Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán ở trường phổ thông

1

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh
-----------------------

đặng đoàn huyền phơng

Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả
năng
dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán
ở trờng phổ thông

Chuyên ngành: Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán

Mã số : 60. 14. 10

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn

Thuận


2

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

----------------------------

đặng đoàn huyền phơng

Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả
năng
dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán
ở trờng phổ thông

luận văn thạc sĩ giáo dục học


3
Mục lục
Tran
Mở đầu
Chơng 1. Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực
tiễn
1.1. Bàn về mục tiêu đào tạo
1.2. Quan niệm về quá trình sáng tạo và vai trò của
trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo
Toán học
1.3. Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa
học
1.4. Quan niệm về dự đoán, suy luận có lý
1.5. Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý

g
1
7

7
9
15
20

nhìn từ quan điểm khoa học luận
1.6. Đôi điều về sự thay đổi chơng trình và sách

25

giáo khoa môn Toán theo hớng tập cho học sinh dự

29

đoán, suy luận có lý
1.7. Phân tích vai trò, ý nghĩa, của dự đoán, suy
luận có lý qua thực tiễn giải Toán
1.8. Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tơng

35

đối phổ biến trong môn Toán
1.9. Liên hệ vấn đề dạy dự đoán, suy luận có lý với Lý

50
74

thuyết tình huống
1.10. Kết luận Chơng 1
Chơng 2. Những quan điểm chủ đạo trong việc

78

tập luyện cho học sinh dự đoán, suy luận

79

có lý
2.1. Bàn về định hớng đổi mới phơng pháp dạy học
2.2. Về một số phơng pháp hoặc xu hớng dạy học

79

đáp ứng yêu cầu đổi mới PPDH
2.3. Hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học
sinh dự đoán, suy luận có lý

82
85


4
2.4. Những vấn đề nào thích hợp với dự đoán, suy
luận có lý? Có phải bao giờ cũng tập cho học sinh
dự đoán? Những bất cập của nó?
2.5. Những quan điểm chủ đạo trong việc tập cho

95

học sinh dự đoán, suy luận có lý

2.6. Minh họa quá trình dự đoán, suy luận có lý qua

98
105

các ví dụ cụ thể
2.7. Kết luận Chơng 2
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

117
118
118
118
122
123
124
125


5

1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành
Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ:
"Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào việc đào tạo
những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải
quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích
cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc (dẫn theo Tài liệu Bồi
dỡng giáo viên

2005, tr. 1).

Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị
lần thứ II Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam
(Khóa VIII, 1997) đã đề ra: Phải đổi mới phơng pháp đào
tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
t duy sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng những phơng
pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học,
đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu .
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, t duy sáng tạo của học sinh,; bồi dỡng phơng pháp tự
học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh.
Chơng trình môn Toán thí điểm trờng THPT (2002) chỉ
rõ: "Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển
năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trng
của Toán học cần thiết cho cuộc sống, ; phát triển khả năng
suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể ".
1.2. Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất

nớc đòi hỏi một cách cấp bách phải nâng cao chất lợng giáo
dục và đào tạo. Nền kinh tế nớc ta đang chuyển từ cơ chế
bao cấp sang cơ chế thị trờng có sự quản lý của Nhà nớc.


6

Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ
thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có
những đổi mới căn bản về PPDH. Tuy nhiên, cũng phải thừa
nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nay vẫn đang còn nhiều
tồn tại phổ biến, đó là:
- Thầy thuyết trình tràn lan;
- Tri thức đợc truyền thụ dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm
tòi phát hiện;
- Thầy áp đặt, trò thụ động;
- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích
cực, sáng tạo của ngời học;
- Không kiểm soát đợc việc học.
Về thực trạng này, nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã
nhận định: Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến
thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố
gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu
chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức
định lý để tính toán, chứng minh (Nguyễn Cảnh Toàn
1997, tr. 4).
GS Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi
nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái
oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ
mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán

nản " (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 25).
1.3. Xuất phát từ đặc điểm của t duy toán học, đó là
sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại
những kết quả toán học đã đạt đợc thì nó là một khoa học
suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhng, nếu nhìn Toán học
trong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phơng


7

pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy
nạp. Vì vậy, trong dạy học Toán, phải chú ý tới cả hai phơng
diện, suy luận chứng minh và suy luận có lý thì mới khai thác
đợc đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu
giáo dục toàn diện - nh G. Polia phát biểu: "Nếu việc dạy Toán
phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế
nào, thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự
đoán, suy luận có lý" (G. Polia 1995, tr. 6).
1.4. Thực tế giải Toán cho thấy: có nhiều bài toán sẽ tìm
đợc lời giải nếu đoán đợc kết quả của nó; ngợc lại, sẽ bế tắc
trong khâu định hớng nếu không dự đoán đợc kết quả của
bài toán đó. Ví dụ nh dạng toán tìm quỹ tích, chúng ta thờng phải dự đoán đợc kết quả quỹ tích trong phần thuận,
sau đó kết hợp với phần đảo để chứng minh đó là quỹ tích
cần tìm. Hay trong một số bài toán liên quan đến chứng
minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN, thờng ta phải dự
đoán dấu đẳng thức xẩy ra làm cơ sở cho các phép biến
đổi dẫn đến kết quả của bài toán,
1.5. Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong
quá trình phát triển t duy học sinh. Nhng trong thực tế, nó
cha đợc u tiên thích đáng xứng với vị trí của nó. Nguyên

nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên cha ý
thức đợc tầm quan trọng của nó hoặc cha xây dựng đợc các
biện pháp s phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự
đoán, suy luận có lý cho học sinh?
Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự
đoán, suy luận có lý là tác phẩm Toán học và những suy luận
có lý của G. Polia. Tuy nhiên, các ví dụ trong tác phẩm của
ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các ví dụ mô tả


8

lại con đờng dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn
thiếu các ví dụ phù hợp với học sinh phổ thông.
ở Việt Nam, gần đây đã có một số công trình nghiên
cứu ít nhiều liên quan đến dự đoán, suy luận có lý; chẳng
hạn nh Luận án Tiến sĩ của Trần Luận (1996): "Vận dụng t tởng s phạm của G. Polia xây dựng nội dung và phơng pháp
dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm
phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II".
Nhng, có thể nói, cho đến nay vẫn cha có một công trình
nào nghiên cứu một cách đầy đủ và sâu sắc việc rèn luyện
cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong
dạy học Toán ở trờng phổ thông.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên
cứu của Luận văn là:
"Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả
năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học Toán ở trờng
phổ thông"

9
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc phát triển năng lực dự đoán, suy luận
có lý của học sinh trong việc dạy học Toán ở trờng phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau
đây:
3.1. Thế nào là dự đoán, suy luận có lý? Sự phân biệt
giữa chúng với suy luận diễn dịch là gì?
3.2. Vai trò của dự đoán và suy luận có lý trong dạy học Toán
là nh thế nào?
3.3. Những con đờng thông dụng để tiến hành hoạt
động dự đoán, suy luận có lý là gì?
3.4. Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy
luận có lý cho học sinh trong dạy học Toán ở trờng phổ thông là
nh thế nào?
3.5. Dạy dự đoán, suy luận có lý cho học sinh nên tuân
theo những quan điểm nào?
3.6. Phân tích vai trò của dự đoán, suy luận có lý bằng
việc làm sáng tỏ ý nghĩa của nó trong việc tìm kiếm lời giải
của một số bài toán.
3.7. Thực nghiệm s phạm.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện khả năng
dự đoán, suy luận có lý cho học sinh khá, giỏi trong dạy học
Toán ở trờng phổ thông, thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học


10
môn Toán, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi

mới PPDH Toán trong giai đoạn hiện nay.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận;
5.2. Điều tra, quan sát;
5.3. Thực nghiệm s phạm.
6. Đóng góp của Luận văn
6.1. Góp phần làm sáng rõ thêm vai trò của hoạt động
dự đoán, suy luận có lý bằng việc tổng hợp, phân tích các
cơ sở lý luận của các nhà khoa học.
6.2. Đề xuất đợc những quan điểm đối với việc rèn
luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý.
6.3. Hiện thực hóa đợc hoạt động dự đoán, suy luận có
lý trong quá trình tìm kiếm lời giải các bài toán.
7. Cấu trúc của Luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phơng pháp nghiên cứu
6. Đóng góp của luận văn
Chơng 1. Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Bàn về mục tiêu đào tạo


11
1.2. Quan niệm về quá trình sáng tạo vai trò của trực
giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học
1.3. Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học
1.4. Quan niệm về dự đoán, suy luận có lý

