Về cấu trúc năng lực toán học và việc bồi dưỡng một số thành tố năng lực toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học đại số và giải tích

1

Bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học vinh

Về cấu trúc năng lực toán học và việc bồi dỡng
một số thành tố năng lực toán học cho học
sinh
TRUNG HọC phổ thông trong dạy học
đại số và giải tích

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh - 2006


2

Mục lục

Tran
Mở đầu

g

Chơng 1. Tổng quan các quan điểm về cấu trúc

1

năng lực toán học

5

1.1. Khái niệm năng lực
1.2. Khái niệm năng lực toán học

5

1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực

6

1.3.1. Quan điểm của V. A. Krutecxki
1.3.2. Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv
1.3.3. Quan điểm của A. I. Marcusêvich
1.3.4. Quan điểm của X. I. Svacxbuốc
1.3.5. Quan điểm của B. V. Gơnhedencô
1.3.6. Quan điểm của Unesco
1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác

7
7
10
11
12
12

1.4. Một số nhận định

12

1.5. Kết luận chơng 1

13

Chơng 2. Góp phần bồi dỡng một số thành tố

14

của năng lực toán học cho học sinh trung học

16

phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích

17

2.1. Các điểm tựa để xác định các năng lực
thành tố
2.2. Các thành tố năng lực toán học cần bồi dỡng
2.2.1. Năng lực phân chia trờng hợp
2.2.2. Năng lực suy luận lôgic
2.2.3. Năng lực khái quát hóa

17
17
17


3

2.2.4. Năng lực diễn đạt nội dung bài toán

24

theo những cách khác nhau

31

2.3. Góp phần bồi dỡng một số thành tố của

41

NLTH
2.3.1. Bồi dỡng năng lực phân chia trờng hợp

48

2.3.2. Bồi dỡng năng lực suy luận lôgic

48

2.3.3. Bồi dỡng năng lực khái quát hóa

56

2.3.4. Bồi dỡng năng lực diễn đạt nội dung

70

bài toán theo những cách khác nhau

87

2.4. Kết luận chơng 2
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Đánh giá định tính
3.3.2. Đánh giá định lợng
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

95
96
96
96
96
96
99
99

Kết luận

100

Tài liệu tham khảo

101

102
103

Quy ớc về các chữ viết tắt
sử dụng trong luận văn


4

Viết tắt
CCGD
ĐC
HS
Nxb
SGK
TN
tr.
THCS
THPT

Viết đầy đủ
Cải cách giáo dục
Đối chứng
Học sinh
Nhà xuất bản
Sách giáo khoa
Thực nghiệm
Trang
Trung học cơ sở
Trung học phổ thông

5

Mở đầu
1. lý do chọn đề tài
Để hoàn thành trách nhiệm của mình trớc cộng đồng và
nâng cao cuộc sống cá nhân, con ngời cần có một số năng
lực nhất định. Năng lực cá nhân chỉ có thể đợc hình thành
và phát triển thông qua hoạt động, trong đó hoạt động học
tập có ý nghĩa quan trọng hàng đầu. Yêu cầu then chốt đó
đã đợc phản ánh trong phần mục tiêu của nền giáo dục. Do
vậy, mục tiêu giáo dục trớc hết phải là năng lực suy nghĩ,
năng lực hành động của ngời học. Năng lực này đợc phát
triển trên nền tảng một hệ thống kiến thức cơ bản, vững
chắc. Mặt khác, năng lực cá nhân không tự phát triển mà
nền giáo dục có trách nhiệm phát hiện và góp phần phát
triển năng lực đó. Nói một cách khác, năng lực đợc hình
thành qua các biện pháp phát hiện và nuôi dỡng nó của bản
thân ngành giáo dục nói riêng và toàn xã hội nói chung. Về
phía cá nhân, mỗi ngời phải học tập suốt đời; thời gian học
tập ở nhà trờng thì có hạn mà kiến thức cần có (dù là tối
thiểu) lại tăng lên không ngừng, điều quan trọng là năng lực
của chính họ đợc bồi dỡng một cách thờng xuyên và liên tục
thông qua từng môn học cụ thể (Trần Kiều, Thông tin khoa
học giáo dục, số 48/1995).
Việc phát triển năng lực toán học ở HS là một nhiệm vụ
đặc biệt quan trọng của thầy giáo vì hai lý do: Thứ nhất,
Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các
ngành khoa học, kỹ thuật; sự nghiệp cách mạng cần thiết có

