Rèn luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học véctơ và tọa độ

1

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Từ “Mathematics” trong Tiếng Anh bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp cổ, có

nghĩa là “thứ học được”, “những gì người ta cần biết”, và như vậy cũng có nghĩa
là “học” và “khoa học”. Toán học dành cho tất cả mọi người, vì môn Toán không
chỉ trang bị cho HS những tri thức toán học chính xác mà còn “hình thành ở HS
những phương pháp suy nghĩ làm việc của khoa học toán học”. Ở các lớp tiểu
học, HS đã được cung cấp những kiến thức cơ bản, nhưng đó cũng là nền tảng
chủ yếu để trẻ có thể sớm hình thành, rèn luyện kĩ năng tính, qua các kĩ năng đó
giúp HS nắm vững hơn các kiến thức toán học, từ đó kích thích trẻ tự tìm hiểu,
phát triển đào sâu từ các kiến thức đã học, nâng cao trình độ học vấn ở các lớp
bậc cao hơn, tạo cho HS có niềm tin, niềm vui trong học tập.
Hầu hết các ký hiệu toán học đang dùng ngày nay chỉ được phát minh vào
thế kỷ 16. Trước đó, toán học được viết ra bằng chữ, quá trình nhọc nhằn này đã
cản trợ sự phát triển của toán học. Từ đó ta có thể thấy, trong dạy học Toán được
sử dụng đồng thời hai loại ngôn ngữ NNTN và NNTH. Hai loại ngôn ngữ này
không loại trừ nhau mà nó “hòa quyện, hỗ trợ” lẫn nhau. Do đó trong dạy học
môn Toán, GV không chỉ truyền đạt tri thức khoa học mà còn giúp hình thành,
phát triển NNTH, đồng thời rèn luyện và phát triển NNTN cho HS.
NNTH ra đời, có vai trò hết sức quan trọng trong sự phát triển tư duy toán
học cũng như trong trình bày và lập luận Toán học. Euler (1707-1783) là người
tạo ra nhiều trong số những kí hiệu đang được dùng ngày nay. Kí hiệu hiện đại
làm cho toán học trở nên dễ hơn đối với các chuyên gia toán học, nhưng người
mới bắt đầu học toán thường thấy nản lòng bởi những kí hiệu có thể là lần đầu
tiên bắt gặp. Các kí hiệu cực kì ngắn gọn, nhưng một vài biểu tượng chứa đựng
rất nhiều thông tin. Giống như kí hiệu âm nhạc, kí hiệu toán học hiện đại có cú

pháp chặt chẽ và chứa đựng thông tin khó có thể viết theo một cách khác đi. Có
lý do tại sao cần có kí hiệu đặc biệt và vốn từ chuyên ngành: toán học cần sự
chính xác hơn lời nói thường ngày. Các nhà toán học gọi sự chính xác này của
1
1


2

ngôn ngữ và logic là “tính chặt chẽ”.
Ở Việt Nam từ những năm 1970 đến nay cũng đã có nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu về NNTH. Tuy nhiên NNTH vẫn đang là một vấn đề mới mẻ đòi
hỏi phải thực sự quan tâm nghiên cứu trong quá trình dạy học. Hơn nữa thực
trạng ở Việt Nam hiện nay, do đổi mới phương pháp dạy học trong điều kiện toàn
cầu hóa, công nghiệp hóa, hiện đại hóa, yêu cầu nâng cao chất lượng dạy học nói
chung, chất lượng dạy học môn toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối
với ngành giáo dục nước ta hiện nay nhưng việc coi trọng kiến thức mà chưa chú
tâm đầy đủ đến việc rèn luyện kĩ năng sử dụng NNTH cho HS nên chưa đạt được
kết quả như mong đợi. Khi học lên cao, HS sẽ khó có thể sử dụng NNTH một
cách hiệu quả do chưa được chú ý đúng mức từ lớp dưới. Ở Đại số ở bậc trung
học phổ thông nói chung, Đại số 10 nói riêng là môn học có nhiều chủ đề thích
hợp với việc rèn luyện sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho HS. Đặc biệt
“Phương trình – Hệ phương trình” là một chương khá quan trọng và trọng tâm,
chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích hợp với việc rèn luyện cho HS kỹ năng
phân chia các trường hợp riêng; phương trình thích hợp với việc rèn luyện cho
HS kỹ năng biến đổi tương đương; các thuật toán và kí ngữ và kí hiệu của logic
toán thích hợp với việc rèn luyện cho HS kỹ năng toán học biểu đạt vấn đề một
cách ngắn gọn và chính xác… Tuy nhiên như thực tiễn sư phạm cho thấy việc sử
dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HS trong THPT nhìn chung vẫn còn hạn
chế, nếu chỉ để ý đến cách làm bài một cách máy móc mà không chú tâm đến

cách trình bày, diễn đạt thì chưa đạt được mục tiêu học tập.
Thêm vào đó NNTH có vai trò quan trọng và không thể thiếu trong quá
trình nhận thức toán học, đặc biệt là đối với HS. NNTH làm nhiệm vụ chuyên
chở các thông tin một cách logic, chính xác, ngắn gọn giúp người học nắm được
tư tưởng chính xác của khái niệm toán học. Từ đó, sẽ dễ hiểu, ghi nhớ nhanh và
dễ dàng áp dụng để hình thành các khái niệm toán học khác hoặc giải các bài toán
liên quan. Bên cạnh đó, NNTH giúp HS phát triển tư duy trừu tượng và trí tưởng
tượng không gian của HS. Thông qua quá trình nhận thức và sử dụng NNTH, HS
có thể vẽ hình, sử dụng hình vẽ, sơ đồ… để minh họa các khái niệm trừu tượng
2
2


