Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Chương IV

Đặc trưng hình học
của mặt cắt ngang


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG

4.1. Khái niệm
4.2. Diện tích hình phẳng

4.3. Moment tĩnh diện tích
4.4. Moment quán tính diện tích

4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản
4.6. Moment quán tính đối với hệ trục song song
4.7. Một số ví dụ
4.8. Moment quán tính của các mặt cắt định hình
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.1. Khái niệm

z
y

y

x
Thanh chịu uốn trong 2 trường hợp

Trường hợp nào chịu tải tốt hơn?
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.1. Khái niệm chung

Tải: 1000N
Ứng
max:

suất

 max  0, 23.108 Pa
Tiết diện: 6x4

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương

I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.1. Khái niệm chung

Tải: 1000N

Ứng
max:

suất

 max  0,11.108 Pa

Tải: 2000N
Ứng
max:

suất

 max  0, 23.108 Pa
Tiết diện: 4x6

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.1. Khái niệm chung

Tải: 1000N
Ứng
max:

suất

 max  0, 23.108 Pa
Tiết diện:
8x4 – 7,5x3,5

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.1. Khái niệm chung

Sức chịu đựng của 1 thanh không chỉ tùy thuộc vào vật liệu mà
còn tùy thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang, cũng như

phương của tải trọng đối với mặt cắt ngang.

Ta cần khảo sát những đặc trưng hình học
chính của mặt cắt ngang để tính toán độ
bền, độ cứng, độ ổn định và thiết kế mặt

cắt thanh cho hợp lý
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.2. Diện tích hình phẳng

Xét 1 hình phẳng biểu diễn bởi mặt
cắt ngang như trên hình.
Ký hiệu diện tích toàn hình phẳng là
A

A   dA

y

dA

y

A
x

O

A

Nếu hình phẳng gồm nhiều hình có

x

diện tích đã biết ghép lại:
n

A   Ai
i 1

Một hình phẳng có thể coi là tổ hợp các hình có diện tích
dương và các hình có diện tích âm
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn

tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.3. Moment tĩnh diện tích
4.3.1. Moment tĩnh đối với một trục
y

S x   ydA; S y   xdA
A

y0

dA

y

yc

A

Sx , S y : Moment tĩnh của diện
tích mặt cắt ngang đối
với trục x, y [(chiều dài)3]

x0

C

x

O
xc

x

Khi moment tĩnh của diện tích đối với 1 trục bằng 0 thì trục đó
gọi là trục trung tâm.
Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt
Tọa độ trọng tâm mặt cắt:
Lê Dương Hùng Anh

Sy

Sx
xC  ; yC 
A
A
Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC

TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.3. Moment tĩnh diện tích

Nhận xét: nếu mặt cắt có 2 trục đối xứng trọng tâm sẽ
nằm trên trục này vì moment tĩnh đối với trục bằng 0.
y

y

x

Lê Dương Hùng Anh

y

x

x

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học

vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.3. Moment tĩnh diện tích
4.3.2. Moment tĩnh của các hình phức tạp
n

S x  A1 y1  A2 y2  ...  An yn   Ai yi
i 1
n

S y  A1 x1  A2 x2  ...  An xn   Ai xi
i 1

xC

Ax



A
A
Ay
S




A
A
Sy

i Ci
i

yC

x

i

Ci

i

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối

ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.3. Moment tĩnh diện tích
4.3.2. Moment tĩnh của các hình phức tạp
Chú ý:
- Chọn hệ trục tọa độ ban đầu hợp lý: nếu hình có trục đối
xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa
độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều
hình đơn giản càng tốt.
- Nếu hình bị khoét thì diện tích phần bị khoét mang giá trị
âm.

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH

CẮT
NGANG

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang
4.4.1. Moment quán tính đối với 1 trục

Moment quán tính của diện tích A
đối với các trục x,y:

y
y

dA

J x   y 2 dA  0
A

J y   x dA  0
2

A

x

O
x

Thứ nguyên của moment quán tính là [(chiều dài)4], giá trị
của nó luôn luôn dương.

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC

TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang
4.4.2. Moment quán tính độc cực

y
y

J     2 dA  0

dA

A

 2  x2  y2


x

O

 J  Jx  J y

x

Thứ nguyên của moment quán tính độc cực là [chiều dài4],
giá trị của nó luôn luôn dương.