một đội ngũ những ngời có năng lực toán học. Thứ hai, nh


6

Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần IV đã ghi rõ:
Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cộng đồng của quyền
làm chủ tập thể phải bảo đảm sự phát triển phong phú của
nhân cách, bồi dỡng và phát huy sở trờng và năng khiếu của
cá nhân. Nhà trờng là nơi cung cấp cho HS những cơ sở
đầu tiên của Toán học, không ai khác chính thầy giáo là
những ngời hoặc chăm sóc, vun xới cho những mầm mống
năng khiếu Toán học của HS, hoặc làm thui chột chúng [26,
tr. 130].
Bồi dỡng năng lực toán học cho HS là một vấn đề thu hút
sự quan tâm của các nhà Toán học, các nhà khoa học giáo
dục, các giáo viên dạy Toán ở nhiều nớc trên thế giới, kể cả Việt
Nam. Tuy nhiên, cho đến nay vẫn cha có đợc định nghĩa
thống nhất về năng lực nói chung và năng lực toán học nói
riêng. Có rất nhiều ý kiến khác nhau đề cập tới những thành
tố của năng lực toán học mà trong số đó có nhiều tác giả nổi
tiếng chẳng hạn nh V. A. Krutecxki, A. N. Kôlmôgôrôv, A. I.
Marcusêvich, B. V. Gơnhedencô, ...
Chơng trình Đại số và Giải tích ở trờng THPT có nhiều
tiềm năng thuận lợi cho việc bồi dỡng một số thành tố của
năng lực toán học, bởi vì, Đại số và Giải tích có nhiều chủ đề
mà trong đó nổi bật lên một số kĩ năng trong quá trình giải
quyết nó.
Đã có những công trình đề cập đến bồi dỡng năng lực
toán học, chẳng hạn Luận án "Xây dựng hệ thống bài tập số

học nhằm bồi dỡng một số yếu tố năng lực toán học cho học
sinh khá, giỏi đầu cấp THCS" của Trần Đình Châu, nhng


7

công trình này chỉ chủ yếu nói về cách thức xây dựng hệ
thống bài tập nhằm bồi dỡng một số yếu tố năng lực toán học
cho HS đầu cấp THCS trong dạy học Số học. Đến nay, vẫn cha
có một công trình nào nghiên cứu việc bồi dỡng năng lực toán
học cho HS trung học phổ thông.
Vì những lý do trên đây mà chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu của Luận văn là: Về cấu trúc năng lực toán
học và việc bồi dỡng một số thành tố năng lực toán học
cho HS trung học phổ thông trong dạy học Đại số và
Giải tích.
2. mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu việc bồi dỡng một
số thành tố năng lực toán học cho HS trung học phổ thông
trong dạy học Đại số và Giải tích.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau:
3.1. Có những quan điểm nào về cấu trúc của năng lực
toán học?
3.2. Từ việc tổng hợp các quan điểm nói ở 3.1, sẽ chọn ra
một số thành tố nào để bồi dỡng cho HS trung học phổ
thông trong dạy học Đại số và Giải tích?
3.3. Những căn cứ nào làm cơ sở để chọn lọc các thành
tố mà ta sẽ xem xét vấn đề bồi dỡng?
3.4. Những biện pháp nào sẽ đợc sử dụng để bồi dỡng các

thành tố đó?
3.5. Thực nghiệm s phạm.
4. Phơng pháp nghiên cứu


8

Luận văn sử dụng các phơng pháp sau đây trong quá
trình nghiên cứu:
4.1. Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
về các vấn đề liên quan đến đề tài Luận văn.
4.2. Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực toán học của
học sinh trung học phổ thông trong môn Đại số và Giải tích.
4.3. Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm
để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp s
phạm đã đề xuất.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn thì có thể
xác định đợc một số thành tố năng lực toán học cần phải bồi
dỡng; đồng thời, nếu xác định đợc một số biện pháp s phạm
thích hợp thì có thể góp phần bồi dỡng cho HS trung học
phổ thông những thành tố này trong quá trình dạy Đại số và
Giải tích.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Góp phần làm rõ thêm về sơ đồ cấu trúc năng lực
toán học của học sinh;
6.2. Đã nêu lên đợc những khó khăn, những sai lầm phổ
biến của học sinh khi đứng trớc các vấn đề toán học mà
việc giải quyết các vấn đề đó đòi hỏi một sự thể hiện về
các năng lực thành tố toán học;

6.3. Đa ra đợc những biện pháp s phạm nhằm góp phần
phát triển bốn năng lực thành tố cho học sinh THPT trong dạy
học môn Đại số và Giải tích;


9

6.4. Luận văn có thể đợc sử dụng làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học môn Toán ở trờng trung học phổ thông.
7. cấu trúc của luận văn
Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham
khảo, có 3 chơng:
Chơng 1: Tổng quan các quan điểm về cấu trúc
năng lực toán học
1.1. Khái niệm năng lực.
1.2. Khái niệm năng lực toán học.
1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học.
1.4. Một số nhận định.
1.5. Kết luận Chơng 1.
Chơng 2: Góp phần bồi dỡng một số thành tố năng
lực toán học cho học sinh trung học phổ thông trong
dạy học Đại số và Giải tích
2.1. Các điểm tựa để xác định các thành tố.
2.2. Các thành tố năng lực cần bồi dỡng cho học sinh.
2.3. Góp phần bồi dỡng một số thành tố của năng lực toán
học.
2.4. Kết luận chơng 2.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.

Chơng 1


10

Tổng quan các quan điểm
về cấu trúc của năng lực toán học
1.1. Khái niệm năng lực
Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và
giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu,
trẻ em bớc vào hoạt động. Qua quá trình hoạt động mà dần
hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần
thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả
năng mới với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em
đủ khả năng bên trong để giải quyết những hoạt động ở
những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống
thì lúc đó học sinh sẽ có đợc một năng lực nhất định. Dới
đây là một số cách hiểu về năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho
con ngời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với
chất lợng cao [56].
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc
điểm tâm lý của con ngời, đáp ứng đợc yêu cầu của một
hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành có kết quả một số hoạt động nào đó [1].
+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân

của con ngời đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất
định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc
một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[2]).
Nh vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là:
năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đợc trong hoạt động giải
quyết những yêu cầu mới mẽ, và do đó nó gắn liền với tính


11

sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3
gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).
Mọi năng lực của con ngời đợc biểu lộ ở những tiêu chí
cơ bản nh tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh,
tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải
quyết nhiệm vụ ...
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo
dục học đều thừa nhận rằng con ngời có những năng lực
khác nhau vì có những tố chất riêng, tức là sự thừa nhận sự
tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho
sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.

1.2. Khái niệm năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki [33, tr. 13] năng lực toán học đợc
hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng
lực đối với việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán
học ở trờng phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến
thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là

năng lực hoạt động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả
mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài ngời.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một
sự ngăn cách tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập Toán không
phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo. Có nhiều em học
sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc
lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp
lắm; đã tự tìm ra các con đờng, các phơng pháp sáng tạo


12

để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự
tìm ra các phơng pháp giải độc đáo những bài toán không
mẫu mực ...
Với mức độ học sinh trung bình và khá, Luận văn chỉ chủ
yếu tiếp cận NLTH theo góc độ thứ nhất (năng lực học Toán).
Sau đây là một số định nghĩa về NLTH:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc
điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là các đặc điểm hoạt động
trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho
việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc
nắm một cách tơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến
thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [33, tr. 14].
Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán đợc hiểu là
những đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là những đặc
điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động
toán học, và trong những điều kiện vững chắc nh nhau thì
là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một
cách sáng tạo Toán học với t cách là một môn học, đặc biệt

nắm vững tơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức,
kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học [26, tr. 126].

Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí
thông minh trong việc học Toán. Tất cả mọi HS đều có khả
năng và phải nắm đợc chơng trình trung học, nhng các khả
năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác. Các khả năng này
không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này
không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển
trong quá trình học tập, luyện tập để nắm đợc hoạt động


13

tơng ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm đợc bản chất của
năng lực và các con đờng hình thành, phát triển, hoàn thiện
năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi ngời cũng có khác nhau về mức độ NLTH.
Do vậy, trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa
nội dung và phơng pháp thích hợp để sao cho mọi đối tợng
HS đều đợc nâng cao dần về mặt NLTH. Về vấn đề này
nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cho
rằng: Năng lực bình thờng của HS trung học đủ để cho các
em đó tiếp thu, nắm đợc Toán học trong trờng trung học với
sự hớng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt.

1.3. Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán
học
1.3.1. Quan điểm của V. A. Krutecxki
V. A. Krutecxki nguyên Phó Viện trởng Viện nghiên cứu

Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trớc đây, đã nghiên cứu tâm lý năng lực toán học với công
trình đồ sộ Tâm lý năng lực toán học Luận án Tiến sĩ
của ông đợc Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công
trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có
tiến hành thực nghiệm hết sức công phu, đợc tiến hành từ
năm 1955 đến 1968. Ông đã nghiên cứu sâu sắc về mặt lý
luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài nớc. Về
mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát
triển của HS có năng khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 HS
giỏi, trung bình và kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua
tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000 HS từ lớp VII đến lớp


14

X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; phỏng vấn
bằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn bằng giấy đối
với 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84
nhà toán học và vật lý học nổi tiếng trong và ngoài nớc ... .
Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận khoa học của V.
A. Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và là điểm tựa
quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu
trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành
phần sau (dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin):
* Về mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học,
năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
* Về mặt chế biến thông tin toán học
1) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng

và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực t duy
bằng các ký hiệu toán học;
2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tợng,
quan hệ toán học và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ
thống các phép toán tơng ứng. Năng lực t duy bằng các cấu
trúc rút gọn;
4) Tính linh hoạt của quá trình t duy trong hoạt động
toán học;
5) Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm,
hợp lý của lời giải;


15

6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phơng hớng
của quá trình t duy, năng lực chuyển từ tiến trình t duy
thuận sang tiến trình t duy đảo (trong suy luận toán học).
* Về mặt lu trữ thông tin toán học
Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán
học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phơng pháp giải toán; nguyên tắc, đờng lối giải toán).
* Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hớng toán học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau,
ảnh hởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một
cấu trúc toàn vẹn của năng lực toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc NLTH có thể đợc biểu thị
bằng một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học đợc đặc trng bởi t duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong
lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống ký hiệu số và dấu,
và bởi khuynh hớng toán học của trí tuệ [33, tr. 170].

Cùng với cấu trúc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đa ra
những gợi ý về phơng pháp bồi dỡng NLTH cho HS.
Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực
toán học, có thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:
+) Về mặt lý luận
1) Theo V. A. Krutecxki thì nói đến HS có NLTH là nói
đến HS có trí thông minh trong việc học toán;
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân.
Khi nói về năng lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về
những mặt nào đó giữa các cá nhân, chẳng hạn về NLTH.


16

Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm sinh mà còn đợc
phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống của
mỗi cá nhân;
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong
một loại hoạt động nhất định của con ngời. Năng lực toán
học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ
trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy đợc biểu
hiện của năng lực toán học;
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của
con ngời thờng phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả
học tập Toán cũng không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra còn
phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê,
thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của
giáo viên, của gia đình và xã hội.
* Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con ngời phải nghiên cứu NL

của mỗi ngời trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phơng
pháp tốt nhất để bồi dỡng năng lực đó;
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngợc và hệ thống của chúng dựa
trên tài liệu toán học. Các năng lực đã nêu biểu hiện với các
mức độ khác nhau ở các em HS giỏi, trung bình, kém. ở các
em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tởng đó đợc tạo thành
ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình
thì muốn hình thành các mối liên tởng phải cần cả một hệ
thống bài tập và phải có sự rèn luyện.
1.3.2. Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv


17

Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A. N.
Kôlmôgôrôv đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số
lợng lớn các sự kiện, công thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy
dài các số có nhiều chữ số không quan hệ đến NLTH. Trong
thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức
tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phơng
trình không phù hợp với qui tắc giải thông thờng, hoặc nh các
nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực angôrit;
2) Trí tởng tợng hình học hoặc trực giác hình học;
3) Nghệ thuật suy luận lôgic, đợc phân nhỏ hợp lý, tuần
tự. Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trởng thành lôgic cần
thiết cho nhà Toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học
và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.
Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của
năng lực toán học thờng đợc gặp trong các tổ hợp khác nhau

và các năng lực này thờng bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải
luyện tập liên tục.
1.3.3. Quan điểm của A. I. Marcusêvich
Viện sĩ A. I. Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau
đây của trí tuệ và tính cách cần đợc giáo dục cùng với việc
dạy Toán:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại
bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tợng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng đợc sơ đồ của hiện tợng sao cho
trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích
vấn đề về mặt Toán học, đó chính là các quan hệ thuộc,


18

thứ tự, số lợng và độ đo, phân bố không gian (kỹ năng sơ
đồ hoá);
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho
(t duy suy diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trờng hợp
riêng, kỹ năng phân biệt đợc khi nào chúng bao quát đợc mọi
khả năng, khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát
hết mọi khả năng;
5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra đợc từ các suy
luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết
quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hởng
của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các
kết quả;
6) Khái quát hoá các kết quả nhận đợc và đặt ra những
vấn đề mới ở dạng khái quát.

1.3.4. Quan điểm của X. I. Svacxbuốc
X. I. Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà
Toán học, đã nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát
triển Toán học:
1) Các biểu tợng không gian;
2) T duy trừu tợng;
3) Chuyển thành sơ đồ toán học;
4) T duy suy diễn;
5) Phân tích, xem xét các trờng hợp riêng;
6) áp dụng các kết luận;
7) Tính phê phán;
8) Ngôn ngữ toán học;


19

9) Kiên trì khi giải toán.
1.3.5. Quan điểm của B. V. Gơnhedencô
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng
trên Tạp chí Toán học trong nhà trờng trong các năm từ
1962 đến 1965 đã đa ra các tính chất sau đây của t duy
toán học:
1) Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng của suy
luận, thấy đợc sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của
chứng minh;
2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
4) Sự cô đọng;
5) Sự chính xác của kí hiệu.
1.3.6. Quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ
bản của NLTH đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu,
các phép toán và các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
5) Năng lực theo dõi một hớng suy luận hay chứng minh;
6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép
toán có thể áp dụng;


20

10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.
1.3.7. Quan điểm của một số tác giả khác
1.3.7.1. Quan điểm của E. L. Thorndike
So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng
lực toán học của học sinh, E. L. Thorndike đã đi sâu vào lĩnh
vực Đại số. Theo E. L. Thorndike, những thành tố của năng lực
Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tơng quan số lợng thành công
thức;
3) Năng lực biến đổi công thức;
4) Năng lực thiết lập các phơng trình biểu diễn các quan
hệ số lợng đã cho;

5) Năng lực giải phơng trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng
nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của
hai đại lợng.
1.3.7.2. Quan điểm của G. Tômac
G. Tômac đa ra cấu trúc năng lực toán học bao gồm các
thành tố sau:
1) Năng lực trừu tợng hóa;
2) Năng lực suy luận lôgic;
3) Tri giác đặc thù;
4) Có kỹ năng sử dụng các công thức;
5) Năng lực trực giác;
6) Trí tởng tợng toán học.


21

1.3.7.3. Quan điểm của Pellery
1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải
phân biệt (chẳng hạn giả thiết và kết luận);
2) Lu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu);
3) Năng lực theo dõi một số hớng suy luận;
4) Năng lực hiểu bài toán;
5) Năng lực theo dõi những con đờng giải toán;
6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tơng tự. Tìm một mô
hình thích hợp (trong các mô hình đã biết);
7) Xây dựng một mô hình toán học có thể giải bài toán;
8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.

1.4. Một số nhận định
ở Mục 1.3 chúng tôi đã trình bày các quan điểm về cấu
trúc năng lực toán học của HS của các nhà khoa học khác
nhau. Xem xét, so sánh các quan điểm chúng tôi nhận ra
giữa các quan điểm đều có chung một số thành tố năng lực
toán học (có thể cách diễn đạt ở mỗi quan điểm có khác
nhau). Chẳng hạn, năng lực phân chia trờng hợp riêng đều có
trong các quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv, X. I. Svacxbuốc,
B. V. Gơnhedencô, ...; năng lực suy luận lôgic có trong quan
điểm của V. A. Krutecxki, A. N. Kôlmôgôrôv, X. I. Svacxbuốc,
B. V. Gơnhedencô, ...; năng lực khái quát hóa có trong các
quan điểm của V. A. Krutecxki, A. I. Marcusêvich, ..., năng lực
diễn đạt các vấn đề toán học theo những cách khác nhau có
trong quan điểm của X. I. Svacxbuốc, Pellery,
Tuy nhiên, giữa các quan điểm vẫn có những thành tố
năng lực cha thống nhất hoặc có những quan điểm vẫn cha


22

thể đa ra đầy đủ các thành tố trong cấu trúc năng lực toán
học của HS. Chẳng hạn, năng lực khái quát hoá theo V. A.
Krutecxki là một trong những năng lực cơ bản trong cấu trúc
năng lực toán học, đó là năng lực khái quát hoá các đối tợng,
quan hệ toán học và các phép toán; Ông cũng cho rằng năng
lực khái quát hóa tài liệu toán học là năng lực đặc thù. Nhng
khi đa ra cấu trúc năng lực toán học của HS, Viện sĩ A. I.
Marcusêvich lại không đề cập năng lực khái quát hoá mà chỉ
coi trọng năng lực trừu tợng hoá (kỹ năng biết tách ra cái bản
chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản).

Mặt khác, khi bắt đầu quá trình t duy và trong mỗi lần
chuyển hớng tơng tự, thờng phải đánh giá tình huống với
mục đích lựa chọn một tìm tòi hợp lý hơn. Trong các tình
huống toán học hoàn toàn mới mà kinh nghiệm không có đủ
để giải quyết, lúc này vai trò chính lại là trực giác toán học,
sự nhạy bén của t duy, năng lực dự đoán phơng hớng tìm
kiếm có thể đa đến mục đích. Mặc dù, trực giác toán học
cho đến nay vẫn còn ít đợc nghiên cứu (cũng nh bản chất,
cơ chế của quá trình t duy nói chung) nhng sự tồn tại của nó
đã đợc khẳng định bởi các nhà Toán học vĩ đại có kinh
nghiệm sáng tạo khoa học cũng nh các nhà S phạm Toán có
nhiều kinh nghiệm và đã có thời gian dài theo dõi t duy của
các em HS có năng lực về Toán. Chẳng hạn, nhà toán học
Pháp vĩ đại A. Poăngcarê thừa nhận có tính đặc thù của
năng lực sáng tạo toán học và đã chỉ ra thành phần quan
trọng nhất của chúng là trực giác toán học; trong sơ đồ cấu
trúc về năng lực toán học của HS của Viện sĩ A. N.


23

Kôlmôgôrôv cũng đã nói về trực giác nhng trực giác theo một
nghĩa hẹp (trực giác hình học). Nhng trên thực tế, nh chúng
ta đã biết trực giác có thể mang tính lôgic. ở đây, trực giác
toán học cần đợc coi nh một năng lực phức hợp đoán định trớc các kết quả mà cách thức dẫn đến mục đích của t duy
sáng tạo trong lĩnh vực Toán học. T duy lôgic không tham gia
trực tiếp vào hành động trực giác (vai trò của nó cha nhận
thức đợc), nhng nhất thiết sau đó nó phải đợc lôi cuốn vào
để kiểm tra tính đúng đắn của dự đoán trực giác; G.
Tômac cũng rất coi trọng vai trò của trực giác trong việc sáng

tạo Toán học. Vì vậy, trực giác toán học không chỉ là nhân tố
phức hợp quan trọng nhất trong năng lực sáng tạo khoa học mà
nó cần phải có trong thành phần sơ đồ khái quát của cấu
trúc năng lực toán học.

1.5. Kết luận chơng 1
Trong Chơng I, Luận văn trình bày một số cách hiểu về
khái niệm năng lực toán học và các quan điểm về những
thành phần của năng lực toán học của một số nhà khoa học .
Sự so sánh, đối chiếu các quan điểm đã cho thấy rằng,
đến nay vẫn cha có một quan điểm thống nhất về những
thành tố của năng lực toán học. Có rất nhiều quan điểm, mỗi
quan điểm nhấn mạnh một số loại thành tố nào đó, mỗi quan
điểm đều có những nét hợp lý riêng khi ta đối chiếu với một
bậc học nào đó (chẳng hạn, V. A. Krutecxki thì thiên về các
giai đoạn cơ bản của việc giải bài tập của HS cấp I hoặc cấp
II).


24

Chơng 2
Góp phần bồi dỡng một số thành tố của năng lực
toán học cho học sinh trung học phổ thông
trong dạy học Đại số và Giải tích
2.1. Các điểm tựa để xác định các năng lực
thành tố
Để xác định đợc các năng lực thành tố cần bồi dỡng cho
học sinh trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải
tích, chúng tôi dựa vào các điểm tựa sau:

- Những thành tố đa ra phải thực sự có ý nghĩa đối với
dạy học Đại số và Giải tích ở trờng trung học phổ thông;
- Chơng trình Đại số và Giải tích có nhiều tiềm năng để
bồi dỡng các năng lực thành tố đó;
- Các năng lực thành tố phải xuất hiện trong những quan
điểm của các nhà khoa học;
- Trong thực tiễn học Toán, học sinh còn có những hạn chế
về những năng lực thành tố này.

2.2. Các thành tố năng lực toán học cần bồi dỡng
cho học sinh
2.2.1. Năng lực phân chia trờng hợp
2.2.1.1. Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các
kiến thức, cũng nh khi giải toán biện luận, ... ta cần phải
phân chia một khái niệm.
Trong lôgic học, ngời ta quan niệm: Phân chia khái niệm
là thao tác lôgic, chia các đối tợng thuộc ngoại diên khái niệm
cần phải phân chia thành các nhóm theo những tiêu chuẩn
nhất định [45, tr. 72].


25

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại
diên của khái niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [11, tr. 141].
Phân loại là phân chia một tập hợp đối tợng cho trớc
thành những tập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung.
Giữa phân chia khái niệm và phân loại thờng không có
sự phân biệt rõ ràng, ngời ta thờng dùng phân loại theo
nghĩa phân chia khái niệm.

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy
tắc nhất định:
+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;
+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;
+ Cùng một lúc không đợc đa vào nhiều dấu hiệu khác
nhau để phân chia (phân loại);
+ Phân chia phải liên tục [45, tr. 141].
2.2.1.2. Trong môn Toán THPT, nói riêng trong môn Đại số
và Giải tích, có nhiều tình huống liên quan đến việc phân
chia và xem xét các trờng hợp riêng. Chẳng hạn:
- Lớp các bài toán giải và biện luận phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình có chứa tham số;
- Lớp các bài toán tìm điều kiện của tham số để một phơng trình hoặc bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất
phơng trình (chứa tham số) thỏa mãn một yêu cầu nào đó
về tập nghiệm;
- Lớp các bài toán về giải phơng trình, bất phơng trình
mà tập xác định của nó cần phải đợc tách thành các bộ phận
để thuận lợi cho việc sử dụng các phép biến đổi tơng đơng;