3

và để giải các bài toán.
Qua nghiên cứu chủ đề véctơ, tọa độ ở hình học 10 theo hương tiếp cận ngôn
ngữ toán học chúng tôi thấy véctơ, tọa độ đã tạo nên hướng phát triển đáng kể
trong toán học. Nhờ các công cụ này mà nhiều sự kiện toán học đặc biệt là hình
học đã được trình bày và chứng minh gọn gàng hơn. Hơn nữa HS còn có thêm
hai phương pháp giải toán quan trọng và chủ yếu là phương pháp véctơ và
phương pháp tọa độ. Những bài toán hình học từng được diễn đạt bằng ngôn ngữ
hình học tổng hợp, sau khi “phiên dịch” sang ngôn ngữ véctơ, ngôn ngữ tọa độ sẽ
chuyển thành bài toán đại số thuần túy, tận dụng được những công cụ của đại số
để giải toán. Nghĩa là trong khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của HS đã nâng
lên một bước so với trước đó. Điều này đòi hỏi trong dạy học hình học 10, GV
phải có những nguyên tắc và biện pháp sư phạm hợp lí để phát triển ngôn ngữ
toán học cho HS.
Xuất phát từ những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện kĩ
năng sử dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 thông qua dạy học véctơ và

tọa độ.”
2. Mục tiêu nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận về NNTH, nghiên cứu thực tiễn sử dụng
NNTH trong dạy học lượng giác cho HS ở THPT, đề xuất một số biện pháp rèn
luyện kĩ năng sử dụng NNTH thông qua việc dạy học véctơ và tọa độ ở lớp 10,
góp phần nâng cao kĩ năng sử dụng NNTH dạy học và từng bước hình thành,
phát triển văn hóa toán học cho HS THPT.
3.

Khách thể và đối tượng nghiên cứu

-

Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở HS THPT (lớp 10)

-

Đối tượng nghiên cứu: Sử dụng NNTH trong dạy học véctơ và tọa độ ở

lớp 10 THPT
4.

Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và thực hiện tốt một số biện pháp sư phạm đề xuất trong đề

tài thì có thể giúp HS THPT có ý thức sử dụng hiệu quả NNTH, góp phần nâng
cao chất lượng dạy học môn Toán trong dạy học véctơ và tọa độ.
3
3

4

5.

Nhiệm vụ nghiên cứu

-

Tìm hiểu về NNTH.

-

Tìm hiểu nội dung, chương trình dạy học về chủ đề véctơ và tọa độ ở lớp

10 THPT.
-

Tìm hiểu đề NNTN trong SGK môn Toán trong dạy học vétơ và tọa độ.

-

Đề xuất biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện cho HS THPT sử dụng hiệu

quả NNTH.
6.

Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu việc sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán cho HS

THPT trong dạy học Véctơ và tọa độ Hình học 10.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1.
Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu những tài liệu về lí luận dạy học toán ở trường THPT.
- Nghiên cứu chương trình, SGK môn Toán ở lớp 10, các sách toán sơ cấp, sách

phương pháp, sách tham khảo…
- Phân tích NNTH trong dạy học véctơ và tọa độ.
7.2
. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phối hợp với các phương pháp nghiên cứu thực tiễn để làm rõ thực trạng
và kiểm nghiệm hiệu quả khoa học của đề tài:
Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn GV, cán bộ quản lý trong nhà
trường, nhằm tìm hiểu thực trạng sử dụng NNTH trong dạy học môn Toán và ý
kiến đánh giá quá trình tác động của thực nghiệm sư phạm.
8.

Nội dung bảo vệ

-

Tìm hiểu NNTH trong dạy học véctơ và tọa độ Hình học 10.

-

Đề xuất được một số biện pháp nhằm bồi dưỡng NNTH cho HS THPT

trong quá trình dạy học véctơ và tọa độ.

-

Tìm hiểu về NNTH trong dạy học môn Toán cho HS THPT trong dạy học

véctơ và tọa độ.
-

Đề xuất các biện pháp giúp HS THPT sử dụng hiệu quả NNTH trong dạy

học véctơ và tọa độ ở lớp 10.
4
4


5
9.

Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần “Mở đầu” và “Kết luận” nội dung chính của đề tài bao gồm:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10
thông qua dạy học véctơ và tọa độ.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

5
5


6

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số các công trình nghiên cứu về NNTH.
Một số các công trình nghiên cứu liên quan đến bồi dưỡng nâng cao năng
lực sử dụng NNTH cho HS phổ thông trong thời gian gần đây, chẳng hạn:
-

Tác giả Hà Sĩ Hồ (1990) đã cho rằng NNTH chủ yếu là ngôn ngữ sử

dụng kí hiệu, NNTH không phải là ngôn ngữ "lời nói" mà chủ yếu là ngôn ngữ
"viết".
-

Trong [3], tác giả Hoàng Chúng (1994) nghiên cứu về sử dụng NNTH

trong SGK toán cấp hai. Theo tác giả thì quá trình phát triển toán học luôn đòi hỏi
phải mở rộng, thay đổi một khái niệm, kéo theo việc mở rộng, thay đổi cácha
hiểu đối với một thuật ngữ, một kí hiệu; Trong toán học có thể dùng các kí hiệu
khác nhau để chỉ cùng một đối tượng nhưng không được dùng một kí hiệu để chỉ
hai đối tượng khác nhau trong cùng một vấn đề.
-

Để phát triển năng lực ngôn ngữ cho HS cần tập luyện cho HS biết sử dụng

các thuật ngữ, kí hiệu của Lôgic toán để diễn đạt các mệnh đề của toán học. Đồng
thời rèn luyện cho HS năng lực vận dụng các kiến thức toán học để giải quyết các
bài toán thực tế.
-

Trong [7], tác giả Nguyễn Bá Kim (2005) đã cho rằng: Việc phát triển tư

duy logic và ngôn ngữ chính xác ở HS qua môn toán có thể thực hiện theo ba
hướng liên quan chặt chẽ với nhau.
+

Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic;

và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát; ...
+

Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa.

