4 đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tỉnh hải dương năm học 2019 2020 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2019−2020
ĐỀ CHÍNH THỨCMôn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 5 câu, 1 trang)

Câu 1 (2 điểm)
1) Giải phương trình :

4x2 − 4x + 9 = 3

3 x − y = 5
2) Giải hệ phương trình : 
2 y − x = 0
Câu 2 (2 điểm)
1) Cho hai đường thẳng (d1) : y = 2x − 5 và (d2) : y = 4x − m (m là tham số). Tìm tất cả
các giá trị của m để (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành Ox.

x
2 x   x −1
2 
+
:
−
2) Rút gọn biểu thức P = 
÷

÷ với x > 0 và x ≠ 9; 25

÷
x÷
 3+ x 9 − x   x −3 x

Câu 3 (2 điểm)
1) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian
quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số
bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch
trước 1 ngày, Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo ?
2) Cho phương trình x2 − (2m + 1)x − 3 = 0 (m là tham số). Chứng minh rằng phương
trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Tìm các giá trị của m sao cho x1
− x2= 5 và x1 < x2.
Câu 4 ( 3 điểm)
Từ điểm A nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp
điểm). Trên nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường
tròn (O) (AM < AN, MN không đi qua tâm O). Gọi I là trung điểm của MN.
1) Chứng minh rằng tứ giác AIOC nội tiếp.
2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH. AO = AM. AN và tứ giác
MNOH nội tiếp.
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AB và BC thứ tự tại E và F. Chứng
minh M là trung điểm của EF.
Câu 5 ( 1 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 2a 2 + ab + 2b 2 + 2b 2 + bc + 2c 2 + 2c 2 + ca + 2a 2
……………………. Hết ……………………


HƯỚNG GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
Năm học 2019−2020

(GV giải: Hoàng Thế Việt − trường THCS Thái Thịnh, Kinh Môn, Hải Dương)

Quá trình đánh máy có thể có nhầm lẫn, rất mong các bạn đóng góp ý kiến qua
số ĐT 0963484768. Xin cảm ơn!
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (2 điểm)
1)

4 x 2 − 4 x + 9 = 3 (ĐK x ∈ R, vì 4x2 − 4x + 9 = (2x − 1)2 + 8 > 0 ∀ x)

⇔ 4x2 − 4x + 9 = 9 ⇔ 4x2 − 4x = 0 ⇔ 4x(x − 1) = 0
4 x = 0
x = 0
⇔
⇔
x −1 = 0
x = 1
Vậy PT có tập nghiệm S = {0; 1}
3 x − y = 5
6 y − y = 5
5 y = 5
y =1
2) 
⇔
⇔
⇔
2 y − x = 0
x = 2 y
x = 2 y
x = 2

Vậy hệ PT có 1 nghiệm (x; y) = (2; 1)
Câu 2 (2 điểm)
1) Xét hai đường thẳng (d1) : y = 2x − 5 và (d2) : y = 4x − m
Hiển nhiên (d1) cắt (d2) vì a = 2 ≠ a’ = 4
Gọi M(x0 ; y0) là giao điểm của (d1) và (d2)
Theo bài ra (d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành nên y0 = 0 ⇒ M(x0 ; 0)
Do M ∈ (d1) nên 2x0 − 5 = 0 ⇔ x0 =

5
5 
⇒M  ; 0 ÷
2
2 

5
− m = 0 ⇔ m = 10
2
Vậy m = 10 là giá trị cần tìm
2) Với x > 0 và x ≠ 9; x ≠ 25, ta có

Lại do M ∈ (d2) nên 4.

(

)

(

x 3 − x + 2x
x −1 − 2 x − 3


x
2 x   x −1
2 
+
:
−
:
P = 
=
÷

÷
÷
x÷
3+ x 3− x
x x −3
 3 + x 9 − x   x −3 x


=

3 x − x + 2x

.

( 3+ x) (3− x)
x ( 3+ x) − x
=
.

(

− x 3− x

)

x −1 − 2 x + 6

=

(

=

)(

)

(

3 x +x − x
.
3+ x 5− x

−x
5− x

3+ x
5− x

−x
Vậy P =
với x > 0 và x ≠ 9; x ≠ 25
5− x

Câu 3 (2 điểm)
1) Gọi số bộ quần áo mà xưởng may phải may mỗi ngày theo kế hoạch là x (bộ)

)

)


(ĐK x ∈ N* , x < 360)
360
(ngày)
x
Khi thực hiện: mỗi ngày xưởng may may được x + 4 (bộ quần áo) nên thời gian xưởng may

