Các phương pháp tính truyền nhiệt - P3

129
(W
5
)
{
12s
11x 2 2x
T ( , ) T ( , ) T const
d
T (,) T (,) l
d
= = =




=



Trong đó T
1x
(,) và T
2x
(,) là gradient của trờng nhiệt độ T
1

trong pha rắn và T
2
pha lỏng, còn

d
d
là tốc độ di động của biên x = ,
hay tốc độ chuyển pha, là khối lợng riêng của pha trớc qúa trình
chuyển pha.
7.1.3. Mô hình TH bài toán biên di động
Trong trờng hợp tổng quát, mô hình toán học của bài toán biên di
động do sự chuyển pha sẽ là 1 hệ phơng trình vi phân, trong đó có hai
phơng trình vi phân của T
1
, T
2
thuộc 2 pha, các điều kiện đơn trị khác
của chúng và điều kiện biên loại 5, nh các phơng trình (W
5
) ở trên,
tại biên tiếp xúc giữa 2 pha.
Ví dụ: Mô hình bài toán 1 chiều có biên chuyển pha nh hình H57 là:
T
1
(x, ) = a
1
T
1xx
(x, ), 0 < x < , > 0
T
2
(x, ) = a
2

T
2xx
(x, ), < x < L , > 0
T
2
(x, 0) = T
o
> T
s
(ĐK đầu)
Các ĐK biên tại x = 0, x = L
T
1
(, ) = T
2
(, ) = T
s
= const

1
T
1x
(, ) -
2
T
2x
(, ) = l
2
d
d

, (tại x = )
Giải bài toán biên di động là nhằm xác định T
1
(x, ), T
2
(x, ) và
tính vận tốc di chuyển của biên
d
d


và dẫn ra các đặc tính khác của hệ
2 pha đợc khảo sát.
7.2. Bài toán biên hoá rắn
7.2.1. Phát biểu bài toán đóng băng vùng đất ớt
Xét 1 vùng đất ớt, rộng và sâu vô cùng, có độ ẩm W, nhiệt độ
đông đặc T
s
, nhiệt hoá lỏng l, nhiệt độ ban đầu T
2
(x, 0)=T
o
= const >T
s
.
(T
1
, T

2
)

130
Lúc > 0 đột nhiên hạ nhiệt độ mặt đất xuống trị số T
1
(0, ) = T
w
= const < T
s
. Cho biết các thông số vật lý
1
, C
1
,
1
của đất băng và
2
,
C
2
,
2
của đất ớt. Tìm trờng nhiệt độ T
1
(x,) trong đất băng, trờng
T
2
(x, ) trong đất ớt, vận tốc di chuyển của mặt đóng băng. Tính độ
dày lớp băng sau thời gian , tính thời gian để có lớp băng dày L cho

trớc. (Xem minh họa tại hình H57)
7.2.2. Phát biểu mô hình:
Tìm T
1
(x, ), T
2
(x, ) và
d
d


cho bởi hệ ptvp sau:
()
()
()
()
()
()
()
() ( )
() ( )
()
()
() () ( )
()
2
11
1
2
2

22
2
2
2o s
12 1 w s
2
12s
1
1
Tx, Tx,
a,0x,0(1)
x
Tx, Tx,
a,x,0(2)
x
T x,0 T const T , x , 0 (3)
T,T T 0, T const T, x 0, 0 (4)
T,
0, x , 0 (5)
x
T, T , Tconst,x , 0(6)
T,
x

=<<>



=<<>

== <<=
= = < = >

=>

= = = =>



()
()
2
22
T,
d
Wl , x , 0
xd

= =>





7.2.3. Giải bằng phơng pháp Stefan
* Theo kết quả của bài toán (4.3) về vật bán vô hạn, ta sẽ tìm
nghiệm của phơng trình (1) và (2) ở dạng sau:
T
1
(x, ) =
11
1
x
ABerf
2a

+

T
2
(x,)=
22
2
x
ABerf
2a


+





,ở đây erf(x) =
( )
()
2
n
2n 1
x
n0
0
1x
22
ed
n! 2n 1
+

=
=

=
+




(7)

131
là hàm sai số Gauss. Các hằng số A
1
B
1
A
2
B
2
đợc xác định theo các
ĐK đơn trị nh sau:
* A
1
xác định theo ĐKB (4):
T
1
(0, ) = T

w
= A
1

A
2
tìm theo giả thiết cho rằng T
2
(, ) = T
o

T
2
(, ) = T
o
= A
2
+ B
2
A
2
= T
o
- B
2

Vậy nghiệm riêng của (1) + (4) và (2) + (5) là:
T
1
(x, ) =

w1
1
x
TBerf
2a

+




và
T
2
(x, ) =
o2 o2
22
xx
TB1erf TBerfc
2a 2a


=

* B
1
và B
2
sẽ đợc xác định theo ĐKB (6) nh sau:
T
1
(, ) = T
2
(, ) = T
s
có dạng:

w1
1
TBerf
2a


+




=
o2 s
2
T B erfc T
2a

=





Vì (B
1
, B
2
) = const nên các đẳng thức trên chỉ thực hiện đợc
khi

=
C
, với C là 1 hằng số nào đó sẽ đợc xác định.
Do đó, ĐKB (6) sẽ là:
w1
1
C
TBerf
2a