+

Phát triển khả năng chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến

hành chứng minh.
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ''Do đặc điểm của khoa
học Toán học môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện
cho HS tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra
6
6


7

dưới hình thức ngôn ngữ và được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con
người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy. Chính vì vậy, việc
phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác.
1.2. Ngôn ngữ

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Ngôn ngữ là hệ thống những âm, những từ và
những quy tắc kết hợp chúng, làm phương tiện để giao tiếp chung cho một cộng
đồng”.
Chức năng của ngôn ngữ bao gồm ba chức năng
a, Chức năng giao tiếp
V.I Lênin đã khẳng định: “ Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp trọng yếu
của con người”.
Trong dạy học toán tất yếu phải giao tiếp bằng NNTH giữa GV với HS,
giữa HS với HS, trao đổi với nhau nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra,
giúp HS hiểu được các nội dung toán học, rèn luyện kĩ năng sử dụng và phát triển
NNTH. Giao tiếp trong quá trình dạy học toán tất yếu phải kết hợp giữa NNTN
và NNTH.
b, Chức năng làm phương tiện tư duy
Ngôn ngữ là phương tiện ghi lại sản phẩm, kết quả của quá trình tư duy
con người.Ngôn ngữ không chỉ tham gia vào quá trình tư duy mà còn tạo điều
kiện cho tư duy phát triển.
NNTH là công cụ, phương tiện của tư duy toán học, NNTH trực tiếp tham
gia vào quá trình hình thành và phát triển tư duy toán học. Không có những kí
hiệu và từ ngữ toán học nào mà không biểu hiện khái niệm hoặc tư tưởng toán
học. Ngược lại không có ý nghĩ, tư tưởng toán học nào lại không thể hiện qua
NNTH. NNTH tham gia tích cực vào quá trình hình thành tư tưởng toán học. Mọi
ý tưởng toán học trở nên rõ ràng, chính xác chính là nhờ thể hiện qua NNTH.
c, Chức năng lưu giữ
Ngôn ngữ được hình thành và phát triển trong quá trình lao động sản xuất,
hoạt động, giao lưu, học tập và rèn luyện… tích góp, tồn tại, lưu giữ trong bộ não
của mỗi một con người, cũng như trong xã hội; nhờ ngôn ngữ có chức năng lưu
giữ mà chúng ta có thể chủ động thực hiện giao tiếp, hoạt động và phát triển tư
duy; truyền tri thức, văn hóa từ người này sang người khác, từ thế hệ này sang thế
7
7

8

hệ khác; tạo nên sự phát triển kì diệu của xã hội loài người.
Mục tiêu quan trọng của dạy học toán nhằm phát triển tư duy cho HS, giải
quyết các vấn đề toán học; khám phá, tìm tòi, tích lũy vốn tri thức toán học.
1.3. Ngôn ngữ toán học
1.3.1. Quan niệm về NNTH
NNTN ngày càng dành được sự quan tâm sâu sắc, đầy đủ hơn từ các nhà
giáo dục toán học ở Việt Nam như: Tác giả Phạm Văn Hoàn (1981) đã khẳng
định, NNTH được xây dựng từ các kí hiệu toán học [5]. Hoàng Chúng đã xem xét
NNTH gồm các thuật ngữ và kí hiệu toán học, các nguyên tắc ngữ pháp của các
ngôn ngữ trực quan tượng trưng như: hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, kí hiệu [2].
Tác giả Trần Anh Tuấn đã mô tả: “Nói “Ngôn ngữ Toán học” là chỉ những
kí hiệu, thuật ngữ, những dạng đồ thị, biểu đồ, sơ đồ, ngôn ngữ lí thuyết tập hợp;
ngôn ngữ logic toán. NNTH có thể được kết hợp với ngôn ngữ đời sống thông
thường để đem lại hiệu quả tốt hơn trong diễn đạt, giao tiếp” [12].
NNTH trong dạy học toán phổ thông là ngôn ngữ của khoa học toán học,
bao gồm các thuật ngữ toán học (từ, cụm từ), các kí hiệu, biểu tượng toán học
(như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị...) và các quy tắc kết hợp chúng dùng để diễn đạt các
đối tượng và các mối quan hệ toán học trong khi nói, viết hoặc tư duy. Trong đó:
Kí hiệu gồm chữ số, chữ cái, kí tự, dấu các phép toán, dấu các quan hệ, dấu
các lượng từ và các dấu ngoặc được dùng trong toán học.
Thuật ngữ toán học bao gồm các từ và cụm từ là tên gọi của những khái
niệm, những đối tượng và quan hệ thuộc lĩnh vực toán học (ví dụ: số nguyên tố,
điểm, đường thẳng, lũy thừa...); những từ, cụm từ của NNTN, nhưng trong toán
học có ý nghĩa đặc thù (ví dụ: mẫu, tử, tâm...)
Biểu tượng toán học gồm hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ hoặc mô hình
để biểu thị các quan hệ toán học và các đối tượng toán học cụ thể.

Trong dạy học môn toán thường đan xen ba dạng ngôn ngữ: Các kí hiệu
toán học, các thuật ngữ toán học và biểu tượng toán học.
Ví dụ:
8
8


9

Thuật ngữ

Kí hiệu

uuu
r uuur
AB = kAC

Ba điểm A, B, C thẳng hàng
hay

uuur uuur
AC = kBC

Biểu tượng
A

B

C

B
Tam giác vuông ABC tại A ∆ABC,
có điểm A có tọa độ 2 và 1

, A(2,1)

A(2,1)

C

Thuật ngữ toán học, kí hiệu toán học luôn có mối quan hệ thống nhất, được
sử dụng đan xen trong các phát biểu nhằm mô tả đầy đủ về đối tượng về quan hệ
toán học.
1.3.2.Đặc điểm của NNTH
NNTH chứa đựng hai mặt cần nghiên cứu: Phương diện ngữ nghĩa
(semantic) xem xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những
cách đặt vấn đề toán học. Phương diện cú pháp (syntaxic) xem xét cấu trúc hình
thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những
quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải”. Cả hai phương diện
này đều cần được chú trọng trong việc hình thành con người phát triển toàn diện
bởi vì chúng thể hiện một mặt là tính linh hoạt sáng tạo và mặt khác là tính quy củ,
hợp lí trong suy nghĩ và hành động. Hai phương diện này cũng phản ánh hai loại
hình tư duy quan trọng trong toán học: tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp. Theo
đó, cú pháp của NNTH là các quy tắc kết hợp các kí hiệu, biểu tượng, thuật ngữ
toán học thành các biểu thức, công thức, mệnh đề toán học. Ngữ nghĩa của NNTH
được hiểu là nghĩa hoặc nội dung của kí hiệu, thuật ngữ, biểu tượng toán học.
Cần chú trọng thích đáng cả phương diện nghĩa lẫn phương diện cú pháp
và giải quyết hợp lí mối quan hệ giữa hai phương diện đó. Việc chú trọng phương
diện ngữ nghĩa một cách sâu sắc, khắc phục được những hiểu biết hình thức và
máy móc. Mặt khác việc quan tâm đến phương diện cú pháp sẽ góp phần rèn

