Các phương pháp tính truyền nhiệt - P2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (570.16 KB, 64 trang )

65
nhiệt sẽ kết hợp cả 3 điều kiện biên

3. áp dụng các phơng pháp xấp xỉ
d
dtije
, sẽ đợc hệ phơng trình
đại số của t
ije
,

k+1, với n ẩn số.
o
r
i
R
r
i
r
i
+
1
r
q
r

Z
l
-
1
Z

l
Z
l
+
1

z
z

j
+
1

j
+
1

j
Z

H31. Sai phân bài toán trụ t(,,z,)
Dùng xấp xỉ Euler: t
ijek+1
= t

ije
k
+
d
dtije

k
,
đặt
ri

= i,
R

= , = và F =
2
a

, ta có hệ phơng trình đại số:
t
ijek+1
= F

)
2
i

1(
t
i-1je
+
2
)
i
(

t
ij-1e
+t
ije-1
+(
F
1
-4-2
2
2

)t
ije
+ t
ije+1
+(

i

) t
ij+1e
+ (1+
2
i

)t
i+1je
k

(ije) V
t
ijek+1
= F

4
i
1

2
t
R-ije
+
)
4
1(
2
2

t
Rj-1e
+t
Rje-1
+[
)
4
1(
2
4
F
1

.
(
2

2

-
4

-B)]t
Rje
+t
Rje+1
+
)
4
1(
2
2

t
Rj+1e
k

+
)
4
1(
BF2

t
f
, (ije) W
3

và các phơng trình có nút trên biên, cạnh, góc, khác.
Dạng ma trận:[t]
k+1
= F{A[t]+[t
w1
]+[
a
2

q]+[2Bt
f
]+[

2
q
v
]}
k
nh trên
với A là ma trận hệ (nxn), các ma trận khác là ma trận cột (nx1).
(t)
66

5.8. FDM cho bài toán biên phi tuyến:
5.8.1. Điều kiện biên phi tuyến tính:
- Định nghĩa:
1. Phơng trình F(T
n
,
m
x
T
) = 0 có n 1 hoặc m 1 gọi là phơng
trình phi tuyến tính
2. Điều kiện biên đợc mô tả bởi một phơng trình vi phân phi
tuyến gọi là điều kiện biên phi tuyến
- Ví dụ: điều kiện biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc chất khí hoặc
chân không, trao đổi nhiệt với môi trờng chủ yếu bằng bức xạ, xác
định nhờ định luật Stefan-Boltzmann, thì phơng trình cân bằng nhiệt
trên biên có dạng:
-T
x
(W,) =
w

0
[T
4
(W,)-
4
f
T
]

Đó là một phơng trình vi phân (hay điều kiện biên) phi tuyến
tính. Nếu W tiếp xúc môi trờng chân không vô hạn ngoài vũ trụ thì
coi T
f
= 3.K hoặc gần đúng, coi T
f
= O.K
Chẳng hạn, trờng hợp mặt W có nhiệt độ T
W
lớn, trao đổi nhiệt
phức tạp với không khí hoặc chân không, hay vách TĐN phức tạp với
sản phẩm cháy có T
f
lớn, là các bài toán biên phi tuyến
5.8.2. Bài toán biên phi tuyến
1. Phát biểu bài toán: Cho vách phẳng rộng , dày = L có (a, )
không đổi (hoặc phụ thuộc (M,)), nhiệt độ ban đầu T(x,0) = T
i
[K],
mặt x = đợc cách nhiệt , mặt x = 0 tiếp xúc chân không có nhiệt độ
T
f
và TĐN bức xạ ra môi trờng này. Tìm phân bố t(x,) khi > 0.
2. Mô hình toán học của bài toán là:

67
T = aTxx
T(x,0) = T
i

T
x
(0,)=

0
[
4
f
T
-T
4
(0,)]
T
x
(0,) = 0
Nhận xét: bài toán nà
y có cùng
một mô hình TH

với bài toán biên
thuần nhất, khi vách dày 2 và TĐN
O
t
1 2 43
L
x
q = (T - T )
0

f
4
o
4
s
a

T

x
= 0
T
f

H32. Bài toán biên phi tuyến
bức xạ với hai môi trờng khí đồng chất, có cùng nhiệt độ T
f
.
3. Giải bằng FDM.
1. Chia chia chiều dày = L ra các khoảng
x
=
n
L
, ví dụ
x
=
4
L

tạo ra 5 phần tử có 5 nút là i, (i = 0ữ4)
2. Sai phân theo x: phơng trình cân bằng nhiệt là:
- Trên biên bức xạ x
i
= 0:
cS
2
x
d2
dT
o
=
0
(
4
f
T
-
4
0
T
)S -
x

(T
0
-T
1

)S

d2
dT
o
=
xc
2
0

(
4
f
T
-
4
0
T
) -
2
x
c
2

(T
0
-T
1

)
Nếu chuẩn hoá bằng cách đặt =
Ti
T

X =
L
x

X =
L
x

F =
2
Lc

=
2
L
a

Thì do

T
=

T
.
F

.

F
=
2
i
L
aT
.
F

nên:

=

=

)TT(
)xL(aT
a
L2
d
dT
.
aT
L

dF
d
4
0
4
f
i
2
00
i
2
0

i
2
40
2
aT)xL(
a
)TT(L2

(t)
hay
S
68
(
F

)

dF
d
0

=

2
)X(
1
-2(1+
3
0
3
i0
X
LT.

)
0
+2
1

+2
4
f
3
i0
.
X
LT.

