Trong thiết kế, tỷ lệ vàng giúp tác phẩm tạo cảm giác dễ chịu và tự nhiên, hay thường
biết đến với khái niệm "sự hài lòng thị giác". Vậy tại sao, nó lại có khả năng "kỳ diệu"
đến như vậy?
Theo giáo sư Adrian Bejan đến từ Đại học Duke (Bắc Carolina), mắt của chúng ta có
khả năng giải thích một hình ảnh ẩn chứa tỷ lệ vàng nhanh hơn so với các hình ảnh
khác (không có tỷ lệ này).
Bejan chỉ rõ rằng thế giới của một con vật – cho dù bạn là một người đang ở trong
phòng trưng bày nghệ thuật hay là một con linh dương trên thảo nguyên – luôn được
định hướng theo chiều ngang. Khi mắt con linh dương quét theo đường ngang này, về
cơ bản, nguy hiểm sẽ xuất phát từ hai bên hoặc từ phía sau chứ không phải từ phía
trên hay dưới (không theo chiều dọc). Do vậy, trường nhìn của nó cũng sẽ được phát
triển theo đó. Khi tầm nhìn được phát triển, các loài vật sẽ "thông minh hơn" và an toàn
hơn nhờ quan sát tốt hơn dẫn tới chúng cũng sẽ di chuyển nhanh hơn trước.
Để hiểu rõ hơn, chúng ta cần tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.

4


I.

TỶ LỆ VÀNG TRÊN CƠ THỂ NGƯỜI

1. KÍCH THƯỚC CƠ THỂ CỦA CON NGƯỜI
Con người là một thực thể của tạo hóa. Con người đẹp một cách hoàn hảo. Đấy là
những điều kinh thánh vẫn nói. Cái đẹp của con người ở đây có lẽ là sự cân đối về vóc

dáng. Và nếu bạn tự tin, về bản thân, hãy cùng đọc những dòng sau đây và thử đo trên
chính cơ thể bạn, để khẳng định một lần nữa rằng: "Bạn thật sự đẹp".













Chiều cao/đỉnh đầu đến đầu ngón tay = Ф
Đỉnh đầu tới đầu ngón tay/đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) = Ф
Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/đỉnh đầu tới ngực = Ф
Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/chiều rộng đôi vai = Ф
Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/chiều dài cẳng tay = Ф
Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/chiều dài xương ống quyển = Ф
Đỉnh đầu tới ngực/đỉnh đầu tới gốc sọ = Ф
Đỉnh đầu tới ngực/chiều rộng của bụng = Ф
Chiều dài của cẳng tay/chiều dài bàn tay = Ф
Vai đến các đầu ngón tay/khuỷu tay đến các đầu ngón tay = Ф
Hông đến mặt đất/đầu gối đến mặt đất = Ф
Gọi độ dài từ rốn lên đến đỉnh đầu là x, độ dài từ rốn xuống đến chân là y. Độ dài
một sải tay gọi là a. Nếu x/y = a/(x+y) = 1,618 = Ф, thì đó là thân hình của các
siêu người mẫu.

5


 Tỷ lệ vàng trong cơ thể Nam và Nữ
Trong những năm qua, các nghệ sĩ và kiến trúc sư đã đi đến kết luận rằng tỷ lệ vàng là
hiện thân cho tỷ lệ lý tưởng của cơ thể con người. Sau đây là mười trong số những ví
dụ về các tỷ lệ vàng trong cơ thể con người.
1. Chiều cao từ đầu tới chân chia cho khoảng cách từ rốn tới chân.
2. Chiều dài cái đầu chia cho khoảng cách từ mắt tới cằm.
3. Khoảng cách giữa các ngón tay và khuỷu tay chia cho khoảng cách giữa các khoảng
cách giữa cổ tay và khuỷu tay.

6


4. Khoảng cách giữa đỉnh đầu và rốn chia cho khoảng cách giữa đỉnh đầu và vai.
5. Khoảng cách giữa rốn và đầu gối chia cho khoảng cách giữa đầu gối và gót chân.
6. Chiều rộng của hai răng trên phía trước chia cho chiều cao của họ.
7. Khoảng cách từ miệng đến các điểm trung tâm của lông mày chia cho chiều dài của
mũi.