1.5. Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn
từ quan điểm Khoa học luận
1.6. Đôi điều về sự thay đổi Chơng trình và sách giáo
khoa môn Toán theo hớng tập cho học sinh dự đoán, suy luận
có lý
1.7. Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận
có lý qua thực tiễn giải Toán
1.8. Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tơng đối
phổ biến trong môn Toán
1.9. Liên hệ vấn đề dạy dự đoán, suy luận có lý với Lý
thuyết tình huống
1.10. Kết luận Chơng 1
Chơng 2. Những quan điểm chủ đạo trong việc
tập luyện cho học sinh dự đoán, suy luận có lý
2.1. Bàn về định hớng đổi mới PPDH
2.2. Về một số phơng pháp hoặc xu hớng dạy học đáp
ứng yêu cầu đổi mới PPDH
2.3. Hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học sinh
dự đoán, suy luận có lý
2.4. Những vấn đề nào thích hợp với dự đoán, suy luận
có lý? Có phải bao giờ cũng dùng dự đoán, suy luận có
lý? Những bất cập của nó?


12
2.5. Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện
cho học sinh dự đoán, suy luận có lý
2.6. Minh họa quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận có
lý qua những ví dụ cụ thể
2.7. Kết luận Chơng 2

Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Chơng 1. Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Bàn về mục tiêu đào tạo
Về mục tiêu giáo dục, Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV
Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII
(1993) đã nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào
đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng
lực giải quyết vấn đề thờng gặp, qua đó góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là dân giàu, nớc mạnh, xã
hội công bằng, dân chủ văn minh".
Chúng ta đang sống trong thời kỳ công nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nớc, thời đại mà lợng thông tin phát triển
mạnh nh vũ bão. Từ những năm 70 của thế kỷ XX, đã xuất
hiện những lời nhận xét: "Khối lợng tri thức khoa học tăng lên
nhanh chóng một cách lạ thờng, theo các nhà bác học, cứ 8


13
năm nó lại tăng lên gấp đôi" (V. A. Cruchetxki, tr. 112). Dòng
thông tin khoa học phát triển mạnh làm cho khoảng cách giữa
tri thức khoa học nhân loại và bộ phận tri thức đợc lĩnh hội
trong nhà trờng ngày một tăng thêm. Do đó, tham vọng giáo
dục sẽ truyền thụ cho học sinh tất cả tri thức đủ để đảm
bảo cuộc sống sau này của học sinh là không tởng. V. A.

Cruchetxki cũng từng nói: "Không một trờng học nào cung cấp
cho con ngời đủ một phần tri thức dù ít ỏi cần thiết" (V. A.
Cruchetxki 1980, tr. 113). Lợng tri thức đó phải là kết quả của
quá trình học tập lâu dài, học nữa, học mãi, học suốt đời
chứ không phải chỉ khi còn ngồi trên ghế nhà trờng. Vì vậy,
giáo dục không chỉ dạy tri thức mà còn phải truyền thụ cho
học sinh phơng pháp tự học tích cực, độc lập, sáng tạo, khả
năng thích ứng tốt trong cuộc sống.
Để đáp ứng đợc đơn đặt hàng của xã hội, nhà trờng
cần phải đổi mới phơng pháp dạy học: "Phải đổi mới phơng
pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều,
rèn luyện nếp t duy sáng tạo của ngời học, từng bớc áp dụng
phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình
dạy học" (Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành
Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam, Khóa VIII, 1997).
Về cách dạy, phơng pháp mới quan tâm nhiều đến việc
tạo ra niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó nh là
động lực để phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động trong
quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềm vui, hứng
thú của một ngời tự mình tìm ra chân lý. "Nếu học sinh đợc độc lập quan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự


14
kiện, hiện tợng thì các em sẽ hiểu sâu sắc và hứng thú bộc
lộ rõ rệt". Do đó trong phong pháp giảng dạy, giáo viên cần
phải biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự
tìm lấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi
ngày một trởng thành (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr. 2).
Hơn nữa, thực hiện định hớng "hoạt động hóa ngời học",
"học sinh cần đợc cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo

viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá
những điều mình cha biết, chứ không phải là thụ động
tiếp thu tri thức đã đợc sắp sẵn. Cần đặt học sinh vào
những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí
nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của mình. Qua
đó học sinh vừa nắm đợc kiến thức mới, kỹ năng mới, vừa
nắm đợc phơng pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó, không
nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, đợc bộc
lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên
2005, tr. 3).
Nh vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã đợc
"chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", PPDH mới đã chú
trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của
học sinh, đề cao phơng pháp tự học, "chuyển quá trình giáo
dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học cũ theo
kiểu thầy đọc, trò chép, "học vẹt", "học tủ", "học thuộc
lòng mà không hiểu, không kích thích đợc học sinh suy
nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh", chuyển đổi chức
năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa
tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt


15
những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả
thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc" (Tài liệu Bồi
dỡng giáo viên 2005, tr. 4).
1.2. Quan niệm về quá trình sáng tạo và vai trò
của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo
Toán học
"Đối với một đất nớc đi sau, lạc hậu nh nớc ta, dĩ nhiên

đầu tiên là phải khiêm tốn học hỏi, cố gắng sử dụng, chuyển
giao công nghệ để sớm có trong tay các công nghệ cao. Nhng nh vậy cha đủ, vì công nghệ phát triển nh vũ bão. Muốn
cạnh tranh thì đất nớc mình không chỉ lo đi học mà phải
nghĩ đến sự sáng tạo ra những công nghệ mới. Nh vậy đứng
ở góc độ giáo dục - đào tạo, phải có biện pháp cụ thể giáo
dục t duy sáng tạo cho học sinh (Nguyễn Cảnh Toàn 2002, tr.
10).
Sáng tạo là một hoạt động đang rất đợc quan tâm trong
giai đoạn hiện nay. Trong nghiên cứu khoa học, sáng tạo đóng
vai trò quan trọng trong việc tìm ra tri thức mới - nh T. Ribo đã
nhận xét rằng, phần lớn các khoa học đều đợc xây dựng trên
những quan sát, những giả thuyết và sự kiểm tra. Các giả
thuyết là kết quả của trí tởng tợng sáng tạo, còn kiểm tra là
thuộc về hoạt động suy lý và tởng tợng, cũng là quy về đấy
(dẫn theo Đức Uy 1999, tr. 81).
Khi nói đến hoạt động sáng tạo, ngời ta thờng xuất phát
từ định nghĩa đợc nhiều ngời công nhận là, một dạng hoạt
động của con ngời mà kết quả là sản phẩm mới có ý nghĩa,
có giá trị xã hội, chẳng hạn: "Sáng tạo là hoạt động của con


16
ngời nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các
mục đích, nhu cầu của con ngời trên cơ sở các quy luật
khách quan của thực tiễn. Sáng tạo là hoạt động đợc đặc trng bởi tính không lặp lại, độc đáo và duy nhất" (dẫn theo
Trần Luận 1996, tr. 175).
Theo Poăngcarê và Ađama, quá trình sáng tạo trải qua
bốn giai đoạn: chuẩn bị, sự chín muồi (của ý tởng), bừng
sáng và kiểm chứng.
Giai đoạn 1. Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý

thức. Trong giai đoạn này, nhà khoa học hình thành vấn đề
đang giải quyết và thử giải quyết vần đề đặt ra theo các
cách khác nhau. Vai trò của công việc có ý thức trong trờng
hợp này là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn mà
việc sử dụng chúng có thể cho lời giải cần tìm. ở giai đoạn
này, các yếu tố suy luận và trực giác tìm kiếm lời giải cùng
tồn tại và bổ sung cho nhau. Tuy nhiên, yếu tố suy luận đóng
vai trò chủ đạo.
Giai đoạn 2. Giai đoạn ấp ủ. Giai đoạn này đợc bắt
đầu khi công việc giải quyết vấn đề một cách có ý thức
ngừng lại, công việc tiếp diễn lúc này chính là hoạt động của
các lực lợng tiềm thức. Tuy nhiên, để lôi cuốn các lực lợng
tâm lý tiềm thức thì các cố gắng có ý thức ban đầu là
điều kiện cần thiết. G. Polia đã khẳng định: "Chỉ có
những bài toán mà ta đã tập trung suy nghĩ nhiều, thì khi
trở lại mới đợc biến đổi sáng ra. Những cố gắng có ý thức và
lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc "
(dẫn theo Trần Luận 1996, tr. 25).


