1 đề và đáp án thi vào 10 TP hà nội năm học 2019 2020

CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019-2020
Môn thi : TOÁN
Ngày thi : 02 tháng 6 năm 2019
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2 điểm)
Cho hai biểu thức A 

4( x  1)
và B =
25  x

 15  x  1
2  x 1
với x  0, x  25 .


 :
x

25
x

5
x


5



1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9 .
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P  A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài II (2,5 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lâp phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất
làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn
thành được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc
trên?
2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1, 75 m và diện tích đáy là 0.32m2 . Hỏi
bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Bài III (2 điểm)
1) Giải phương trình x 4  7 x 2  18  0 .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : y  2mx  x 2  1 và parabol  P  : y  x 2
.
a) Chứng minh  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả giá trị của m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
1 1
2
 
 1.
x1 x2 x1 x2

Bài IV (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn  O  . Hai đường cao BE và CF
của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I,
đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB
và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.
Bài V (0,5 điểm)
Cho biểu thức P  a 2  b4  ab với a, b là các số thực thỏa mãn a 2  b2  ab  3 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.


CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327
--------------HẾT-----------GỢI Ý ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Bài

Ý

Bài 1
2 điểm

1

2

Đáp án
4( x  1)
khi x  9 .
25  x

Tính giá trị của biểu thức A 

0.5

Thay được x  9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A

0.25

Tính được A = 1.

0.25

 15  x  1
2  x 1
Rút gọn biểu thức B = 

:
 x  25
x  5  x  5


1.0


 x 5
15  x
2( x  5)
B  

 
 ( x  5)( x  5) ( x  5)( x  5)  x  1

0.25

B

15  x  2 x  10 x  5

( x  5)( x  5)
x 1

0.25

B

( x  5)( x  5)
( x  5)( x  5)( x  1)

0.25

0.25

1
x 1

B
3

Điểm

Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P  A.B đạt giá trị nguyên lớn

0.5

nhất.
P  A.B 

4( x  1)
1
4


(25  x)
x  1 25  x

0.25

Do x nguyên nên để P  A.B nguyên thì (25  x) ¦ (4)  1; 2; 4

0.25

Lập bảng giá trị

25  x
x
P

-1

1

-2

2

-4

4

26

24

27

23

29

21

-4

4

-2

2

-1

1

Dựa vào bảng giá trị ta thấy với x  24 thì P đạt giá trị nguyên lớn nhất P = 4
Bài II
2.5 điểm

1

Nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên ?
Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong công việc lần lượt là x và y.
Đơn vị: ngày. Điều kiện x, y  N ; x, y  15
Mỗi ngày đội thứ nhất làm được
Mỗi ngày đội thứ hai làm được

1
(công việc)
x

1
(công việc)
y

Vì 2 đội làm chung sau 15 ngày thì xong công việc nên ta có phương trình:

2.0


CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327

1 1 1
 

(1)
x y 15
Vì nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm
tiếp công việc đó trong 5 ngày thì hai đội hoàn thành được 25% công việc nên
1
1 1
ta có phương trình: 3   5   (2)
x
y 4

1 1 1
 x  y  15

Từ (1), (2) có hệ 
35 1
 x y 4
 x  24 (tm)

 y  40 (tm)

Vậy nếu làm riêng thì đội thứ nhất hoàn thành xong công việc trong 24 ngày,
đội thứ 2 hoàn thành xong công việc trong 40 ngày
2

Thể tích của bồn đựng nước là:

0.5

V  Sd .h  0,32.1,75  0,56 (m )
3

Vì bỏ qua bề dày của bồn nước nên bồn nước đựng được 0,56 m3 nước
Bài III
2.0 điểm

1

1) Giải phương trình x 4  7 x 2  18  0

1.0

x 4  7 x 2  18  0
 x 4  9 x 2  2 x 2  18  0
 x 2 ( x 2  9)  2( x 2  9)  0
 ( x 2  9)( x 2  2)  0
 x 2  9  0 (Do x 2  2  0 x)
x  3

 x  3

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x  3 hoặc x  3.
2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : y  2mx  x 2  1 và

1.0

parabol  P  : y  x 2 .
a)

Chứng minh  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

x 2  2mx  m 2  1
 x 2  2mx  m 2  1  0 (1)
Do  '  m2  (m2  1)  1  0 m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi giá trị của m  (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá
trị của m.