+



=

o2 s
2
C
T B erfc T
2a

=




Suy ra
sw
1
1
TT
B
C
erf
2a

=




và
os
2
2

TT
B
C
erfc
2a

=





Vậy nghiệm riêng của [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) là:
132
T
1
(x, ) =
( )
sw
W
1
1
TT
x
Terf
2a
C
erf
2a

+









T
2
(x,

) =
( )
os
o
2
2
TT
x
Terfc
2a
C
erfc
2a

* C đợc xác định theo ĐKB loại 5 (7) nh sau:
()
1
1
TC ,
x



-
( )
2
2
TC ,
x



=
2

C
Wl
2



ở đây
d
d


=
()
dC
C
d
2
=


là vận tốc di động của biên, tức là
vận tốc đóng băng.
Các hàm sai số Gauss có dạng:
erf(x) =
( )
()
2
n
2n 1
x

0
n0
1x
22
ed
n! 2n 1
+

=

=
=

=
+



,
erfc(x) =
()
()
2
n
2n 1
x
n1
1x
22
ed1erf(x)1

n! 2n 1
+



=
=

= =
+




Đạo hàm của chúng là:
()
n
2n
n0
1x
d2
erf(x)
dx n!

=

=


=

( )
2
n
2
x
n0
x
22
e
n!


=

=



2
x
dd2
erfC(x) erf(x) e
dx dx

= =


Do đó, ĐKB (7) là

1

T
1x
( )
C,
-

2
T
2x
( )
C,
=
2
C
Wl
2


sẽ
ứng với phơng trình sau:
0
133
()
2
1
sw
1
1
1
C

exp
4a
TT
.
a
C
erf
2a












+
()
2
2
os
2
2
2
C
exp

4a
TT
.
a
C
erfc
2a













=
2
C
Wl
2


. Nếu đặt C =
1
K2 a

, tức K =
1
C
2a
ta có phơng
trình để xác định C nh sau:
()
()
2
2
2
1
os
21
1sw 2
2
1
a
exp K
exp K
a
TT
a
erf K T T a
a
erfc K
a

+








=
()
21
sw1
lW a
K
TT


.
Đặt
()
21
o
sw1

lW a
K
TT

=

, phơng trình có dạng:
f(K) =
()
o
KK


Giải bằng đồ thị
ta có K và tìm đợc C =
1
K2 a
K.
Hằng số K
o
là 1 đại lợng không thứ
nguyên, đợc gọi là tiêu chuẩn (hoặc
số) Koccivich

* Chuyển về dạng không thứ nguyên bằng cách đặt F
ox
=
1
2
a

x

,
Fox gọi là biến Fourier của toạ độ và thời gian, K
a
=
2
1
a
a
, ta có nghiệm
của bài toán đã nêu ở dạng không thứ nguyên nh sau:
()
1w
1
sw
Tx, T
TT

=

=
()
()
ox
1ox
1
erf
2F
F

erf K




=

y

o

K

y=f(K)

y=

K
o
K

K=c/2
1
a


H58. Để xác định K và C.

134
()

o2
2
os
TTx,
TT

=

=
()
()
aox
2ox
a
1
erfc
2KF
F
erfc K K




=

7.2.4. Tính gần đúng trong kỹ thuật:
* Do các chuỗi của erf(x) và exp(x
2
) hội tụ rất nhanh khi n tăng,
nên với độ chính xác cho phép của kỹ thuật, có thể chỉ cần lấy số hạng

đầu của các chuỗi này (ứng với n = 0) khi tính toán, tức là coi:
()
erf x
=
()
()
n
2n 1
n0
1x
2
n! 2n 1
+

=

+



=
&

2
x


( ) ( )
erfc x 1 erf x=

=
&

2
1x


2
C
exp
4a





=
n
2
n0
1C
n! 4a

=

=
&
1. Khi đó có:
1
C
erf
2a





=
&

1
2C
.
2a

=
1
C
a


2
C
erfc
2a

=
&
1 -
2
C
a


Khi đó phơng trình ĐKB loại 5 để xác định C sẽ có dạng:
()
sw 1
1
1
TT a
Ca



+
( )
os
2
2
2
TT

C
1a
a








=
2
C
Wl
2



hay C
2
=
()( )
1s w 1o s
22
2
2TT 2TT
C
lw lw
aC

+






* Xét trờng hợp T
o
= T
s
, tức là khi nhiệt độ ban đầu của pha ẩm
bằng nhiệt độ đóng băng.
135
Khi T
o
= T
s
ta có: C =
( )
1s w
2
2TT
lW



Nếu pha ẩm (2) là nớc, có độ ẩm w = 1, thì C =

()
1
2
1
sw
2
2
TT
l







- Lúc này, trờng nhiệt độ trong 2 pha có dạng:
T
1
(x,

)
=
&
T
w
+ (T
s
- T
w

)
1
a
C

1
x
erf
2a





hay
T
1
(x,

)
=
&
T
w
+ (T
s
- T
w
)
()

2
1s w
lW
x
.
2TT






()
()
()
2
1w sw
1
2os
lf W
x
Tx, T T T .
2
Tx, T T const

= +

= = =


- Vận tốc dịch chuyển biên, tức vận tốc đóng băng, là:
d
d


=
C
2
=
( )
()
1s w
2
TT
f
2l W.

