Tải bản đầy đủ (.doc) (9 trang)

ôn thi kì II lớp 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (220.77 KB, 9 trang )

Đề cương Ôn tập học kỳ II – Khối 11 – Năm học 2008 – 2009 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Đại số & Giải tích:
Chương 4 : Giới hạn
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
1/
2
3
2
8n 3n
lim
n

2/
2
2
2n 3n 1
lim
n 2
− −
− +
3/
(
)
2
lim n 1 n 1
− − +
4/
3 4 1
lim


2.4 2
n n
n n
 
− +
 ÷
+
 
Giải:
1/
2
3
3
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
nn

= − = =
3/
( )
2
2
2
2n 2
lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1
n 1 n 1
1 1

n
n
− −
− − + = = = −
− + +
− + +
.
2/
2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1n 2
1
n
− −
− −
= = = −
−− +
− +
4/
3 4 1
lim
2.4 2

n n
n n
 
− +
 ÷
+
 
=lim
2
1
2
1
2
4
1
1
4
3
−=






+







+−






n
nn
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1) Lim
3
2 3
2 5 3
3
n n
n n
− +


2) lim
2
)54(
)32)(21(

−+
n
nn


3) lim
2
3
31
2
n
nn


4) lim
252
3
3
32
−+

nn
nn

5) lim(n – 2n
3
)

6) lim (
)1 nn
−+

7) lim
75

3342
3
23
+−
++−
nn
nnn

8) lim
22
3
)13(
)23()1(
+
+−
n
nn
9)
)1213lim(
−−−
nn
10) lim
nn
nn
5.32
54
+

Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

1
u
S ,| q | 1
1 q
= <

Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1 ... ....
2 2 2
= + + + + +
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <

1
u 1=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2

= = =


Bài tập: Tính tổng
1/
( )
2 1
1
1 1
1 ... ...
10 10 10
n
n
S


= − + − + + +
2/ S =
2
2 2 2
1 ... ...
100 100 100
n
+ + + + +
3/
( )
n 1
n
1
1 1 1

, , ,..., ,...
3 9 27 3
+


Bài toán 3 : Tính giới hạn của hàm số
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1.
0
lim
x x
C C

=
(C = const)
2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x
0
thì
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

=
3.
0
1
lim 0

n
x x
x

=
(với n > 0)
- Khử dạng vô định
0
0
;


;
∞ − ∞
; 0 x ∞
1
Đề cương Ôn tập học kỳ II – Khối 11 – Năm học 2008 – 2009 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu
Ghi chú:
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x
0
thì f(x) = (x-x
0
).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1.
a b−

a b+
2.
a b+


a b−
3.
3
a b−

3 2 2
3
.a a b b+ +
4.
3
a b+

3 2 2
3
.a a b b− +
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1,
(
)
2
2
lim 5 1
x
x
→−
+ −
2,
3
1

lim
2
x
x
x


+

3,
3
2 1
lim
3
x
x
x




4,
2
4
1
lim
( 4)
x
x
x




5,
3 2
lim ( 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
6,
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x

+ −
− −
7,
2
2
lim
7 3
x
x

x


+ −
8,
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
9,
2 2
4 1
lim
2 3
x
x x x
x
→−∞
− − +
+
10,
0
1 1

lim 1
1
x
x x


 

 ÷
+
 
11,
2
lim ( 4 2 )
x
x x x
→−∞
− +
12,
(
)
2 2
lim 1
x
x x x
→±∞
− − +
13,
2
1

3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
14,
3 2
3 2
3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
x
x x x
x x x

− − −
− + −
15,
3
0
( 3) 27
lim
x
x
x


+ −
16,
2
2 2
lim
7 3
x
x
x

+ −
+ −
17,
2
7
2 3
lim
49
x
x
x

− −

Bài toán 4 : Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
– Dạng I: Cho h/s
1 0
2 0
( )

( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x


=

=

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x
0
?
Phương pháp chung:
B
1
: Tìm TXĐ: D = R
B
2
: Tính f(x
0
);
)(lim
0
xf
xx

B
3

:
)(lim
0
xf
xx

= f(x
0
)

KL liên tục tại x
0
– Dạng II: Cho h/s
1 0
2 0
( )
( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x


=

<

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x
0
?