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang
4.4.3. Moment quán tính ly tâm đối với hệ trục (x,y)

y

J xy   xydA

y

A

Thứ nguyên của moment quán tính ly
tâm là [(chiều dài)4], giá trị của nó có

thể dương, âm hoặc bằng không.

dA

x

O
x

Ta có thể chứng minh được rằng, dù gốc tọa độ đặt tại điểm
nào trên hình phẳng, thì ta luôn tìm được 2 đường vuông góc
nhau đi qua điểm đó sao cho Jxy = 0. Hai trục đó tạo thành hệ
trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán tính chính đi qua khối
tâm hình phẳng thì được gọi là hệ trục quán tính chính
trung tâm.
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH

CẮT
NGANG
4.4. Moment quán tính của mặt cắt ngang

Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục nào

vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ
trục quán tính chính

J xy 

 xydA     xy dA  0

A /2

A /2

Nếu hình ghép:

J x   J ix

J y   J iy

J xy   J ixy
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương

I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản
4.5.1. Moment quán tính hình chữ nhật

y

h /2

dy
x

3
bh
J x   y 2 dA   y 2bdy 
12
A
 h /2

h
h /2

3
b
h
2
2
J y   x dA   x hdx 
12
A
 h /2

b

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG

4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản
4.5.2. Moment quán tính hình tròn

y

dA  2 d 

R



d

R

J P    2 dA  2   3d  
x

A

0

 R4
2



 D4
32

Do tính chất đối xứng, ta có:

Jx  J y
 J P  J x  J y  2J x  2J x

D

JP 

 D4

 0,1D 4

32
4
 J x  J y  0,05D
Lê Dương Hùng Anh

J P  R4  D4
 Jx  J y 


2
4
64
Với D là đường kính
Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương

I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.5. Moment quán tính một số hình đơn giản
4.5.3. Moment quán tính hình vành khăn

y

JP 

d

D

d

 D4
32

32



 D4
32

(1   4 )

x

J P  D4
 Jx  Jy 

(1   4 )
2
64
4
4
 0,05D (1   )
Với

Lê Dương Hùng Anh



d4

d

D

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.6. Moment quán tính đối với hệ trục song song
X  x  a
y

Y
Y  y  b

Y

y

dA
x

x

o

X

b

O

a

X

Khai triển, ta được:

Khi Oxy là hệ trục trung tâm, ta có:

 J X  J x  b 2 A  2bS x

2
J

J

a
A  2aS y
 Y
y

 J XY  J xy  abA  aS x  bS y
Lê Dương Hùng Anh


2
2
J

Y
dA

(
y

b
)
dA
 X 

A
A


2
2
J

X
dA

(
x


a
)
dA
 Y 

A
A

 J  XYdA  ( x  a )( y  b)dA

 XY 

A
A
 J X  J x  b2 A

2
J

J

a
A
 Y
y

 J XY  J xy  abA

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
Trình tự xác định moment quán tính diện tích đối với trục
quán tính chính trung tâm

1- Lập hệ trục quán tính chính trung tâm
+ Phân tích hình phẳng thành những hình đơn giản
+ Lập hệ trục tọa độ (x;y) trong mặt phẳng chứa hình đơn
giản
+ Xác định tọa độ khối tâm Oi của hình thứ i trong hệ (x;y)
+ Xác định diện tích Ai
+ Xác định moment tĩnh của từng hình
+ Xác định diện tích A, moment tĩnh Sx, Sy của toàn hình
+ Xác định vị trí khối tâm của hình phẳng theo công thức
+ Lập hệ trục quán tính chính trung tâm của toàn hình
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
Trình tự xác định moment quán tính diện tích đối với trục
quán tính chính trung tâm

2- Xác định moment quán tính diện tích đối với các trục quán
tính chính trung tâm
+ Tính moment quán tính diện tích của các hình đơn giản thứ
i đối với trục quán tính chính trung tâm của từng hình.
+ Chuyển moment quán tính diện tích của các hình đơn giản
đối với các trục quán tính chính trung tâm sang trục quán tính
chính trung tâm của toàn hình
+ Tính moment quán tính diện tích đối với trục quán tính
chính trung tâm của toàn hình.

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM

Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.7. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho mặt cắt ngang có hình
dạng và kích thước như hình vẽ. Xác

định các moment quán tính chính trung
tâm của mặt cắt.

Chọn hệ trục tọa độ ban đầu x0y0 và
chia hình phẳng thành 2 hình 1 và 2 có
kích thước như hình vẽ.
Vì trục y0 là trục đối xứng nên tọa độ
trọng tâm sẽ nằm trên trục này, tức

xC = 0
Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM


Chương
I: Những vấn
đề cơHỌC
bản củaMẶT
tĩnh học
vật rắn
tuyệt đối
ĐẶC
TRƯNG
HÌNH
CẮT
NGANG
4.7. Một số ví dụ

Tọa độ yC được xác định từ công
thức:

Sx
yC 
A

Trong đó: S x 

2

 (S )

i 1

x i

Với (Sx)i là moment tĩnh c

ủa diện tích thứ i đối với trục x

( S x )i  Ai yCi
Trong đó yCi – tọa độ khối tâm
của hình thứ i

Lê Dương Hùng Anh

Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM