Động lực học các hệ chất điểm

O

Ạ I

H

Ọ

N

C

G

Q

U

U

Y Ễ N

Ố

C

O

V Ă N

I A

H

H

À

N

Ộ

I

I Ệ U

ĐỘNGLực HỌC
•

•

t

CÁC HỆ CHẤT ĐIỂM
■

G D G

HA NỘI

NHÀ XUẤT BÀN ĐẠI

Q U Ố C GIA HÀ NỘI
• HỌC
•
•


ĐẠI
HỌC
QUỐC GIA HÀ NỘI
•
•
•
KHOA CÔNG NGHỆ
HỆ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO
NGÀNH VẬT LÝ KỸ THUẬT

L. D. L A N D A U , E. M . L IF S H IT Z và
N G U Y Ễ N V Ă N H IỆ U

DỘNG LỰ C HỌC
•

*

ế

C Á C H Ệ C H Ấ T D IỂ M

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

L Ờ I N Ó I

D À U

T r o n g c h ư c m g tr ìn h đ à o t ạ o c h ấ t lư ợ n g c a o c ủ a K h o a C ô n g n g h ệ
Đ ạ i h ọ c Q u ố c g i a H à nội s in h v iê n đ ư ợ c h ọ c x o n g n h ữ n g k iến th ứ c cơ
b ản v à cơ

sờ

v ề to á n học v à v ậ t lý tr o n g h ai n ă m đ ầ u , th à n h th ử từ

n ă m t h ứ b a t r ồ đi c ó n h iều th ờ i g ia n để h ọ c n h ữ n g k iến th ứ c c h u y ê n
n g à n h h iện đ ạ i. T h e o c h ư ơ n g t r ìn h đ ó

Cơ

h ọ c lý t h u y ế t đ ư ợ c h ọ c t r o n g

h ọ c k ỳ II n ẵ m t h ứ n h ấ t , Đ i ệ n đ ộ n g l ự c h ọ c , C ơ h ọ c l ư ợ n g t ử v à V ậ t
lý th ố n g kê đư ợ c h ọ c x o n g tr o n g n ă m th ử h a i, lồn g g h é p v ớ i ch ư ơ n g
t r ìn h V ậ t lý đ ạ i c ư ơ n g .
V ớ i k in h n g h iệ m t ự học c ủ a c h ín h b ả n t h â n m ìn h , tôi m ạ n h d ạ n
s ớ m đ ư a v à o ch ư ơ n g trìn h g iả n g d ạ y n h ữ n g k iến t h ứ c h iện đ ạ i đ ể g iú p
c h o sin h v iê n có k h ả n ă n g tiế p c ậ n v ớ i n h ữ n g th à n h tự u m ớ i c ủ a V ậ t lý
h ọ c n g a y từ khi đ a n g học đại h ọ c, m ờ đ ầu b ằ n g v iệ c g iả n g d ạ y n h ữ n g
n ộ i d u n g c h ủ y ế u c ù a C ơ h ọc lý t h u y ế t n g a y t ừ n à m t h ứ n h ấ t .
T r o n g n h ữ n g n ă m t h á n g đ ầ u tiên c ủ a c u ộ c đờ i n g h iê n c ử u k h o a
học

c ủ a m ìn h

tôi đ ã h ọc s á c h c ủ a L .

D.

Landau

và

E. M .

L ifsh itz.

N h ữ n g nội d u n g r ấ t h ấ p d ẫ n m à tô i đ ã h ọc đư ợ c tr o n g c á c cu ố n sách
đ ó c ù n g vớ i c á c h trìn h b à y n g ắ n gọn v à ch ín h x á c c ủ a L . D . L a n d a u
v à E . M . L ifs h itz d ã là m tô i s a y m ê n g h iê n c ứ u V ậ t lý lý th u y ế t. T u y
k h ô n g đ ư ợ c trự c tiế p n g h e L . D . L a n d a u v à E . M . L ifs h itz g iả n g b ài,
s o n g tô i l u ô n t ự c ả m t h ấ y đ ó l à l à h a i n g ư ờ i t h ầ y c ủ a m ì n h . V ớ i l ò n g
m o n g m u ố n t r u y ề n c ả m c h o h ọ c t r ò sự n g ư ỡ n g m ộ c ủ a m ìn h đối vớ i
L . D . L a n d a u v à E . M . L ifsh itz , tôi d ự a h ẳ n v à o s á c h c ủ a h a i Ô n g khi
so ạ n bài g iả n g .
Tập

bài g iản g

“ Đ ộ n g lự c h ọ c c á c h ệ c h ấ t đ i ể m ”

n à y được soạn

d ự a th e o c u ố n C ơ h ọ c v à c u ố n L ý t h u y ế t tr ư ờ n g t r o n g b ộ s á c h V ậ t lý
lý t h u y ế t c ủ a L . D . L a n d a u v à E . M . L ifs h itz . Đ ể p h ù h ợ p hơn vớ i sư
l ồ n g g h é p v à o c h ư ơ n g t r ì n h V ậ t l ý đ ạ i c ư c m g t ô i v i ế t lạ i m ộ t s ố b à i
g i ả n g , c á c b à i g i ả n g c ò n lạ i đ ư ợ c t r í c h n g u y ê n v ă n t ừ c u ố n C ơ h ọ c .
T ô i h y v ọ n g r ằ n g c u ố n s á c h c ũ n g l à t à i l iệ u t h a m k h ả o c ó í c h đ ố i
vớ i s in h v iê n n g à n h V ậ t lý c á c t r ư ờ n g đ ạ i h ọ c.
T ô i xin ch â n th à n h c á m

cm Đ ạ i h ọ c Q u ố c g i a H à N ộ i v à

Khoa


C ô n g n g h ê đ ã t a o d i ề u k i ê n t h u â n lơi c h o t ô i t h ư c h i ê n c h ư ơ n g t r ì n h
đ à o tạ o c h ấ t lư ợ n g c a o v à x in c h â n t h à n h c á m ơ n H ội đ ồ n g K h o a h ọ c
T ự n h iên đ ã g iú p đ ỡ v ề k in h p h í đ ể x u ấ t b ả n c u ố n s á c h n ày.

Hà Nội tháng

2 năm 2002

Viên sĩ N g u y ễn V ăn Hiêu

IV


M Ụ C LỤ C
T ran g

Lời nói dầu

iii

C h ư om g I. Nhừng phương trình và định luật cơ bản của Cơ

học

i

I. Nguyên lý tác dụng cực trị

1

II. P h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e

4

III. C á c đ ịn h lu ật b ào to à n

9

1.

Đ ịn h

lu ật b à o to à n n ă n g lư ợ n g to à n p h ầ n

9

2. Đ ịn h

lu ậ t b ả o to à n x u n g lư ợ n g to à n p h ầ n

10

3. Định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần

12

IV . T ín h đồng d ạn g cơ học

14

V . C á c p h ư ơ n g trìn h H a m ilto n

18

C h x r t m g I I . M ộ t số bài to á n cụ th ể c ủ a C ơ học

22

I. Hệ hai hạt với thế năng tương tác chỉ phụ thuộc khoảng
cách

22

1.

K h ố i lư ợ n g th u g ọ n

22

2.

C h u y ể n đ ộ n g tro n g trirờ n g

xu yên tâm

3 . B à i toán K e p le r
II. S ự r ã v à sự v a c h ạ m c ủ a c á c h ạ t

23
29
35

1.

S ự rã các h ạ t

35

2.

S ự v a c h ạ m đ à n tín h c ủ a c á c h ạ t

40

3 . S ự tán x ạ c ủ a c á c h ạ t. C ô n g th ứ c R u th e r fo r d

41

III. C h u y ể n đ ộ n g t r o n g m ộ t h ệ q u y c h iế u k h ô n g q u á n t ín h

44

IV . N hữ ng dao dộng nhỏ

49

V


1.

D ao

d ộ n g tự d o m ô t ch iều

49

2. D a o

động cư ỡ ng bức

54

3. D ao

đ ộ n g c ủ a h ệ có n h iều b ậ c t ự d o

59

4. D a o

động củ a nhữ ng p h ân tử

67

5. D ao

động tắt dần

69

C ơ sờ c ủ a th u y ế t tư ơ n g đối

75

C h ư ơ n g III.

I. P h é p b i ế n đ ổ i L o r e n t z

75

II. C á c h ệ q u ả c ủ a p h é p b iế n đổi L o r e n t z

79

III. C ơ h ọc tư ơ n g đổi tín h

85

rv.

89

K h ô n g g ia n b ố n ch iề u M in k o w s k i

Đáp số các bài tậ p

VI

96


Chưcmg I
N H Ữ N G P H Ư Ơ N G T R ÌN H V À D ỊN H L U Ậ T
C ơ BẢN CỦA C ơ H Ọ C
I. N gu yên lý tá c dung cưc tri
X é t hệ

N

c h ấ t đ iể m m a n g c á c k h ố i lư ợ n g

t.

c á c t ọ a đ ộ r i , r 2 , . . . , r j v p h ụ t h u ộ c th ờ i g i a n
p h ần do có tư ơ n g

G iả sử th ế n ă n g

hạt

u (rj

,r

2, . . . ,

có tọ a độ r ữ,

T iv,

a

t)

=

c ủ a c á c t ọ a độ v à th ờ i g ia n .

1,2,..., N

là

ỞU(r 1 , r 2, . . . , tn , í)
F “ =
Ta

to àn

t á c vớ i n g o ạ i tr ư ờ n g v à tư ơ n g t á c g iữ a c á c c h ấ t đ iể m

vớ i Iih a u là m ô t h à m
L ự c t á c d ụ n g lê n

v à có

---------------- *

7

, .

------------------

(1)

ký hiệu
r rv =
Q

dra

..

-T -.
dt ’

Trv =
“

d2ra
dt 2

Đ ộ n g n ă n g t o à n p h ầ n c ủ a h ệ là

(2 )

Đ ịn h lu ật th ứ hai c ủ a N e w to n đư ợ c v iế t như sa u

—

ỠU(ri,r2,...,rjv;0
o

í

^

._ 1 o

1 , 2,.

Ớ T (ỵ

. . ? N.

(3)

L ờ i g i ả i c ủ a h ệ p h ư o rn g t r ì n h ( 3 ) x á c đ ị n h n h ữ n g q u ỹ đ ạ o r a ( í ) c ủ a c á c
c h ấ t đ iể m . N h ữ n g g iá tr ị

ra (íi)= r £ ,

r Q(í2 ) = r f

c ủ a c á c h à m v e c t ơ r Q (í) ở c á c t h ờ i đ i ể m

t\

và

1 2, 1 1

(4)

< í 2) x á c đ ịn h t ọ a

đ ộ c ủ a c á c đ iểm đ ầ u v à c á c đ iể m cu ố i c ủ a c á c q u ỹ đ ạ o .

1


T a hãy

làm

b iến th iê n c á c

Ta (t)

hàm

n h ử n g lư ợ n g v ô c ù n g bé

c(í),
* « ( * ) -*■ r L ( 0

=

Ta{t)

+ 5 r a (í).

(5)

Đ ộ n g n ă n g to à n p h ầ n r ( r i , r 2 , . . . , r j v ) b iến th iê n n h ư s a u
< 5 T (ri,r2 , •. • ,r jv )

^ ^

wigTotfiYgc

Ct

= ỵ , m ai ± 6 r a
ot

d

^ ^^

^ ^ m»rQ<í>ra.

a

at

D ù n g p h ư ơ n g trìn h (3) t a có

- £

maraSra = £

a

gi^

ị - .—

Ot

a

= <5ỉ/(r1,r2,...,r ^ ;í)
v à do đó th u được hệ th ứ c

ST(ru t 2, . . . , r N) = ^ ^ m ara<5ra + ồỉi(r1, r 2 ,...,r ;v;í)

a
Đ ặ#t
L (r

1 , r 2>. . . , r i v ; r 1 , f 2,

. . .

1 rA r;í)

= r (r i,r 2,...,rjv) - U(rltr2, . . . , r N;t),
t a v i ế t lạ i h ệ t h ứ c n à y n h ư s a u

6 L[Y\)T 2 i • • •

1*1 y **2 ,

• • • ) T jv5

d

i)

^

/

^

<*

N h â n cả hai v ế vớ i

dị

rồ i lấ y t í c h p h â n t h e o

t

từ

tị

đ ế n í 2, t a c ó

Ỉ2
Ị

S L ị r

1 >1 * 2 , . . .

j r j v Ị r i , r 2 í * - - ) r ; v

Ị í ) cỉí

ti

^^

r T C a ^ o r ^ a t

a
r7ac * rCK( Í 2 ) ^ r a ( Í 2 ) -

=

Ot

^

r n “ 1M

í l ) ,5r <*(í i ) -

(6)


Ta đăt
*2

s

Ị

=

L ( r i1r

2,

. . . l r j ự ; r i , r 2 , . . . B, r i v ; O rfí

(7 )

*1
v á q u y ước răn g

ổra(í i) = ổra(í2) = 0.

( 8)

K h i đó

12
(55 =

Ị SL{ r 1 , r 2 , . . . , r i V; r 1 , r 2

r^v; í ) ^

0-

=

(9 )

11
H àm

L(ri,r

2, . ..

, r A r ; i * i , r 2 » • • ■ ,ỸN]t) g ọ i l à h à m

L a g r a n g i a n , đ ạ i lư ợ n g 5
dụng.

P h é p b iến th iên

L agran ge hoặc

gọi là tíc h p h â n tá c d ụ n g h o ặc p h iế m h à m tá c
(5) vớ i c á c h à m

v ô c ù n g b é <5ra (í) t h ổ a m ã n

đ iề u k iệ n (8 ) là v iệ c t h a y t h ế c á c q u ỹ đ ạ o c ó t h ậ t r

a (t)

củ a các chất

đ iể m b ằ n g c á c q u ỹ đ ạ o k h ô n g có t h ậ t r ấ t g ầ n cá c q u ỹ đ ạ o có t h â t v à có
c h u n g đ iể m đ ầ u v à đ iể m c u ố i. C ô n g t h ứ c (9 ) c h ứ n g tổ r ằ n g b iế n th iê n
c ủ a tíc h p h â n tá c d ụ n g tro n g p h é p b iến th iên nói trê n c ủ a c á c q u ỹ đ ạ o
phải b ằn g không

ờ

c ấ p m ộ t v à d o đó tích p h ân t á c d ụ n g khi cá c q u ỹ

đ ạ o là c á c q u ỹ đ ạo th ậ t p h ả i c ó g iá trị c ự c tri so vớ i c á c g iá trị khi c á c
q u ỹ đ ạ o là c á c q u ỹ đ ạ o k h ô n g có t h ậ t lâ n cậ n q u ỹ đ ạ o th ậ t.
C h ú ý r ằ n g n ếu ta th ê m v à o b iể u th ứ c c ủ a h à m L a g r a n g e m ộ t số
h ạ n g c ó d ạ n g đ ạo h à m to à n p h ầ n th e o th ờ i g ia n c ủ a m ộ t h à m c ủ a c á c
t ọ a đ ộ v à th ờ i g ian
Z / ( r j , r 2 )" • •

► Jj(r i,r
+

2 ) . . . ,rỊ\Ị ] r 1 5

, . . . )

TỊtf Ị í)

df{ r i , r 2 ) . . . , r N ]t)
dt

t h ì t h e o đ iề u k iện (8) b iế n t h iê n c ủ a t íc h p h â n t á c d ụ n g

s

không th ay

đ ổ i k h i L a g r a n g i a n t h a y đổi n h ư v ậ y v à d o đ ó c á c p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n
đ ộ n g c ũ n g k h ô n g t h a y đ ổ i.

X u ấ t p h á t từ đ ịn h lu ậ t N e w t o n t h ứ h ai ta đ ã th iế t lập đư ợ c tín h
c ự c t r ị c ủ a tích p h â n t á c d ụ n g .

B â y g iờ c h ú n g t a h ã y th ừ a n h ậ n tín h

3


c ư c tri c ủ a tíc h p h â n t á c d u n g , x e m n h ư đ ó là m ô t tiê n đ ề, m ô t n g u y ê n
lý c ủ a C ơ h ọ c , g ọ i là n g u y ê n lý t á c d ụ n g cự c trị.

S a u n à y t a sẽ t h ấ y

r ằ n g k h ô n g p h ả i ch ỉ c ó c á c đ ịn h lu ậ t c ủ a C ơ h ọ c, m à t ấ t c à c á c đ ịn h
l u ậ t c ù a V ậ t l ý đ ề u c ó t h ể s u y r a t ừ n g u y ê n lý t á c d ụ n g c ự c t r ị . N g u y ê n
l ý t á c d ụ n g c ự c t r ị l à n g u y ê n l ý c ơ b ả n v ạ n n ă n g c ủ a t o à n b ộ V ậ t lý
học.

T r o n g ch ư ơ n g n à y c h ú n g t a th iết lập cá c p h ư ơ n g tr ìn h v à các

đ ị n h l u ậ t c ơ b ẩ n c ủ a C ơ h ọ c x u ấ t p h á t t ừ n g u y ê n l ý t á c d ụ n g c ự c tr ị.

II. P h ư ơ n g tr ìn h L ag rang e
N

X é t m ộ t hệ cơ học g ồ m
ri,r

2,

...

,T n

củ a ch ú n g có /

c h ấ t đ iểm m à g iữ a c á c v e c tơ tọ a độ

m ố i liê n k ế t d i ễ n t ả b ờ i /

p h ư ơ n g trìn h

đ ộ c lập

F i [ T i , T 2, . . . , T N ]t) = 0 ,

i — 1,2,...,/.

(1 0 )

V i ệ c g iả i h ệ p h ư ơ n g t r ìn h g ồ m c á c p h ư ơ n g tr ìn h s u y r a t ừ c á c đ ịn h
l u ậ t N e w t o n v à c á c p h ư c m g t r ì n h ( 1 0 ) d i ễ n t ả c á c liê n k ế t t h ư ờ n g r ắ t
p h ứ c tạ p . H ệ c á c p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e s u y r a từ n g u y ê n lý tá c d ụ jig
c ự c trị tư cm g đ ư cm g v ớ i hệ p h ư ơ n g tr ìn h nói trê n n h ư n g v iệ c n g h iê n
c ứ u dơ n g iả n hơn.
Đ ể th iế t lậ p c á c p h ư ơ n g t r ìn h L a g r a n g e đ ầ u t iê n t a b iểu d iễ n 3
t ọ a độ D e s c a r t e s c ủ a c á c c h ấ t đ iểm dưới d ạ n g c á c h à m c ủ a s =
th ô n g số độc lập

6l t 02 l . . . ,6g

9a,

a =

3N —/

g ọ i là c á c t ọ a đ ộ s u y r ộ n g v à b iể u d iễn

h à m L a g r a n g e dưới d ạ n g m ộ t h à m
cá c tọ a độ su y rộn g

N

L ( 6 1 , ớ2 , . .

•,

0g\ 0 1 , 0 -2 , . . . ,

ớa ; í ) c ủ a

1 , 2 , . . . , 5 , v à c á c đ ạ o h à m th e o th ờ i g ia n

c ủ a c h ú n g g ọ i là c á c v ậ n tốc s u y rộ n g

( v à c ũ n g cò n có t h ể là h à m c ủ a th ờ i g ia n

t),

rồi t h i ế t l ậ p t í c h p h â n t á c

dụng

*2

s= I
Í1

4

L { 0 l , 62 , . . . , 03 -,Òì j

2 , . . . , Ồ s\t)dt.

(1

1)


X é t b iế n th iê n c ủ a c ác h à m

Oa{t) ^

6a[t)

0 'a {t) = Oa{t) + 60a{t),

a

=

1 , 2 , . . . , 5,

(12)

t

vớ i cá c h à m v ô c ù n g bé
khoảng

ti < t < t 2

Ỏ9a(t)

c ó g i á trị t ù y ý tạ i m ọ i th ờ i đ iể m

t

tron g

và

8 9 a { h ) = M a { t 2 ) = 0.

(13)

H ã y tín h b iế n th iên c ủ a tíc h p h â n tá c d ụ n g

<2

6S =

6 L( 6 i ĩ 02 ì . . .

Ị

, ớ ô;

0 | , 02 >"

••

,Ô8\t)dt

ti

^2

Í V~^“ r ^

3L

r/i

=/ ụ

•

“+ 1

*1

•

T a có

/

I

J

II

d L ei

, _ ì dL ( d

—7~ỏởad t
dồa

—

\

/ ——(-7-ổ0a|dÉ

J

£i

dỏa^dt

V

-;ií(í* )-í< ẫ w *
ũ

d f d L \ cn J

*3

ẼL
dỏa

ti

D ùng điều kiện (13)

y

ú

dt\d ồ a'

Í2

0,

6 Òa

ta th u đươc

«s

=

E
J/ ^
tị

í l r

\-dda

- x

dt í \d^ ồ aK '* -

"

-

(1 4 )


V ì rằng các h àm
khoảng

60a[t)

t\ < t < í 2

c ó c á c g iá tri t ù y ý

s

m o i th ờ i đ iể m

t

tron g

c h o n ê n t ừ đ i ề u k iệ n

6S
su y ra hệ

ờ

=

(15)

0

p h ư ơ n g tr ìn h đ ộ c lập

(16)
gọi là n h ữ n g p h ư ơ n g tr ìn h L a g r a n g e .
T r o n g tr ư ờ n g h ợ p đ ă c b iê t hệ g ồ m c á c c h ấ t đ iểm k h ô n g c ó m ối

liê n k ế t n à o t h ì t a c ó t h ể c h ọ n c h í n h c á c t ọ a đ ộ D e s c a r t e s c ủ a c á c c h ấ t
đ iể m là m c á c t ọ a đ ộ s u y rộ n g . K h i đó c á c p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e

(17)
ch ín h là c á c p h ư ơ n g trìn h ch u y ể n đ ộ n g s u y r a từ đ ịn h lu ật t h ứ hai c ủ a
N ew to n .

N g a y c ả tr o n g trư ờ n g hợ p n à y n h iều kh i t a v ẫ n k h ô n g nên

d ù n g c á c t ọ a đ ộ D e s c a r te s là m t ọ a đ ộ s u y rộ n g m à d ù n g c á c tọ a độ
k h á c, th í d ụ n h ư d ù n g c á c tọ a đ ộ cự c khi tư ơ n g tá c g iữ a c á c h ạ t được
d iễ n t ả bở i c á c trư ờ n g x u y ê n tâ m .
C á c p h ư a n g tr ìn h L a g r a n g e c h ứ a c á c đ ạ i lư ợ n g
.,d—1 , 2

7ra —

dÒa

(18)

g ọ i là c á c x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g , ứ n g vớ i m ỗ i t ọ a đ ộ s u y rộ n g t a có m ộ t
x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g .
su y rộn g
(18)

6C n à o

Nếu hàm

Lagran ge

L

k h ô n g ch ứ a m ộ t tọ a độ

đó th ì th eo p h ư ơ n g tr ìn h L a g r a n g e ( 1 6 ) v à đ ịn h n gh ĩa

c ủ a x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g tư ơ n g ứ n g

nc

t a t h ấ y r ằ n g x u n g lư ợ n g

s u y r ộ n g n à y k h ô n g t h a y đ ổ i t h e o t h ờ i g i a n v à là đ ạ i l ư ợ n g b ả o t o à n .
T ọ a độ su y rộn g

6C có

tín h c h ấ t n h ư v ậ y

được

g ọ i là t ọ a đ ộ v ò n g .

N ế u tọ a đ ô s u y rộ n g là th à n h p h ầ n c ủ a v e c tơ tọ a đ ộ D e s c a rte s thì
x u n g lư ợ n g s u y rộ n g tư ơ n g ứ n g là t h à n h p h ầ n c ù a v e c tơ x u n g h r ạ n g
th ô n g thư ờ n g

Pq =

6

rnra .


C á c p h ư ơ n g t r ìn h c ủ a tr ư ờ n g đ iên t ừ v à t ấ t c ả c á c t r ư c m g v ậ t lý
kh ác đ ề u c ó t h ể v iế t dư ớ i d ạ n g c á c phư ơ rrg t r ìn h L a g r a n g e s u y r a t ừ
n g u y ê n lý tá c d ụ n g c ự c trị vớ i tích p h â n tá c d ụ n g đư ợ c lự a ch ọ n m ộ t
cách th íc h h ợ p.

Bài tâ p
1.

T h iế t lập h à m L a g r a n g e v à c á c p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a co n

lắ c k é p p h ẳ n g g ồ m h a i c h ấ t đ i ể m k h ố i l ư ợ n g m i

t\

sợ i i â y k h ô n g đ à n h ồ i c h i ề u d à i

và

Í 2 , tron g

v à 7712 t r e o t r ê n h a i

đ ó c o n lắc t h ứ h a i đư ợ c

tre o v à o c o n lắc t h ứ n h ấ t (h ìn h l . l )
X

2.

T h iế t lập h à m L a g r a n g e v à c á c ph ư ơ n g trìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a co n

lắ c p h ằ n g k h ố i lư ợ n g m tr e o tr ê n sợi d â y k h ô n g d à n hồi c h iề u d à i £ m à
đ iể m t r e o c ó k h ố i l ư ợ n g
t r ụ c n ằ m n g a n g (h ìn h
3.

n

có th ể ch u yển đ ộ n g k h ô n g m a s á t th eo m ộ t

1 .2 )

T h i ế t lậ p h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a c o n lắc

p h ằ n g k h ố i lư ợ n g m tr e o t r ê n m ộ t sợi d â y k h ô n g đ à n hồi c h iề u d à i t
c ó đ iểm tr e o c h u y ể n đ ộ n g n h ư s a u :
a) C h u y ể n đ ộ n g đều vớ i tầ n số
b án k ín h

R

Uì t h e o

m ộ t đư ờ ng tròn th ẳ n g đứ ng

(h ìn h 1 . 3 ) .

b ) D a o đ ộ n g n g a n g (h ìn h 1 . 2 ) th e o q u y lu ậ t
X

=

aCOS

u t .

7


c) D a o đ ô n g t h ẳ n g đ ứ n g ( h ì n h 1.4) t h e o q u y lu ậ t

y — acosut.

Hình l . s

Hình

1.4

4 . T h iế t lập h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g trìn h
c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ g ồ m m ộ t c h ấ t đ iể m có
k h ố i lư ợ n g r o i đ ư ợ c g ắ n v à o m ộ t đ ầ u c ủ a
m ộ t t h a n h c ứ n g k h ô n g t r ọ n g lư ợ n g c h iề u
dài

t

m à đ ầ u k ia đư ợ c tre o tạ i m ộ t đ iểm

c ố đ ịn h o , m ộ t c h ấ t đ iể m khối lư ạ n g m

2

được gắn v à o m ộ t đầu củ a m ộ t th an h cứ ng
k h ô n g t r ọ n g lư ợ n g c h iề u d à i

l

th ứ hai m à

đ ầ u k ia đ ư ợ c g ắ n v à o c h ấ t đ iể m kh ố i lư ợ n g

m\.

C h ấ t đ iểm m

2

chỉ có th ể ch u yển độn g

d ọ c th e o m ộ t t r ụ c t h ẳ n g đ ứ n g đi q u a đ iể m
treo c ủ a th a n h cứ n g th ứ n h ấ t

(h ìn h 1 . 5 ) .

C ả hệ q u a y q u a n h t r ụ c đó vớ i v ậ n tốc g ó c
n.

Hình 1 . 5

5 . T h i ế t lập h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t c h ấ t
đ i ể m k h ố i l ư ợ n g m c h u y ể n đ ộ n g t r o n g m ộ t t r ư ờ n g lự c đ ố i x ứ n g t r ụ c ó
th ế năng

U(z,p)

ch ỉ p h ụ th u ộ c v à o hai tọ a độ

trụ (d ù n g tọ a độ trụ ).

8

z

và

p

tro n g b a tọ a độ


6.

T h i c í lập h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g trìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t c h ấ t

d i ể m k h ố i lư ợ n g m c h u y ể n đ ộ n g t r o n g m ộ t t r ư ờ n g lự c đối x ứ n g c ầ u có
th ế n ăn g

u(r)

chỉ p h ụ thuộc v à o k h o ản g c á ch r đ ến tâ m c ủ a trư ò n g

lự c (d ù n g t ọ a độ c ầ u ).

XII. Các đinh lu â t bảo to à n
C á c h ệ CO' h ọ c t h ư ờ n g c ó c á c t í n h c h ấ t đ ố i x ứ n g t h ể h i ệ n

ờ

tín h

b ấ t b iến c ủ a L a g r a n g i a n đối v ớ i c á c n h ó m b iế n đổi c ù a th ờ i g i a n v à
k h ô n g g ian .

T a h ã y c h ứ n g m in h r ằ n g tư ơ n g ứ n g v ớ i s ự b ấ t b iế n c ủ a

L a g r a n g ia n đối vớ i m ỗ i n h ó m

b i ế n đ ố i, n g h ĩ a l à t ư ơ n g ứ n g v ớ i m ỗ i

t í n h c h ấ t đ ối x ứ n g c ủ a th ờ i g ia n v à k h ô n g g ia n , t a có m ộ t đ ịn h lu ậ t
b ảo to àn .

C á c đ ạ i l ư ợ n g b ả o t o à n t h ư ờ n g đ ư ợ c g ọ i là c á c t í c h p h â n

chuyển động.

X. D in h l u â t b à o t o à n n ấ n g lư ơ n g to à n p h ầ n
X é t m ộ t hệ cơ học m à L a g r a n g ia n k h ô n g p h ụ th u ộ c tư ờ n g m in h
v à o th ờ i g ia n ,

T r o n g t r ư ờ n g h ợ p n à y L a g r a n g i a n t h a y đổi t h e o t h ờ i g i a n c h ỉ l à v ì c á c
tọ a độ s u y rô n g

9a(t)

v à cá c v ậ n tốc s u y rộng

9a(t)

t h a y đồi t h e o t h ờ i

g ia n , n g h ĩa là d o có sự ch u y ề n đ ộ n g c ủ a hệ cơ h ọc. T í n h đ ạ o h à m to à n
phần củ a

L

th e o thờ i g ia n , t a c ó

D ù n g p h irơ n g trìn h L a g r a n g e

í>

t a v i ế t lại b i ể u t h ứ c

ờ

trên c ủ a

n h ư sau

dt

T ừ đó su y ra rằn g
(19)

Đ ặt
( 20 )

E

t a t h ấ y rằ n g th eo p h ư ơ n g trìn h ( 1 9 )

E

p h ả i là m ộ t đ ại lư ợ n g b ả o to à n

dư ợ c g ọ i là n ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n c ủ a hệ. V ì d ộ n g n ă n g c ủ a m ộ t hệ

cơ học có d ạn g

Qt
còn vớ i th ế n ăn g

U(Ti,r 2 , . . .

c h o n ê n n ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n
năng

,r /v )

E

là m ộ t h à m c ủ a c á c v e c tơ t ọ a độ,

ch ín h là tổ n g c ủ a đ ộ n g n ă n g

T

v à th ế

u.
L a g ra n g ia n

L

không phụ

th u ộ c

t ư ờ n g m i n h v à o th ờ i g i a n

t

có

n g h ĩ a là c á c p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g k h ô n g t h a y đổi ( b ấ t b iế n ) khi
t a là m p h é p tịn h tiến th à i g ia n
đồng n h ất. V ậ y t ừ
b ả o to àn

2.

t

—>

t

+

ổt.

T a n ó i r ằ n g t h ờ i g i a n là

s ư d ồ n g n h ấ t c ủ a th ờ i g ia n s u y r a đ in h lu â t

n ă n g lư ọ m g t o à n

phần.

Đ ịn h lu ậ t b à o to à n x u n g lư ợ n g to à n

phần

T r o n g c á c p h é p tịn h tiế n k h ô n g g ia n t ấ t c ả c á c v e c tơ t ọ a đ ộ c ủ a
c á c c h ấ t đ i ể m c ủ a m ọ i h ệ c ơ h ọ c đ ề u b iế n đ ổi g i ố n g n h a u

10


ra(0 -►r^,(í) = ra(í) + 6p,a = l , 2 , . . . , N .

(21)

iNếu h ệ c a h ọ c m à t a x é t là ư iộ t h ệ k í n , n g h ĩ a l à k h ô n g c h ị u t á c d ụ n g
của

n g o ạ i t r ư ờ n g n à o , th ì c á c p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g p h ả i b ấ t b i ế n

dối

vớ ic á c

với

ỗp

p h é p t ị n h t i ế n ( 2 1 ) , n g h ĩ a là t r o n g c á c p h é p b i ế n

đ ổi ( 2 1 )

v ô c ù n g bé b iến th iên c ủ a L a g r a n g i a n b ằ n g k h ô n g

ỎL = 0.
H ã y t ì m b iể u th ứ c c ủ a

6 L.

(22)

T a có

âL r

ỖL

d L c.

Ot

với

ỏra = 0,

<5ra = <5p,
nghĩa là

Ot
D ù n g p h irơ n g trìn h L a g r a n g e

t a v iế t lại

6L

dL

d

ỞT a

dt\dia'

/

dL

\

dưới d ạ n g

d V— d L
i L = d t a^ d i : ' 6pT ừ đ iề u k iệ n b ấ t b iế n (2 2 ) v ớ i

d.

ổp

tù y ý su y ra rần g

-%

dL

d tOf ^ d

=

■

Đặt

p = v

t

dra

11


t a t h ấ y r ằ n g v e c t ơ p là m ộ t đ ạ i lư ợ n g b ả o to à n

Đ ó là v e c t ơ x u n g lư ợ n g t o à n p h ầ n c ủ a h ệ cơ h ọ c.

p

V _ __—

=

---------

m
m a
a

£
E

Đ ạ i lư ợ n g

ma

E

a

a

là v e c tơ v ậ n tốc c ủ a khối t â m c ủ a hệ. K h ố i tâ m n à y c ó tọ a độ
£

m <*ra

O
c

Xung

lư ợ n g t o à n p h ầ n

b ả o t o à n c ó n g h ĩ a là k h ố i t â m

chuyển

động

t h ẳ n g đ ề u v ớ i v ậ n tố c k h ô n g đổi V .
S ự b ấ t b iến c ủ a c á c p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g đối v ớ i c á c p h é p
t ị n h tiế n (2 1 ) c ủ a k h ô n g g ia n t h ể h iệ n m ộ t tín h c h ấ t đ ố i x ứ n g c ủ a k h ô n g
g ian :

k h ô n g g ian là đ ồ n g n h ắ t.

Vậy

từ

tín h

chất

dồng

nhất

của

k h ô n g g ia n s u y r a d in h lu ậ t b à o to à n x u n g lư ợ n g to à n p h ầ n .

3.

Đ ịn h lu â t b à o to à n m ô m e n x u n g lư ơ n g t o à n
X é t m ộ t h ệ c ơ h ọ c k ín h o ặ c m ộ t hệ cơ học

tr ư ờ n g x u y ê n t â m đối x ứ n g c ầ u .

ở

phần
tro n g m ột ngoại

C á c ph ư ơ n g trìn h ch u y ể n đ ộn g c ủ a

h ệ b ấ t b iến đối vớ i c á c p h é p q u a y k h ô n g g ia n q u a n h m ộ t đ iể m b ấ t k ỳ
t r o n g tr ư ờ n g h ợ p h ệ k ín h o ặ c q u a n h t â m đ iể m o c ủ a n g o ạ i tr ư ờ n g đối
xứ n g cầu
r

<*(0
a

(0

- * r a (í) +
=

“ M O

H ã y th iế t lậ p b iểu th ứ c c ủ a b iế n th iê n
p h é p b i ế n đ ổi n à y . T a c ó

6 r a {t),

(24)

A ồ p ].

6L

củ a L a g ra n g ia n tron g các


D ù n g hê th ứ c

a

dt

v à p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e

d L _ d,
drn
dt
t a v i ế t lạ i

6L

/

dL

\

Vởr^v /

như sau

ÔL =

r

d ( dL

~ £ { ẳ © [ r “ A,s'pi - w

l r '’ AM }

' £ CX{ [ l ( l - ; ) Ar“M l è Aắ r“]}íiP
d
dị

r

dL

A r

L ở í*

Ot

ỗ
T ừ đ iề u k iện b ấ t b iế n c ủ a L a g r a n g i a n

ỖL = 0
su y ra rằng
r

dt E
^

ỞL

= 0.

A r,

L a r ,a

(25)

V ậ y đ ạ i lư ợ n g

M = H [ | r Ara] = Z ^[p« Ar“]
a

a

là m ộ t đ ạ i lư ợ n g b ả o to à n .

(26)

a .

Đ ó là m ô m e n x u n g lư ợ n g t o à n p h ầ n c ủ a

hê cơ h ọc.
S ư b ấ t b iến đối v ớ i c á c p h é p q u a y (2 4 ) th ể h iệ n tín h c h ấ t đ ẳ n g
h ư ớ n g c ủ a k h ô n g g ian .
g ia n

V ậ y từ

tín h c h ấ t d ẳ n g h ư ớ n g c ủ a

không

s u y r a d ịn h lu ậ t b ả o t o à n m ô m e n x u n g lư o m g t o à n p h ầ n .

13


B ài tâ p
1

. T ì m b iể u th ứ c c ủ a c á c t h à n h p h ầ n D e s c a r t e s v à b ìn h p h ư ơ n g m ô đ u n

c ủ a m ô m e n x u n g lư ợ n g t h e o c á c t ọ a đ ộ t r ụ v à c á c t ọ a đ ộ c ầ u .
2 . N h ữ n g t h à n h p h ầ n n à o c ủ a x u n g lư ợ n g p v à m ô m e n x u n g lư ợ n g M
đ ư ợ c b ả o to à n k h i c h ấ t đ iểm c h u y ể n đ ộ n g tr o n g c á c trư ờ n g s a u đ â y :

a) -T rư ờ n g c ủ a m ộ t m ặ t p h ẳ n g đ ồ n g c h ấ t v ô h ạ n .
b ) T rư ờ n g c ủ a m ộ t h ìn h tr ụ đ ồ n g c h ấ t v ô h ạ n .
c) T rư ờ n g c ủ a m ộ t h ìn h lăn g trụ đ ồ n g c h ấ t v ô h ạn .
d ) T r ư ờ n g c ủ a h ai đ iể m .
e) T r ư ờ n g c ủ a m ộ t n ử a m ặ t p h ẳ n g đ ồ n g c h ấ t v ô h ạ n .
g) T rư ờ n g c ủ a m ộ t h ìn h nón đ ồn g ch ấ t.
h ) T rư ờ n g c ủ a m ộ t h ìn h x u y ế n trò n đ ồn g c h ấ t.
i) T r ư ờ n g c ủ a m ộ t đ ư ờ n g x o ắ n ố c h ì n h t r ụ đ ồ n g c h ấ t .

IV . T ín h đồng d a n g cơ hoc*)
V i ệ c n h â n h à m L a g r a n g e v ớ i m ộ t t h ô n g s ố k h ô n g đổi b ấ t k ỳ k h ô n g
l à m t h a y đối p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g . S ự k iệ n n à y ch o p h é p t a t r o n g
n h iề u trư cm g h ợ p q u a n tr ọ n g đi đ ến m ộ t số k ết lu ận cố t y ế u v ề tín h
c h ấ t c ủ a ch u y ể n đ ộ n g m à k h ô n g cầ n p h ải th ự c h iệ n m ộ t c á c h c ụ th ể
p h é p g iải n h ữ n g p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g.
T r o n g số n h ữ n g trư ờ n g hợ p đó có trư ờ n g hợ p th ế n ă n g là m ộ t
h à m đ ẳ n g c ấ p c ủ a t ọ a đ ộ , n g h ĩ a là m ộ t h à m t h ổ a m ã n đ iề u k iện

ĩ % r 1,7 r 2, . . . , 7 r n) =
với

là m ộ t h ằ n g số t ù y ý , cò n số

k

( r i , r 2, . .. , r n)

(27)

là b ậ c đ ẳ n g c ấ p c ủ a h à m .

Trích t ừ cuốn C ơ học trong bộ sách V ật lý lý th u y ế t cùa L. D. L an dau và
E. M. Lifshitz, do Hoàng P h ư ơ n g , P h ạ m Công D ũng và Đ o à n N h ư ạ n g dịch, Nhà
x u ấ t bản Giáo dục, Hà Nội, 1961

14


T a h ã y t h i r c h iê n m ô t p h é p b i ế n đ ổ i t r o n g đ ó t ấ t c ả c á c t o a d ô
b iế n th iên

7

lầ n v à đ ồ n g t h ờ i t h ờ i g i a n c ũ n g b i ế n t h i ê n
ra — ♦

T ấ t c à cá c v â n tốc v ữ

at

2
đ ộ n g n ă n g n h â n lên

/3

và

~

0

lần :

7 r » ) t — * (3t.

b i ế n t h i ê n — l ầ n t r o n g p h é p b i ế n đ ổi đ ó ,

P

lần , cò n t h ế n ă n g th ì n h â n vớ i

7 fc.

N ế u cho

7

t h ỏ a m ã n hộ th ứ c

ĩ

2 = 1 k'

t h ì vớ i p h é p b iế n đổi đ ó h à m
k h ô n g đổi

n g h ĩ a là

Ị3

=

71

ỉ

L a g r a n g e h o à n to à n n h ân vớ i th ừ a số

n g h ĩ a là p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g v ẫ n n h ư c ũ .