9
9


10

luyện cho HS kỹ năng và kỹ xảo trong việc giải phương trình.
Sử dụng NNTH: Thuật ngữ “Sử dụng NNTH” được hiểu là: Dùng NNTH
làm phương tiện phục vụ cho việc giao tiếp, giảng dạy, học tập, làm việc và
nghiên cứu Toán học.
1.3.3. Đặc điểm NNTH trong dạy học véctơ và tọa độ.

Khái niệm véctơ, tọa độ là một trong những khái niệm quan trọng của toán
học, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lí và kĩ thuật.
Đây là một phần không thể thiếu trong chương trình toán cấp 3 nói chung và toán
lớp 10 nói riêng.
Các thuật ngữ và kí hiệu tương ứng trong Hình học 10
(1) Các kí hiệu:
•
•
•
•

Các kí hiệu chỉ “quan hệ” thường dùng: =, ⇔, ⇒, ∊, ∉,...
Các kí hiệu phép toán: +, -, x, :, √
Các chữ cái Hy Lạp thường dùng: ∞, ℰ, λ, φ, δ, β, α, γ, ...
uuur uuur
AB, BC
Các kí hiệu véctơ, tọa độ:
, A(2, 1),….

(2) Các dạng bảng: các dạng bảng tóm tắt
(3) Các dạng hình vẽ: Vòng tròn lượng giác, trục số,…
Các biểu tượng toán học được sử dụng trong Hình học 10
Các điểm, các đường thẳng, đoạn thẳng, các phép tính, các đối tượng và
quan hệ hình học như: vuông góc, song song,…
1.4.

Những sai lầm và khó khăn thường gặp về sử dụng NNTH trong việc giải
bài toán liên quan đến tọa độ và véctơ.
+) Khó khăn của GV trong quá trình dạy học khái niệm véctơ và tọa độ:
Khi dạy định nghĩa khái niệm phương và hướng của một véctơ, GV khó có thể
định nghĩa cụ thể cho các em HS, chỉ cho các em nhận biết trực quan qua hình
vẽ, từ đó HS phản ánh lại trong não của mình hình ảnh của phương, hướng, của
véctơ nhưng không được phát biểu bằng lời. Chính vì thế, GV không nên đưa ra
những câu hỏi như: Hai véctơ cùng hướng khi nào? Vì sao hai véctơ này cùng
hướng? Đây cũng là sai lầm mà GV thường hay mắc phải.
10
10


11

+) Những khó khăn và sai lầm của HS:
- HS hay nhầm lẫn rằng hai véctơ có độ dài bằng nhau thì hai véctơ đó
bằng nhau mà không quan tâm đến phương, hướng.
- Nhầm lẫn trong quá trình cộng véctơ như

trừ véctơ như

uuu
r uuur uuur
AB + AC = BC

; trong phép

uuur uuur uuur
OA − OB = AB

- HS chưa hiểu rõ và nắm vững được các phép toán tổng, hiệu của 2 véctơ
là một véctơ, tích của một véctơ với một số là một véctơ, tích vô hướng của hai
véctơ là một số nên cũng hay nhầm lẫn ở điều này.
HS hay nhầm lẫn và tính sai các công thức về tọa độ, khoảng cách, tích vô
hướng của hai véctơ,…do không nắm vững công thức.
- HS nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp của ngôn ngữ toán học.

1.5. Kết luận chương 1
Chương 1 đã trình bày vài nét về tình hình nghiên cứu trong nước về
NNTH, chức năng của NNTH. Vị trí và tầm quan trọng của NNTH trong dạy học
véctơ và tọa độ. Bên cạnh đó trình bày lại được nội dung véctơ và tọa độ ở phổ
thông và nêu được một vài những khó khăn về vấn đề NNTH trong dạy học véctơ
và tọa độ ở THPT.
Từ các lí luận trong chương 1 và đặc điểm dạy học véctơ và tọa độ trong
Hình học 10 ở trường THPT, đặc điểm của HS THPT, đặc điểm của véctơ và tọa
độ. Chúng tôi đã đề xuất 3 biện pháp để rèn luyện sử dụng NNTH cho HS THPT
trong dạy học véctơ và tọa độ ở Hình học 10.

11
11

12

Chương 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG NGÔN
NGỮ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG
QUA DẠY HỌC VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ
2.1. Một số nguyên tắc xây dựng phát triển NNTH trong dạy học véctơ và
tọa độ trong hình học 10.
Nguyên tắc 1: Dạy học NNTH ở hình học 10 cần làm cho HS biết mô tả
chính xác nội dung toán học liên quan đến véctơ, tọa độ và dùng những kiến thức
đó diễn đạt các sự kiện toán học đã biết khác. Đây là nguyên tắc nhằm trả lời câu
hỏi, trong hình học 10 cần phát triển NNTH nào cho HS. Khi học hình học 10,
đòi hỏi HS không chỉ biết mô tả chính xác các khái niệm, tính chất liên quan đến
véctơ, tọa độ, sau đó tự trình bày được các bài toán mà còn phải biết dùng ngôn
ngữ véctơ, ngôn ngữ tọa độ trình bày nội dung toán học khác.
Nguyên tắc 2: Thông qua các hoạt động toán học để phát triển NNTH cho
HS. Trong dạy học toán, đặc biệt là dạy học hình học 10, cần thông qua hoạt
động toán học ( hoạt động nhận dạng thể hiện, hoạt động toán học phức hợp,
hoạt động trí tuệ phổ biến, hoạt động trí tuệ chung, hoạt động ngôn ngữ) để hình
thành, rèn luyện và phát triển NNTH cho HS.
Từ các nguyên tắc trên, tôi đề xuất một số biện pháp để rèn luyện sử dụng
ngôn ngữ toán học cho HS THPT.
2.2. Một số biện pháp phát triển NNTH trong dạy học véctơ và tọa độ trong
hình học lớp 10
2.2.1. Biện pháp thứ nhất: GV tạo cơ hội cho HS hoạt động sử dụng NNTN
và NNTH chính xác và đúng lúc trong quá trình dạy học các khái niệm, tính
chất.
+) Mục đích của biện pháp: Giúp HS lĩnh hội các khái niệm, tính chất một
cách chính xác và hiệu quả nhất, biết vận dụng chúng vào các tình huống cụ thể
hiệu quả, tích cực. Tích lũy, mở rộng và làm phong phú NNTH cho HS.

+) Cách thực hiện biện pháp
Thứ nhất: Rèn luyện sử dụng NNTH trong dạy học khái niệm véctơ
Hình học lớp 10 cung cấp cho HS một khái niệm mới là vectơ, sau đó trang
12
12


13

bị các phép toán về vectơ như tổng của hai vectơ, hiệu của hai vectơ, tích của
vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và sử dụng các phép toán đó vào
giải toán. Dạy học khái niệm vectơ cần chú ý một số hoạt động sau:
- Chú ý ngay từ đầu tới mặt ngữ nghĩa của khái niệm, quan tâm hợp lí tới
mặt cú pháp; bởi đây là những kiến thức mở đầu, rất cơ bản (theo nguyên tắc thứ
hai).
- Trong định nghĩa phép toán, cần cho HS thấy phép cộng hai vectơ, phép
trừ hai vectơ và phép nhân vectơ với một số xuất phát từ định nghĩa có tính chất
kiến thiết. Do đó phải chú ý tới bản chất của các kí hiệu, phân biệt nó với các kí
hiệu về phép toán trên tập số.
Ví dụ 2.1. Khi GV dạy học bài: Hiệu của hai vectơ. Khái niệm vectơ đối

được xây dựng theo lý thuyết không gian vectơ: Nếu tổng của hai vectơ

là vectơ - không, thì ta nói

a

a

là vectơ đối của vectơ

của vectơ . Vectơ đối của vectơ

a

được kí hiệu là -

b
a

, hoặc vectơ

b

a

và

b

là vectơ đối

.

Cách phát biểu định nghĩa này thuận lợi cho việc chứng minh mọi vectơ
cho trước đều có vectơ đối, tính duy nhất của vectơ đối, nhưng bước đầu có thể
gây khó khăn cho HS trong việc dựng vectơ đối của một vectơ. Đòi hỏi GV phải
đưa ra một quan niệm hình học về vectơ đối qua ví dụ cụ thể, chẳng hạn:
“Cho đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ

AB

là vectơ nào?” hoặc “Nếu

O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ

AO

là vectơ nào?”

Sau đó, khi định nghĩa hiệu hai vectơ, phân biệt cho HS hai dấu “-” đứng

trước vectơ

b

ở hai vế của định nghĩa

a

-

b

=

a

+ (-

b

) có bản chất hoàn toàn

khác nhau. Trong khi dấu “-” ở vế trái chỉ phép trừ hai vectơ, một khái niệm cần
13
13


14

định nghĩa, thì dấu “-” ở vế phải biểu thị phép lấy vectơ đối của một vectơ, một
khái niệm đã biết.
Ví dụ 2.2. Sau khi hình thành định nghĩa tích của một vectơ với một số,

a

cho HS rút ra nhận xét sau: 1. =

a

a

a

, (- 1). = -

Mới nhìn HS sẽ ngộ nhận các tính chất trên giống tính chất của phép nhân
hai số thực nên là hiển nhiên, nhưng khi phải chứng minh HS thường rất lúng
túng. Đòi hỏi phải hiểu khái niệm mới có câu trả lời.

- Cũng như dạy học các khái niệm khác, cần thông qua các hoạt động ngôn
ngữ để phát triển năng lực nhận thức của HS và hơn nữa GV đánh giá đúng HS
của mình .
Ví dụ 2.3.

Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm

đó thẳng hàng là: a)
b)
c)
d)

∃ k ∈ R : AB = k AC

.

∀M : MA + MC = MB
AC = AB + BC

.

.

∀M : MA + MC + MC = 0

.

GV yêu cầu HS phát biểu từng tính chất (đã được minh họa ở ví dụ 2.4)
Ví dụ này nhằm củng cố, kiểm tra khái niệm tích của một vectơ với một số
và kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ của HS, từ đó giúp HS hiểu rõ hơn về 3 điểm

thẳng hàng, tránh thiếu sót khi làm các bài tập về dạng này.
Thứ 2: Rèn luyện hoạt đông ngôn ngữ trong dạy học khái niệm tọa độ.
Nhiệm vụ của dạy học khái niệm toạ độ là cung cấp cho HS các biểu thức
toạ độ để biểu thị các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc
đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường,… Khi dạy học khái niệm toạ độ ở
hình học 10, ngoài những nguyên tắc và biện pháp nêu trên, còn cần lưu ý một số
điểm sau:
14
14


15
•

GV cung cấp cho HS những khái niệm cơ bản nhất; thông qua việc GV
cho HS thực hiện các hoạt động: Tìm hiểu khái niệm, phát biểu khái niệm
bằng ngôn ngữ bản thân, phát biểu định nghĩa theo nhiều cách khác nhau.
Tìm hiểu ngữ nghĩa của các kí hiệu trong định nghĩa.

•

Với một số kiến thức không đòi hỏi trình bày quá chặt chẽ về mặt lôgic
và chứng minh một cách đầy đủ.

•

Về phương pháp giảng dạy: GV nên dùng nhiều hình vẽ, bảng, biểu để
mô tả rõ ràng và trực quan các đối tượng và sự kiện hình học.
Ngay sau khi dạy học các khái niệm, nhằm củng cố khái niệm và giúp HS

có kĩ năng vận dụng kiến thức đó trong giải toán sau này. GV cho HS lập những
bảng chuyển đổi từ NNTN sang NNTH. Sử dụng các khái niệm đó vào trong giải
toán qua đó phát triển NNTH cho HS.
Ví dụ 2.4. Khi dạy học các khái niệm toạ độ cho HS, nhằm giúp HS hiểu
đúng (mặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ toán học,
có thể cho HS lập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn đạt dưới những hình
thức ngôn ngữ khác nhau. Chẳng hạn:
Ngôn ngữ hình
học tổng hợp
Điểm M

Ngôn ngữ vectơ
Điểm M

Ngôn ngữ toạ độ
(x; y)
(x; y)

Đoạn thẳng AB, A

 x = xB − x A

 y = yB − yA

là điểm đầu, B là AB
điểm cuối.

ở đó

Đường thẳng AB

yB) lần lượt là toạ độ của A, B.
 x = x A + ( x B − x A )t

 y = y A + ( y B − y A )t
,(xA; yA),

Giá của vectơ

AB

;(xA; yA) , (yA;

(yA; yB) lần lượt là toạ độ của
A, B. Hoặc ax + by + c = 0

15
15


16

Trung điểm I của Điểm I sao cho:
đoạn thẳng AB
hoặc điểm I sao
cho:

 IA = IB

 IA + IB = AB

Trọng tâm G của
∆ABC

IA + IB = 0

 x + xB yA + yB 
I A
;
2 ÷
 2


,

(xA; yA), (yA; yB) lần lượt là toạ
1
OI = ( OA + OB )
độ của A, B.
2
hoặc
,
với O bất kì.

GA + GB + GC = 0

x +x +x y +y +y 
G A B C ; A B c ÷
3
3




hoặc Điểm hoặc với O bất kì:

(xA; yA), (yA; yB), (xC; yC) lần
1
OG = ( OA + OB + OC ) lượt là toạ độ của A, B, C.
3
đường trung tuyến
đồng quy của ba

của

∆ABC

.
Khi GV nói đến toạ độ là nói đến biến, đến phương trình, hệ phương trình

và các biến đổi đại số, do đó khi dạy học toạ độ có liên quan đến dạy học khái
niệm phương trình, hệ phương trình GV chú trong cho HS sử hợp lý về phương
diện cú pháp và ngữ nghĩa của Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình.
Thứ 3: Rèn luyện hoạt động ngôn ngữ trong dạy học tính chất véctơ.
Những tính chất quan trọng thường được thể hiện dưới dạng định lí. Dạy
học các tính chất toán học là để cung cấp cho HS một hệ thống kiến thức cơ bản
của bộ môn, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở HS khả năng suy luận và chứng
minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Trong dạy học định lý, tính chất, các hoạt động ngôn ngữ thường dùng là
GV cho HS phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý trong khi củng cố định lý;
qua đó các em được khắc sâu định lý đó. Hơn nữa là GV cho HS phát biểu định lý
bằng hình thức khác nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập ý nghĩ của các em.

Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lí là:
•

HS phân tích cấu trúc lôgic, nội dung định lí;

•

Thay đổi hình thức phát biểu định lí.
Ví dụ 2.5. Các tính chất của vectơ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa

16
16


17

vectơ và phép toán về vectơ. Khi dạy học tính chất của phép cộng vectơ, Gv yêu
cầu HS sử dụng các kí hiệu về tổng hai véc tơ, viết các tính chất của tổng hai
véc tơ
1)

Tính chất giao hoán:

a +b=b+a

;

(a + b)+ c = a +(b + c )

2)

Tính chất kết hợp:

3)

Tính chất của vectơ - không:

a+0=a

;

.

GV yêu cầu HS phát biểu bằng NN của bản thân các tính chất về tổng của
hai vectơ. Biết vẽ biểu diễn vectơ tổng khi có hai vectơ cho trước.
Các tính chất được công nhận sau khi minh hoạ bằng hình vẽ cụ thể. Sau
đó,GV cho HS phân tích cấu trúc của tính chất để củng cố kiến thức.
Ví dụ 2.6. Trong dạy học các tính chất của phép nhân vectơ với một số, cho

HS tìm (hoặc kiểm chứng) tính chất k

( a + b ) = k a + kb

bằng cách vẽ hình kiểm

tra với k = 2. Sau đó, để khắc sâu tính chất, GV cho HS tìm sự giống nhau và
khác nhau của phép nhân vectơ với một số và phép nhân những số đã biết:
k(a + b) = ka + kb

k

( a + b ) = k a + kb

a

a

(k+ m)a = ka + ma

(k + m) = k + m

k(ma) = (km)a

k(m ) = (km)

k.a =0

⇔

k = 0 hoặc a = 0

a

k.

a

=

0⇔

a

a

k = 0 hoặc

a

=

0

GV cần giải thich cho HS hiểu rõ điểm gióng và khác nhau về hình thức
(cú pháp), khác nhau: nội dung (ngữ nghĩa) của phép nhân các số là phép toán
trong, còn phép nhân vectơ với một số là phép toán ngoài. Do đó không thể áp
dụng luật giản ước của các số đối với vectơ.
Thứ 4: Rèn luyện sử dụng ngôn ngữ trong dạy học tính chất tọa độ
17
17


18

Nói đến toạ độ là nói đến hai biến, nói đến phương trình và hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, do đó dạy học tính chất về toạ độ chính là dạy học những kiến
thức liên quan đến đại số như điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, số nghiệm
của một phương trình, hệ phương trình,…
Do toạ độ được xây dựng từ vectơ, các tính chất của toạ độ thường suy ra
từ ngôn ngữ vectơ.