 Tỷ lệ vàng trên khuôn mặt
8. Khoảng cách từ miệng đến các điểm trung tâm của lông mày chia cho chiều dài của
mũi.
9. Khoảng cách giữa hai đồng tử (các chấm đen ở trung tâm của mắt) chia cho khoảng
cách giữa hai lông mày.
10. Chiều rộng của môi chia cho chiều rộng của mũi
7

 Tỷ lệ vàng quyết định đến sự cân đối
hài hòa của cả khuôn mặt

8


2. CÁCH NHẬN BIẾT MỘT KHUÔN MẶT ĐẸP
Khuôn mặt: Khuôn mặt phải cân đối, hài hòa, ngũ quan thanh tú, đều đặn, không bị
lệch, móm. Ngũ quan đạt tỉ lệ chuẩn, tỉ lệ giữa mắt và miệng so với chiều dài khuôn mặt
bằng khoảng 1/3.
Mắt: Mắt và tỉ lệ khuôn mặt phải cân xứng, khoảng cách từ 2 mắt đến tai chưa bằng
nửa chiều rộng khuôn mặt. Đôi mắt tạo nên tỉ lệ vàng của khuôn mặt nam phải có chiều
dài 2 mắt bằng nhau, bằng khoảng cách giữa 2 mắt.
Trán: Vầng trán cao, rộng. Khoảng cách từ trán đến chóp mũi bằng 135 độ chính là
vầng trán mang tỉ lệ vàng.
Mũi: Mũi phải cao, sống mũi thẳng, đầu mũi tròn, cánh mũi thon gọn, 2 lỗ mũi nhỏ.
Chiều dài mũi bằng 1/3 chiều dài khuôn mặt, sống mũi cao.
Môi: Phần môi của khuôn mặt có tỉ lệ vàng phải hài hòa, không quá dày hay quá
mỏng, có độ cong vừa phải. Thông thường có số đo khoảng 8.2 mm là phù hợp.
Khoảng cách giữa 2 môi đạt từ 8 -11 mm thì được xem là chuẩn.
Trên thực tế, quan niệm về cái đẹp của mỗi người, mỗi quốc gia hay vùng miền sẽ khác
nhau. Do đó, tỉ lệ vàng của khuôn mặt nam chỉ dùng để đánh giá về những tiêu chuẩn
bên ngoài và không nhất thiết người mang khuôn mặt có tỉ lệ vàng là người đẹp nhất
trong mắt bạn.

9


Ví dụ như đàn ông phương Tây có khuôn mặt góc cạnh, mạng mẽ sẽ được đánh giá là
nam tính. Trong khi phương Đông thiên về những người đàn ông có khuôn mặt thư

sinh, nhẹ nhàng,ngũ quan thanh tú mới được xem là đẹp. Ngoài ra tỉ lệ vàng của khuôn
mặt nam cũng có thể được đánh giá qua một số tiêu chí khác như:
Tỉ lệ chuẩn từ đỉnh chân mày đến đỉnh trán và từ đỉnh chân mày đến đầu mũi là 1.8 – 2
Khoảng cách giữa 2 tròng mắt đen bằng khoảng cách 2 điểm cuối của khóe miệng.
Mày rậm, nhân trung rõ ràng.

Bạn có đang sở hửu 1 khuôn mặt đẹp?
1.Khuôn mặt

Một tỷ lệ vàng cho gương mặt hoàn hảo phải đáp ứng được:
– Khoảng cách giữa hai mắt tới tai chưa bằng một nửa chiều rộng gương mặt.
10


– Từ đỉnh trán đến đỉnh chân mày, từ đỉnh chân mày đến điểm cuối của đầu mũi, từ
điểm cuối của đầu mũi đến điểm cuối của cằm theo tỉ lệ 1.8 – 2- 1.6.

2.Đôi môi

Tiêu chuẩn một đôi môi đẹp phải dựa theo tỷ lệ: Môi trên
không quá dày nhưng cũng không quá mỏng, đáp ứng số đo
8.2mm. Môi dưới dày hơn môi trên một chút với tỷ lệ
9.1mm.Tỷ lệ môi này thích hợp để hình thành nên một đôi
môi căng mọng.

11


3.Chiếc mũi

Chiếc mũi là chi tiết được coi là quan trọng nhất trên gương mặt.
Một chiếc mũi đẹp sẽ làm gương mặt bạn trở nên hoàn hảo. Mũi
cần có độ cong tự nhiên từ sống mũi đến đầu mũi, chóp mũi tròn,
cánh mũi thon, lỗ mũi kín nhỏ.
Thông thường, tỷ lệ vàng cho một chiếc mũi đẹp phải tuân thủ
quy tắc: Chiều dài mũi bằng 1/3 chiều dài khuôn mặt, sóng mũi
cao từ 9 – 11mm.

12


4. Trán

Khoảnh cách từ trán đến chóp mũi trong 135 độ, tạo thành một
hình vòng cung chữ “S” mềm mại, tự nhiên. Không tạo cảm giác
trán bị lồi. Một vầng trán đẹp là vầng trán phẳng, mềm mại, hơi
nhô lên, không quá rộng cũng không quá dài.