B i ế n đ ổi t ấ t c ả n h ử n g t ọ a đ ộ c ủ a c á c h ạ t m ộ t s ố l ầ n n h ư n h a u c ó
n g h ĩa là c h u y ể n từ n h ữ n g q u ỹ đ ạ o n à y s a n g n h ữ n g q u ỹ đ ạ o k h á c dồng
d ạ n g h ìn h học vớ i n h ữ n g q u ỹ đ ạ o trư ớ c v à ch ỉ k h á c n h ữ n g q u ỹ đ ạo
n à y ờ n h ữ n g k ích th ư ớ c d à i. N h ư v ậ y t a đi đ ế n k ế t ỉu ậ n r ằ n g n ế u t h ế
n ă n g là m ộ t h à m đ ằ n g c ấ p b ậ c

k

c ủ a c á c tọ a độ (D e sc a rte s) th ì ph ư ơ n g

tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g n h ậ n n h ữ n g q u ỹ đ ạ o h ìn h h ọ c đ ồ n g d ạ n g vớ i n h a u ;

ở

đ â y t ấ t c ả c á c thờ i g ia n c h u y ể n đ ộ n g (g iữ a n h ữ n g đ iểm tư ơ n g ứ n g

c ủ a c á c q u ỹ đ ạ o ) t ỷ lệ v ớ i n h a u n h ư

(2 8 )
với

l 'Ị l

là t ỷ số k ích th ư ớ c d ài c ủ a h a i q u ỹ đ ạ o .

C ũ n g n h ư c á c thờ i

g i a n , g i á trị c ủ a b ấ t k ỳ n h ữ n g đ ạ i lư ợ n g cơ h ọ c n à o tạ i n h ữ n g đ iể m
tu -cm g ứ n g tr ê n c á c q u ỹ đ ạ o v à tạ i n h ữ n g th ờ i đ iể m t ư ơ n g ứ n g c ũ n g là
n h ữ n g lũ y th ừ a c ủ a tỷ số

l'/l

với n h ữ n g số m ũ x á c đ ịn h .

C h ẳ n g hạn

v ớ i v ậ n tố c , n ă n g lư ợ n g v à m ô m e n x u n g lư ợ n g t a có :

(2 9 )

15


Đ ể m i n h h o a t a h ã y lấy v à i t h í d ụ .
N h ư t a s ẽ t h ấ y s a u n à y , c ó t r ư ờ n g h ợ p d a o đ ộ n g gọ i l à d a o đ ộ n g
n h ổ m à t h ế n ă n g l à m ộ t h à m b ậ c h a i c ủ a t ọ a đ ộ (Ả: =

2 ).

Theo

(28),

t a t h ấ y r ằ n g ch u k ỳ c á c d a o đ ộ n g đó k h ô n g p h ụ th u ộ c v à o b iên đ ộ c ủ a
chúng.
T r o n g m ộ t tr ư ờ n g lự c đ ề u , t h ế n ă n g là m ộ t h à m b ậ c n h ấ t c ủ a t ọ a
đ ộ , n g h ĩa là

k

=

1

. T ừ (28 ) t a có

t ừ d ó t a s u y r ằ n g k h i r ơ i t r o n g m ộ t t r ư ờ n g lự c đ ề u b ì n h p h ư ơ n g t h ờ i
g i a n c ủ a s ự r ơ i c á c v ậ t t ỷ lệ v ớ i n h ữ n g đ ộ c a o b a n đ ầ u .
K h i h a i kh ố i lư ợ n g h ú t n h a u th e o đ ịn h lu ật N e w t o n h a y k h i h ai
đ iệ n tíc h tư ơ n g t á c lẫ n n h a u th e o đ ịn h lu ậ t C o u l o m b th ì t h ế n ă n g t ỷ
lệ n g ư ợ c v ớ i k h o ả n g c á c h c á c h ạ t , n g h ĩ a l à t h ế n ă n g l à m ộ t h à m đ ẳ n g
cấp bậc

k

=

— 1 . T r o n g n h ữ n g tr ư ờ n g hợ p đó

í - ( í\
t ~ \l)

3/2

v à t a có t h ể k h ẳ n g đ ịn h c h ẳ n g h ạ n r ằ n g b ìn h p h ư ơ n g th ờ i g ia n q u a y
t h e o q u ỷ đ ạ o t ỷ lệ v ớ i l ậ p p h ư c m g k í c h t h ư ớ c c á c q u ỹ đ ạ o đ ó ( đ ó l à
đ ịn h lu ậ t K e p le r th ử b a ).
N ế u c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ v ớ i t h ế n ă n g là m ộ t h à m đ ẳ n g c ấ p c ủ a
t ọ a đô x ả y r a tr o n g m ộ t p h ạ m v i h ữ u h ạ n c ủ a k h ô n g g ia n , th ì có m ộ t
h ệ t h ứ c r ấ t đ ơ n g ià n g i ữ a n h ữ n g t r u n g b ìn h th e o th ờ i g ia n c ủ a đ ộ n g
n ả n g v à t h ế n ă n g . H ệ t h ứ c đ ó , n h ư đ ã b i ế t , g ọ i l à đ ị n h lý v i r i e l .
V ì động năng

T

l à m ộ t h à m b ậ c h a i c ủ a v ậ n t ố c , n ê n t h e o đ ị n h lý

E u le r về h à m đ ẳn g cấ p ta có

dT

h a y đ ư a v à o x u n g lư ơ n g

"

dva

=

Pc*>

2 r = ^ p avQ =

Ot
16

- ^ r a p Q.

Ot

a

(30)


T a lấ y t r u n g bì nh đ ẳ n g th ứ c đ ó th e o th ờ i g ia n . G i á tri t r u n g b ìn h c ủ a
bcất k ỳ h à m

f(t)

n à o c ủ a t h ờ i g i a n !à l ư ợ n g
r

7

=

lim
r —->00

[ f(t)dt
J

—
T

0

D ễ th ấ y rằn g nếu

f(t)

c ủ a m ộ t h à m g iớ i n ộ i

là m ộ t đ ạo h à m

F(t)

th eo th ờ i g ia n / ( í )

=

— —-

(n g h ĩa là k h ô n g lấ y n h ữ n g g iá trị v ô c ự c ) ,

thì g iá trị t r u n g b ìn h c ủ a nó b ằ n g k h ô n g , Q u ả v ậ y

1:

l im

/

t

1
-

—00 T

ỉ dF J
-7 -dt —
J at
/

F ( t) - F { 0 )
----------- ------------ =

lim
r —

»00

0.