Nếu đặt R=

3
i0
LT.
là đại lợng không thứ nguyên, ta có:

0F
=
2
)X(
1

[-2(1+RX.
3
0

)
0
+2
1
]+
X
R2

4
f

, W
6

iF
=
2
)X(
1

[
0
- 2
1
+
2
]

2F

=
2
)X(
1

[
1
- 2
2
+
3
] V

3F
=
2
)X(
1

[
2
- 2
3
+
4
]

4F
=
2

)X(
1

[2
3
- 2
4
] W
20
3. Xấp xỉ Euler
k+1
=
k
+
Fk
F, đặt
2
)X(
F

= p ta có hệ phơng
trình đại số, viết ở dạng ma trận nh sau:

0
,k+1= [1-2p(1+RX
3
0

]

0
,k+2p
1
,k+2pRX
4
f

i
,k+1= p
i-1k
+(1-2p)
ik
+p
1+1,k
với i = 1,2,3

4
,k+1= 2p
3
,k+(1-2p)
4
,k
( Với biên cách nhiệt
X
= 0, do đối xứng, coi
i-1
=
i+1

)
4. Chuyển hệ (
i
) sang dạng ma trận, có:

0

[1-2p(1+R

X
3
0

]
2p

0

2pR

X
4
f

1

p

(1-2p) p

1

0

2
=
p (1-2p) p

2
+
0

3

p (1-2p) p

3

0

4
k+1

2p (1-2p)

4
k

0
Thay điều kiện đầu lúc = 0 (tức F = 0) theo (X,0) = 1 vào
(
i
)

k

69
[]
k=0
tính phần tử bức xạ của ma trận [1-2p(1+RX
3
k0

] theo

0,0
= 1,
ta tính đợc []
k=1
. Lặp lại chu trình này, tính đợc []
k=2
,

...v. v

5.8.3. Bài toán truyền nhiệt qua vách phi tuyến:
Nếu thay ĐKB tại x = L của bài toán tại H.32 bởi điều kiện biên
loại 3, ta có bài toán sau:
T = aTxx
T(x,0) = T
i
T
x
(0,) =

0
[
4
1f
T
-T
4
(0,)]
T
x
(L,) =

[T(L,)-T
f2
]
Bài toán này đợc giải tơng

tự nh trên, chỉ khác phơng
trình cân bằng nhiệt cho nút
biên W
2
là:
O
t
1 2 43
x
q = (T - T )
0

f1
4
o
4
s
a

T
f1

T
f2

H33. Bài toán truyền nhiệt KOD
phi tuyến tính
pc
2

x
T
4

=
x

(T
3
-T
4
)-[T
4
-T
f2
] hay với B =

x
=

L
X

F
=
2
)X(
1

[2T

3
-2(1-B)T
4
]+
2
)X(
B2

T
f2

Xấp xỉ Euler dẫn tới phơng trình:

4k+1
= 2p
3
+[1-2(1-B)]
4
+2pB
f2

Do đó, dạng ma trận của hệ phơng trình đại số là:

0

[1-2p(1+R

X
3
0

]
2p

0

2pR

X
4
f

1
p (1-2p) p

1
0

2
= p (1-2p) p

2
+ 0

3
p (1-2p)
p

3
0

4
k+1

2p

4
k
2B
2
p

f2
Phơng trình này cũng đợc giải với điền kiện đầu (X,0) = 1
Bài toán này có thể áp dụng để tính nhiệt cho vách ống sinh hơi
(t)
k
k

[1-2p(1-B)
70
của lò hơi, khi nó nhận nhiệt BX từ buồng lửa và trao cho nớc trong
lò.
Việc chọn thoả mãn điều kiện ổn định là :
min{[1-2p(1-B)],[1-2p(1+ R
3

0

]} > 0

tức là: 1-2p(1+ RX
3
0

> 0
1-2
2
)X(
F

(1+RX
3
0

) > 0 tức phải chọn;
F <
)](maxXR1[2
)X(
3
0
2
+

, với max
0

=
i
1f
T
T

Nghĩa là cần chọn <
]s[,
)T
xL
1(a2
3
1f
0
2
2
x

+

Khi giải hệ phơng trình trên, phải thờng xuyên tính lại số hạng
đầu [1-2p(1+R
3
0

)]
k
theo

0, k
sau mỗi bớc.

71
Chơng 6
phơng pháp phần tử hữu hạn
finite element method (FEM)
6.1. Nội dung và các bớc của phơng pháp phân tử hữu hạn
6.1.1. Nội dung FEM.
T tởng của FEM là thay bài toán giải hệ phơng trình vi phân
(t) bằng một bài toán biến phân tơng ứng, tức là tìm hàm số t làm cực
tiểu một phiếm hàm I tơng ứng bài toán (t).
Bài toán biến phân đợc giải gần đúng nhờ phép xấp xỉ tích phân
bằng cách thay hàm t(x,y,z,) bởi một hệ M hàm thời gian t
n
() tại các
nút (đỉnh) của một số hữu hạn E phần tử tạo ra vật cần xét.
Kết quả cho biết, để cực tiểu biến hàm I, hàm t phải tìm cần thoả
mãn hệ M phơng trình vi phân thờng cấp 1 nh sau:
C
d
d
[t] = -(K+H)[t] + (h+q)
Trong đó C, K, H là các ma trận vuông (MxM) của các hệ số nhiệt
dung C, dẫn nhiệt , toả nhiệt , còn h, q là các ma trận cột (Mx1)
của các giá trị nhiệt độ môi trờng t
f
và dòng nhịêt q qua biên loại 2,
[t] =

M
1
t
..
t
là ma trận cột (Mx1) của các nhiệt độ nút.
Nếu bài toán (t) là ổn định ,
[ ]
t
&
= 0, hàm t đợc xác định theo hệ
phơng trình đại số: (K+ H) [t] = h + q.
Nếu bài toán (t) không ổn định, thì sau khi sử dụng phép sai phân
thời gian, ta thu đợc một hệ M phơng trình đại số, cho phép xác
định t theo điều kiện ban đầu.
6.1.2. Các bớc áp dụng FEM
Để giải hệ phơng trình vi phân (t) theo FEM, có thể tiến hành các
bớc nh sau:
72
1. Xác định phiếm hàm I tơng ứng bài toán (t).
Trờng hợp bài toán t với biên loại 1, 2, 3 tổng quát, phiếm hàm

I sẽ có dạng tích phân sau:
I[t(x,y,z)] =

v
f(x,y,z,t,t
x
,t
y
,t
z
) dV +

w
(qt +
2
t
2
)dw
Với W là biên của vật V, còn dạng hàm f xác định theo bài toán
(t) và định lý Euler-Lagrange về điều kiện cực tiểu phiếm hàm.
Điều kiện cực tiểu phiếm hàm I là biến phân I = 0.
O
t
e
3
k
i
S
W
t

(
x
,
y
,

=
c
o
n
s
t
)

t

k
1
2
f
i
f
(
e
)
y
y
k
y

j
y
i
x
i
x
j
x
k
x

H. 32 Phân bố nhiệt độ t
(e)
trong phần tử e hai chiều
2. Mô tả điều kiện cực tiểu I = 0 ở dạng hệ phơng trình vi phân
thờng cấp 1 của các nhiệt độ nút (hoặc hệ phơng trình đại số khi (t)
là bài toán ổn định). Bớc này có thể chia ra các bớc nhỏ nh sau:
2.1. Chia V (hoặc S, hoặc ) ra một số hữu hạn phần tử có dạng
khối tứ diện (hoặc tam giác, hoặc đoạn x) bởi hệ thống M điểm nút
(coi là đỉnh phần tử). Đánh số thứ tự và ghi địa chỉ nút theo toạ độ (i, j,
k) của mỗi nút.
2.2. Giả thiết rằng: Tại một thời điểm bất kỳ, phân bố nhiệt độ
t
(e)
trong phần tử e là một hàm tuyến tính của các nhiệt độ nút (tức có
dạng mặt phẳng qua 3 điểm t
i
, t
j
, t

k
), và xác định phân bố t
(e)
nh hàm
tuyến tính của các biến, có dạng f(x,y,t
i
,t
j
, t
k
) = t
(e)
(xem H.32)
73
2.3. Xấp xỉ tích phân I nh là tổng các tích phân I
(e)
trên mỗi phân
tử (e): I =

=
E
1e
)e(
I

Cho thấy I = I(t
1
, t
2
,..., t

M
) là phiếm hàm của M hàm nhiệt độ nút
t
i
() và điều kiện cực tiểu I = 0 trở thành
]t[d
dI
= 0,
với [t] =

M
1
t
..
t
tức
]t[d
dI
=

=

E
1e
]t[d
dI
e
= 0
2.4. Dùng phép biến đổi ma trận để đa điều kiện trên về dạng:
]t[d
dI
= K[t] + C[
t
&
] + H[t] - h - q = 0
Đó là hệ phơng trình đại số của t và
t
&
=
d
dt

3. Nếu bài toán không ổn định, [
t
&
] 0, tiếp tục dùng phép sai
phân thời gian, chuyển hệ phơng trình vi phân theo d thành hệ
phơng trình đại số và giải theo điều kiện đầu.
Bớc 1, 2 và 3 có thể chơng trình hoá cho máy tính thực hiện:
6.1.3. Phạm vi ứng dụng FEM:
- Cũng nh FDM,FEM có khả năng giải mọi bài toán biên bất kỳ,
có điều kiện vật lý và điều kiện đầu cho tùy ý, với độ chính xác cao

tuỳ ý.
- FEM rất tiện lợi khi hệ vật có biên dạng không quy tắc, vì khi đó
chỉ cần ghi điạ chỉ các nút biên, không cần tính thể tích và diện tích
mặt các phần tử nh trong FDM.
- Khi biên di động (bài toán biên loại 5), cả FDM, FEM sẽ trở nên
phức tạp.
6.2. Cực tiểu của hàm nhiều biến và phép xấp xỉ tích phân
Cơ sở của FEM là điều kiện cực tiểu của hàm số và phiếm hàm
cùng phép xấp xỉ tích phân.
6.2.1. Điều kiện cực tiểu hàm số u = u(x
1
, x
2
,...,x
n
)
- Theo phép tính vi phân, điều kiện cần và đủ để hàm u = u(x) đạt
74
cực tiểu tại x là:
dx
du
= 0 và
2
2
dx
ud
> 0
- Điều kiện cần và đủ để u = u(x,y) đạt cực tiểu tại (x,y) là:

>>
==
0)uuu(,0u
0u,0u
xy
2
yyxxxx
yx

- Tổng quát, điều kiện cần để hàm n biến u = u(x
1
, x
2
,...,x
n
) đạt
cực tiểu là tất cả các đạo hàm riêng u theo lần lợt các biến đều triệt
tiêu, tức:
i
x
u

= 0, i = 1 ữ n. Sau đây sẽ dùng ký hiệu "A

B", có nghĩa là " B
đợc định nghĩa là A".