Phương pháp chung:
B
1
: Tính f(x
0
) = f
1
(x
0
)
B
2
: (liên tục phải) tính:
0 0
1 1
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
+ +
→ →
= =
B
3
: (liên tục trái) tính:
0 0
2 2
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− −

→ →
= =
B
4
: L
1
= L
2
= f
1
(x
0
)

KL liên tục tại x
0
Bài toán 5: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B
1
: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B
2
: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B
3
: Kết luận
Bài toán 6: Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên
[ ]

;a b
:
B
1
: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B
2
: Kết luận về số nghiệm của PT trên
[ ]
;a b
Bài tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
2
Đề cương Ôn tập học kỳ II – Khối 11 – Năm học 2008 – 2009 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu
1,
2
4
2
( )
2
4 2
x
voi x
f x
x
voi x


≠ −

=

+


− = −

tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3

− +
 ≠



=

tại x = 3
3,
2
2
( )
1 2
x voi x
f x
x voi x

<


=

− ≥


tai x = 0 4,




=
2
12
)(
x
x
xf

1,
1,

<
x
x
tại x = 1
Bài tập 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2
2
2

( )
2
2 2 2
x
voi x
f x
x
voi x




=



=

2,
2
1
2
( 2)
( )
3 2
x
voi x
x
g x
voi x






=


=

3,







−−
=
2
1
11
)(
x
x
xf
0,
0,
=


x
x
4,
( )
2
2
x > 2
2
5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi

− −

=



− ≤

5,
( )
1
2
f x
x

=

6,
( )
3 1f x x
= − +
Bài tập 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
2
1
( )
2 3 1
x voi x
f x
ax voi x

<
=

− ≥

2,
( )
2
2
x 1
1
x = -1
x x
khi

f x
x
a khi

− −
≠ −

=
+



Bài tập 4:
1, CMR phương trình
7 5
3 2 0x x
+ − =
có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số
( )
7 5
3 2f x x x
= + −
liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

( )
( )
( ) ( )
0 2 0
0 . 1 0

1 2 0
f
f f
f

= − <

⇒ <

= >


Nên phương trình
( )
0f x
=
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;1x ∈
, vậy bài toán được chứng minh.
2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
3
2 10 7 0x x− − =
3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3
1000 0,1 0x x+ + =
4, CMR: Phương trình x
4
-3x

2
+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
5, Chứng minh phương trình
2
sin cos 1 0x x x x
+ + =
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;x
π

.
6, Chứng minh phương trình
( ) ( )
3
1 2 2 3 0m x x x
− − + − =
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Chương 5 : Đạo hàm
- Các công thức tính đạo hàm:
3
Đề cương Ôn tập học kỳ II – Khối 11 – Năm học 2008 – 2009 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
( )

C
=0 (C lµ h»ng sè)
( )


x
=1
(kx)’=k (k lµ h»ng
sè )
( )

n
x
=n.x
n-1
(n

N, n

2)
( )

n
U
=n.U
n-1
.
U

2
1 1
x x

 
= −

 ÷
 
(x

0)
2
1 U
U U


 
= −
 ÷
 

(U 0)≠

)( x
=
x2
1
(x>0)
( )
U
U
2 U


=


(U 0)>
( )
( )
( )
( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/
/
/
cot1
sin
1
cot
1
cos
1
sincos

cossin
+−=−=
+==
−=
=
( )
( )
( )
( )
/
2
/
/
2
/
/
/
/
/
sin
1
cot
cos
1
.
.sincos
.cossin
U
U
gU

U
U
tgU
UUU
UUU
−=
=
−=
=
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )
U V U V

′ ′
± = ±

( )
UV U V UV

′ ′
= +

(k.U) k.U
′ ′
=
(k là hằng số)
2
U U .V U.V
V V


′ ′

 
=
 ÷
 

2
1 1
V V

 
= −
 ÷
 

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] ,
'g
x
=
u
f '
.
x
U

- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :
[ ]
f "(x) = f(x)' '

Đạo hàm cấp n :
n n-1
f (x) = f(x) '
 
 
Bài toán 1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.
12
3
+−=
xxy
2.
3
2
2
5
+−=
x
xy
3.
2
4
2
10
x
xy
+=

4.