Thì thời gian xưởng may dự định may xong 360 bộ quần áo là

360
(ngày)
x+4
Do xưởng may đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có PT
360
360
−
= 1 ⇒ 360(x + 4) − 360x = x(x + 4)
x

x+4
⇔ x2 + 4x − 1440 = 0 (*)

may xong 360 bộ quần áo là

Giải PT (*) ta được x1 = 36; x2 = −40
Đối chiếu với ĐK ta thấy x = 36 thoả mãn
Vậy số bộ quần áo mà xưởng may phải may mỗi ngày theo kế hoạch là 36 (bộ)
2) Xét PT x2 − (2m + 1)x − 3 = 0 (1).
PT (1) có a.c = 1(−3) = −3 < 0 ⇒ PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu ∀ m
Mà x1 < x2 (GT) nên x1 < 0 và x2 > 0 ⇒ x1= −x1 và x2= x2
Áp dụng hệ thức Vi−ét ta có x1 + x2 = 2m + 1
Theo bài ra x1− x2= 5 ⇔ −x1 − x2 = 5 ⇔ x1 + x2 = −5 ⇔ 2m + 1 = −5 ⇔ m = −3
Vậy m = −3 là giá trị cần tìm
Câu 4 ( 3 điểm)
1) Chứng minh rằng tứ giác AIOC nội tiếp.
Xét (O) có MN là dây không qua tâm và I là
trung điểm của MN nên OI ⊥ MN
⇒ ∠ AIO = 90°
Lại có AC là tiếp tuyến của (O) tại C
⇒ AC ⊥ OC tại C ⇒ ∠ACO = 90°
Xét tứ giác AIOC có tổng hai góc đối là ∠AIO + ∠ACO = 90° + 90° = 180°
⇒ tứ giác AIOC nội tiếp
2) Chứng minh AH. AO = AM. AN và tứ giác MNOH nội tiếp.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC. Mà OB = OC = R nên AO là đường
trung trực của BC ⇒AO ⊥ BC tại H
Xét ∆ABO vuông tại B có đường cao BH ⇒AB2 = AH. AO (1)
Xét ∆ABM và ∆ANB có ∠NAB chung và ∠MBA = ∠ANB (cùng chắn cung BM)
⇒ ∆ABM đồng dạng ∆ANB
AB AM

=
⇒
⇒ AB2 = AM. AN (2)
AN AB
AH AM
=
Từ (1) và (2) ⇒ AH. AO = AM. AN ⇒
AN AO


AH AM
=
(cmt)
AN AO
⇒ ∆AMH và ∆AON đồng dạng ⇒ ∠AHM = ∠ANO ⇒ tứ giác MNOH nội tiếp

Xét ∆AMH và ∆AON có ∠NAO chung và

3) Chứng minh M là trung điểm của EF.
Gọi K là giao điểm của MN và BC
Ta có ∆OMN cân tại O (vì OM = ON = R) ⇒ ∠ONM = ∠OMN
Mà tứ giác MNOH nội tiếp (cmt) ⇒ ∠ OMN = ∠OHN (cùng chắn cung ON)
⇒ ∠ONM = ∠OHN
Lại có ∠AHM = ∠ONM (cmt) ⇒ ∠AHM = ∠OHN
Mà ∠AHM + ∠MHK = ∠OHN + ∠NHK = 90° ⇒ ∠MHK = ∠NHK
⇒ HK là tia phân giác của ∠MHN
MK MH
=
Xét ∆MHN có HK là tia phân giác của ∠MHN ⇒
(3)

NK NH
AM MH
=
Do HA ⊥ HK ⇒ HA là tia phân giác góc ngoại tại đỉnh H của ∆MHN ⇒
AN NH
MK AM
=
Từ (3) và (4) ⇒
(5)
NK AN
ME AM
MK MF
=
=
Lại do EF // NB nên theo hệ quả của định lí Ta−lét ta có
và
NB AN
NK NB
ME MF
=
Từ (5) và (6) ⇒
⇒ ME = MF ⇒ M là trung điểm của EF
NB NB
Câu 5 ( 1 điểm)
Xét biểu thức P = 2a 2 + ab + 2b 2 + 2b 2 + bc + 2c 2 + 2c 2 + ca + 2a 2
Với a, b, c ta có
4(2a2 + ab + 2b2)
= 8a2 + 4ab + 8b2 = 5(a2 + 2ab + b2) + 3(a2 − 2ab + b2)
= 5(a + b)2 + 3(a − b)2 ≥ 5(a + b)2 (vì (a − b)2 ≥ 0)
⇒ 4 ( 2a 2 + ab + 2b 2 ) ≥

⇒ 2a 2 + ab + 2b 2 ≥

5( a + b)

2

=

5 (a + b)

5
( a + b)
2

Chứng minh tương tự ta có

2b 2 + bc + 2c 2 ≥

5
( b + c)
2

2c 2 + ca + 2a 2 ≥

5
( c + a)
2

5
( a + b + b + c + c + a ) = 5 ( a + b + c ) = 2019 5 (vì a + b + c = 2019)

2
a = b = c
2019
⇔a=b=c=
Dấu “=” xảy ra khi 
3
a + b + c = 2019
Do đó P ≥

(4)

(6)


Vậy Min P = 2019 5 ⇔ a = b = c =

2019
3