Định nghĩa một ma trận cột [x]

n
..
2
1
x
x
x
, điều kiện trên có thể viết ở
dạng:
0
]x[
u
=

hay cụ thể ,
]x[
u

xn
u
...
x
u
x
u
2
1
=

0
...
0
0

Sau đây ta chỉ quan tâm tới điều kiện cần nói trên, còn điều kiện
đủ để đạt cực tiểu đợc xác định bởi nội dung của bài toán biến phân
cụ thể. Trong kỹ thuật, việc cực tiểu phiếm hàm I[t], tơng ứng việc
xác định hàm t sao cho sai số cực tiểu, so với hàm t xác định chính
xác theo định luật bảo toàn năng lợng.
6.2.2. Phép xấp xỉ tích phân:
- Để xấp xỉ một tích phân, ta chia miền tích phân ra các phần tử
hữu hạn và giả thiết rằng, hàm tích phân thay đổi tuyến tính trong mỗi
phần tử. Cụ thể, coi hàm F(x) là đờng thẳng trong phần tử một chiều
75
x = x
j
- x
i
, hàm F(x,y) là mặt phẳng
trong phần tử tam giác 2 chiều
e
, hàm

F(x,y,z) là tuyến tính với các biến tọa
độ (x
i
, y
j
, z
k
) tại 4 đỉnh của tứ diện.
- Nhờ cách chia và giả thiết nói
trên, ta có thể xác định tích phân I nh
tổng các giá trị trung bình của tích
phân trên mỗi phần tử I =

=
E
1e
)e(
I

- Ví dụ: Biểu thức xấp xỉ tích phân trên E = 5 phần tử ở hình H.33.
I =

M
1
x
x
dx)x(F
là I =

=

E
1e
)e(
I
=

=
+
E
1e
ji
2
FF
(x
j
-x
i
)
với F
i
= F(x
i
), F
j
= F(x
j
), (F
i
+F
j

)/2 là trị trung bình của F(x) trên
phần tử (e) có kích thớc
e
x

= x
j
-x
i
Nếu chọn x
ij
x
j
- x
i
= , M = 4, E = 5 thì ta có:

+

=
M
1
x
x
e
ji
)FF(

2
dx)x(F
=
2

(F
1
+2F
2
+ 2F
3
+ 2F
4
+ F
5
)
6.3. Lý thuyết biến phân (variation Theory)
(Có thể tham khảo tài liệu: Variationoe istrislenie của L.E.Elgols).
6.3.1. Phiếm hàm
- Khái niệm: Phiếm hàm là một đại lợng biến thiên mà trị số của
nó phụ thuộc vào một hay một vài hàm số nào đó.
Ký hiệu: I = I[t(x)], I = I[t(x,y)] hay I = I[u
1
(x), [u
2
(x)] v.v
- Đinh nghĩa: đại lợng biến thiên v đợc gọi là phiếm hàm phụ
thuộc hàm số y(x), (y(x) gọi là đối thức), ký hiệu là = [y(x)], nếu
ứng với mỗi hàm y(x)thuộc một lớp hàm nào đó, có một giá trị xác
định. Tơng tự định nghĩa phiếm hàm = [t(x,y)] hoặc =

[u
1
(x),u
2
(x)], ...v.v
- Phiếm hàm thờng là một tích phân của một hàm F nào đó trên
một miền xác định cho trớc.

=

O
t
(1)
x
1
2
(Fi + fj)
(2) (e) (E)
x
1
x
i
x
j
x
M
x

F(x)
H.33. Để xấp xỉ tích phân I

o
76
Ví dụ:
+ Công mà hệ thực hiện trong một quá trình p = p(v) bất kỳ giữa
hai trạng thái (p
1
, v
2
), (p
2
,v
2
) là phiếm hàm l = l[p(v)] =

2
1
v
v
)v(p
dv
+ Nhiệt lợng do hệ trao đổi trong quá trình bất kỳ T = T(s) giữa
hai trạng thái (T
1
,s
1
), (T
2
, s
2
) là phiếm hàm q = q[T(s)] =

2
1
s
s
)s(T
ds.
+ Độ dài đờng cong y(x) bất kỳ qua 2 điểm (x
0
,y
0
) (x
1
,y
1
) là
phiếm hàm l = l[y(x)] =
dx'y1
2
1
x
x
2

+

6.3.2. Nội dung của lý thuyết biến phân:
- Lý thuyết biến phân là một ngành của toán học chuyên nghiên
cứu các phơng pháp tìm cực trị của các phiếm hàm. Nó cho phép tìm
đợc một hoặc một số hàm số làm cực tiểu một phiếm hàm đã cho.

- Bài toán biến phân là bài toán tìm cực tiểu của một phiếm hàm
cho trớc, phụ thuộc một vài hàm số cha biết. Phép tính biến phân
cho phép tìm đợc các hàm số này.
- Ví dụ: các bài toán biến phân tiêu biểu:
1. Tìm mặt cực tiểu:
Tìm đờng cong y(x) nối hai điểm
(x
0
,y
0
) (x
1
,y
1
) cho trớc, để khi quay
quanh Ox tạo ra mặt có diện tích cực tiểu.
Phát biểu biến phân của bài toán
(1) là tìm cực tiểu của phiếm
hàm:S[y(x)] =
dx'y1
1
0
x
x
2

+

2. Tìm đờng đoản thời:
Tìm đờng cong y(x) nối hai điểm

A(x
0
,y
0
), B (x
1
,y
1
) cho trớc để chất
điểm lăn không ma sát trên nó từ A đến
B tốn ít thời gian nhất.
Theo định luật bảo toàn năng lợng, tìm thấy quan hệ = [y(x)]
H35. BT đờn
g đoản thời
O
y
x
x
o
x
1
y(x)
ds
dx
g
v
H.34. Bài toán tìm mặt cực tiểu

O
t

x
y(x)
S
x
1
x
o
z
y

77
và bài toán biến phân là tìm cực tiểu phiếm hàm nh sau:
mgy =

+
2
22
)
d
dydx
(
2
m

dx
dx
dy
1
gy2

1
d
2

+

= [y(x)] =
dx
y
'y1
g2
1
1x
0x
2

+

3. Tìm đờng trắc địa:
Tìm đờng cong f(x,y,z) nối hai
điểm A,B trên mặt cong (x,y,z) = 0
cho trớc, có độ dài ngắn nhất. Theo
ý nghĩa hình học, bài toán (3) theo
biến phân là tìm cực tiểu phiếm hàm
l= l[y(x),z(x)] =

dx'Z'y1
2
1
x
x
22

++

trong đó

=
=
)x(zz
)x(yy
là các hàm xác định
dạng tham số của đờng cong
f(x,y,z)(x,y,z) = 0.
6.3.3. Biến phân của phiếm
hàm:
6.3.3.1. Biến phân của đối
thức:
- Định nghĩa: Biến phân u của hàm u(x) (hay đối thức u(x)) là
hiệu hai hàm số u =
)(xu
- u(x) trong
đó
)(xu

thay đổi tuỳ ý trong lớp hàm
u(x,) nào đó, gần đờng cong u(x).
Tơng tự định nghĩa:
u(x,y) =
),( yxu
- u(x,y)
- ý nghĩa hình học:
)x(u
thay đổi trong lớp đờng cong
qua hai điểm biên (x
0
,y
0
) (x
1
,y
1
) phụ thuộc thông số nhỏ nào đó:
H.36. BT tìm đờng
trắc địa

=
=
)x(zz
)x(yy

O
z

x
y
A
B
(
x
,
y
,
z
)
=
0

H.37. Biến phân u(x)

Ox
0
x
1
x
u
(x
)
u
(x
)
u
u

78
)x(u

);x(u
= u(x) + [
)(xu
-u(x)
= u(x) + u.
),( yxu
thay đổi trong lớp mặt cong qua
chu tuyến S, phụ thông số nhỏ nào đó:
),( yxu
u(x,y;) và u(x,y;) = u(x,y) +
[
)y,x(u
-u(x,y)] = u(x,y) + u(x,y).

Biến phân u là sự sai khác nhỏ giữa hai hàm u cùng chung biên
nào đó.
6.3.3.2. Biến phân của phiếm hàm:
- Định nghĩa: Biến phân I của phiếm hàm I[u(x)] là đạo hàm của
phiếm hàm I[u(x) + u(x)] theo tham số , tính tại = 0.

I[u(x)] =
d
d
I[u(x)] + u(x)]

=0

Tơng tự có các định nghĩa
I[u(x,y)] =
d
d
I[u(x,y)] + u(x,y)]

=0
,và
I[u
1
(x),..,u
n
(x)] =
d
d
I[(u
1
(x) + u
1
),..,(u
n
(x) + u
n
)]

=0

- ý nghĩa: Biến phân I là phần chính bậc 1 (tuyến tính) của số
gia phiếm hàm I = I[u + u] - I[u] khi max [u] 0
I mô tả sai số các tích phân (phiếm hàm) suy từ một định luật

bảo toàn nào đó, so với định luật bảo toàn năng lợng.
6.3.4. Định lý Euler -Lagrange
6.3.4.1. Điều kiện cực tiểu phiếm hàm I[u(x)] =
dxuuxF
x
x

1
0
)',,(

- Cần tìm hàm u = u(x) qua 2 điểm biên cho trớc [x
0
, u
0
= u(x
0
)]
và [x
1
, u
1
= u(x
1
)] làm cực tiểu phiếm hàm có dạng:
I[u(x)] =

1
0
x

x
F
(x,u(x), u'(x))dx.
- Tập hợp các đờng cong qua 2 điểm biên có thể mô tả bằng hàm
H.38. Biến phân u(x,y)

x
y
D
s
u
(
x,
y)
u
(
x,
y)
u
u

79
u(x,) của x và thông số [0,1] bởi:
u(x,) = u(x) + [
u
(x) - u(x)]
= u(x) + u(x)
với
)(xu
là đờng cong gần

u(x) và u(x) là biến phân của hàm
u(x).
- Với đờng cong u(x;) thì phiếm hàm I[u(x,)] là một hàm chỉ
của , do đó điều kiện cần để cực tiểu phiếm hàm của hàm u(x), ứng
với = 0, là:
d
d
I[u(x,)]

=0
= 0 tức là I = 0
I = 0 tức là I =
d
d

1
0
x
x
F(x,u(x;), u'(x;))dx|

=0

=
+

),(
.
1
0
xu
u
F
x
x
dx
xu
u
F
0
),('
.
'
=

=
0)''.(
1
0
=+

dxuFuuFu
x
x

Phân đoạn tích phân sau, ta có:
I =

1
0
x
x
Fu u dx + Fu' u
|
1
0
x
x
-
udxFu

dx
d
x
x

)'(
1
0

=
0)'(
1
0
=

udxFu
dx
d
Fu
x
x

(do u
|
1
0
x
x
= 0 - 0 = 0)

Vì u (x) 0 x (x
0
, x
1
) nên Fu -
dx
d
Fu' = 0
Suy ra định lý Euler - Lagrange:
- Định lý E - L1:

Để cực tiểu phiếm hàm I[à(x)] =

1
0
x
x
F(x, u, u')dx, hàm u(x) cần
H.39. Để cực tiểu
I[u(x)]

O
x
0
x
1
x
u
(
x

)
u
(
x
)
u
u

80
thoả mãn điều kiện sau:
0)
'
( =

u
F
dx
d
u
F

6.3.4.2. Phơng pháp biên phân:
- Phơng pháp biến phân là phơng pháp sử dụng điều kiện cực
tiểu để tìm đờng cong cực trị.
- Điều kiện cực tiểu I[y(x)] theo EL là: F

y
-
'y
F
dx
d
= 0 suy ra:
F
y
- F
y'x
- F
y'y
.y'-F
y'y'
.y'' = 0 ,(E)
Phơng trình (E) gọi là phơng trình Euler.
- Phơng pháp tìm đờng cong cực trị là:
1) Tích phân phơng trình Euler thu đợc hàm y(x,c
1
, c
2
)
2) Xác định c
1
, c
2
theo hai điều kiện biên y
0
= y(x