Ví dụ 2.7. Khi xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng GV cho HS nhìn khoảng cách giữa hai điểm M, M0 dưới hình thức

độ dài vectơ

MM 0

MM 0

; sử dụng ngôn ngữ toạ độ tính

chính là tính độ dài của

đoạn MMo. Việc này chính là rèn sử dụng NN về độ dài của đoạn thẳng cho HS.

y

M

∆
M0

O

x
Hình 9

Ví dụ 2.8. Khi dạy học tiết 27, phương trình tổng quát của đường thẳng, GV cho
HS lập bảng so sánh cách sử dụng hai ngôn ngữ sau:
Ngôn ngữ hình học tổng hợp

Ngôn ngữ toạ độ
Điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy
(x; y)
Điểm M thuộc (nằm trên) đường Toạ độ (x;y) của M nghiệm đúng phương

∆
thẳng
M là giao điểm của hai đường thẳng
∆

1 và

∆
trình đường thẳng
Toạ độ (x;y) của M là nghiệm của hệ hai

∆
2

phương trình hai đường thẳng

∆
1

và

∆
2

Nhờ vậy, ở các bài học sau HS hoàn toàn có thể xác lập được những kết

18
18


19

quả tương tự khi nghiên cứu đường tròn, đường elip,…
Một số chú ý của GV khi thực hiện biện pháp
- GV nên có một cái nhìn toàn cảnh về toàn bộ chương trình, để khi dạy
học một khái niệm cụ thể, có thể hình dung được khái niệm này còn được sử
dụng hay nghiên cứu đến mức độ nào trong những phần sau. Từ đó cân nhắc xem
có nên khuyến khích HS tiếp tục tìm thêm một định nghĩa tương đương hay
không.
- Việc khuyến khích HS tìm thêm một định nghĩa khác tương đương với
định nghĩa ban đầu có thể góp phần phát triển cho HS năng lực nào đó như phân
tích, tổng hợp, suy luận, sử dụng ngôn ngữ, … Mặt khác, bằng việc sử dụng định
nghĩa mới tìm ra, HS có thể tránh khỏi những khó khăn khi phát hiện và giải
quyết vấn đề.
- GV cần phối hợp giữa mô tả bằng lời và bằng hình vẽ đảm bảo sự chuẩn
mực, tính chính xác, có điểm nhấn để thu hút sự tập trung của HS khi quan sát,
nhận diện và làm theo.
- Tăng cường hoạt động của HS, phát huy tối đa trong chừng mực có thể
được tính tích cực, độc lập của HS. Tuy nhiên cần phải có những sự dẫn dắt một
cách hợp lý trong những tình huống cụ thể, nhằm giúp HS giải quyết được vấn đề
nhưng vẫn không làm ảnh hưởng đến việc tiến hành các hoạt động khác.
- Khi HS đã tìm thêm được một cách phát biểu định nghĩa (tương đương
với định nghĩa ban đầu), nên cho HS vận dụng vào việc giải quyết các bài toán
thích hợp, để hộ thấy được lợi ích của việc vừa làm.
* Việc dạy học khái niệm toán học ở phổ thông phải làm cho HS đạt được
các yêu cầu sau:

- Nắm vững các thuộc tính đặc trưng của một khái niệm.
- HS biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa khái niệm, phát biểu định
nghĩa theo các cách khác nhau.
- Nắm được mối quan hệ giữa các khái niệm trong một hệ thống các khái niệm.
- Vận dụng được khái niệm để giải toán và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho HS sử dụng NNTH khi sử dụng phương
19
19


20

pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, trong giải toán hình học 10.
+) Mục đích của biện pháp
- Giúp HS sử dụng NNTH hiệu quả trong việc lĩnh hội và vận dụng các quy
tắc, phương pháp, định nghĩa, tính chất,…Biết cách diễn đạt nội dung toán học
vừa được học.
- Giải quyết những khó khăn về NNTH mà HS thường mắc phải trong
luyện tập, vận dụng.
+) Cách thực hiện
Thứ 1: Rèn luyện cho HS sử dụng ngôn ngữ véctơ trong giải toán hình
học 10
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể
xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Một biểu hiện của
việc thành thạo NNTH ở HS là khả năng trình bày lời giải một bài toán. Ba yêu cầu
chủ yếu của lời giải một bài toán là lời giải không có sai lầm, lập luận có căn cứ chính
xác, lời giải đầy đủ, hơn nữa lời giải đó phải được trình bày ngắn gọn, sáng sủa, mạch
lạc và sử dụng hợp lý các ký hiệu toán học.
GV tổ chức cho HS dùng các hình thức ngôn ngữ khác nhau trong học tập
toán. Xây dựng tình huống HS luyện tập ngôn ngữ toán học thường xuyên dưới

các hình thức khác nhau như bằng lời nói hoặc chữ viết thông qua sử dụng các
phương pháp vectơ, phương pháp toạ độ để phát triển NNTH cho HS.
Khi có công cụ vectơ, khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của HS đã
được phát triển thêm một bước. HS không chỉ làm các phép toán trên vectơ, mà
còn diễn tả nhiều sự kiện hình học đã biết dưới hình thức ngôn ngữ vectơ thông
qua phương pháp giải toán mới: phương pháp vectơ. Để góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học, hình thành phương pháp vectơ cho HS, chúng ta cần xác định hai
khâu mấu chốt để giải một bài toán bằng phương pháp vectơ, đó là:
-

Chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ.