0.5


CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327
b)

Tìm tất cả giá trị của m để  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành độ
x1 , x2 thỏa mãn

1 1
2
 
 1.
x1 x2 x1 x2

Theo câu a) có (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 với
x1; x2 là nghiệm của phương trình (1)

 x1  x2  2m
Theo hệ thức Viet ta có 
2

 x1 x2  m  1
Theo đề bài ta có:

1 1
2
 
1
x1 x2 x1 x2


x1  x2 2  x1 x2

x1 x2
x1 x2

2m
2  m 2  1

(m  1)
m2  1
m2  1
 2m  m 2  3



 m 2  2m  3  0
 (m  1)(m 3)  0
 m  3 (tm)

 m  1 (L)

Vậy với m = 3 thì  d  cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa
mãn

1 1
2
 
 1.
x1 x2 x1 x2

0.5


CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327
Bài IV
3.5 điểm

x

I

1

Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

1.0

Vẽ đúng hình đến ý 1)

0.25

Ta có:

0.75

CFB  900 (Do CE  AB)
BEC  900 (Do BE  AC )
Xét tứ giác BCEF có: CFB  BEC  900
Mà E và F là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn BC với 1 góc bằng 900

 BCEF là tứ giác nội tiếp đường tròn
 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc 1 đường tròn
2

Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)
Ta có:
CAx là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn AC
ABC là góc nội tiếp chắn AC

 CAx  ABC
Lại có, tứ giác BFEC nội tiếp nên FBC  AEF ( Cùng bù với FEC )

 CAx  AEF ( Cùng bằng ABC )
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong  Ax / /EF
Mặt khác OA  Ax

1.0

CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327

 EF  OA ( Đpcm)
3

Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng 1.5
KH song song với đường thẳng IP.
Kéo dài OA cắt (O) tại L  AL là đường kính  ACL  900 .
Gọi D là giao điểm của AH và BC  AD  BC  ADB  900

 ACL  ADB = 900
Mà ABC  ALC ( Cùng chắn cung AC)
 ABD

ALC (g.g)

 BAD  CAL Hay FAP  CAI (1)

Lại có AFE  ACB (Tứ giác BFEC nội tiếp) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AFP ACI (g.g)
AP AF


(3)
AI AC
Có AL là đường kính của (O):
 CL  AC ( ACL là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có BH  AC (gt)  BH / /CL

Tương tự: BL  AB ( ABL là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có CL CH  AB (gt)  BL / /CH

 Tứ giác BHCL là hình bình hành  HL  BC tại trung điểm của mỗi
đường, mà K là trung điểm của BC (gt)  H, K, L thẳng hàng
AH AF

(4)
AL AC
AP AH
AP AI
Từ (3) và (4) 



 PI // HL Hay KH // IP (đpcm)
AI
AL
AH AL
Lại có FAK  CAL (cmt) 

Bài V

Cho biểu thức P  a 2  b4  ab

0.5 điểm

a 2  b2  ab  3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

với a, b

là các số thực thỏa mãn 0.5

Ta có

a 2  b 2  ab  3
(a  b)2  3ab  3 3(1  ab)  (a  b) 2
1  ab  0



 3  ab  1
2
2
 ab  3
 (a  b)  ab  3
 ab  (a  b)  3
Mặt khác:


CÔ ÁNH – HƯNG THỊNH – KIẾN HƯNG – HÀ ĐÔNG – HÀ NỘI - 0974115327

P  a 4  b 4  ab  (a 2  b 2 ) 2  a 2b 2  a 2b 2  ab
 (a 2  b 2  ab)(a 2  b 2  ab)  a 2b 2  ab
 3(a 2  b 2  ab)  a 2b 2  ab
 3(a 2  b 2  ab  2ab)  a 2b 2  ab
 3(3  2ab)  a 2b 2  ab
 9  7ab  a 2b 2
 P  1  8  7ab  a 2b 2  (1  ab)(ab 8)


2 2
 P  21  12  7 ab  a b  (ab  3)( ab  4)
 (1  ab)(ab  8)  0
 P 1  0
 P 1
Do -3  ab  1  


(ab  3)(ab  4)  0  P  21  0  P  21
 1  P  21
 a  b 1
Vậy Min P = 1  
 a  b  1

 a  3; b   3
 a  b
Max P = 21  

 ab  3  a   3; b  3