0
), y
1
= y(x
1
)
Ví dụ: Khi hàm F chỉ phụ thuộc y và y':
F=F(y,y') phơng trình (E) có dạng F
y
- F
y'y
.y'-F
y'y'
.y'' = 0
Nhân hai vế với y' có:
y'(F
y
- F
y'y
.y'-F
y'y'
.y'') = F
y
.y'-F
y'y
y'
2
-F
y'y'
y'y'' =

=
dx
d
(F-F
y'
.y')= 0, (dạng đạo hàm toàn phần theo x)
Tích phân đầu theo x có F- F
y'
y' = C
1
là một phơng trình vi phân
không chứa x, giải đợc bằng cách tách biến hoặc đổi biến, ví dụ
* Tìm mặt cực tiểu (bài toán 1) :
Mặt tròn xoay qua (o,y
0
), (x
1
,y
1
)
cực tiểu khi phiếm hàm S[y(x)] cực
tiểu. Do dS = 2yds =
2y
22
dydx +
nên suy ra
S[y(x)] = 2
dxyy
x
x

=
+
1
0
2
'1
.
Với F =
2
'y1y +
= F (y,y'), ta có tích phân đầu:
H.40. M
ặt Catenoid
O
y
x
y = c ch

x

1

z
1

x - c
2
c
1

y
1
y
o
ds
dx
81
F- y'F
y'
= y
2
'y1+
-
2
2
'y1
'yy
+
=
2
'y1
y
+
= C
1

Đổi biến y' = sht thì y = C
1
cht và dx =
==

sht
shtdtC
y
dy
1
'
C
1
dt
x = C
1
t + C
2

Khử t từ

=
+=
chtCy
CtCx
1
21
có y = C
1
ch
1
2
C

Cx

là đờng dây xích, quay
quanh ox tạo ra mặt Catenoid, với C
1
, C
2
tìm theo điều kiện biên y
o
=
y(0) , y
1
= y(x
1
).
* Tìm đờng đoản thời: (bài toán 2)
Thời gian chất điểm lăn trên đờng cong y(x) từ AB là:
+
= [y(x)] =
g2
1
dx
y
y
x
x

=
+
1

0
2
'1

Với F = F(y,y') =
y
'y1
2
+

ta có tích phân đầu:
F- y'F
y'
=
y
'y1
2
+
-
)'y1(y
'y
2
2
+

=
)'y1(y
1
2
+

= C
y(1 + y'
2
) = C
1
là phơng trình vi phân cấp 1 phi tuyến.
Đổi biến y' = cotg t có y =
tg
C
y
C
2
1
2
'
1
cot1
1
+
=
+

= C
1
sin
2
t =
2
C
1

(1-cos2t) và :
dx =
'y
dy
=
gt
dtttC
cot
.cossin2
1
= 2C
1
sin
2
t dt
H.41. Đờng đoản thời
Cycloid

=
=
)tcos1(Cy
)tsint(Cx

ds

d
g
ds

v
d
=

y
d
x
B
y
1
y
0

A
x
1
82
= C
1
(1- cos2t)dt x = C
1
(t-
2
1
sin2t) + C
2

hay x =
2

C
1
(2t - sin2t) + C
2

Đờng đoản thời có dạng họ đờng cycloid

=
+=
)t2cos1(
2
C
y
C)t2sint2(
2
C
x

1
2
1
qua A(0,0) C
2
= 0 đặt C =
2
C
1
,
2t = ta có đờng đoản thời là đờng cycloid, mô tả bởi phơng
trình dạng tham số sau:

=
=
)cos1(Cy
)sin(Cx
hay x = c[arcos(1-
c
y
) - sin(arcos(1-
c
y
))]
với C = bán kính vòng tròn lăn để vẽ ra Cycloid, xác định theo y
1
= y(x
1

).
6.3.4.3. Điều kiện cực tiểu phiếm hàm dạng I[u(x,y)]
I[u(x,y)] =

D
F
(x,y,u,u
x
,u
y
)dxdy
- Cần tìm hàm u(x,y) trong miền D có trị số cho trớc trên biên
W D, làm cực tiểu phiếm hàm
I[u(x,y)] =

D
F
(x,y,u
y
u
x
u

,
)dxdy
- ứng với các mặt thay đổi trong họ mặt cong
u(x,y,) = u(x,y) + [

u
(x,y) - u(x,y) ]
= u(x,y) + u(x,y)
thì phiếm hàm I[u(x,y,)] chỉ phụ thuộc , đợc cực tiểu khi:
d
d
I[u(x,y,)]

=0
= I = 0, tức là khi:
83
δI =
0
D
y
x
x
u
Fuy
u
Fu
u
Fu
=ε
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
ε∂
∂
+
ε∂
∂
+
ε∂
∂
dxdy
=
0dxdy)uFuFF
yuyxux
D
u
=δ+δ+δµ
∫∫

- V× cã:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
δ+δ
∂
∂
=δ

∂
∂
δ+δ
∂
∂
=δ
∂
∂
yy
y
y
xx
x
x
uFuu
y
Fu
)uFu(
y
uFuu
x
Fu
)uFu(
x

nªn
)(
yuyx
D
x

uFuFu
δδ
+
∫∫
dxdy =
=
⎥
⎦
⎤
δ
∂
∂
+δ
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∫∫
)uFu(
y
)uFu(
x
y
D
x
dxdy-
udxdy)
y
Fu

x
Fu
(
y
D
x
δ
∂
∂
+
∂
∂
∫∫

= -
udxdy)
y
Fu
x
Fu
(
y
D
x
δ
∂
∂
+
∂
∂

∫∫

(do theo c«ng thøc Green cã:
dxdy)]uFu(
y
)uFu(
x
[
y
D
x
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
∫∫