=

, tổng quát
d
d


= K
1

a

, với
K =
1
C
2a
=
1s w
21
(T T )
2l Wa


.
Vậy vận tốc đóng băng chỉ phụ thuộc

, đồng biến theo

1
, T
s

nghịch biến theo T
w
, l,

2
, W và

.
Vận tốc đóng băng tỷ lệ nghịch với

, tức là khi

tăng 4 lần thì
vận tốc giảm 2 lần.
Biên chuyển động chậm dần với gia tốc

'' =
2
2
d
d


=
( )
1s w
23
TT
1
22lW



, [m/s
2
]
Nhận xét: Gia tốc có trị âm, làm biên di chuyển chậm dần. Khi

lớn, có thể coi gia tốc

'' = 0.

2

=
&

=
&
3
136
Lúc này biên di chuyển gần nh đều,
nhng rất chậm.
7.2.5. Tính độ dày lớp băng tại thời
điểm


* Trờng hợp tổng quát, độ dày lớp băng
tại thời điểm

là
x =

= C

, với C =

1
2aK
, tức x =

=
1
2K a
, [m]
* Trờng hợp T
o
= T
s
và tính gần đúng bậc 1 theo x, có
C =
()
1
sw
2
2
TT
lW



nên độ dày lớp băng là
x =

=
()
1

sw
2
2
TT
lW



, [m]
* Nếu pha (2) là nớc, có W = 1, ở điều kiện T
o
= T
s
thì
x =

=
()
1
sw
2
2
TT
l



, m
7.2.6. Tính thời gian đóng băng đến độ dày đã cho

= L.
* Trờng hợp tổng quát với lớp băng phẳng, rộng

, thời gian đạt
tới độ dày

= L = C

là

=
2
2
2
2
1
1
LL L
C
2aK
4a K


==





, [s]

* Trờng hợp T
o
= T
s
và tính gần đúng bậc 1, có

=
()
2
2
1s w
lWL
2TT


, [s]
* Với nớc ở T
o
= T
s
thì thời gian để tạo lớp băng phẳng, dày L là
(cho W = 1):

=
()
2
2
o
1s w 1
l

LL
.K
TT 2 2a

=



o


'
"
c
'
2
=


H59. Vận tốc và gia tốc
của mặt băng x =
3
"
4
c


=

137

7.3. Bài toán đông lạnh các vật ẩm hữu hạn
7.3.1. Mục đích chủ yếu khi tính đông lạnh các vật ẩm hữu hạn
là tính thời gian để nhiệt độ cực đại trong vật bằng 1 trị số cho trớc.
Thời gian đông lạnh

gồm 2 giai đoạn:

=

o
+

1
, trong đó

o
là
thời gian để hoá rắn toàn bộ vật ẩm, có nhiệt độ tâm vật bằng T
s
, còn

1
là thời gian để nhiệt độ tâm vật giảm trừ T
s
đến nhiệt độ T
k
cho tr-
ớc, theo yêu cầu của công nghệ cấp đông
Việc tính

1
có thể dựa vào kết quả của bài toán dẫn nhiệt không
ổn định trong vật rắn 1 pha.
Sau đây ta sẽ tính

o
theo phơng pháp gần đúng. Phép tính gần
đúng sẽ dựa trên các giả thiết sau:
7.3.2. Các giả thiết
1. Các vật ẩm hữu hạn có dạng đối xứng
2. Điều kiện biên ngoài vật có tính đối xứng, loại 1
3. Nhiệt độ ban đầu trong vật ẩm là đồng nhất, và bằng nhiệt độ
hoá rắn: T
2
(M,

) = T
s

4. Trong lớp vật rắn tạo thành sau chuyển pha, phân bố nhiệt độ là
tuyến tính đối với biên di động x =


7.3.3. Tính thời gian làm đông

o

1. Đông đặc vật ẩm phẳng, rộng
2L, có T
o

= T
s
, có

1
, l,

2
hai biên
ngoài có T
w
= const < T
o
đối xứng.
Bài toán này có mô hình giống mô
hình bài toán ở trên.
Điều kiện biên loại 5 trên biên
di động x =

là:

1
T
1x
(

,

)-

2
T
2x
(

,

)=l

2
d
d


W
o
x
T

L
-L
T
T
0
s
T
W
T
W

H60. Làm đông vật phẳng
do T
2
(x,

) = T
s
= const nên T
2x
(

,

) = 0