13


5. Mắt

Đôi mắt là cửa sổ tâm hồn, vì vậy một đôi mắt đẹp sẽ góp phần
giúp gương mặt hoàn hảo hơn
Để có tỷ lệ vàng cho khuôn mặt, bạn cũng cần có tỷ lệ đôi mắt đạt
chuẩn. Một đôi mắt long lanh phải tuân thủ:
– Chiều dài 2 mắt bằng nhau
– Chiều dài 2 mắt bằng khoảng cách giữa 2 mắt và bằng luôn cả
khoảng cách giữa 2 cánh mũi.

14


Khuôn mặt "đẹp hơn hoa" của chàng nghệ sĩ này chắc chắn sẽ khiến bạn chẳng
thể rời mắt mỗi khi nhìn ngắm. Anh hiện nằm trong số rất ít người có khuôn mặt
với tỷ lệ 1:1,618.
Mới đây, một bác sĩ phẫu thuật thẩm mỹ nổi tiếng đã nghiên cứu và đưa ra phân tích
về gương mặt của 269 chàng trai nổi tiếng khắp châu Á. Và Jin là nhân vật hiếm hoi sở
hữu gương mặt đạt chuẩn tỉ lệ vàng. Các đường nét trên khuôn mặt của thành viên
BTS, cũng như tỷ lệ và khoảng cách các bộ phận như tai, mắt, mũi, miệng đều đạt tiêu
chuẩn lý tưởng là 1:1,618.

Từ lâu, tỷ lệ 1:1,618 được coi tỷ lệ vàng, dựa trên những tính toán với độ dày của môi
trên và môi dưới rồi độ dài hai môi, chiều dài mũi so với chiều dài khuôn mặt, độ cao
chóp mũi so với chiều dài mũi, tỉ lệ giữa độ dài mắt cũng như khuôn mặt, khoảng cách
giữa hai mắt…
Trên thế giới có rất ít người có khuôn mặt đạt được đủ mọi yêu cầu này. Trong các cuộc
thi hoa hậu, bảng tỉ lệ vàng được dùng để chọn ra người có khuôn mặt hoàn hảo nhất.

15


II. HÌNH CHỮ NHẬT VÀNG
1. KHÁI NIỆM
Hình chữ nhật tỷ lệ vàng: Đó là các hình chữ nhật có cạnh dài chia cạnh ngắn bằng φ.
Có một sự liên hệ bản chất tự nhiên nào đó, các bố cục được trình bày trong các hình
chữ nhật với tỷ lệ vàng làm cho người xem có cảm giác thoải mái hài lòng hơn và cảm
nhận được bố cục hợp lý, đẹp hơn.
Hơn thế nữa các hình chữ nhật xếp theo dãy Fibonacci từ nhỏ đến lớn ta thu được hình

thể hiện dãy số và vẽ ra được một đường cong xoắn ôc. Đường cong xoắn ốc sinh ra tỷ
lệ vàng này bắt gặp rất nhiều trong tự nhiên.

Các hình chữ nhật có tỷ lệ vàng và đường xoắn ốc tỷ lệ vàng

2. DỰNG HÌNH:
Có thể dựng hình chữ nhật tỷ lệ vàng bằng thước kẻ và compa theo bốn bước cơ bản
sau:
 Dựng một hình vuông.
 Nối một đoạn thẳng từ trung điểm của một cạnh vuông đến một trong hai đỉnh
đối diện với cạnh đó.
 Sử dụng đoạn thẳng này làm bán kính của một đường tròn với trung điểm là tâm
để tìm được cạnh dài của hình chữ nhật.
 Sau đó dựng được đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

16


3. ỨNG DỤNG:
Tỷ lệ vàng là một thành phần nhỏ nhưng không kém phần quan trọng trong toán
học, thường được chỉ định bằng ký tự φ (phi) trong bảng chữ cái Hy Lạp nhằm
tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc đền Parthenon. Chúng ta có thể thấy sự
hiện diện của Tỷ lệ vàng rất nhiều trong tự nhiên. Với thiết kế, TLV giúp tác phẩm
thiết kế của bạn tạo cảm giác dễ chịu và tự nhiên hơn: “sự hài lòng thị giác”.
 Trong thiết kế kiến trúc, mỹ thuật:
Công trình Parthenon

17

Kiến trúc Hy Lạp cổ đại sử dụng Tỷ lệ vàng để xác định các mối quan hệ giữa chiều
rộng của một tòa nhà và chiều cao của nó, kích thước của hàng hiên và thậm chí là cả
vị trí của cấu trúc các cột. Kết quả cuối cùng là một tòa nhà mà chúng ta được nhìn
thấy hoàn toàn nằm trong các tỷ lệ.