=
∫
=δ−δ
w
yx
0dx)uFuuFu(
v× δu|
W

= 0
)

- V× vËy, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm lµ:
udxdy)
y
Fu
x
Fu
Fu(I
y
x
D
δ
∂
∂
−
∂
∂
−=δ
∫∫
= 0, do δu|
D
≠ 0 suy ra:
→
0)
u
F
(
y
)
u
F

(
xu
F
yx
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂

§Þnh lý Euler-Lagrange N
0
2:
§Ó cùc tiÓu phiÕm hµm: I[u(x,y)] =
∫∫
D
F
(x,y,u,u
x
,u
y
,)dxdy, hµm

H.42. §Ó cùc tiÓu
phiÕm hµm I[µ(x,y)]

x
y
D
s
U
(
x
,
y
)
U
(
x
,
y
)
U
U
δ
u
u
u(x,y
u(x,y
W
0
84
u(x,y) cần thoả mãn điều kiện:

0)
u
F
(
y
)
u
F
(
xu
F
yx
=

6.3.4.4. Điều kiện cực tiểu phiếm hàm dạng I[u(x,y,z)].
Các bài toán truyền nhiệt 3 chiều không ổn định với biên loại 2 và 3
thờng tơng ứng với phiếm hàm dạng:
I[u(x,y,z)] =

D
F
(x,y,z,t,t
x
,t
y
,t
z
)dV+

+
S
2
ds)
2
t
qt(

- Khi cực tiểu phiếm hàm I, cần có I = 0, tức là:
I =

+

+

+

V
z
z
y
y
x
x
t
t
F
t
t
F
t
t
F
t
t
F

dV+
dstttq
S

+ )(

= 0
- Theo t
x
=
)()( t
xx
t

=

, v.v., ta có:
I=

+

+

+

V
zyx
)t(
z
.
t
F
)t(
y
.
t

F
)t(
x
.
t
F
t
t
F
d
V+
sdtqt
S

+ )(

= 0
- Sau khi tích phân từng phần (per partes) ta
có:

V
x
dV)t(
x
.

t
F
=

S
x
x
lt
t
F
.

dS -

V
x
dV)
t
F
.(
x
t

V
y
dV)t(
y
.
t
F
=

S
y
y
lt
t
F
.

dS -

V
y
dV)
t
F
.(
y
t

V
z
dV)t(
z
.
t
F
=

S
z

z
lt
t
F
.

dS -

V
z
dV)
t
F
.(
z
t

với l
x
, l
y
, l
z
là cosin chỉ phơng của pháp tuyến
n phía ngoài V tại M S. Do đó, điều kiện I = 0

sẽ có dạng:

H.43. Miền tích phân V,S
của bài toán 3 chiều

y
0
x
z
y
V
S
n
0

85
I =
dV
t
F
zt
F
yt
F
xt
F
t
V
zyx

)()()(

+

[ ]
tq
t
F
l
t
F
l
t
F
lt
z
z
y
y
D
x
x
++

+

+

dS = 0

Do t|
v
0 biểu thức trong dấu móc []
v
= 0 suy ra định lý
E-L3:
Định lý Euler -Lagrange N
0
3:
Để cực tiểu phiếm hàm I[t(x,y,z)] cho theo công thức (3), hàm
t(x,y,z) cần thoả mãn điều kiện:

=++

+

+

=

Szyxtq
t
F
l
t
F
l
t
F
l
Vzyx
t
F
zt
F

yt
F
xt
F
z
z
y
y
x
x
zyx
),,(,0
),,(,0)()()(

6.4. Ví dụ minh hoạ các bớc áp dụng FEM
6.4.1. Bài toán biên cô lập
Ta sẽ dùng FEM giải bài toán DN
không ổn định một chiều, biên cô lập
W
1
+ W
20
cho bởi mô hình.

=
==

=

i
x0
2
2
t)0,x(t
0),L(t,t),0(t
x
tt
c
)t(

Ta sẽ thực hiện các bớc đã nêu ở (6.1.2.)
6.4.2. Phát biểu biến phân: ( Variational Statement)
- Xác định phiếm hàm I[t(x,)] tơng ứng bài toán (t) bằng cách
so sánh phơng trình vi phân dẫn nhiệt và phơng trình Euler-
Lagrange để tìm hàm F:
0)
t
F

(
xt
F
x
=

(phơng trình E-L)
H.44.Bài toán (t)

x
O
t = t
tx = 0
o
t(x,0) = t
i

c

t
=

2
2
x
t

x
x
86
0)
x
t
(
x
t
c =

(phơng trình vi phân DN)
Phép so sánh cho thấy

=

t
c
t
F
và
x
x
t
t
F
=

Tích phân 2 phơng trình trên theo t và t
x
, coi t và t
x
là biến độc
lập, ta có:
F =

=

tdtcdt
t
c
=
2
1
)t(f
t
c
x
2
+

F =

=

xxx
dttdt
x
t
=
2
x
t

2
1
)t(g +

So sánh hai tích phân cho thấy hàm tích phân là:
F=

+

2
2
)(
2
1
x
tt
c

Bài toán biến phân tơng ứng với bài toán (t) là tìm hàm t = t(x,)

sao cho tại thời điểm bất kỳ làm làm cực tiểu phiếm hàm
I =

=

+

L
0x
2
2
t
c)
x
t
(
2
1
dx
6.4.3.Phát biểu phần tử hữu hạn (Finite Element Formulation)
Đầu tiên chia phiếm hàm I thành tổng hai tích phân:

I = I

+I
c
với I

=
dx)
x
t
(
2
1
2
L
0

, I
c
=
dx
t
c
2
1
2
L

0

6.4.3.1. Phân hoạch các phần tử hữu
hạn
Tiếp theo chia miền tích phân [0,L] ra E
phần tử nhờ M = E + 1 điểm nút
Tại thời điểm bất kỳ, trong mỗi phần tử e,
ta coi nhiệt độ t
e
thay đổi tuyến tính theo x từ t
i
= t(x
i
) đến t
j
= t(x
j
), tuy nhiên t
i
và t
j
cha biết.
Toàn bộ t tởng của FEM là tìm các nhiệt độ (t
1
, t
2

,...,t
i
,t
j
,...,t
M
)
H4
5. FE formulation
x
1
O
t
(1)
x
(2) (e) (E)
x
2
x
i
x
j
x
M
i
t
2
t
i
t

j
t
M
t
e
t
1
x
1
x
2
x
i
x
j
x
M
87
sao cho phiếm hàm I nhỏ nhất. Phiếm hàm I thực chất là sai số
của phép xấp xỉ hàm t(x) bởi tập giá trị (t
1
, t
2
,...,t
i
,t
j
,...,t
M
) tại

các phần tử hữu hạn, so với hàm t(x) chính xác cha biết thỏa mãn
phơng trình cân bằng nhiệt
2
2
x
tt
c

= 0 .
Tại thời điểm bất kỳ, phiếm hàm I là hàm của M nhiệt độ nút I =
I(t
1
, t
2
, ..., t
M
) nên điều kiện cần để cực tiểu I là sự triệt tiêu của các
đạo hàm I lần lợt theo mỗi nhiệt độ nút t
i.
=

i
t
I

i
t
I

+
i
c
t
I

= 0 , i = 1ữ M
Định nghĩa ma trận [t]

M
2
1

t
...
t
t
(1), thì điều kiện cực tiểu I là:
=
][td
dI
][
td
dI

+
][td
dI
c
= 0, trong đó định nghĩa
][td
dI

M
2
1
t
I
...
t
I
t
I

Biểu diễn I nh tổng các I

e
tại mỗi phần tử e;
I =

=
E
1e
e
I
=

==

+
E
1e
e
c
E
1e
e
II
với
dx)
x
t
(
2
1
I

2
x
x
e
j
i

=

và
dx
t
c
2
1
I
2
x
x
e
c
j
i

=

Chú ý: Các chỉ số e hiểu là "của phần tử e", không phải số mũ.
Định nghĩa ma trận (2x1) nhiệt độ nút của phân tử e: [t]
e

j
i
t
t
(2)
88
và ma trận (Mx2) định vị phần tử e là: D
e

00
..
10
01
..
00
(3) ta có:
]t[d
dI

=

=

E
1e
e
]t[d
dI
=

=

E
e
j

e
i
e
t
I
t
I
1
0
0

=

=

E
1e
.
00
..
10
01
..
00

j
e
i
e
t
I
t
I
=

=

E
1e
e
e
e
]t[d
dI
D

Tơng tự có:
][td
dI
c
=

=
E
e
e
e
c
e
td
dI
D
1
][

Nh vậy, để cực tiểu I, phải xác định [t] sao cho:
]t[d
dI

=

=

E
1e
e
e
e
]t[d
dI
D

+

=
E
1e
e
e
c
e
]t[d
dI
D
= 0
6.4.3.2. Mô tẩ hàm t
e
:
Giả thiết tại thời điểm bất kỳ, nhiệt độ trong phần tử e thay đổi
nh một hàm tuyến tính của t
i
, t
j
và x (tức là đoạn thẳng qua x
i
ti, x
j
t
j
),
cho bởi: t
e

=
e
2
e
1
+
x= [1x]
e
2
1

p
T
[

]
e
, ở đây gọi

T
[1 x] (4),
các hệ số
e

2
e
1
,
xác định theo:

+=
+=
j
e
2
e
1j
i
e
2
e
1i
xt
xt

hay dạng ma trận là: [t]
e
=
e
2

1
j
i
x1
x1

P
e
[

]
e

Với P
e

j
i
x1
x1
(5). Từ đó suy ra:
[

]
e
= P
e-1
[t]
e
= R
e
[t]
e
với R
e
P
e-1
=

11
1
ij
ij
xx
xx
(6) là ma trận
nghịch đảo của P
e

6.4.3.3. Tính
]t[d
dI

=
e
E
e
e
e1
dI
D
d[t]

=

:
1

.

i

j

.

M
89
Ta có:

=

j
i
x
x
2
e
e
dx)

x
t
(
2
1
I
=
2
)][(
2

j
i
x
x
eeT
e
tRp
x

dx
=

[]
dxtRp
j
i
x
x
eeT
x
e
2
)][
2

với
T
x
p

[][]
10x1
x
=

(7)
- Ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm vô hớng (tức ma trận
(1x1) nh là tích hai vectơ
)2x1(
A

)1x2(
e
]t[
) theo ma trận [t]
e
:
ee
e
td
d
td
tAd
][][
)][(
=
([a
1
a
2
]
)
t
t
e
j
i

=

+

+

)tata(
tj
)tata(
t
j2i1
j2i1
i
=

2
1
a
a
= A
T
Chú ý: Ký hiệu A
T
hiểu là chuyển vị của ma trận A, và quy tắc
chuyển vị tích (AB)
T
= B
T
A
T
(không giao hoán):
- Tính
e
e
]t[d
dI

=
2
x