-

Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ.
Muốn thực hiện tốt hai khâu trên, cần rèn cho HS kỹ năng chuyển tương

20
20


21

đương (hay phiên dịch) những quan hệ hình học từ cách nói thông thường (hình
học tổng hợp) sang dạng vectơ để có thể vận dụng công cụ vectơ trong giải toán.
Các bước thực hiện:
Bước 1. Chuyển bài toán hình học ban đầu sang ngôn ngữ vectơ; bằng cách
lựa chọn một số vectơ gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên dịch” các giả thiết, kết luận
của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ vectơ.
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các

phép biến đổi các hệ thức vectơ theo “hệ vectơ gốc”.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học tương ứng.
Ví dụ 2.9: Để chuẩn bị các yếu tố cần thiết cho quy trình (các bước 1, 2) giải
toán bằng phương pháp véc tơ, GV cho HS làm một số dạng toán chuẩn bị. Chẳng hạn,
sau khi học bài “Tổng của hai vectơ” với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và bài
“Hiệu của hai vectơ” với quy tắc về hiệu vectơ, chúng ta cho HS làm một số bài tập đòi
hỏi thay tổng đại số của nhiều vectơ bởi một số vectơ, thay một vectơ bởi tổng đại số
của nhiều vectơ hoặc chứng minh đẳng thức vectơ:
a) Tính tổng
1)
2)

AB + BC + CD + DE

biết A, B, C, D, E bất kì

AD + KF + DK + MN

b) Đơn giản biểu thức
1)
2)

OM − ON + AD + MP + EK − EP − MP
AC − BC − PM − AP + BM

c) Biểu diễn vectơ
1)

AB

dưới dạng tổng đại số của các vectơ sau:

AC , DC , BD

21
21


22

2)

DA,CD , BC

d) Chứng minh
1)
2)

MN + PQ = MQ + PN

với M, N, P, Q bất kỳ.

AD + BE + CF = AE + BF + CD

với A, B, C, D, E, F bất kỳ.

Ví dụ 2.10: Để chuẩn bị cho bước 1: phiên dịch các giả thiết, kết luận sang
ngôn ngữ vectơ, ngay trong mỗi bài học chúng ta cho HS làm các bài tập nhằm
thành lập “từ điển vectơ”. ở đó, mỗi “từ” của “từ điển” biểu diễn mối liên hệ giữa
các sự kiện hình học và các hệ thức vectơ. Các “từ ” đó phải được hình thành một

cách chặt chẽ, có cả điều kiện cần và đủ. Chẳng hạn, khi hình thành “từ” trung điểm
của đoạn thẳng trong “từ điển” đó, ta cho HS làm hai bài toán sau (chỉ sử dụng
những kiến thức hình học tổng hợp, kiến thức vectơ đã biết để chứng minh):
a) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, chứng minh rằng :

OA + OB = 0

.

b) Cho đoạn thẳng AB, và điểm O thoả mãn đẳng thức

OA + OB = 0

.

Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của

đoạn thẳng AB là

“dịch” thành “O:

OA + OB = 0
OA + OB = 0

”, nghĩa là “O là trung điểm của đoạn thẳng AB” đã

” trong ngôn ngữ vectơ.

Cuối cùng, từ hệ thống bài tập đó, hình thành một cuốn “từ điển” để phiên

dịch giữa ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học tổng hợp. Có thể kể ra một số
kết quả thường dùng sau:

22
22


23

Ngôn ngữ hình học tổng hợp

Ngôn ngữ vectơ
•

AB = k AC
hay

•

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

AC = k BC

…

hoặc
•

OC = k OA + mOB
ở đó O tuỳ ý và k + m =1

Hai điểm B, C trùng nhau

•

•

Hai đường thẳng song song,

AB = AC

với A bất kỳ.

BC = 0
AB = k CD

AB // CD
M chia AB theo tỉ số k, k 0, -1.

MA = k MB

M là trung điểm đoạn AB

MA + MB = 0

≠

AB + AC = 2 AM

AM là trung tuyến của tam giác ABC

G là trọng tâm tam giác ABC

•

•

Hai đường thẳng vuông góc,
AB

⊥

GA + GB + GC = 0
OA + OB + OC = 3OG

, O bất kỳ

AB.CD = 0

CD

Ví dụ 2.11: Để HS dễ dàng thực hiện bước 2, chúng ta cho các em làm các
bài tập đòi hỏi phân tích một vectơ theo một hệ vectơ. Qua các bài tập cụ thể đó
23
23


24

các em vừa được luyện tập kiến thức cũ, vừa chuẩn bị cho quy trình giải toán sau

này và hơn nữa là rèn luyện, phát triển ngôn ngữ vectơ. Chẳng hạn cho HS bài
toán: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân

tích

AM

u = AB, v = AC

theo hai vectơ

.

GV gợi ý để HS tìm được hai cách giải, mỗi cách có ưu điểm riêng như sau:
Cách 1. (Không cần hình vẽ)

2
BC
3

BM =
Theo giả thiết ta có

, áp dụng quy tắc ba điểm:

2
2
1
2
AB + BC AB + ( AC − AB )

AB + AC
3
3
3
3
AM = AB + BM
=
=
=

Vậy

1
2
1
2
AB + AC = u + v
3
3
3
AM = 3

.

Cách 2. (Có sử dụng hình vẽ)
A
E

v

u
B

F

M

C

Hình 10

Kẻ ME // AC, MF // AB (hình 10), ta có

Theo định lí Ta-let AE =

AF =

2
3

1
3

AM = AE + AF

.

AB,

AC.

24
24


25

Do đó

Vậy

1
1
2
2
AE = AB = u , AF = AC = v
3
3
3
3

1
2
u+ v
AM = 3 3

.

.

Ví dụ 2.12: Sau hệ thống bài tập chuẩn bị của giai đoạn 1, GV tiếp tục cung
cấp một số dạng toán giải bằng phương pháp véc tơ, được trình bày theo quy trình
ba bước. Nhấn mạnh tính ưu việt của phương pháp này so với các phương pháp
đã biết trước đó. Chẳng hạn, với bài toán: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP
và CMQ có cùng trọng tâm.
GV hướng dẫn để HS hiểu và sử dụng được ngữ nghĩa “từ” hai điểm trùng
nhau của ngôn ngữ vectơ dưới dạng cú pháp như sau: Chứng minh hai điểm A1;

A2 trùng nhau, tương đương chứng minh:

A1 A2 = 0

hoặc

OA1 = OA2

với O là điểm

tuỳ ý. Sau đó yêu cầu HS vẽ hình biểu diễn, sử dụng NN hình học, trình bày bài
toán theo
D
M
A

Q

N
B

P

C

Hình 11

GV hướng dẫn HS trình bày lời giải:
•

Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm
tuỳ ý.

•

Khi đó HS viết được biểu diễn:

 OA + ON + OP = 3OG1

OC + OM + OQ = 3OG2

(1)

25
25