)1)(2(
3
++=
xxy
5.
)13(5
2
−=
xxy
6.
32
)5(
+=
xy
7.
)35)(1(
22
xxy
−+=
8.
)23)(12(
+−=
xxxy
9.
32
)3()2)(1(
+++=
xxxy

10.

1
2
2

=
x
x
y

11.
42
562
2
+
+−
=
x
xx
y

12.
1
35
2
++

=
xx
x
y

13.
76
2
++=
xxy
14.
21
++−=
xxy
15.
1)1(
2
+++=
xxxy
16.
12
32
2
+
+−
=
x
xx
y

2
3 2 1
17.
2 3
− +

=

x x
y
x

18) y =
2
3 2
2
x
x x
-
- +

19)
3
3
2
a b
y
x x
x
= −
20)
3 3
y a bx
= +

21)

2 2
3
3 3
2
y (a b )= −
22)
3
2 2
y x x=

23)
2
3 4
(x 2)
y
(x 1) (x 3)
+
=
+ +

24)
7 2
y (x x)= +

25)
2
y x 3x 2
= − +

26)

1 x
y
1 x
+
=


27)
1
y
x x
=
28/ y= x
2
1 x
+

29/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
30/ y=
x
x

+
1

1

31/ y= (2x+3)
10

32/ y= (x
2
+3x-2)
20

Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
4
Đề cương Ôn tập học kỳ II – Khối 11 – Năm học 2008 – 2009 Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu
1)
xxy 3sin.sin3
2
=

2)
2
)cot1( xy
+=
3)
xxy
2
sin.cos
=
4)
x
x

y
sin2
sin1
-

+
=
5)
2
sin
4
x
y
=

6)
xx
xx
y
cossin
cossin

+
=
7)
3
y cot (2x )
4
π
= +


8)
2
y 2 tan x= +

9)
3
cos x 4
y cot x
3sin x 3
= − +
10)
2
cos1-
2
x
y
+=

11)
22
)2sin1(
1
x
y
+
=

12) y =
4

sin 3x
p
-

13) y = cos ( x
3
)
14) y= 5sinx-3cosx
15) y = x.cotx
16)
3
2
y cot 1 x= +

17) y= sin(sinx)
18)
2
y sin (cos3x)=

19)
xsin x
y
1 tan x
=
+

20)
sin x x
y
x sin x

= +

21)
x 1
y tan
2
+
=

22)
y 1 2 tan x= +
Bài tập 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
dcx
bax
y
+
+
=

edx
cbxax
y
+
++
=
2

pnxmx
cbxax
y

++
++
=
2
2
Áp dung:
12
43
+−
+
=
x
x
y

12
2
2

−+−
=
x
xx
y

32
43
2
2
++

+−
=
xx
xx
y
Dạng toán 2. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x ; x
0
= 2
b) y =
x
1
; x
0
= 2
c) y =
1
1
+

x
x
; x
0
= 0
d) y =
x

- x; x
0
= 2
e) y = x
3
- x + 2; x
0
= -1
f) y =
1
12


x
x
; x
0
= 3
g) y = x.sinx; x
0
=
π
3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x
0
=
π
3
i) Cho
13)(

+=
xxf
, tính f ’’(1)
k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x)
m) Cho
( ) ( )
6
f x x 10
= +
.
( )
TÝnh f '' 2

l)
( )
f x sin3x
=
. Tính
( )
; 0
2 18
f '' f '' f ''
π π
   
− ;
 ÷  ÷
   
Dạng toán 3: CMR hệ thức chứa đạo hàm:
Bài tập 1. CM các hàm số thỏa mãn các hệ thức
a)

2
x 3
y ; 2y ' (y 1)y"
x 4

= = −
+
b)
2 3
y 2x x ; y y" 1 0
= − + =

c) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin
33

+
; y’' = - y d) Cho y =
4x
3x
+

; 2(y’)
2
=(y -1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1

3
++++−
; y’ = cotg
4
x f) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
;
3)
4
('f3)
4
(f
=
π

π
g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
h) Cho hàm số:
2
22
2
++
=
xx
y
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’

2
i) Cho hàm số y = cos
2
2x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.

Bài tập 2. Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) =
xxcosxsin3
+−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x
4
– 2x
3
– 1
Bài tập 3. Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
+x
2
+ π .
5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×