T

0

T a g i ả th iế t r ằ n g hệ c h u y ể n đ ộ n g tr o n g m ộ t m iề n h ữ u h ạ n c ủ a k h ô n g
g ia n vớ i v ậ n tố c c ũ n g h ữ u h ạ n . T h ế th ì lư ợ n g

P a r a l à g iớ i n ộ i , v à
Ot

g iá trị t r u n g b ìn h c ủ a số h ạ n g t h ứ n h ấ t

ờ
du
d r Ct

Còn

ỉ/ v ế

p h ải c ủ a (30 ) b ằ n g kh ôn g.

số h ạ n g th ứ hai th ì th eo p h ư ơ n g trìn h N e w t o n t a t h a y

ỷa

bằng

^
; .......
v à ta được

dư
dr„

2T = ỵ :
(b iểu t h ứ c

ờ

(3 1 )

v ế p h ải c ủ a ( 3 1 ) đôi lú c gọi là virie l c ủ a h ệ ). N ế u t h ế n ă n g

là m ộ t h à m đ ầ n g c ấ p b ậ c

k

c ủ a tấ t c ả c á c b á n k ín h v e c tơ r a th ì theo

đ ị n h lý E u ì e r đ ẳ n g t h ứ c ( 3 1 ) b i ế n t h à n h h ệ t h ứ c p h ả i t ì m

2 T = kư.
Vì

T

+

u

=

E

=

E,

(3 2 )

nên hệ th ứ c ( 3 2 ) có th ể v iế t dưới n h ữ n g d ạ n g

tư crng đ ư c m g n h ư s a u

ư =

(3 3 )

.

k + 2* .

.
ị

I

T

í- -

-ì*. ■ ' •

1L

.

.•.

t C:

Ị S Ổ
L C /£ 5 9
______ _____

! ỉ ; 'ỉ.l
__

V

17


u

b iểu d iễ n

và

T

th e o n ă n g lư ợ n g to à n p h ầ n c ủ a h ê.

Đ ặ c b iệ t vớ i n h ữ n g d a o đ ộ n g n h ỏ

(k = 2 )

ta có

T = Ũ,
n g h ĩa là n h ữ n g g iá trị t r u n g

b ìn h c ủ a đ ộ n g n ă n g v à t h ế n ă n g t r ù n g

n h au . V ớ i tư ơ n g tá c N e w to n

(k

=

-

1)

2T = - u .
Ở đây,

E = —T,

đ i ề u n à y t ư ơ n g ứ n g v ớ i s ự k i ệ n l à v ớ i m ộ t s ự tư orng

t á c n h ư v ậ y t h ì c h u y ể n đ ộ n g c ó t h ể x ả y r a t r o n g m ộ t p h ạ m v i g iớ i n ộ i
c ủ a k h ô n g g ia n ch ỉ t r o n g t r ư ờ n g h ợ p n ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n là â m .

V. Các p h ư ơ n g tr ìn h H am ilto n
t

đã

c h o đ ư ợ c x á c đ ịn h h o à n t o à n b ồ i c á c g i á trị c ủ a c á c t ọ a độ s u y r ộ n g

ôa

T r ạ n g th á i c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t h ệ cơ h ọ c tạ i m ộ t thờ i đ iể m

v à c á c v ậ n tốc s u y rộ n g
m ỗ i tọ a độ s u y rộng

ỡa, a = 1 , 2 , . . . , s,

6a t a
ira =

tạ ị th ờ i đ iể m đó.

ứ n g với

c ó m ộ t x u n g l ư ợ n g s u y r ộ n g 7Ta liê n h ợ p v ớ i

T

,

a =

dỏa

1,2

(34)

C á c p h ư ơ n g tr ìn h n à y c h o p h é p b iểu d iễ n m ỗ i v ậ n tố c s u y r ộ n g dư ớ i
d ạ n g m ộ t h à m c ủ a c á c x u n g lư ợ n g s u y rộ n g v à c á c t ọ a đ ộ s u y rộ n g .
T h a y c h o t ậ p h ợ p c á c đ ạ i lư ợ n g
h ợ p c á c đ ạ i lư ợ n g
cơ học

ờ

ỡaì

ỡa , 9a

ta hoàn to à n có th ể d ù n g tậ p

7Ta đ ể đ ặ c t r ư n g t r ạ n g t h á i c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ

m ỗ i thờ i đ iểm .

M ọ i đ ạ i lvrợ n g v ậ t lý đ ề u c ó t h ổ b i ể u d i ễ n

dưới d ạ n g m ộ t h à m c ủ a các tọ a độ su y rộn g
rộn g

na, a

=

1 , 2, . . . , 5

6a v à

c á c x u n g lư ợ n g s u y

( v à c ò n có th ể c ủ a th ờ i g ia n í ) . C á c t ọ a đ ộ s u y

r ộ n g v à x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g đư ợ c gọi là c á c b iế n sổ c h ín h t ắ c c ủ a hệ
c ơ h ọ c. N ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n c ủ a hệ cơ h ọc v iế t dư ới d ạ n g m ộ t h à m
c ủ a c á c b i ế n s ố c h í n h t ắ c đ ư ợ c g ọ i là h à m H a m i l t o n h o ặ c H a m i l t o n i a n
c ủ a hệ v à k ý h iệ u là

H:
(3 5 )
a

18


H ã y t í n h vi p h â n c ủ a H a m i lt o n i a n

dỉí

=

(tt adÕa

^

H.

T a có

+ Ổad.Tĩa) — dL

a

—

^ ^

('Radôa

Oadna)

+

^ ^

a

^QQ dQa

■ d'Oa'j ,

+-

a

a

D ù n g hệ th ứ c (3 4 ) v à p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e

dL

d / Ỡ L \ dfta

_

dt

dớa ~

__

V dò a '

.

dt

ta th u được
d iĩ =

Ỵ 2

(òadiĩa -

n a dQa ).

a

H

M ặ t k h á c , th e o đ ịn h n g h ĩa v i p h â n c ủ a m ộ t h à m
chính tắc

9a

và

7Ta

ta có
/

So

s á n h h a i b iểu
•

c ủ a c á c b iế n số

th ứ c c ủ a

ỞH
~
Ớ 7 f a

d ỉỉ .

dỉỉ

dH

t a s u y r a hệ p h ư ơ n g trìn h

dH
)

ft a

)

°-

1 )

2 ,

. • • , 5 ,

( 3 6 )

Ơ ơ a

g ọ i là h ệ c á c p h ư ơ n g t r ìn h H a m ilt o n .
X é t m ộ t d ạ i l ư ợ n g v ậ t lý đ ư ợ c d i ễ n t ả d ư ớ i d ạ n g m ộ t
các

t

b iến s ố c h ín h

tắc

ỡa, 7Ta, a — 1 , 2 , . . . ,

s

hàm

F

của

v à c ó t h ể là c ủ a c ả th ờ i g ia n

n ữ a . S ự t h a y đổi c ủ a đ a i l ư ạ n g n à y t h e o th ờ i g i a n đ ư ơ c x á c đ ị n h b(Vi

đ ạ o h à m to àn p h ần

dF _ d F
dt

xr^ (/ d F

1.

d
ỞF
F

.

\

dt

S ừ d ụ n g c á c p h ư ơ n g t r ì n h H a m i l t o n ( 3 6 ) t a c ó t h ể v i ế t lạ i h ệ t h ứ c t r ê n
như sau

d F _ dF_ V - (dF^dH_ _ d F Ở H \
dt ~ dt
V d 6 a dixa
d n a dOa /
19