18


Tác phẩm “Bửa ăn tối cuối cùng” của Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci cũng như nhiều nghệ sĩ khác qua các thời đại, đã sử dụng quy tắc
Tỷ lệ vàng để tạo ra tác phẩm tuyệt vời trường tồn cho đến ngày nay. Trong bửa tiệc,
các con số được sắp xếp thấp hơn hai phần ba (lớn hơn hai phần của Golden Ratio),
và vị trí của Chúa Gieesssu là hoàn toàn được vẽ bằng cách sắp xếp hình chữ nhật
theo tỷ lệ vàng trên vải.
 Trong thiết kế logo và nhãn hiệu:

19


Các nhãn hiệu, logo được thiết kế theo tỷ lệ vàng mang tính cân bằng về mặt thẩm mỹ,
tạo ra sự hài lòng về thị giác, tạo cảm giác thuận mắt, dễ nhìn.
 Trong thiết kế nội thất:

20


Tỷ lệ vàng trong thiết kế nội thất tạo sự cân băng hài hòa, chủ yếu tập trung vào hình
chữ nhật có tỷ lệ vàng, ứng dụng trong chế tạo đồ nội thát trong căn phòng, bài trí
tương quan tỷ lệ cao thấp, ngắn dài. Phân chia khu vực trang trí, để đồ nội thất trong

phòng,....

III. NGÔI SAO VÀNG ( LÁ CỜ VIỆT NAM)
KÍCH THƯỚC TIÊU CHUẨN
Ngôi sao năm cánh hay sao năm cánh là hình tạo từ năm điểm của một hình ngũ
giác đều cùng với năm đường thẳng nối các đỉnh đó.
Quốc kỳ nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam hình chữ nhật, chiều rộng bằng hai
phần ba chiều dài, nền đỏ, ở giữa có ngôi sao vàng năm cánh. Điểm giữa ngôi sao
vàng đặt đúng điểm giữa (điểm giao nhau của hai đường chéo) Quốc kỳ. Khoảng cách
từ điểm giữa ngôi sao đến đầu cánh sao bằng một phần năm chiều dài của Quốc kỳ.
Một cánh sao có trục vuông góc với cạnh dài Quốc kỳ và hướng thẳng lên phía trên
theo đầu cột treo Quốc kỳ. Tạo hình ngôi sao: từ đầu cánh sao này đến đầu cánh sao
đối diện là đường thẳng, không phình ở giữa, cánh sao không bầu. Hai mặt của Quốc
kỳ đều có ngôi sao vàng trùng khít nhau. Nền Quốc kỳ màu đỏ tươi, ngôi sao màu vàng
tươi."

21


22


IV. HÌNH ELIP VÀNG

1. ĐẶC ĐIỂM HÌNH HỌC
Elíp có hai trục đối xứng (AB, CD trên hình vẽ) vuông góc và cắt nhau tại tâm đối
xứng, cắt đường elip tại các trục lớn AB và nhỏ CD. Nửa chiều dài của các trục
này được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm
e-líp đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).
 Trong một elíp ta luôn có:

Độ dẹt của elíp (hay còn gọi là tâm sai hay độ lệch tâm của elíp) là tỉ số giữa tiêu cự và
độ dài trục lớn:
(0 ≤ e < 1)
e = 0 khi 2 tiêu điểm trùng nhau và hình elíp lúc bấy giờ là hình tròn.
Trong hệ trục tọa độ Descartes, hình elíp có thể được tạo thành bằng cách đem nhân
các tọa độ x của các tất cả điểm trên một đường tròn với một hằng số đồng thời không
thay đổi các tọa độ y của các điểm đó.
 Diện tích của hình e-líp với các bán trục a và b được tính bởi:
Một tính chất quang hình học của e-líp là: Nếu e-líp là một mặt gương cong thì một tia
sáng xuất phát từ một tiêu điểm của e-líp sau khi đến mặt cong sẽ phản xạ và đi
qua tiêu điểmcòn lại.
Hình elíp là một dạng của tiết diện hình nón: nếu mặt của hình nón được cắt bởi một
mặt phẳng không cắt mặt đáy, đường giao nhau của hình nón và mặt phẳng đó được
gọi là một hình elíp. Muốn xem cách chứng minh cơ bản, đọc bài "Khối cầu Dandelin".


23


2. ỨNG DỤNG


Trang trí nội thất, kiến trúc



Thư viện trường có hình elip

24



Logo Toyota

Logo của Toyota có 3 hình bầu dục. Hai hình elip cắt nhau với ngụ ý về khách hàng và
sản phẩm và tầm quan trọng của mối quan hệ đó. Vòng tròn ngoài cùng là thế giới và
môi trường kinh doanh toàn cầu. Nếu nhìn kỹ hơn chúng ta có thể thấy lưới tọa độ có tỉ
lệ vàng. Lưới tọa độ Phi φ đã tạo ra các tỉ lệ vàng thú vị



Logo Viettel

25