17
Giai đoạn 3. Giai đoạn bừng sáng. Giai đoạn 2 kéo dài
cho đến sự "bừng sáng" trực giác, một bớc nhảy vọt về chất
trong tiến trình nhận thức. Đây là giai đoạn quyết định của
tiến trình kiếm tìm lời giải. Sự "bừng sáng" của trực giác
này thờng xuất hiện đột nhiên, không thấy trớc đợc. Tuy
nhiên, đôi khi cũng có ngoại lệ. Sự "bừng sáng" xuất hiện sau
khi nhà Toán học đã có một sự dự cảm sẽ nhận đợc kết quả.
Có thể xem dự cảm là phơng án yếu của sự "bừng sáng" trực
giác. Cả hai phơng án yếu (dự cảm) và mạnh (trực giác) cũng

thờng đánh lừa các nhà Toán học. Theo V. A. Kapunin thì khả
năng xuất hiện sự "đánh lừa" càng lớn khi vấn đề đang giải
quyết càng cơ bản hoặc còn ít đợc nghiên cứu.
Giai đoạn 4. Giai đoạn kiểm chứng. ở giai đoạn này,
nhà Toán học triển khai lập luận chứng lôgic và kiểm tra lời
giải nhận đợc từ trực giác. Giai đoạn này là cần thiết vì tri
thức nhận đợc bằng trực giác là cha chắc chắn, có tính giả
thuyết và nh đã nói trên nó có thể "đánh lừa" các nhà Toán
học. Công việc của nhà Toán học trong giai đoạn này là hoàn
toàn có ý thức và rất tích cực.
Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo, thì
hai giai đoạn quan trọng nhất nhng cha đợc nghiên cứu đầy
đủ và có nhiều quan điểm khác nhau là giai đoạn ấp ủ và
giai đoạn bừng sáng. Và dờng nh các giai đoạn này của quá
trình sáng tạo đều ẩn chứa một vẻ đẹp toán học và phẩm
chất thẩm mỹ của các nhà Toán học - nh GS. TS. Nguyễn
Cảnh Toàn đã từng phát biểu trong cuốn Tập cho học sinh
làm quen dần với nghiên cứu Toán học: "ở những điểm "nút"


18
có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có khi ngời làm Toán
cần t duy hình tợng, cần một trí tởng tợng thật bay bổng,
thật táo bạo nh là với một nhà văn viết chuyện viễn tởng hay
thần thoại. Để phát hiện ra vấn đề, nhiều khi ngời làm Toán
cũng cần có óc thẩm mỹ để thởng thức cái đẹp trong Toán
học, và từ chỗ thởng thức cái đẹp đó mà có ý muốn đi sâu
vào cái thâm thúy bên trong" (Nguyễn Cảnh Toàn 1992, tr. 5).
* Vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo
Toán học

Trong lịch sử Triết học, khái niệm trực giác đã đợc đề
cập từ lâu và đã có rất nhiều cách hiểu khác nhau.
Theo Đại Bách khoa toàn th Xôviết thì trực giác là năng
lực nhận thức đợc chân lý bằng xét đoán trực tiếp không có
sự biện giải bằng chứng minh (dẫn theo Trần Luận 1996, tr.
35).
Trực giác hiểu theo V. A. Cruchetxki: "Trong nhiều trờng
hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực có thể
đợc giải thích bởi sự ảnh hởng vô thức của kinh nghiệm quá
khứ mà cơ sở của chúng là năng lực khái quát hóa các đối tợng, các quan hệ, các phép toán Toán học và năng lực t duy
bằng các cấu trúc rút gọn".
Trong sơ đồ tâm lý nhận thức quá trình sáng tạo khoa
học, kỹ thuật của Viện sĩ Xôviết B. Kêđrôv, trực giác đóng
vai trò là phơng tiện chủ yếu để thực hiện bớc biến chuyển
từ cái đặc thù (O) lên cái phổ biến và tính phổ biến (B)
trong quá trình vận động đến chân lý của t duy: E O B
(E là ký hiệu của cái đơn nhất và tính đơn nhất).


19
Trực giác toán học đợc hiểu với nhiều nghĩa khác nhau
và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau. Trực giác có thể
coi là sự bừng sáng đột ngột cha nhận thức đợc, có thể là
trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp không phải bằng suy
luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn th Việt Nam, tr. 1369),
là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các
tình huống toán học (đợc hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả
Toán học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mang
đặc trng toán học). Cũng có khi, trực giác đợc xem là kết quả
của sự vận động không có ý thức của cách thức hành động

khái quát và cấu trúc rút gọn. Hiện tợng cuối cùng này về thực
chất, theo B. Kêđrôv chỉ là quá trình quy nạp và hoàn toàn có
ý thức. X. L. Rubinstêin khẳng định: Trong tiến trình dạy học,
sự thay đổi các kết hợp đợc thực hiện liên tục theo hai hớng ngợc nhau: một mặt các mối liên hệ phức tạp lên (các mạch của
kết hợp, các hệ thống của chúng đợc hình thành các dạng thấp
chuyển thành các dạng cao)", mặt khác, do quá trình lĩnh hội
đợc tự động hóa nên xảy ra sự giản lợc các kết hợp (các mối liên
hệ trung gian mất đi, các dạng cao chuyển thành dạng thấp)
(dẫn theo Trần Luận 1996).
Theo quan điểm của Iu. M. Kôliagin và đồng tác giả, thì
trực giác là phơng pháp đặc biệt của nhận thức đợc đặc trng
bởi cách hiểu trực tiếp về sự thật. Thờng đợc xếp vào lĩnh vực
trực giác là những hiện tợng nh đột nhiên tìm ra đợc một lời
giải bài tập đã tìm nhiều nhng cha giải đợc, đột nhiên tìm ra
đợc phơng pháp đúng đắn để tránh đợc sự nguy hiểm, giải
ra một cách nhanh chóng theo bản năng một vấn đề (Iu. M.


20
Kôliagin 1980, tr. 127). Gauss kể lại: "Việc giải bài toán mà tôi
loay hoay trong vài năm không xong bỗng cuối cùng vụt đến
cách đây hai hôm nhng không phải nhờ những cố gắng vất
vả của tôi mà nhờ sự phù hộ của Chúa Cách giải quyết đã
đến bất ngờ nh một tia chớp lóe sáng, tôi không thể nói đợc
cái đã nối liền các kiến thức trớc kia của tôi với cái làm cho sự
thành công của tôi có thể thực hiện đợc là cái gì" (dẫn theo
Đức Uy 1999, tr. 82).
Việc "bất ngờ" có đợc cách giải quyết vấn đề mà t tởng đã phải vật lộn lâu dài và vất vả đã đợc nhiều nhà khoa
học nói tới. Các nhà nghiên cứu gọi đó là "trực giác", cái đóng
vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học. "Nếu ta ngẫm

nghĩ các câu trả lời của các nhà bác học về câu hỏi: phát
minh đợc thực hiện nh thế nào, những kiến thức khoa học
mới về mặt nguyên tắc đợc hình thành nh thế nào, ta thấy
sợi chỉ đỏ xuyên qua tất cả các câu trả lời trên là quan niệm
về vai trò quyết định của tởng tợng và trực giác, rồi thành
quả của họ sau này mới đợc sự xác nhận của cách chứng minh
bằng lôgic và trở thành đối tợng của sự phát triển thêm nữa"
(Đức Uy 1999, tr. 80).
Luiđơ Broilơ viết: "nhờ những bớc nhảy vọt phi lý, ta có
thể bẻ gãy đợc cái vòng cứng nhắc, trong đó lối suy luận diễn
dịch vẫn giam hãm chúng ta, phép quy nạp dựa trên tởng tợng
và trực giác cho phép ta thực hiện những chinh phục vĩ đại
của t duy; nó là cơ sở của tất cả những thành tựu thực sự của
khoa học " (dẫn theo Đức Uy 1999).


21
Vai trò của trực giác trong sáng tạo khoa học còn ở chỗ
nó có vị trí chủ đạo trong những giai đoạn nhất định của
sự sáng tạo khoa học, J. Becnan đã nhấn mạnh nh vậy. Khi nêu
đặc điểm về sách lợc nghiên cứu khoa học với tính cách nhất
quán trong việc lựa chọn các vấn đề để giải quyết, ông đã
chỉ ra rằng tìm ra vấn đề thờng khó khăn hơn nhiều so với
việc giải quyết nó bởi vì việc giải quyết có thể đợc nhờ có
kinh nghiệm trong cách biện luận lôgic, còn phát hiện ra vấn
đề thì chỉ có dựa vào trí tởng tợng đợc thúc đẩy bởi
những khó khăn đã gặp phải (dẫn theo Đức Uy 1999, tr. 84).
Lơsatơlie thì cho rằng, trực giác, cái mà ông gọi là trí
xét đoán lành mạnh, còn Pascal gọi là "óc tế nhị" là một
trong ba đặc tính mà các nhà khoa học đạt năng suất cao

trong nghiên cứu khoa học thờng có (năng khiếu quan sát; sự
liên tởng ý niệm; trí xét đoán lành mạnh). Trong đó, trực
giác đóng vai trò quyết định trong sự lựa chọn đối tợng
nghiên cứu hay sự lựa chọn các giả thuyết làm chỗ dựa cho
phần lớn các công trình nghiên cứu khoa học.
Trong khoa học s phạm, ngời ta đa ra các đặc điểm
của t duy trực giác thông qua sự so sánh nó với t duy phân
tích. Nhà tâm lý học Mỹ

J. Bruner xem t duy phân

tích và t duy trực giác nh là những thành tố đối lập nhau của
hoạt động sáng tạo. J. Bruner cho rằng t duy phân tích tiêu
biểu ở chỗ từng giai đoạn của nó đợc biểu hiện khá rõ ràng
và ngời suy nghĩ có thể kể lại điều đó cho ngời khác. Kiểu
t duy này thờng đợc thực hiện với một chú ý tơng đối đầy
đủ về các thao tác hợp thành của nó. Đối lập với t duy phân


22
tích, t duy trực giác tiêu biểu ở chỗ không có những giai đoạn
tách bạch cụ thể. Nó có vẻ nh là chỉ dựa trên cảm giác ngay
toàn bộ vấn đề. Con ngời đạt đợc những đáp án có thể
đúng hoặc sai, trong khi không nhận thức đợc nhờ quá trình
nào mà anh ta nhận đợc đáp số. Thông thờng t duy trực giác
dựa trên sự quen biết những kiến thức cơ bản ở lĩnh vực đã
cho với cấu trúc của chúng. Vì điều đó cho phép con ngời
thực hiện đợc dới dạng các bớc nhảy, sự chuyển tiếp nhanh
chóng, sự bỏ qua các mắt xích riêng biệt. Những đặc tính
này đòi hỏi sự kiểm tra các kết luận, bằng các phơng tiện

phân tích, quy nạp hoặc suy diễn. Ví dụ nh trong vấn đề:
Tìm diện tích xung quanh của hình nón, một học sinh có t
duy trực giác đã suy nghĩ nh sau: Hình chóp đợc đặc trng
bởi các yếu tố bán kính của đờng tròn đáy R, độ dài đờng
sinh l, và h - độ dài đờng cao (thực ra chỉ cần biết hai trong
ba yếu tố là đủ). Nhìn vào hình vẽ, ta tởng tợng rằng với mỗi
vị trí của S trên trục đờng tròn đáy ta đợc một hình nón.
Điều đó gợi cho ta xét vị trí đặc biệt của S. Khi S 0 (h
0), đờng sinh l R và mặt bên của hình nón trùng với hình
tròn đáy nên diện tích xung quanh (S xq) = diện tích đáy =
.R2. Bây giờ chúng ta tăng dần chiều cao hình nón từ 0 cho
tới h. Lúc này ta "thấy" rằng một bán kính đáy (đờng sinh cũ)
trở lại thành đờng sinh, còn bán kính khác vẫn giữ nguyên.
(R1 l; R2 = R = const). Nh nhận định ban đầu Sxq của
hình nón sẽ phụ thuộc vào 2 yếu tố l, R (vì h có thể tính
qua R, l). Mà trong trờng hợp giới hạn Sxq = .R2 = .R.R (*), sự


23
thay đổi tình thế hình học dẫn tới vai trò của hai bán kính
trong (*) khác nhau: một là bán kính thực của hình tròn đáy,
còn một bán kính nữa là giới hạn của đờng sinh. Vậy S =
.R.R .R.l hay Sxq = .R.l.S
h
0

l
R

Chắc rằng ai cũng nhận ra cách chứng minh trên đây

là cha chặt chẽ. Tuy nhiên, trực giác hình học của học sinh ấy
rất đáng đợc trân trọng, dù rằng t duy trực giác thực chất
cũng chỉ đa ra những kết luận mang tính chất dự báo, dự
đoán.
Hiện nay, việc phát triển t duy trực giác đang thu hút
đợc sự chú ý của nhiều nhà s phạm. Họ đã chỉ ra vai trò của
trực giác trong giảng dạy Toán học: "ở mức độ cao, trực giác
toán học cho định hớng nghiên cứu trong các tình huống
toán học mới không quen biết, dự đoán đợc kết quả nghiên
cứu về đờng lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai
lầm rõ ràng. Trực giác toán học là một nhân tố quan trọng
trong quá trình nhận thức lôgic các yếu tố toán học" (dẫn
theo Đỗ Mạnh Hùng 1993, tr. 25). Còn J. Bruner đa ra ý kiến
rằng, trong dạy học trớc hết cần phải hình thành cho học sinh
"sự hiểu biết cảm tính vật chất" và chỉ sau đó mới cho học
sinh làm quen với những phơng pháp suy diễn thờng dùng và
hình thức hơn.


24
1.3. Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa
học
Sơ đồ ngắn gọn, rõ ràng và chung nhất của quá trình
nhận thức đã đợc V. I. Lênin nêu lên: "Từ trực quan sinh động
đến t duy trừu tợng rồi từ t duy trừu tợng trở về với thực tiễn.
Đó là con đờng biện chứng của nhận thức chân lý, nhận thức
thực tế khách quan" (Lênin toàn tập, tập 29, tr. 153).
Chúng ta biết rằng, tri thức khoa học chỉ đợc xây dựng
khi chủ thể (nhà khoa học) có động cơ giải quyết một vấn
đề, tìm lời giải cho một câu hỏi đặt ra. Việc giải đáp đợc

câu hỏi này đòi hỏi xây dựng đợc cái mới chứ không phải là
sự lặp lại đơn thuần các kiến thức và cách thức hoạt động
đã quen thuộc. Cụ thể hơn, Razumovxki đa ra những giai
đoạn của phơng pháp nhận thức. Đó là:
- Đặt vấn đề;
- Đề xuất giả thuyết;
-Suy ra hệ quả lôgic từ giả thuyết;
-Xác lập phơng án kiểm tra giả thuyết;
Về tiến trình nhận thức khoa học, có nhiều nhà bác
học có uy tín nh A. Enstein, M. Plank, N. Bohr, P. I. Kapitxa đa ra những lời phát biểu tơng tự nhau. Trên cơ sở những lời
phát biểu đó, có thể nói rằng "tiến trình xây dựng tri thức
khoa học là tiến trình đề xuất và giải quyết vấn đề. Về
bản chất là tiến trình mô hình hóa, có mối liên hệ biện
chứng giữa lý thuyết và thí nghiệm, giữa suy diễn và quy
nạp, giữa t duy trực giác và t duy lôgic" (Phạm Hữu Tòng
2001, tr. 28).


25
Theo Phạm Hữu Tòng, việc tìm lời giải đáp cho một
câu hỏi về một tính chất hay một sự liên hệ phụ thuộc nào
đó trong thực tế mà ta có thể phỏng đoán về sự tồn tại của
chúng có thể đợc thực hiện theo con đờng xuất phát từ việc
thiết kế phơng án thí nghiệm khả thi cho phép thu lợm đợc
những thông tin cần thiết, thực thi thí nghiệm để thu lợm
các dữ liệu cảm tính trực tiếp, rồi nhờ kết hợp các hành
động suy diễn và quy nạp để xây dựng nên kết luận xác
nhận. Nhng trong quá trình phát triển của khoa học, trên cơ
sở các kết quả nhận thức đã thu đợc, sẽ xuất hiện vấn đề
đòi hỏi nhà khoa học bằng trực giác xây dựng mô hình lý

thuyết khái quát (xem nh là một hệ tiên đề) mà tùy đó có
thể rút ra hệ quả lôgic cho phép giải thích các kết quả
nghiên cứu đã biết, và các hệ quả lôgic với tính cách là
những mô hình giả thuyết. Những mô hình giả thuyết này
cho phép tiên đoán những biến cố thực nghiệm, mà việc
thực thi thí nghiệm và phân tích các dữ liệu thu đợc sẽ một
mặt cho phép kiểm tra tính hợp thức hóa của chúng, đồng
thời cả của mô hình lý thuyết khái quát. Đó là điều cần thiết
cho sự xuất hiện tri thức khoa học mới, và là cơ sở cho sự
phát triển của các giả thuyết khoa học một khi các thuyết cũ
không còn phù hợp với thực nghiệm (Phạm Hữu Tòng 2001, tr.
29).
Trong khoa học Toán học, chúng ta không có khái niệm
"thí nghiệm" nh trong quy trình đã nêu, nhng chúng ta có
thể hiểu một cách tơng tự rằng ở đây là kiến thức đã biết,
những trờng hợp đã đợc xác nhận, mà từ đây, nhà khoa học